2.2基本不等式自学导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦基本不等式，从完全平方公式推导入手，通过“求最值思维地图”搭建学习支架，衔接起始课知识，引导学生掌握变形策略与等号检查方法。 特色在于以“触发信号→变形策略”培养数学思维，“错解医院”强化严谨性，分层练习与检查清单提升自主学习能力，助力学生用数学语言表达问题，发展创新意识与应用能力。

基本不等式 自学学案 适用对象：已学过”基本不等式”起始课、正在自学的同学 用法：按顺序阅读。每道题都先在”我的解答”处动笔，再看提示与详解。 核心目标：不是背模型，而是学会”看到什么，想到什么，怎么变形，怎么检查”。 0. 思维地图：求最值的时候，我在想什么 求最值 │ ├─ 能不能直接用基本不等式？ │ ├─ 两项都是正数吗？ —— 不是 → 提负号、换元、化正 │ ├─ 和或积是定值吗？ —— 不是 → 变形、配凑、拆项、乘1 │ └─ 等号能取到吗？ —— 不能 → 换方法：单调性、边界、其他不等式 │ ├─ 常见变形策略 │ ├─ 正负未知 → 提负号 │ ├─ 倒数结构 → 直接倒数型 │ ├─ 和定求积 → 和定积最大 │ ├─ 和已知求倒数和 → 乘1法 │ ├─ 分子分母都有未知数 → 拆项，加法变乘法 │ ├─ 分母复杂 → 换元配凑 │ ├─ 多变量轮换 → 局部不等式相加 │ └─ 三角形三边 → 换元成三个正数 │ └─ 多次使用基本不等式 ├─ 每一步等号条件是什么？ ├─ 能否同时成立？ ├─ 不能同时成立 → 放缩过松，换整体方法 └─ 能同时成立 → 求出公共解，验证范围 1. 从完全平方到基本不等式 1.1 起点：完全平方公式 对任意实数 ，都有： 展开： 所以： 当且仅当 时，等号成立。 现在令： 其中 。则： 两边同时除以 ： 这就是基本不等式。 1.2 标准形式 若 ，则： 当且仅当 时，等号成立。 其中： · 叫做 的算术平均数； · 叫做 的几何平均数。 所以基本不等式也可以说成： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 1.3 自己证明一遍：作差法 因为 ，所以 有意义。 因为： 所以： 即： 当且仅当 ，即 时，等号成立。 1.4 几何意义：半圆模型 以 为直径作半圆。 半圆半径为： 把直径分成 和 两段，在分点 处作垂线，与半圆交于点 。 半圆模型：半径不小于垂线段 由圆的对称性与直径所对圆周角是直角（或用相似三角形、射影定理），这条垂线段的长度是： 因为半径不小于垂线段，所以： 当分点正好在圆心时，即 ，垂线段与半径重合，等号成立。 看一看：上图取 ，垂线段 ，半径 ， 确实比 长；当 时两者重合。 2. 核心心法：制造定值 + 检查等号 2.1 基本不等式为什么能求最值？ 基本不等式本身： 它不直接给最值。真正有用的是下面两个转化： · 若 为定值，则 有最大值：； · 若 为定值，则 有最小值：。 所以基本不等式求最值的核心不是公式，而是： 制造定值。 乘 1 法、拆项、换元、提负号、配系数，本质上都在干同一件事： 把题目改造成”乘积定值”或”和定值”的结构。 2.2 一正、二定、三相等 这是检查清单，不是探索工具。 · 一正：参与基本不等式的两项必须是正数。 · 二定：和或积中必须有一个是定值。 · 三相等：等号必须能取到。 使用流程： 1. 写清变量范围； 1. 找出你要用的两项； 1. 看它们的和或积是不是定值； 1. 解等号方程； 1. 检查等号解是否在范围内； 1. 下结论。 2.3 等号一致性检查表 多次使用基本不等式时，必须检查每一步的等号能否同时成立。 步骤 放缩式 等号条件 1 2 整体 相乘后 需要 如果题目还给 ，那么 不可能同时成立。 所以这个下界 取不到，放缩过松，需要换方法。 检查口诀： 局部等号求交集，交集为空就换法。 3. 触发信号 → 变形策略 这一部分按”看到什么，想到什么”来组织。 每个策略都按”目标 — 障碍 — 变形 — 检验”四步展开。 3.1 看到正负未知 → 提负号，化正数 触发信号：变量可能为负，不能直接使用基本不等式。 目标：求 的最大值，其中 。 障碍：，两项都是负数，不满足”一正”。 变形：提负号。 因为 ，所以 。 括号内部两项都是正数，且乘积为： 所以： 因此： 检验：等号成立当且仅当 ，即 。 因为 ，在范围内，所以最大值是 。 为什么想到： 基本不等式要求正数。看到负数，先想办法把负号提出来，让括号内部全正。 这可以理解为：通过提出负号，把”正负未知”转化为”内部全正”。 3.2 看到倒数结构 → 直接倒数型 触发信号：出现 且 。 目标：求 的最小值。 障碍：直接看没有定值，但乘积是定值。 变形： 乘积为定值，所以： 对勾函数：积定，故和有最小值 检验：等号成立当且仅当 ，即 。 检查 是否在范围内。 例：若 ，求 的最小值。 解： 当且仅当 ，即 时取等。最小值为 。 看一看：上图是对勾函数 的图像，谷底正好在 。基本不等式给出的下界 与图像的最低点一致——等号能取到，下界才配叫最小值。 3.3 看到和定求积 → 和定积最大 触发信号：出现 或两个正数和为定值。 目标：求 的最大值，其中 。 障碍：直接看没有明显定值，但和是定值。 变形： 和为定值，所以积有最大值： 检验：等号成立当且仅当 ，即 。 例：若 ，求 的最大值。 解： 当且仅当 ，即 时取等。最大值为 。 3.4 看到和已知求倒数和 → 乘 1 法 触发信号：已知 ，求 的最小值。 目标：求倒数和的最小值。 障碍：直接看两项乘积不是定值。 变形：把 换成 。 展开： 因为 ，所以： 所以： 检验：等号成立当且仅当 ，即 。 在范围内，所以最小值为 。 为什么想到： 题目给出一个和，要求倒数和，就把和乘进去，制造出 和 这种乘积为定值的项。 这叫做”乘 1 法”，本质是常数代换。 3.5 看到分子分母都有未知数 → 拆项，加法变乘法 触发信号：分式型，分子分母都含未知数。 目标：求 的最小值。 障碍：分子分母都有 ，不能直接用基本不等式。 变形：把分子按分母拆开。 这就变成了倒数型。 检验：等号成立当且仅当 ，即 。 在范围内，所以最小值为 。 再例： 当且仅当 时取等。 为什么想到： 通过拆项，把复杂分式转化为”加法 + 乘积定值”的结构。 这可以理解为：加法变乘法，消除分子分母中的未知数。 3.6 看到分母复杂 → 换元配凑 触发信号：分母是 、 等复杂形式。 目标：若 ，求 的最小值。 障碍： 与 的乘积不是定值。 变形：令 ，则 。 由基本不等式： 所以： 检验：等号成立当且仅当 ，即 ，此时 ，在范围内。最小值为 。 为什么想到： 我想让分母变成一个新变量，再把分子拆出同样的新变量，从而制造 。 这是”目标反推”：为了制造定值，先换元。 3.7 看到多变量轮换 → 局部不等式相加 触发信号：式子关于 轮换对称。 目标：已知 ，且 ，求 的最小值。 障碍：直接看没有定值，但每一项可以配一个项。 变形：对每一项用基本不等式： 三式相加： 所以： 检验：等号成立当且仅当 ，即 。在范围内，所以最小值为 。 为什么想到： 轮换题常用套路：先猜等号在 时成立，对每一项构造局部不等式，相加后消去多余项，再检查等号是否一致。 3.8 看到三角形三边 → 换元成三个正数 触发信号：已知 为三角形三边。 目标：已知 为三角形三边，且 ，求 的最小值。 障碍： 等是正数吗？是——因为三角形两边之和大于第三边。 变形：令 则 ，且： 原式变为： 先准备一个工具：对任意三个正数 ，有 推导：把左边展开， 后面六个分式两两配对，逐对使用基本不等式： 所以左边 ，且等号当且仅当 时成立。 由这个工具（两边同除以 ）： 所以： 检验：等号成立当且仅当 ，此时 。在范围内，所以最小值为 。 为什么想到： 三角形三边约束复杂，换元成三个正数后，约束变成简单的 ，结构标准化，便于用基本不等式。 4. 错解医院 错解 1：负数直接套 题目：若 ，求 的最大值。 错解： 诊断：忽略”一正”， 时两项都是负数。 正确：提负号，得最大值为 （完整过程见 3.1 节）。 错解 2：等号冲突 题目：已知 ，且 ，求 的最小值。 错解： 相乘得： 诊断：等号要求 ，与 矛盾，下界 取不到。 正确：思路是展开后令 ，转化为 在 上求最小值。 完整过程在挑战 2——先自己试试，再对照。 错解 3：定值没构造出来 题目：若 ，求 的最小值。 错解： 诊断：右边不是定值，无法求最小值。 正确：令 ，转化为 ，最小值为 （完整过程见 3.6 节）。 错解 4：忽略范围 题目：若 ，求 的最小值。 错解： 诊断：等号在 取到，但 ，所以最小值不是 。 正确： 在 上单调递增，最小值在 处趋近，但取不到；若允许 ，最小值为 。 5. 等号取不到怎么办：基本不等式与单调性 基本不等式给的下界不一定能取到。 如果等号取不到，最值可能在边界，或者需要用函数单调性。 例：求 在 上的最小值。 基本不等式： 等号成立当且仅当 ，即 。 但 ，所以这个下界取不到。 等号取不到时，最值落在边界 函数 在 上单调递减，所以最小值在 处取得： 看一看：上图中，绿色虚线是基本不等式给出的下界 ，曲线整段悬在它上方，永远够不着；红色点才是真正的最低点，落在右端点 处。 结论：基本不等式不是万能的。等号取不到时，要换工具：单调性、边界、其他不等式。 6. 实际应用：和定积最大，积定和最小 基本不等式最有名的两个现实原型：周长一定，面积最大；面积一定，周长最小。 例 A：篱笆问题（和定积最大） 用一段长 的篱笆围成一个矩形菜园，求菜园面积的最大值。 建模：设相邻两边长为 （单位：m），则 （周长的一半），面积 。 求解：由和定积最大： 等号当且仅当 时成立。 结论：当菜园是边长 的正方形时，面积最大，为 。 例 B：用料问题（积定和最小） 要建造一个面积为 的矩形水池，求水池周长的最小值。 建模：设相邻两边长为 （单位：m），则 ，周长 。 求解：由积定和最小： 等号当且仅当 时成立。所以 。 结论：当水池是边长 的正方形时，周长最小，为 ，用料最省。 共同点：两题的最优解都落在 ，即正方形。 这不是巧合：均值不等式的等号条件，就是”平均”最公平的时候。 7. 基础练习 先动笔，再看本节末尾的”详解”。 1. 若 ，求 的最小值。 ✍ 我的解答（写完再看详解）：           2. 若 ，且 ，求 的最大值。 ✍ 我的解答（写完再看详解）：           3. 若 ，求 的最大值。 ✍ 我的解答（写完再看详解）：           4. 若 ，求 的最小值。 ✍ 我的解答（写完再看详解）：           5. 若 ，且 ，求 的最大值。 ✍ 我的解答（写完再看详解）：           6. 判断：对于任意 ，都有 。这句话是否正确？为什么？ ✍ 我的解答（写完再看详解）：           基础练习详解 1. 看 与 ：两项都是正数，乘积 为定值。 由基本不等式： 等号条件：，即 ，。检验：，在范围内。 所以最小值为 。（注意：系数 要参与乘积运算， 而不是 。） 2. 两项 都是正数，和 为定值，用”和定积最大”： 等号条件：。与 联立，得 ，在范围内。 所以最大值为 。 3. 看 与 ：在 内都是正数，且和 为定值。 等号条件：，即 。检验：，在范围内。 所以最大值为 。 4. 分母带 ，先换元：令 ，则 。 其中 为定值： 所以原式 。等号条件：，即 。检验：，此时 ，在范围内。 所以最小值为 。 5. 积是 ，但 不是 。想办法凑：把 写成 ，这样两个因子的和恰好是 。 等号条件：。与 联立，得 ，在范围内。 所以最大值为 。（这叫”配系数”：谁的和是定值，就把积凑成那两个因子。） 6. 不正确。 一方面”一正”不满足：当 时， 与 都是负数，例如 时 ，不大于等于 。事实上此时 。 正确说法是： 时 ； 时 。 8. 强基挑战（提示阶梯） 以下题目需要多轮转换，可能连续使用基本不等式，也可能需要检查等号一致性。 每题流程：先在解答区动笔 → 看提示 → 再动笔 → 看答案。 挑战 1：多轮转换后求最值 已知 ，且 ，求 的最小值。 ✍ 我的解答（写完再看提示）：                 提示 1：目标式中有 和 ，它们都和 与 有关。 提示 2：令 ，则 。 提示 3：注意 ，原式变为 。小心： 单调递增， 单调递减，方向相反，不能各自放缩，必须整体研究。 答案：最小值为 ，当 时取等。 关键过程（作差）： 当 时：，，故分子 ；分母 。 所以 ，等号当且仅当 ，即 。 反思：本题基本不等式帮不上忙—— 只能把 往大放缩，方向反了。工具选择要灵活：放缩失效时，回到函数与作差。 挑战 2：两次使用基本不等式，检查等号一致性 这道题就是错解 2 的原题——诊断已经给出，现在把正确解法完整走一遍。 已知 ，且 ，求 的最小值。 ✍ 我的解答（写完再看提示）：                 提示 1：不要直接对两个括号分别用基本不等式，因为等号会冲突。 提示 2：先展开，得到 。 提示 3：令 ，利用 得到 ，并注意 答案：最小值为 ，当 时取等。 关键过程：由提示 3，原式 。 因为对勾函数 在 时单调递减，而 ，所以最小值在 处取得： 等号对应 且 ，即 。 反思：连续使用基本不等式时，必须检查等号能否同时成立。不能同时成立，就换整体方法。 挑战 3：轮换对称的整体处理 已知 ，且 ，求 的最小值。 ✍ 我的解答（写完再看提示）：                 提示 1：条件给的是”两两乘积的和”，目标是”整体和”。考虑从 入手——它的展开式里正好同时含有平方项与两两乘积项。 提示 2：先证一个变体：。 推导： 提示 3：，用提示 2 把平方项换成乘积项。 答案：最小值为 ，当 时取等。 关键过程： 因为 ，开方得 。 等号条件：，即 ，即 。代入 得 ，在范围内。 所以最小值为 。 反思： 是基本不等式 的”三变量升级版”，由三个平方差拼出来。处理轮换对称的整体量时，先想它。 挑战 4：轮换与局部不等式 已知 ，且 ，求 的最小值。 ✍ 我的解答（写完再看提示）：                 提示 1：先证明局部不等式： （两项乘积为 ，用基本不等式即得；等号当且仅当 ，即 。） 提示 2：轮换写出三个不等式，再相加。 提示 3：想办法把 的下界求出来（见答案关键过程）。 答案：最小值为 ，当 时取等。 第一步：三个局部不等式。 三式相加： 第二步：处理括号里的倒数和。 把它记为 ，展开： 而 由 3.8 节准备的工具（对任意三个正数成立）： 所以 ，即 。 第三步：代回去。 等号一致性检查：局部不等式的等号要求 （三个轮换式同时成立，即 ）； 的等号也是 。两处等号一致，且 满足条件，下界可以取到。 挑战 5：三角形的平方和（下界与上界） 已知 为三角形三边，且 ，求 的取值范围。 ✍ 我的解答（写完再看提示）：                 提示 1：三角形约束不便于直接计算，用换元把它标准化。令 由”两边之和大于第三边”，。 提示 2：反解得 ，且 。 提示 3：把 用 表示，再研究 的范围——先看它能小到哪里（提示：挑战 3 的变体），再看它能大到哪里（提示： 是正数）。 答案：。 第一步：换元表达。 由 ，即 ，所以 第二步：下界。 由挑战 3 证明的变体 ，两边各加一个 ： 所以 ，等号当且仅当 ，此时 （等边三角形）。 于是 ，可以取到。 第三步：上界。 因为 都是正数，，所以 于是 。这个上界取不到：三角形越”扁”越接近 ，但只要还是三角形（），就到不了 。 结论： 的取值范围是 。 反思：下界来自”最均匀”（等边三角形，等号取到）；上界来自”最偏斜”（趋于退化，只能趋近）。一取得到、一取不到，正是第 5 节”边界思维”的活例子。 挑战 6：等号条件与常数项共存 已知 ，且 ，求 的最小值。 （说明：由条件，最后一项恒等于 ，可以代入；但不能就此认为答案一定是 ——还得检查 的等号是否真的能取到。） ✍ 我的解答（写完再看提示）：                 提示 1：由 3.8 节准备的工具，。 提示 2：这个下界在 时取到。 提示 3：把等号解代回原式，验证常数项与下界能否同时实现。 答案：最小值为 ，当 时取等。 关键过程：等号条件 满足 ，此时 整体恰为 。等号无冲突，下界可取。 反思：这道题的”陷阱”不在变形，而在验证：任何下界，只有等号解真的落在范围内，才有资格叫最小值。 9. 自学检查清单 学完后，问自己： · 我能写出基本不等式，并说明 和 取等。 · 我能用作差法证明基本不等式。 · 我能解释”一正、二定、三相等”。 · 我能处理 型最值，包括带系数的 型。 · 我能用”乘 1 法”处理 型倒数和。 · 我能通过提负号处理 的情形。 · 我能通过拆项和配系数把式子变成基本不等式结构。 · 我能检查多次使用基本不等式时等号是否一致。 · 我会用 处理轮换对称的整体量。 · 我能把三角形三边问题转化为正数变量问题。 · 我能解决周长一定求最大面积、面积一定求最小周长的实际问题。 · 我知道等号取不到时，要换用单调性或其他工具，并能区分”取得到”与”趋近”。 10. 答案速查表 先自己动笔，再用下表核对。“关键思路”列只提醒入口步骤，完整过程见对应详解。 题号 答案 关键思路（入口步骤） 基础 1 最小值 （） 乘积 定值，直接用基本不等式 基础 2 最大值 （） 和定 ，用 基础 3 最大值 （） 和定 ，用和定积最大 基础 4 最小值 （） 换元 ，化为 基础 5 最大值 （） 配系数 ，凑和定 基础 6 不正确 时两项皆负， 挑战 1 最小值 （） 换元 ，基本不等式失效，作差分解 挑战 2 最小值 （） 展开令 ，化为 ，用对勾函数单调性 挑战 3 最小值 （） ，再用 挑战 4 最小值 （） 局部不等式 轮换相加，倒数和 挑战 5 范围 换元 等，化为 ，下界取到、上界趋近 挑战 6 最小值 （） 三元工具得 ，再加常数 ；验证等号解在范围内 自学提示： 基本不等式不难在公式，难在”变形”和”等号检查”。 每做一道题，都问自己三句话： 1. 正不正？ 1. 定不定？ 1. 等号能不能取到？ 如果等号取不到，再问一句： 1. 我该换什么工具？ 学科网（北京）股份有限公司 $