第4期：二次函数与一元二次方程、不等式及第二章本章综合-【数理报】2026-2027学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

17.(15分)已知关于x的函数y=x2-(a+2)x+4(a∈R. 18.(17分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同 19.(17分)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从 (1)关于x的不等式y≤4-2a的解集恰好为xl2≤x≤5}， 时满足下列三个条件中的两个：①y<0的解集为x1-1<x<3; 特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与 求实数a的值； ②a=-1;③y的最小值为-4 方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重 (2)若对任意的1≤x≤4，y+a+1≥0恒成立，求实数a的取 (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a,b,c的值； 要方法。 值范围. (2)求关于x的不等式y≥(m-2)x+2m2-3(meR)的解集 例如，已知a6=1,证明十。+十。=1 1 ab 1 b 1 证明：原式=6+a+1中b=+6++6=1 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出 第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长.”类似上述问题，我 们有更多的式子满足以上特征： 请根据上述材料解答下列问题： (0已知=1.++后猫， 高中数学 高中数学·必修第一册（人教A版）核心素养综合测评 5bx ②)若abc三l解方程山+a+bc+b+1ca+e+三l: (3)若正数a,b满足a6=1,求M=寸。+十2的最小值 必修第一 册（人教A版）核心素养综合测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 高中数学 0351-5271268 2026年7月24日·星期五 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 期总第1200期 人教A 0351-5271248 必修（第一册】 狄拉克 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-201 狄拉克(1902~1984 专题辅导 =(-a+V-16). 是20世纪卓越的理论牧 含叁一元兰次不等式的 所以原不等式的解集为 理学家，一位数学美的 求解策略 {xx<(-a- /a2-16)或x> 积极推崇者和倡导者.他 ■○湖南曾玉明 生追求数学美，也提 (-a+-16} 含有参数的一元二次不等式，在求解时相 所以原不等式的解集为{xx>1或x< 对增加了难度，本文对含参数的一元二次不等 ②当a=±4时，A=0 倡数学美.他曾声称：“我 1 想我正是和这一概念 式解法中常见的“三类型”进行解析 a fi 所以原不等式的解集为{xx≠-4} 一、二次项系数含参数 (优美的数学)一起来至 ③当-1<a<0时， >1, ③当-4<a<4时，4<0， 若二次项的系数含有参数a,则须对a的符 所以原不等式的解集为R 这个世界上的” 号分类，即分a>0,a=0,a<0. 所以原不等式的解集为{x1<x< 三、根含参数 狄拉克认为，“如果 例1解关于x的不等式ax2+(1-a)x-1 11 若不等式对应的方程的根x,,x,中含有参 物理定律在数学形式上 >0(其中a>-1). 数，则须对x1,x2的大小来分类，即分x1<x2,x1= 解：二次项系数含有参数，因此需对a进行 不美，那就是一种理论 二、判别式A含参数 x2,X1>x2 讨论. 若判别式4=b2-4ac中含有参数，则须对 例3解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a 还不够成熟的标志，说 若a≠0，则原不等式ax2+(1-a)x-1>判别式△的符号分类，即分4>0,4=0,4<0. >0(a∈R). 明理论有缺陷，需要改 0等价于(x-1)(ax+1)>0.其对应方程的根 例2解关于x的不等式2x2+ax+2>0. 解：将不等式x2-(a+a2)x+a3>0变形 进” 为-与1 解：由于判别式4=d2-16=(a-4)(a+为(x-a)(x-a2)>0. 4)中含有参数，因此须对△的符号进行讨论，即 当a<a2,即a>1或a<0时，不等式的解 狄拉克心目中的数 又因为a>-1,于是我们有： 对a在-4与4处分开讨论，则： 集为xIx<a或x>a2{; 学美，除了传统意义上 ①当a=0时，原不等式为x-1>0, ①当a>4或a<-4时，△>0，方程2x2+ 当a=a2,即a=0或a=1时，不等式的解 数学的精确性、严密性 所以原不等式的解集为x1x>1}; ax+2=0的两根为： 集为{xx≠a; 和简洁性以外，还包括 ②当a>0时，- 当a>a2,即0<a<1时，不等式的解集为 < x1= L 4(-a-a-16) {x1x<a2或x>a}. 对称性、统一性和在尽 思维拓展■ 由上面的分析可得到如下结论：当a≠0 2.利用一元二次不等式研究二次函数 可能广泛的变换作用下 僻读 时，二次函数y=ax2+br+c的两个零点值， 例2不等式ax2-br+c>0的解集为x 的不变性」 元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根 -2<x<1{,则函数y=ax2-bx+c的图象大 狄拉克坚信美和真 值，一元二次不等式ax2+bx+c<0(或>0)的 致为 是统一的，美的理论必 三个二次的关系 解集的两个不同端点值三者相同.应用此结果 然是正确的，他认为数 可以快速解答与这三个方面相关的问题 学美的获得，主要靠逻 ⊙山西孙丽琴 三、结论的应用 一、问题的提出 A (B) (C) 辑思维的作用，而物理 1.利用一元二次方程研究一元二次不等式 在教材中反复提到：“二次函数的零点与相 解：因为ax2-bx+c>0的解集为x-2 图象的清晰性，又要依 例1一元二次不等式ax2+bx+c>0的解 应的一元二次方程根的关系”，对于这一点我们 <x<1, 靠形象思维的作用. 可以作进一步的探讨：(1)二次函数的零点与一 为{x1-2<x<3},那么ax2-bx+c>0的解 故函数y=ax2-bx+c的图象开口向下， 集为 狄拉克60多年的科 元二次方程根之间具体的关系；(2)二次函数的 且与x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0)， 零点、一元二次方程的根与一元二次不等式的 (A){x1x>3或x<-2} 故选(A) 研工作，解决了许多理 解集之间是不是也有密切的关系？ (B){x1x>2或x<-3} 3.利用二次函数研究一元二次不等式 论物理的问题然而他却 二、问题的探讨 (C){x|-2<x<3} 例3二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的 认为：“我没有试图直接 由于篇幅所限，以及在解题中的实用性，我 (D){xI-3<x<2 部分对应值如下表： 解决某一物理问题，而 们可以对于上面提出的问题缩小范围进行探 解：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解为 讨：对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们仅 -3-2-101234 只是试图寻求某种优美 作判别式4=b2-4ac>0时的探讨 x1-2<x<3}, 60 40-6 的数学”狄拉克的数学 当a>0时，二次函数y= 所以ax2+bx+c=0的解为x1=-2,x2 则不等式ax2+bx+c<0的解集是 美学思想是科学美学宝 ax2+bx+c有两个零点， 3,且a<0, 库中不可多得的奇珍异 x,(x1<x2),如右图所示.由 由根与系数的关系得 图易知此时一元二次方程ax 解：由表格数据的变化易知二次函数的图 宝，值得我们学习和发 解得6=-a, =1 +bx+c=0的两个根为x1, 象开口向下，则a<0, x2,一元二次不等式ax2+bx+ C Lc =-6a 又由y值为0对应的点知二次函数与x轴的 x1·2= =-6, c>0的解集为x|x<x1或x>};ax 交点为(-2,0)，(3,0)， +c<0的解集为xlx1<x<x2} 代入得ar2+ax-6a>0,即2+x-6 所以不等式ax2+bx+c<0的解集为 当a<0时，也有类似结论 0,解得-3<x<2,故选(D) {x1x<-2或x>3} 2 素养专练 专项小练、二次函数与一元二次方程、不等式 (a){mm≥}(B)nms} 1.不等式x2-4x≤0的解集为 (c){mm≤} (D){mm≤3} (A){x10≤x≤4 (B)xI1<x<4 6.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c> 0的解集是x11<x<3},则 ( (C){x1-4≤x<0或0<x≤4} (A)a<0 (D)xIx≤0或x≥4} (B)a+b+c=0 2.如右图是函数y=ax2+ (C)4a+2b+c<0 bx+c的图象，则不等式ax+bx +c>0的解集为 (D)不等式c2-bx+a<0的解集是{xx (A){x1x>2} (B){x1x>-2 <-1成x>-} (C){x|x<-2或x>2 7.若两个正实数x,y满足4x+y=xy,若不等 (D)xI-2<x<2} x+子>m㎡+3m恒成立，则实数m的取值范围 3.若不等式2+x+m<0的解集为⑦，则实是 () 数m的取值范围是 ( (A)m1-1<m<4} (){a>4} (B){mm≥} (B)m1-4<m<1} (C){m|m<-4或m>1} (c){mm<4} (D){mm≤4} (D){m1m<-3或m>0 8.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若 4.已知一元二次方程x2+(a2+1)x+a-2= 每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租 0的一根比1大，另一根比1小，则实数α的取值范出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提 围是 高10x元(1≤x≤20，x∈Z),则被租出的礼服会 (A)a1-3<a<1(B)al-2<a<0;减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服 (C)aI-1<a<0(D)aI0<a<2 的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼 5.任意-1≤x≤1，使得不等式2-x+2≥ 服每天的租价应定为 ( (A)220元 (B)240元 m恒成立，则实数m的取值范围是 (C)250元 (D)280元 第3期2版参考答案 所以(px+gy)2-(px2+g2)=-p四(x2+y2-2y) =-p9(x-y)2 专项小练 因为p,9都为正数，所以-p9(x-y)2≤0， 1.D;2.A;3.ACD;4.> 因此(px+9y)2≤px2+92,当且仅当x=y时等号成立. 5.80+20(n-1)≥300 16.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2√ad,当且仅 6.证明：(a+万)2=a+b+2√ad, 当a=b=2时取等号，即有ab≥4， (E+a)2=c+d+2ca, 由ab=cd,a+b>c+d, 于是待(1+)(1+）1+++六1+出 得(a+D)2>(+a)2 +六=2+六≤2+}=是 所以a+万>E+a. 专项小练二 所以(+日)(1+古)≤号成立 1.A;2.D;3.BD;4.3;5.16. 17.解：(1)由a+b=2可得a+(b+1)=3, 6.解：由x>0, 即a6+1)≤(+）-(2)广= 当且仅当a=6+1,即a=子，6=号时答号成立， ≤一 所以a(+1)的最大值是？ (2)因为a>0,b>0,所以a+1>0,b+1>0. 当且仅当x=5时，等号成立 (）2 又a+8=2.所以a+1+6+14,所以。+46 故a的取值范围为ala≥2+5 (+)小a)+o+1=+ 第3期3,4版参考答案 出]=5+2√]=当且仅当 一、单项选择题 计=出，即a=子6=子时，等号成立 1~4 BCAD 5-8 CDAD 二、多项选择题 所以十。+的最小值为号 9.ABC;10.AC;11.AC 18.解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤ 三、填空题 6),底面积为12平方米， 23:1B{号2≤号≤7}：11+号 所以屋子前面的墙的长度为2米， 四、解答题 设甲工程队报价为y元， 15.解：(px+9y)2-(px2+qy2) =p(p-1)x2+g(g-1)y2+2pgy 则y=3xx400+2×3xx150+7200=90(6+x） 因为p+g=1,所以p-1=-9,9-1=-P, +7200,2≤x≤6， 数理极 9.若关于x的一元二次不等式(1-a)x2-4x +6>0的解集是x1-3<x<1},那么若ax2+ bx+3≥0的解集为R,则实数b的取值范围是 10.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为xl x<1或x>b}. (1)求a,b的值； (2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0. 11.已知函数f(x)=(x-a)(2x+3) (mt/8.mc)0 d<(wt-g'w)I 0<(+p)(+)(I-q)(I-)(I) (山)当a+弓>0时，解关于x的不等式) po+q<pq+ov:( >0: (2)若关于x的方程fx)+8=0在x<1上 有两个不相等实根，求实数a的取值范围. 人 07 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 十WW二) >( 因为m(6+720≥m×2√/+72m=140, 当且仅当长=，即：=4时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工得队报价最低，为1440元 (2)根据题意可知00(+：）+72m>0a1+对年 意的2≤x≤6恒成立， 即：+4)2>1+对任意的2≤x≤6恒成立， S77 所以4<：+4)2对任意的2≤≤6恒成立， ( 1+龙 因为a>0.x+4)2-x+1)2+6(x+)+9=（x+1)+ 1+x 1+x 9 x2/+1>之+=2、 当且仅当x+1= 十，即x=2时等号成立， 9 所以0<a<12, 故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程 铆 队都能竞标成功 19.(1)解：由x2-1比1远离0，则1x2-1-01>11-01, 解得x<-2或x>2 所以x的取值范围是{x|x<-E或x>2, (2)证明：若证a3+b比a2b+ab2远离2abad (名8g) 即证1a3+b3-2abab1>la2b+ab2-2ab/abl, 因为a≠b,a>0,b>0, 则a+b3>2√a6=2abab, 且a2b+ab2>2ab=2abab, 所以即证a3+3-2abab>a2b+ab2-2abab, 即证3+3>a2b+ab2, 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+ b)>0,所以a3+b3>a2b+ab2, a+b-2ab ab I >l a2b+ab2- R 2ab abl, 即d3+b3比a2b+ab2远离2abab. (A){x1-1<x<3} (B){xI-3<x<1} 10.已知关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集为x (C){x1x<-1或x>3} (D){x|x<-3或x>1} <-2或x>3},下列说法正确的是 2.当x≠0时，x2+ ,」的最小值为 (A)a+5b+c=0 警 (B)c<0 、1 (A)2 (B)1 (C)2 (D)22 高中数学· (C)bx2-ax+c>0的解集是{xl-2<x<3} 修第一 3.已知-1<a<0,则-a,-a,a2的大小关系是 (D)对于任意的x∈R,cx2+ax-b<0恒成立 必修第 (A)a2>-a3>-a (B)-a>a2>-a 11.我把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数 册 16.（15分)某公司计划投资A,B两种金融产品，根据市场调查与 册 (C)-a3>-a>a2 (D)a2>-a>-a x,y的二元函数(x,y)=x(1+y),则以下说法正确的是() 蚕 4.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,x2+x-6<0的解集 (A)f2,4)=f4,2) 医测4产品的种润与投资金氯：的属故关系为=18一0 教 A 版 为B,若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b=( (B)对任意的x>0,(:,)≥2 B产品的利润，与投资金额x的函数关系为为=专（注：利润与投资 A 版 核 (A)-3 (B)1 (C)-1 (D)3 (C)若对任意实数xf(x-a,2x)≥-a-2,则实数“的取值范围金额单位：万元).现在该公司有100万元资金，并全部投入A,B两种 核 心 5.有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a,b,c, 是{al-3<a<5} 产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品. 索养综合测 d.已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球的质量 (D)若存在x≥2，使不等式f(x-a,2x)≤-a-2成立，则实数 (1)请把A,B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出x的 由大到小的排列顺序是 心素养综合测 的取值范围是{a丨a≥3 范围； (A)d>b>axc (B)b >c>d>a 评 (2)在(1)的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ (C)d>b>e>a (D)c>a >dxb 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 6.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R,则实数a 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 ({a2<a<4} (){a2≤a<} 12.不等式x2+mx-3<0的解集为{xl-1<x<n},则m·n (c){aa<2或a> (D){aa≤2或a>￥ 13若正数，时清足x+4y-y=0,则，的最大值为 7.已知对任意x>0,y>0,且x+2y=3,1≤x+2+2y+1 成立，则t的取值范围是 14对，定义一种新运算7，规定：）=士（共中a,6 (A){tIt≤4 (){s} 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)= (c){d≤3} (D){+≤子} 0×0+b×1=b,已知71，-1）=-2，T(4,2=1,若关于m的不 2×0+1高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 数理橘 答案详解 2026~2027学年 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期(2026年7月) N}, 第1期2版参考答案 所以M∩N=1,3. 专项小练一 4.由题化简得集合B={x1x>a}, 1.ACD;2.D;3.A;4.{xlx=n,neN};5.2. 结合数轴可知，要使ASB,则只要a≤-1即可， 6.解：(1)不正确. 即实数a的取值范围是aIa≤-1}. 5.当x=0时，m=y,m可取0,1,2： 当x=1时，m=1+y,m可取1,2,3； 所以这个集合有3个元素。 当x=2时，m=2+y,m可取2,3,4. (2)不正确. 因此m的值可以为0,1,2,3,4， 方程(x-3)(x+1)2=0的解是x1=3,6=x3=-1, 即B={0,1,2,3,4},从而A≤B. 因此这个集合只有3，-1两个元素。 6.根据题意知a>-4,则CB={xl-4<x≤a. 专项小练二 又A={xlx<-3或x>1},A∩(C.B)中恰好含有2个 1.D2.C;3.CD;4.BA;5.2. 整数， 6.解：(1)由题知A={x1-2≤x≤5}， 所以A∩(CRB)={xl-4<x<-3或1<x≤a, 当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 所以3≤a<4. 所以A的非空真子集的个数为28-2=254个. 7.因为A∩B={-2},所以-2∈A, (2)由题知显然m-1<m+1,因为B≤A, 得(-2)2+2p-2=0,解得p=-1. 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， lm-1≥-2， 故A={x1x2+x-2=0}={-2,1}. 所以实数m的取值范围是{m「-1≤m≤4. 又因为AUB={-2,1,5},所以B={-2,5}. 专项小练三 1.A;2.A;3.AD;4.8;5.1. 代化6a lr=-10 6.解：(1)因为A={x|2≤x<7},B={xl3<x<10}, 综上可得p+9+r=-1-3-10=-14. 所以AUB={xI2≤x<10}, 8.由题可得x=√5,2，√2+n,√1+， CRA={x1x<2或x≥7}， 又集合A⊙B有3个元素， 则(CRA)∩B={xI7≤x<10. 当2=√2+n,即n=0时， (2)因为A={x12≤x<7},C={xlx<a},且A∩C A⊙B=5,√2,1}满足题意； ≠0，所以a>2, 所以a的取值范围是ala>2}. 当2=√个+n,即n=1,n=-1(舍去)时， A⊙B={3,2},不符合题意； 第1期3,4版参考答案 当5=个+n,即n=±2时， 集合同步核心素养测评 A⊙B={W5,√2,2}满足题意； 一、单项选择题 1 ~4 CCAD 5~8 DBCB 当5=√2+m,即n=1,n=-1(舍去)时， 提示： A⊙B={5,2},不符合题意 1.根据补集定义可得CB=0,2,6,10. 综上，ne{0,2,-2}, 2.由题意可知B二A, 故所构成集合的非空真子集的个数为23-2=6. 则AUB=A={x∈RIx≠3}. 二、多项选择题 3.因为M={x1-1≤x≤3}，N={x1x=2k-1,k∈ 9.AC;10.ABC;11.ABC. 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 提示： 合，整数集中去掉被3除余0和1的，剩余的只有余数为2的，即 9.因为M军P, R 集合Q 所以MUP=P,故(A)正确； 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 因为M季P,所以P∩M=M, =14种， 而M至N,故(B)错误； 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， 因为NP, 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， 所以CRP车CRN,故(C)正确； 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， MN,如图1所示， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 所以W∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误， 因为9<14， 故选(A)(C 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 10.Z={z1川z1≥2}={z1z≥2或z≤-2}， 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 因为X={xI-2<x<2}, 四、解答题 所以CRX={xIx≤-2或x≥2}，(B)正确； 15.解：(1)因为2∈B,BCA, CRY=yly>23, 则(CRX)U(CRY)=xlx≤-2或x≥2}，(A)正确； 所以P=+ax+a, l3=x2-5x+9, XnY={xl-2<x<2},CR(XnY)={xIx≥2或 rx=2, x≤-2}，(C)正确： x=3, XUY=fxlx≤2}，C.(XUY)={xlx>2,(D)错误 {a-2或 所以{ 故选(A)(B)(C). (2)因为B=C, 11.若A,B不具有包含关系，用Venn图分别表示集合A- 所以 x2+(a+1)x-3=3, B,A∩B,B-A,如图2， x+ax+a=1, 若A,B具有包含关系，不妨设AB, 解得-1或=3， la=-6la=-2. -B B-A 16.解：0={x1x是不大于9的正整数}=1,2,3,4,5,6， 图2 图3 7,8,9},且(CA)∩B={1,3},(CB)∩A={2,4,8},(CA) 则A-B=0,A∩B=A,B-A如图3所示. ∩(CB)=C(AUB)={6,9},作出Venm图，如图4. 对于(A),图2中，(A-B)∩(B-A)=0, 图3中，A-B=O,所以(A-B)∩(B-A)=⑦，故(A) B 2,4,85,7 1,3 正确； 对于(B),图2中，(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩ 6,9 B)成立， 图4 图3中，(A-B)U(B-A)=B-A,(AUB)-(A∩B) 所以A=2,4,5,7,8},B={1,3,5,7. =B-A, 17.解：(1)由题可得集合B中的元素个数为1， 所以(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩B)成立，故 所以4=4(a+1)2-4(a2-5)=0, (B)正确； 即8(a+3)=0,解得a=-3. 对于(C),若A=B,则A-B=⑦，故(C)正确： (2)因为AUB=A,所以B≤A=1,2. 对于(D),由图3可知，若A手B,则B-A≠⑦，故(D) 对集合B讨论： 错误 当A<0,即a<-3时，B=☑，满足条件： 故选(A)(B)(C). 当4=0，即a=-3时，B={2},满足条件： 三、填空题 当4>0时，要满足条件，必有B=1,2}, 13.Q(或xlx=3k-1,k∈Z}): 由一元二次方程根与系数的关系有 1+2=-2(a+1), 14.27. l1×2=a2-5, 提示： 12.因为A={x1x2+2ax-a<0},-1年A, 此方程组无解，不满足条件，舍去。 所以x=-1满足x2+2ax-a≥0， 综上，实数a的取值范围是{aIa≤-3}. 即1-2a-a≥0，解得a≤3 .1 18.解：(1)由题意知：CRA={xl-3≤x≤7}， 因为(CRA)UB=CRA,故BC(CRA). 13.集合M,P,Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集 ①当B=☑，即m+1>2m-1时， 2 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 满足BC(CRA),此时m<2; 专项小练二 ②当B≠☑时，若BC(CRA), 1.B;2.B;3.BD;4.{a1a>1};5.-1. rm+1≤2m-1, 6.解：(1)p:3m∈R,方程x2+x-m=0没有实根， 则m+1≥-3，解得2≤m≤4， 因为方程x2+x-m=0的判别式△=1+4m, 2m-1≤7， 综上，实数m的取值范围为m|m≤4. 所以当m<-子时，4=1+4m<0,方程没有实根， (2)因为(CRA)∩B={xIa≤x≤b},且b-a≥1， 即存在me mm<- 4 使得该方程没有实根， 故B≠☑，即m+1≤2m-1, 所以p为真命题. 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. (2)q:HxeR,使得x2+x+1>0. ①当2m-1≤7，即m≤4时， 因为4=1-4<0，所以x2+x+1>0恒成立， (CRA)∩B=B={xlm+1≤x≤2m-1}, 所以q为真命题。 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； ②当2m-1>7即4<m≤6时. 第2期3,4版参考答案 lm+1≤7， 集合与常用逻辑用语核心素养综合测评 (CRA)nB=x1m+1≤x≤7}， 一、单项选择题 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； 1~4 BCAC 5~8 ADBC ③当m+1>7,即m>6时，(C4)∩B=0,不合题意 提示： 综上，实数m的取值范围为{mI3≤m≤5}. 1.原命题即“3x>0,ax2-x-2=0”, 19解：()类合{生5,2}是复活集 其否定为“/x>0,ax2-x-2≠0”. 2.由集合知识得AUB=A台BCA, 理由如下 所以“AUB=A”是“BCA”的充要条件 因为1+5.125=-1+5+1-5=-1， 2 2 2 2 3.由题得U={x∈N11≤x≤6}={1,2,3,4,5,6}， 所以CuA=2,4,5,CuB={1,5,6, 所以集合{'5,5}是“复活集 故(CA)n(CB)=5}. (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+42=a1a2=t, 4.若x∈B,则x=4k=2(2)∈A,所以BCA, 因此a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不等 因为2∈A,且2B,所以A奕B. 正根， 5.由题意可知3x2≥a,1≤x≤3恒成立， 于是4=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 只需a≤(3x2)mim=3, 结合选项知a≤4台a≤3，但a≤3=a≤4， 所以a1a2的取值范围是{a1a2Ia1a2>4}. 故a≤3的一个必要不充分条件为a≤4. (3)不妨设A中元素a(i=1,2,3)满足a1<a2<a, 6.因为A={1,2,3,4},B={2,4}, 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a3, 又SCA,SnB≠☑， 因为a,∈N,则a1a2<3,a1aeN, 所以S=2},4},{1,2,2,3},1,4},3,4},{2,4, 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 1,2,3},1,2,4},2,3,4},{1,3,4},1,2,3,4}, 则2a3=3+a,解得a3=3, 所以满足条件的集合S的个数是12. 所以“复活集”A=1,2,3}. 7.由x2-x-6=0得x=-2或x=3, 第2期2版参考答案 所以A={-2,3}. 又A∩B=B,所以BCA 专项小练一 当a=0时，ax+6=0无解，B=☑，符合题意； 1.C;2.ABD;3.B;4.{m1m≤2}；5.③. 6.解：(1)因为命题p为真命题，P:关于x的方程x2-2ax+ 当a≠0时，由ax+6=0得x=-6, a a2+a-1=0有实数根， 依题意得-6=-2或-6=3. 则4=4a2-4(a2+a-1)≥0，解得a≤1， a a 故实数a的取值范围为a1a≤1}. 解得a=3或a=-2, (2)由(1)知p:a≤1,9：m-1≤a≤m+1. 对比四个选项知a的值不能为2. 若p是q的必要不充分条件，则m+1≤1，解得m≤0. 8.因为p(a,b)=0, 故m的取值范围为mlm≤0}. 所以√a2+b2-a-b=0,即a2+b2=a+b, 3 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 显然a+b≥0， 泡L亮时，开关K和K2也有可能都闭合，故电路中“开关K和 所以a2+62=a2+b2+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 13.因为3x∈B,x∈A为假命题， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以Hx∈B,x华A为真命题， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以A∩B=O且B≠O. 所以a2+2=(a+b)2, 所以2m<m+1或2m<m+1解得m≤-2， 即/a2+b=1a+b1=a+b, lm+1≤-1l2m≥4， 即实数m的取值范围为{mlm≤-2}. 所以p(a,b)=√a+2-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 14.若M中只有1个元素，则M={3}; 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， 若M中有2个元素，则M={1,5}或2,4}； 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 若M中有3个元素，则M=1,3,5}或{2,3,4}； 二、多项选择题 若M中有4个元素，则M=1,2,4,5； 9.ABD;10.AD;11.BCD. 若M中有5个元素，则M={1,2,3,4,5}. 提示： 所以满足题意的M共有7个. 9.对于(A),因为A二B,所以Hx∈A,都有x∈B,故(A) 四、解答题 正确； 15.解：(1)AUB=x4≤x<10. 对于(B),因为A不包含于B,所以了x∈A,使得xB,如 因为CRA={x1x<4或x≥8}， A={1,2,3},B=2,3,4},故(B)正确； 所以(CRA)∩B={xI8≤x<10}. 对于(C),当x=2+1时，x2=3+22是无理数，故(C) (2)要使得A∩C≠⑦，画出数轴如下图所示， 错误； C 对于(D),当x=2时，x=2万是无理数，故(D)正确. a 故选(A)(B)(D). 由图可知a<8. 10.U=AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 16.解：(1)由二次函数的性质得当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 又A∩(CB)=1,3,5,7},(CA)∩B=2,8,9,10, 因为p:]1≤x≤2，x2-a<0为真命题， 所以A∩B=0,4,6}. 所以a>1. 则A=0,1,3,4,5,6,7}, 故实数a的取值范围是ala>1}. AUB的子集个数为21=2048， (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. A∩B的子集有8个，非空真子集有6个， 因为命题q为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 故(A),(D)正确.故选(A)(D). 解得a≤0， 11.由224=4×56可得224∈[0]，故(A)错误： 所以当q为真命题时，a>0. 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确； 所以0<a≤1，即实数a的取值范围为al0<a≤1}. 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 17.解：(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0, 分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0, [3],故(C)正确； 所以x=m+1或x=2m-3. 若整数a,b属于同一“类”， 因为命题p为真命题， a 4n +k,n EZ,b 4n2 +h,n EZ, 则a-b=4(n1-n2)+0,所以a-be[0]: 所以~5<m+1<4 L-5<2m-3<4, 反之，不妨设a=4n1+k1,n1∈Z,b=4m2+k2,n2∈Z, 得-1<m<3. 则a-b=4(n1-n2)+(k1-k2), 所以A=m1-1<m<3}. 若a-b∈[0]，则1-k2=0,即k1=k2, (2)由(1)得集合A={mI-1<m<3},集合B=m1 所以整数a,b属于同一“类”， 1-a<m<1+a}, 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈[0]，即 由题得B是A的真子集， (D)正确.故选(B)(C)(D). 当B=☑时，1-a≥1+a,解得a≤0，满足题意； 三、填空题 r1 -a<I+a,1-a<1+a, 12.充分不必要；13.{m1m≤-2；14.7. 当B≠0时，{1-a>-1,或{1-a≥-1， 提示： l1+a≤3 1+a<3, 12.当开关K和K2有且只有一个闭合时，灯泡L亮，当灯 解得0<a<2. 4 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 综上，存在实数a∈{aIa<2满足条件. 综上：xy∈A. 18.解：(1)若A是空集，则ax2-2x+1=0无实数解. 故若x,y∈A,则必有xy∈A. 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，不符合题意， 第3期2版参考答案 所以a≠0,4=4-4a<0,解得a>1, 专项小练一 即实数a的取值范围为a1a>1}. 1.D;2.A;3.ACD;4.>; (2)若集合A中只有一个元素， 5.80+20(n-1)≥300， 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，符合题意： 6.证明：(a+b)2=a+b+2√ab, 当a≠0时，4=4-4a=0,解得a=1,符合题意。 (c+a)2=c+d+2ca, 所以a的值为0或1. 由ab=cd,a+b>c+d, (3)当B=xIx>0}时，若A∩B为非空集合， 得(a+6)2>(c+a)2, 则A={x1ax2-2x+1=0,a∈R}至少与集合B有一 所以a+b>√c+a. 个公共元素，即ax2-2x+1=0至少有一个正根. 专项小练二 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，所以AnB= 1.A;2.D;3.BD;4.3;5.16. 6.解：由x>0, {分}，符合题意： 当a≠0时，由A=4-4a=0,解得a=1,此时，A={x1 则3 x2-2x+1=0}={1},A∩B={1},符合题意； 由(1)得当a>1时，A为空集，不符合题意； ≤ 3 =2+5, 25-3 若0<a<1,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根 2x3 -3 之和己>0，两根之积。>0，即两根都为正根，符合题意； 当且仅当x=√3时，等号成立， 若a<0,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根之和 所以a≥ 3x x2-3x+3m =2+5, 2<0,两根之积<0，即两根为一正根一负根，符合题意 a 故a的取值范围为ala≥2+√3}. 综上，实数a的取值范围为aIa≤1}. 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”. 第3期3,4版参考答案 理由如下： 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2年B, 一、单项选择题 所以集合B不是“好集”. 1 ~4 BCAD 5 ~8 CDAD 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 提示： 且x≠0时，士eQ 1.基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x 2y≠0，所以x-2y>0,即x>2y 所以有理数集Q是“好集”. (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 2++y+2日 】+2λ/y·=2+2=4, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. (3)解：命题为真命题.理由如下： 当且仅当x=且y=,即x=1且y=1时等号成立 若x,y中有0,1时，显然有xy∈A, ra-B<0, 下设y巾不存在0,1，由定义得x-1,eA, 3.因为-1<a<B<1,所以-1<-B<1, -1<a<1, 所以寸4则e-1)e4 所以-2<a-B<0, 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2eA. 即α-B的取值范围为x1-2<x<0. 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2∈A; 4.因为0<a<1,0<b<1,且a≠b, 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 所以a2+2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>62, 可得2xy=(x+y)2-x2-y2eA, 所以a+b>a2+b2,故选(D). 所以站e4曲2)得时高+ 手=2+2∈A,所以y∈A 5设升级前的“屏占比为会（口>6>0，升级后保古 -5 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 比”为5+m(m>0).因为5+m-点=a-b)m>0,所以 故选(A)(C). a +m a +m aa(a+m) 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 升级后新手机“屏占比”和升级前相比变大. 6.m -m 2mn 2 是是 5m+nm+3n=m㎡+4mm+3nm+3边+4 ≤ 根据题意可知T=文+ s(y+),= 2V V n m 2 易知满足2（化+）=5则%=2 2S 25+ 4=2-5,当且仅当m=尽n时取等号，此时m m +n 由V1>0,V2>0可得， m中3n的最大值为2-万 1: 2Y√/V =T2, 7.由c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0得c≥b. 由b+c=6-4a+3a2, ① =S=12, V+%≤2元元 c-b=4-4a+a2, ② 即可得T≥T2≥T,即(A)正确，(B)错误； ①-②得2b=2+2a2,即b=1+a2, 所以6-a=1+2-a=(a-）广+子>0， 易知了3= S(Vi+V)2S S2 2V V …+= 所以b>a =T,即(C)正确； 综上，c≥b>a. 1 8+9=+9)(+）=13++≥ 时+方 4V,+(y+V2)2 13+ 2y.4红=25，当且仅当=4红 2S(V+2)1 y 即=弓y=子时，等号成立 S 故选(A)(C) 又不等式4x+9y-t≥0恒成立，只需(4x+9y)mim≥t, 三、填空题 因此t≤25，故实数t的最大值为25. 二、多项选择题 12.3； 1a{号2≤号≤2}：41+ 9.ABC;10.AC;11.AC. 提示： 提示： 12.因为x>0,y>0, 9.对(A),因为6>a>1,所以 公<日<1，(A)正确： a 所以1=专+≥2√·子=√骨， /xy 对.因为c<4<-1,所以>日>-1()正确： 所以可≤3，当且仅当号=子，即=子了=2时取等号， 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 因此xy有最大值3. 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， a+d=b+c=0,(D)错误. 故选(A)(B)(C). 1≤（≤4，所以专≤≤ 10.由题意可得-3≤3a≤12，即-1≤a≤4，(A)正确； 由-5≤a-b≤4可得-8≤2b-2a≤10， 所以2≤女 s27. 又2≤2a+b≤8， 14.易知△BDE∽△ACB,△GFH∽△ACB, 所以-6≤3b≤18，即-2≤b≤6，(B)错误； 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 2a-5b x(a-b)y(2a+b), 所以BD=b-&=4Gr。a l2 AC b=a+b+e'Ac=b=a+b+e = 则+2y=2,解得=4， l-x+y=-5,y=-1, 所以，=6.2x(a+6+e)6=号x(a+6+e, 因为-20≤4(a-b)≤16，-8≤-(2a+b)≤-2，所 以-28≤2a-5b≤14，(C)正确； 所以+上-a+6+c=1+区+E a+b a b a b 由(A),(B)选项知-1≤a≤4，-2≤b≤6， a2+6 若ab的最大值为24，则a=4,b=6, =1+√a+6+2ab =1+ 2ab 1+ 此时2a+b=14>8,(D)错误. a2+62 6 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期 又因为d2+B≥2ab,所以2ab a2+棕s1, 因为90(++720≥90×2 /16 ·x+7200= 当且仅当a=b时取等号， 14400 所以收+6 1+V=1+， 1 当且仅当 =x,即x=4时等号成立， 所以最小值为1+号 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低， 为14400元. 四、解答题 15.解：(px+qy)2-(px2+qy2) (②根据题意可知90（华+）+72m>01+旦 =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2p9xy, 对任意的2≤x≤6恒成立， 因为p+9=1,所以p-1=-9,9-1=-p, 即x+4)2>1+对任意的2≤x≤6恒成立， 所以(px+qy)2-(px2+q2)=-p9(x2+y2-2xy) =-p9(x-y)2 所以a<+4对任意的2≤x≤6恒成立， 1+x 因为P,9都为正数，所以-p9(x-y)2≤0， 因为a>0,x+42.+)2+6x+)+9=(x+ 因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 1+x 1+x 16.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2√ab,当 》++6≥2V+10+6=12. 9 且仅当a=b=2时取等号，即有ab≥4， 于是得+日)(1+古）=1+女+古+品=1+ 当且仅当+1=即=2时等号成立， 所以0<a<12, a+b+ ab ab =2+6≤2+= 1-9 故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙 工程队都能竞标成功. 所以(1+)(1+古）≤子成立 19.(1)解：由x2-1比1远离0， 17.解：(1)由a+b=2可得a+(b+1)=3, 则1x2-1-0「>11-01， 则a+≤(+)=(2广-子 解得x<-√2或x>2, 所以x的取值范围是{xIx<-2或x>√2. 当且仅当a=6+1,即a=弓，6=号时等号成立， (2)证明：若证a3+b比a2b+ab2远离2ab√ad, 所以a(6+1》的最大值是号 即证la3+b3-2ab√ad1>la2b+ab2-2ab√ab1, 因为a≠b,a>0,b>0, (2)因为a>0,b>0, 则a3+b>2√a6=2ab√ab, 所以a+1>0,b+1>0. 且a2b+ab2>2√a6=2ab√ab, 又a+6=2.所以a+1+6+1=4,所以士+16 4 所以即证a3+b3-2abab>a2b+ab2-2ab√ab, 4(+a+46)a+D+6+1=5+ 即证a3+b3>a2b+ab2, 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0, 4g+P]=5+28P]=子，当且仅当 所以a3+b3>a2b+ab2, 即1a3+b3-2ab√ab1>1a2b+ab2-2ab√ab1, 名号g即a宁6号时等号成立 即a3+b比a2b+ab2远离2ab√ab 所以十。+16的最小值为号 第4期2版参考答案 18.解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x 专项小练 ≤6)，底面积为12平方米， 1.A;2.C;3.B;4.C;5.B;6.ABD;7.B; 所以屋子前面的墙的长度为2米， 8.C;9.{b1-6≤b≤6}. 10.解：(1)由题可知x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2= 设甲工程队报价为y元， 0的两个解，且a>0, 则y=3×2×400+2×3x×150+7200=900 16 3 「1+b= 所以{ g解得0=1 x+7200,2≤x≤6， 2 1b=2. 1×b= 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, 综上可得d>b>a>c. 即(x-m)(x-2)<0, 6.因为不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R, 当m>2时，不等式的解集为{x12<x<m}; 所以当a-2=0,即a=2时，不等式为3>0恒成立，故 当m=2时，不等式的解集为☑； a=2符合题意； 当m<2时，不等式的解集为xlm<x<2}, 当a-2≠0，即a≠2时，不等式(a-2)x2+4(a-2)x+ 1解：()当a+子>0时a>-多 3>0的解集为R, 不等式fx)>0,即(x-a)(2x+3)>0, 则-2>0， 解得<-号或>。 4=[4(a-2)]2-4(a-2)×3<0, 解得2<a<升 所以不等式)>0的解集为{<-子或x>} 综上，实数a的取值范围 {2≤a<} (2)由题知2x2+(3-2a)x-3a+8=0在x<1上有两 个不相等实根， 7.由x+2y=3得(x+2)+(2y+1)=6, 令g(x)=2x2+(3-2a)x-3a+8, 又x>0,y>0,所以x+2>2,2y+1>1, 4>0, 4=4a2+12a-55>0, 即2+(3-2a)-3a+8>0, 所u2*6(*)加+2+a 则8(1)>0， 3-2a<1, 】++ + ）≥6(2+ 4 3-20<1, 4 以或 5 13 2y+1.x+2 解得a<- <a< 5 2+22+1) =子（当且仅当x=y=1时取等号）， 所以实数a的取值范围为aa<- 或 <a< 2 所以由1≤女+，中恒成立可得1≤号 13 8.解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.解方程2x2 5 +(24+7)+7张=0，得与=-子4=-k①当>子，即 第4期3,4版参考答案 -k<-2时，不等式2x+(2k+7)x+7k<0的解集为-6 7 一元二次函数、方程和不等式核心素养综合测评 一、单项选择题 <x<-子此时不等式组2-8>0， 的解集 1~4 ACBA 5 ~8 ABDB 2x2+(2k+7)x+7k<0 提示： 为{x-k<x<-子} 71 依题意-5≤-k<-4,即4<k≤ 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 2由≠0.可得#>0，则+号=22于 =2, 5:②当k<子即-6>-子时，不等式2+(2+7)x+76 7 x2 7 当组仅当=即=1时，等号成立， <0的解集为-之<x<-k,要使不等式组 改+子的银小值为2 「x2-2x-8>0, 的解集中只有一个整数，则需满足 2x2+(2k+7)x+7k<0 3.因为-1<a<0, -3<-k≤5，即-5≤k<3.所以k的取值范围是{1-5≤ 所以1+a>0,0<-a<1, k<3或4<k≤5}. 所以-a-a2=-a(1+a）>0, 二、多项选择题 a2-(-a3)=a2(1+a)>0, 9.AC:10.AC:11.BD. 所以-a>a2>-a3. 提示： 4.由题意知A={xl-1<x<3},B={x1-3<x<2}, 2<a<5,所以4<a+2b<1,(A)正确： 所以A∩B={xI-1<x<2}, 9.对于(A)2<h<6, 由根与系数的关系可知a=-1,b=-2, [2<a<5,所以-1<a-b<4,(B)不 所以a+b=-3. 对于(B)-3<-6<-1, 5.因为a+b=c+d,a+d>b+c, 正确； 所以2a>2c,即a>c,因此b<d. 对于(C), 因为a+c<b,所以a<b. <a<5:所以2<ab<15,(C)正确： 1<b<3, 一8 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 r2<a<5, 对于(D), -1+n=-m解得m=-2,n=3, 则 1 1 以号<号<5，(D)不正确 <6<1, -1·n=-3. .3 所以m·n=-6. 故选(A)(C) 13.因为正数x,y满足x+4y-xy=0, 10.因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集 为{xx<-2或x>3}, 所以x+4y=y,即+4=1， y 所以a<0,且方程ax2-bx+c=0有两个实根-2和3， 则+y=(+(+）=5++女5+ 则片=1，后=-6，即6=a,c60, a x 4y =5+4=9, 所以a+5b+c=a+5a-6a=0,故(A)正确： 2入y c=-6a>0,故(B)错误； 当且仅当：=4，即x=6,y=3时取等号， 由bx2-ax+c>0得ax2-ax-6a>0,即x2-x-6< 0,解得-2<x<3,即bx2-ax+c>0的解集是{x1-2<x 故x+y的最小值为9，则3的最大值为写 x+y <3},故(C)正确： 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 由cx2+ax-b<0得-6ax2+ax-a<0,即6x2-x+1 <0,不等式无解，故(D)错误. 明写片-2复4路=1解得。=16=3. 故选(A)(C). 所以T(2m,5-4m）=2mt3×5:4m≤4， 11.对于(A)f2,4)=2×(1+4)=10, 4m+5-4m f(4,2)=4×(1+2)=12, 解得m≥-之， 即f2,4)<f(4,2),故(A)错误； m,3-2m)=m+3×(3,2m>P,解得m<9-3P 对于(B)(）=1+)=+x≥2， 2m+3-2m 5 因为不等式组恰有3个整数解， 当且仅当号=x,即x1时，等号成立，故(B)正确： 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<-子 对于(C),f代x-a,2x）=(x-a)(1+2x）=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， 则实数P的取值范围是 -2≤P<-} 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 四、解答题 则4=(1-2a)2-16≤0， 15.证明：(1)由a>b>1,则a-1>0,b-1>0, 解得-子≤a≤名放(0)错误： 故(a-1)(b-1)>0, 由d<c<-2,则c+2<0,d+2<0, 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ 故(c+2)(d+2)>0, 0成立， 所以(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0,得证. 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, (2)由ac+bd-bc-ad=c(a-b)+d(b-a）=(c-d)(a r2a-1<2, -b), 则①4 而a-b>0,c-d>0, l2×22+(1-2a)×2+2≤0， 所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0, 或② r2a-1≥2， 4 即ac+bd>bc+ad,得证. 4=(1-2a)2-16≥0， 16.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 号，由②解得a≥号 则100-x万元投入B产品，则 由①解得3≤a< y=为+为=18-180+100-2 综上，得a的取值范围是aIa≥3}，故(D)正确。 x+10 5 故选(B)(D). =38-180 0-专，0<x<10 三、填空题 12.-6；13.3； 14 -2≤p<-} 2由0)得，5=8一。言：0- 180 x+10 x+10 提示： 5 ）≤40-20x-28 12.由不等式x2+mx-3<0的解集为xl-1<x<n}, 得-1，n是方程x2+mx-3=0的两根， 当且仅当，9。=号0，即x=20时等号成立 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 所以当x=20时，公司利润最大. 即5x 5bx 5bcx 17.解：(1)y≤4-2a,即x2-(a+2)x+2a≤0， 却6+1+bc+bc+6+1+1+6c+6=1 即(x-a)(x-2)≤0， 所以e严=1，即5x=1,解得x=号 1 +6+bc 因为不等式的解集恰好为{xI2≤x≤5}，所以a=5. 训=。+中=6+1中6器0 1 b 1262+2b+1 (2)由题意得对任意的1≤x≤4，x2-(a+2)x+5+a≥ 0恒成立，即a(x-1)≤x2-2x+5恒成立. b 当x=1时，0≤4恒成立，此时a∈R; 118 6+3 当1<≤4时a≤25-1+超成立， x-1 因为26+6≥2√26·石=22，当且仅当26=方， 因为0<-1≤3，所以1卡≥ 即6。 奇4，当且很当-1号即=3时 2√(x-1)·4 a=大=万时，等号成立， 等号成立，所以a≤4. 所以2b+。有最小值2万， 综上，实数a的取值范围为aIa≤4}. 此时—1 有最大值3-22， 18.解：(1)假设条件①②符合题意 26+ 6+3 因为a=-1,二次函数的图象开口向下， 从而1-1 —有最小值22-2， 所以y<0的解集不可能为x-1<x<3},不满足题意； 2+5+3 假设条件②③符合题意. 由a=-1知二次函数的图象开口向下，y无最小值，不满 1 1 即M=+。++2%有最小值25-2 足题意； 所以满足题意的条件为①③. 第5期2版参考答案 因为不等式y<0的解集为x1-1<x<3}, 专项小练一 所以-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根， 1.C;2.C;3.AC;4.[2,4];5.9. 所以-1+3=2=-合，-1×3= 6.解：(1)因为f)= x+2, 即b=-2a,c=-3a. 11 所以函数y=a成+加+e在x=一名=1处取得最小值， 所以f(2)=2+2=4 因为h(x)=x2+1, 所以a+b+c=-4a=-4,即a=1, 所以h(1)=12+1=2. 所以b=-2,c=-3. (2(2)]=2+1)=f5)=5+2=7 1 1 (2)由(1)知y=x2-2x-3, 则y≥(m-2)x+2m2-3即x2-mx-2m2≥0， 即(x+m)(x-2m)≥0. (3)因为=+2的院义坡为1≠-2，所以y0, 所以当m<0时，不等式的解集为xlx≤2m或x≥-m}; 所以函数fx)的值域为(-∞，0)U(0,+∞). 当m=0时，不等式的解集为R; 因为h(x)=x2+1的定义域是R,由二次函数图象（图略） 当m>0时，不等式的解集为{xlx≥2m或x≤-m}. 知最小值为1， 综上，当m<0时，不等式的解集为{xlx≤2m或x≥-m}; 所以函数h(x)的值域为[1，+∞). 当m=0时，不等式的解集为R; 专项小练二 当m>0时，不等式的解集为xlx≥2m或x≤-m. 1.C;2.D;3.ABC;4.2;5.-2. 1 1。ab ab 6.解：设f代x)=ax2+bx+c(a≠0). 19解：)1+a+1+6=b+0+ab+F 因为f(0)=1,所以c=1. a =a+b+a+b=1 又因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(aa2+bx+1)=2x, (2)因为abc=1, 整理得2ax+（a+b)=2x. 5ax 5bx 所以原方程可化为ab+a+ac+c+6+i+ 所以2a=2,解得a=1, 5bex la+b=0,lb=-1, 6(ca+c+1)=1, 所以f(x)=x2-x+1. -10 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 所以f0)+f代4)+f6)=0. 第5期3,4版参考答案 二、多项选择题 函数的概念及其表示同步核心素养测评 9.ABD:10.ABC:11.BCD. 一、单项选择题 提示： 1~4 CDBD 5~8 CADA 9.对于每个时间t,都有唯一的h,d与之对应，所以(A), 提示： (B)正确； 1.由fx)=√2x-1,则2x-1≥0，解得x≥2 对于每个d,根据对称性，有两个h与之对应，所以(C)错误； 对于每个h,有唯一的d与之对应，所以(D)正确。 所以函数)的定义城为[分，+0)】 故选(A)(B)(D)· 2.f2)=f0)=02+2=2. 10令1=士≠0，则x= 3.选项(A),(C),(D)的函数图象中存在x,对应多个不 同的函数值，故不可以表示函数，故(B)正确. 2+12+ 4.由题意得a>0,△=4-4a=0, 故f(t)= 所以a=1,所以fx)=x2+2x+1, 所以f(3)=9+6+1=16. 5.令t=x2-1,则t≥-1，且x2=t+1, 即f)=1+十红0且x≠-1).(D)错误： 代入原式得ft)=(t+1)2-1=2+2t(t≥-1)， 0=1++>2,即-÷>0， 故f(x)的解析式为f(x)=x2+2x(x≥-1). 故x(x+1)<0,得-1<x<0,(A)正确： 6.对于(A),两个函数的定义域相同fx)=F=x, g(x)=√=1x1,两者的函数解析式不相同，故两者不是同 由)=1+十x0且-0， 一函数； 得值域为{yIy≠1且y≠2}，(B)正确； 对于(B)f(x)=x2-2,g(t)=t-2,两个函数的定义域 2)=1+2手，（©）正确 1 和对应法则相同，故得到两个函数是同一函数： 故选(A)(B)(C). 对于(C),两个函数的定义域相同为{xIx≠0}，且f(x) 11.依题意，当0≤x≤3时，令y1=a1x+b1, =°=1，g(x)=二=1对应法则相同，故得到两个函数是同 b1=3, 则 解得a1=-1,b1=3,则y1=-x+3; 一函数； 3a1+b1=0, 对于(D),两个函数定义域相同f代x)= x-1,x之1对 l-x+1,x<1, 当3≤x≤4时，令为=5+，则a+6,=3, 3a2+b2=0, 应法则相同，故两个函数是同一函数. 解得a2=3,b2=-9,则y2=3x-9, 7.由a[f(a)-f-a)]>0可知， 若a>0,则fa)-f-a)>0, 因此f(x)= ∫-x+3,0≤x≤3， 3x-9,3<x≤4. 即a+1-[-2×(-a)-1]>0, 对于(A),ff4))=f3)=0,(A)不正确： 解得a<2,所以0<a<2, 对于(B),函数f代x)在[1,3]上随着x的增大而减小，在 若a<0,则fa)-f-a)<0, 即-2a-1-(-+1)<0, [9 上随着x的增大而增大， 解得a>-2,所以-2<a<0, 综上，实数a的取值范围为(-2,0)U(0,2). 而1)=2(9）=1，因此函数)在区间1.碧] 8.令x=y=0,则原式变为f0)+f(0)=f(0)f(0), 上的最大值为2，(B)正确； 即2f0)=f2(0),所以f0)=0或f0)=2, 对于(C),因为当0≤x≤3时，x-3+21x-31=-x+ 当f0)=0时，令y=0得到f(x)+f(x)=fx)f0), 3,当3<x≤4时，x-3+21x-31=3x-9, 所以f(x)=0,不满足题意舍去，所以f(0)=2, 所以f(x)=x-3+21x-31(0≤x≤4)，(C)正确； 令x=y=2,可得f4)+f0)=f2)f2)=0, 所以f4)=-f0)=-2, 对于(D),因为（含）=子（子）=子，观察图象知， 令x=4,y=2,可得f6)+f2)=f(4)f2)=0, 所以f6)=-f2)=0, 当a= 时，不等式)≤a的解集为[受，子]，(D)正确 -11 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期 故选(B)(C)(D). 三、填空题 所以)+）-经导=2. 12.14;13.{1,2};14.（-∞，1]，[0,2). 其中x≠-1且x≠0. 提示： 2 (2)解：由题得1)=中=1 12.在f2x-1)=4x+6中，令2x-1=3,解得x=2, 所以f(3)=2×4+6=14. 所以f225)+2024)+…+2)+)+(2）+ 13.当x=1时，g(f1)=g(2)=2=1+1, 所以x=1是方程的解； +(30）=25)+(20）++2+f(合） 当x=2时，g(f(2)=g(1)=3=2+1, +f1)=2024×2+1=4049. 所以x=2是方程的解； 18.解：(1)由题可知C(8,0),则-8+b=0,即b=8, 当x=3时，g(f3)=g(3)=1≠3+1， 所以y=-x+8,所以B(4,4), 所以x=3不是方程的解， 由图象知，fx)=k的图象经过点B(4,4), 所以方程的解组成的集合为{1,2}. 则4=k·√4，解得k=2. 14.当x≥0时f(x)=-x2 (2)由(1)得，fx)=2E,y=-x+8, +2x=-(x-1)2+1e(-0, 设E(x,2E),则D(x,0),F(8-2E,2E),0<x<4, 1小，当x<0时fx)= 2t+1e -2a0t 所以1CD1=8-x,1DE1=2E,1EF1=8-2E-x, (-∞，1)，所以f(x)的值域为 1FCI=22·E, (-∞，1] 图1 设直角梯形CDEF的周长为L, 不妨设a<b<c,作出函数y=f八x)的图象，如图1所示， 所以l=ICDI+lDEI+lEFI+FC1=16-2x+22·R, 由图象知a∈[-2,0)，b+c=2, 令E=t,0<t<2, 所以a+b+c=a+2∈[0,2). 所以1=16-2x+22·=-22+22t+16 四、解答题 15解：()要使函数有意义，需使-3x-4≥0， =-2-2)°+n, 1x+11-2≠0， 解得x≤-1或x≥4且x≠-3. 所以当：=号，即：=号时，周长1有最大值最大值为n 故函数的定义域为(-∞，-3)U(-3,-1]U[4,+∞)： 所以图书馆平面图CDEF周长的最大值为17， (2)因为y=f(x)的定义域为[-2,3]，要使函数y= 19.解：若x≤-1，则x-3<0,x+1≤0， 孔3x-7)有意义， 所以f(x)=-(x-3)+(x+1)=4; x-2 若-1<x≤3，则x-3≤0，x+1>0, 需使~2≤3x-7≤3， 5 解得 3 所以f(x)=-(x-3)-(x+1)=-2x+2; x-2≠0， x≠2， 若x>3,则x-3>0,x+1>0, 所以f(x)=(x-3)-(x+1)=-4. 故函数-3x7的定义坟为[号2)U(2,号] x-2 4, x≤-1， 16.解：(1)由题意得当x<0时，g(x)=-x>0, 所以f(x)= -2x+2,-1<x≤3， 所以g()=代-)=主=-士 -4,x>3. (1)当-1<x≤3时，-4≤-2x+2<4, 即当x<0时，函数()的解折式为g()=子 所以f(x)的值域为[-4,4)U{4}U{-4,即[-4,4]. (2)由题意得当x≤0时，f(x)=x≤0， (2))>0,即≤1或1<≤3或>3， 4>0 -2x+2>01-4>0, 所以g(f(x)）=g(x)=-x, 解得x≤-1或-1<x<1, 即当x≤0时，函数g(f代x))的解析式为g(f(x)=-x 所以f(x)>0的解集为(-∞，1). 17.(1)证明：因为f(x)=+x 2 (3)f(x)的图象如图2所示， 由图可知，若直线y=a与f代x)的图 -4-20 -2 象无交点，则a的取值范围为(-∞，-4) 4 U(4,+0). 图2 12