第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，涵盖标准求解步骤、含参分类讨论及恒成立问题。通过“二次函数图像→判别式→方程根→解集规律→综合应用”的知识框架，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生逐步深入。 以数形结合为核心特色，设置中等、提高、高考及创新分层例题，结合标准四步求解、含参讨论顺序等方法总结，培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养，助力掌握高考必考题型，提升自主学习与综合解题能力。

新课标高中数学导学案 第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式导学案【解析】 【内容导航】 1. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者关系 2. 判别式 三种情形下不等式解集规律 3. 标准一元二次不等式求解步骤 4. 含参一元二次不等式分类讨论 5. 一元二次不等式恒成立问题 6. 高考综合题型：区间解集、参数范围、恒成立最值 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 理解“二次函数—方程根—不等式解集”三者对应关系。 2. 熟记 对应的解集公式。 3. 掌握一元二次不等式标准求解流程。 4. 掌握含参不等式、恒成立问题的解题模型。 二、能力目标 1. 提升数形结合能力，利用二次函数图像快速判断解集。 2. 培养分类讨论思维，规范含参问题讨论顺序。 3. 提升综合建模能力，解决恒成立、存在性高考题型。 三、素养目标 1. 直观想象：借助抛物线图像直观理解不等式解集。 2. 逻辑推理：严谨完成分类讨论、参数范围推导。 3. 数学运算：熟练求解方程、配方、因式分解。 【学习重点】 1. 标准一元二次不等式的求解。 2. 三者关系的理解与应用。 3. 一元二次不等式恒成立问题解法。 【学习难点】 1. 含参一元二次不等式的分类讨论（二次项系数、判别式、根的大小）。 2. 恒成立问题中参数范围的精准求解。 3. 结合定义域、区间的综合不等式问题。 【知识框架】 二次函数图像 → 判别式 → 方程实数根 → 大于取两边、小于取中间 → 含参讨论 → 恒成立问题 → 高考综合应用 【学习过程·知识要点+公式推导】 知识点1 .三者核心关系 对二次函数 ： 1. 方程 的根 抛物线与 轴交点横坐标； 2. 不等式 解集 图像在 轴上方的 范围； 3. 不等式 解集 图像在 轴下方的 范围。 知识点2. 判别式与解集规律（） 判别式： 1. ，方程两根 ： 解集： 解集： 2. ，方程重根 ： 解集： 解集： 3. ，方程无实根： 解集： 解集： 口诀：开口向上，大于取两边，小于取中间；开口向下先变号。 知识点3. 恒成立结论 1. 对 恒成立 2. 对 恒成立 【例题讲解】 一、中等难度例题 例1. 解不等式 。 解析：因式分解：，两根 ， 开口向上、大于取两边，解集为 。 例2. 解不等式 。 解析：，解集 。 例3 解不等式 。 解析：，开口向上，解集为 . 二、提高题型例题 例4 .解不等式 。 解析：两边乘 变号：， ， 所以不等式的解集 . 例5 .已知 在 上恒成立，求 的取值范围. 解析：，得 . 所以 的取值范围为. 例6 .解关于 的不等式 . 解析：讨论根大小： 时，解集 ； 时，解集 ； 时，解集 。 例7 .不等式 解集为 ，求 . 解析：不等式 解集为， 所以<0,且是的两个根. 所以韦达定理：，得 ， 所以. 例8. 已知 ， 恒成立，求 取值范围. 解析：，二次函数最大值为 ，故 . 所以 取值范围 . 三、近三年高考题型 例9.（2024新高考Ⅰ卷改编） 已知不等式 在 上有解，求 取值范围. 解析：因式分解 ，结合区间分析得 . 所以 取值范围为. 例10.（2025新高考Ⅱ卷改编） 若 ， 恒成立，求 取值范围. 解析：当 成立； 当 得 ， 综上 . 所以 取值范围 . 四、创新题型（1道） 例11.（定义创新） 若不等式 解集包含区间{x| }，称该不等式为“稳不等式”， 求证： 为稳不等式。 证明：，式子恒大于0，解集包含{x| }，得证。 【方法分析】 1. 标准求解四步：化正（二次项系数为正）→求根→判开口→写解集。 2. 含参讨论顺序：先讨论二次项系数是否为0，再讨论 ，最后讨论根的大小。 3. 恒成立套路：全体实数恒成立看 ；区间恒成立转化为最值问题。 4. 解集反向求参：利用韦达定理快速求系数，是高考高频套路。 【变式练习（含答案解析）】 提高题型变式 变式1：解不等式 。 答案：。 高考题型变式 变式2：， 恒成立，求 取值范围。 答案：。 【本节知识总结】 本节核心是数形结合思想，依托二次函数图像掌握一元二次不等式解集规律，熟练掌握标准解法、含参分类讨论、恒成立三类核心题型，是高中不等式模块、函数模块的基础核心内容，高考必考。 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学案 第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式导学案 【内容导航】 1. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者关系 2. 判别式 三种情形下不等式解集规律 3. 标准一元二次不等式求解步骤 4. 含参一元二次不等式分类讨论 5. 一元二次不等式恒成立问题 6. 高考综合题型：区间解集、参数范围、恒成立最值 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 理解“二次函数—方程根—不等式解集”三者对应关系。 2. 熟记 对应的解集公式。 3. 掌握一元二次不等式标准求解流程。 4. 掌握含参不等式、恒成立问题的解题模型。 二、能力目标 1. 提升数形结合能力，利用二次函数图像快速判断解集。 2. 培养分类讨论思维，规范含参问题讨论顺序。 3. 提升综合建模能力，解决恒成立、存在性高考题型。 三、素养目标 1. 直观想象：借助抛物线图像直观理解不等式解集。 2. 逻辑推理：严谨完成分类讨论、参数范围推导。 3. 数学运算：熟练求解方程、配方、因式分解。 【学习重点】 1. 标准一元二次不等式的求解。 2. 三者关系的理解与应用。 3. 一元二次不等式恒成立问题解法。 【学习难点】 1. 含参一元二次不等式的分类讨论（二次项系数、判别式、根的大小）。 2. 恒成立问题中参数范围的精准求解。 3. 结合定义域、区间的综合不等式问题。 【知识框架】 二次函数图像 → 判别式 → 方程实数根 → 大于取两边、小于取中间 → 含参讨论 → 恒成立问题 → 高考综合应用 【学习过程·知识要点+公式推导】 知识点1 .三者核心关系 对二次函数 ： 1. 方程 的根 抛物线与 轴交点横坐标； 2. 不等式 解集 图像在 轴上方的 范围； 3. 不等式 解集 图像在 轴下方的 范围。 知识点2. 判别式与解集规律（） 判别式： 1. ，方程两根 ： 解集： 解集： 2. ，方程重根 ： 解集： 解集： 3. ，方程无实根： 解集： 解集： 口诀：开口向上，大于取两边，小于取中间；开口向下先变号。 知识点3. 恒成立结论 1. 对 恒成立 2. 对 恒成立 【例题讲解】 一、中等难度例题 例1. 解不等式 。 例2. 解不等式 。 例3 解不等式 。 二、提高题型例题 例4 .解不等式 。 例5 .已知 在 上恒成立，求 的取值范围. 例6 .解关于 的不等式 . 例7 .不等式 解集为 ，求 . 例8. 已知 ， 恒成立，求 取值范围. 三、近三年高考题型 例9.（2024新高考Ⅰ卷改编） 已知不等式 在 上有解，求 取值范围. 例10.（2025新高考Ⅱ卷改编） 若 ， 恒成立，求 取值范围. 四、创新题型（1道） 例11.（定义创新）若不等式 解集包含区间{x| }，称该不等式为“稳不等式”， 求证： 为稳不等式。 【方法分析】 1. 标准求解四步：化正（二次项系数为正）→求根→判开口→写解集。 2. 含参讨论顺序：先讨论二次项系数是否为0，再讨论 ，最后讨论根的大小。 3. 恒成立套路：全体实数恒成立看 ；区间恒成立转化为最值问题。 4. 解集反向求参：利用韦达定理快速求系数，是高考高频套路。 【变式练习】 提高题型变式 变式1：解不等式 。 高考题型变式 变式2：， 恒成立，求 取值范围。 【本节知识总结】 本节核心是数形结合思想，依托二次函数图像掌握一元二次不等式解集规律，熟练掌握标准解法、含参分类讨论、恒成立三类核心题型，是高中不等式模块、函数模块的基础核心内容，高考必考。 学科网（北京）股份有限公司 $