2.1 等式性质与不等式性质 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦等式与不等式性质，通过课前预习填空梳理不等关系符号、作差比较步骤等基础，课堂探究结合实例与例题构建从具体到抽象的学习支架，衔接初中等式性质与高中不等式性质的过渡。 特色在于融合数学眼光、思维与语言，课前预习培养符号意识，赵爽弦图发展几何直观，作差法训练推理能力，不等式组表示实际问题提升模型意识，分层设计和易错提醒助力学生自主学习，当堂检测便于教师评估。

2.1　等式性质与不等式性质 导学案（本节共2课时·附参考答案）　人教A版必修第一册 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材P37—43，完成填空） 1. 现实中相等关系用＿＿＿＿＿＿＿＿表示，不等关系用＿＿＿＿＿＿＿＿表示。"不超过""至多"用符号＿＿＿＿＿＿＿＿，"不少于""至少"用符号＿＿＿＿＿＿＿＿。 2. 两个实数大小关系的基本事实：a＞b a－b ＿＿＿＿＿＿＿＿0；a＝b a－b ＿＿＿＿＿＿＿＿0；a＜b a－b ＿＿＿＿＿＿＿＿0。 3. 作差比较大小的四个步骤是：＿＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿＿。 4. 重要不等式：对任意a，bR，有a²＋b² ＿＿＿＿＿＿＿＿ 2ab，当且仅当＿＿＿＿＿＿＿＿时等号成立。 5. 不等式性质4（可乘性）：a＞b，若c＞0，则ac ＿＿＿＿＿＿＿＿ bc；若c＜0，则ac ＿＿＿＿＿＿＿＿ bc。（关键词：乘正数＿＿＿＿＿＿＿＿，乘负数＿＿＿＿＿＿＿＿） 6. 不等式性质6、7都要求两边＿＿＿＿＿＿＿＿（填"＞0"或"＜0"）：a＞b＞0，nN，n≥2，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 。 二、课堂探究 探究一　用不等式（组）表示不等关系 （1）某路段限速40km/h（速度v）：＿＿＿＿＿＿＿＿　（2）a与b的和是非负实数：＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）三角形三边a、b、c，两边之和大于第三边、之差小于第三边：＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的小结：翻译不等关系，先定＿＿＿＿＿＿＿＿，再把程度词对应到不等号，别忘＿＿＿＿＿＿＿＿。 探究二　基本事实（听讲补全） 比较两个实数（式）的大小，可转化为判断它们的＿＿＿与＿＿＿的大小。这是因为：a－b＞0 ＿＿＿，a－b＝0 ＿＿＿，a－b＜0 ＿＿＿。 探究三　作差法比较大小（写出过程） 例1　比较（x＋2）（x＋3）和（x＋1）（x＋4）的大小。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 练习　比较x²＋y²＋1与2（x＋y－1）的大小。（提示：作差后配方） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究四　重要不等式a²＋b²≥2ab（补全证明） 由赵爽弦图：大正方形面积＝＿＿＿，4个直角三角形面积和＝＿＿＿，前者≥后者，得a²＋b²≥2ab。 证明：a²＋b²－2ab＝（＿＿＿）²≥0，当且仅当＿＿＿时取0，故a²＋b²≥2ab。 探究五　不等式的性质及应用 类比等式性质，填写不等式性质（方向、前提要写全）： 性质1（对称）：a＞b ＿＿＿；　性质2（传递）：a＞b，b＞c ＿＿＿； 性质3（可加）：a＞b ＿＿＿；　性质4（可乘）：c＞0时＿＿＿，c＜0时＿＿＿； 性质5（同向可加）：a＞b，c＞d ＿＿＿；　性质6（同正可乘）：a＞b＞0，c＞d＞0 ＿＿＿。 例2　已知a＞b＞0，c＜0，求证 ＞。（写出过程） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 判断真假（说依据或举反例）：（1）若a＞b＞0，则ac²＞bc²（　　）理由：＿＿＿；（2）若a＞b＞0，则a²＞b²（　　）理由：＿＿＿。 ★拔高探究（优生班课上完成，普通班选做）　已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、当堂检测（限时8分钟） 1.（表示）用不等式组表示"a与b的和非负，且a不小于b"：＿＿＿＿＿＿＿＿ 2.（比较）比较（x＋3）（x＋7）与（x＋4）（x＋6）的大小。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.（判断）下列为真命题的是（　　）。A. a＞b ac²＞bc²；　B. a＞b＞0 a²＞b²。 4.（范围）已知－1＜a＜3，1＜b＜2，求a－b的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结（自我梳理） 1. 比较大小的通法是＿＿＿法，四步为＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿。 2. 不等式性质里最易错的是性质＿＿＿（乘＿＿＿数要变号）；性质6、7的前提是两边＿＿＿。 3. 用性质求取值范围，每个已知条件只能用＿＿＿次，且只做＿＿＿相加。 五、参考答案与解析 课前预习 1. 等式、不等式；≤、≥。　2. ＞、＝、＜。　3. 作差、变形、判号、结论。　4. ≥、a＝b。　5. ＞、＜；不变号、变号。　6. ＞0、＞。 课堂探究 探究一：（1）0＜v≤40（限速含40、速度为正）；（2）a＋b≥0；（3）a＋b＞c且a－b＜c。小结：先定比较的量；别忘量的隐含范围与端点。 探究二：差、0；a＞b、a＝b、a＜b。 探究三：例1　（x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4）＝（x²＋5x＋6）－（x²＋5x＋4）＝2＞0，所以（x＋2）（x＋3）＞（x＋1）（x＋4）。 　　　　练习　（x²＋y²＋1）－2（x＋y－1）＝x²－2x＋y²－2y＋3＝（x－1）²＋（y－1）²＋1≥1＞0，所以x²＋y²＋1＞2（x＋y－1）。 探究四：a²＋b²；2ab；（a－b）²；a＝b。 探究五性质：b＜a；a＞c；a＋c＞b＋c；ac＞bc、ac＜bc；a＋c＞b＋d；ac＞bd。 　　例2　因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0；于是a·＞b·，即＞，也就是＜；又c＜0，两边乘c变号，得＞。（注意：倒数关系方向相反，乘负数要变号） 　　判断：（1）假。c＝0时ac²＝bc²，成立。（2）真。由性质6，a·a＞b·b，即a²＞b²。 　　★拔高　由2＜a＜3得4＜2a＜6，与－2＜b＜－1同向相加，得2＜2a＋b＜5。（每个条件只用一次） 当堂检测 1. a＋b≥0且a≥b（写成不等式组，同时成立）。 2. 作差＝（x²＋10x＋21）－（x²＋10x＋24）＝－3＜0，所以（x＋3）（x＋7）＜（x＋4）（x＋6）。 3. B。A中c＝0时ac²＝bc²，假；B由性质6成立，真。 4. 由1＜b＜2得－2＜－b＜－1，与－1＜a＜3同向相加，得－3＜a－b＜2。 课堂小结 1. 作差；作差、变形、判号、结论。　2. 4、负；＞0。　3. 一；同向。 六、易错提醒 ① 关键词丢端点：不超过含端点用≤，"限速40"是0＜v≤40，别漏下界。 ② 作差不判号或不写结论：变形到因式积或完全平方为止，结论要写全。 ③ 乘除负数忘变号（性质4最高频错）；性质6、7丢"两边＞0"前提。 ④ 倒数关系记反：a＞b＞0 ＜（方向相反）。 ⑤ 求范围反复用同一条件、异向相加：每个条件只用一次，只做同向相加。 学科网（北京）股份有限公司 $