第2期：常用逻辑用语及第一章章综合-【数理报】2026-2027学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 数理橘 答案详解 2026~2027学年 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期(2026年7月) N}, 第1期2版参考答案 所以M∩N=1,3. 专项小练一 4.由题化简得集合B={x1x>a}, 1.ACD;2.D;3.A;4.{xlx=n,neN};5.2. 结合数轴可知，要使ASB,则只要a≤-1即可， 6.解：(1)不正确. 即实数a的取值范围是aIa≤-1}. 5.当x=0时，m=y,m可取0,1,2： 当x=1时，m=1+y,m可取1,2,3； 所以这个集合有3个元素。 当x=2时，m=2+y,m可取2,3,4. (2)不正确. 因此m的值可以为0,1,2,3,4， 方程(x-3)(x+1)2=0的解是x1=3,6=x3=-1, 即B={0,1,2,3,4},从而A≤B. 因此这个集合只有3，-1两个元素。 6.根据题意知a>-4,则CB={xl-4<x≤a. 专项小练二 又A={xlx<-3或x>1},A∩(C.B)中恰好含有2个 1.D2.C;3.CD;4.BA;5.2. 整数， 6.解：(1)由题知A={x1-2≤x≤5}， 所以A∩(CRB)={xl-4<x<-3或1<x≤a, 当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 所以3≤a<4. 所以A的非空真子集的个数为28-2=254个. 7.因为A∩B={-2},所以-2∈A, (2)由题知显然m-1<m+1,因为B≤A, 得(-2)2+2p-2=0,解得p=-1. 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， lm-1≥-2， 故A={x1x2+x-2=0}={-2,1}. 所以实数m的取值范围是{m「-1≤m≤4. 又因为AUB={-2,1,5},所以B={-2,5}. 专项小练三 1.A;2.A;3.AD;4.8;5.1. 代化6a lr=-10 6.解：(1)因为A={x|2≤x<7},B={xl3<x<10}, 综上可得p+9+r=-1-3-10=-14. 所以AUB={xI2≤x<10}, 8.由题可得x=√5,2，√2+n,√1+， CRA={x1x<2或x≥7}， 又集合A⊙B有3个元素， 则(CRA)∩B={xI7≤x<10. 当2=√2+n,即n=0时， (2)因为A={x12≤x<7},C={xlx<a},且A∩C A⊙B=5,√2,1}满足题意； ≠0，所以a>2, 所以a的取值范围是ala>2}. 当2=√个+n,即n=1,n=-1(舍去)时， A⊙B={3,2},不符合题意； 第1期3,4版参考答案 当5=个+n,即n=±2时， 集合同步核心素养测评 A⊙B={W5,√2,2}满足题意； 一、单项选择题 1 ~4 CCAD 5~8 DBCB 当5=√2+m,即n=1,n=-1(舍去)时， 提示： A⊙B={5,2},不符合题意 1.根据补集定义可得CB=0,2,6,10. 综上，ne{0,2,-2}, 2.由题意可知B二A, 故所构成集合的非空真子集的个数为23-2=6. 则AUB=A={x∈RIx≠3}. 二、多项选择题 3.因为M={x1-1≤x≤3}，N={x1x=2k-1,k∈ 9.AC;10.ABC;11.ABC. 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 提示： 合，整数集中去掉被3除余0和1的，剩余的只有余数为2的，即 9.因为M军P, R 集合Q 所以MUP=P,故(A)正确； 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 因为M季P,所以P∩M=M, =14种， 而M至N,故(B)错误； 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， 因为NP, 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， 所以CRP车CRN,故(C)正确； 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， MN,如图1所示， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 所以W∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误， 因为9<14， 故选(A)(C 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 10.Z={z1川z1≥2}={z1z≥2或z≤-2}， 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 因为X={xI-2<x<2}, 四、解答题 所以CRX={xIx≤-2或x≥2}，(B)正确； 15.解：(1)因为2∈B,BCA, CRY=yly>23, 则(CRX)U(CRY)=xlx≤-2或x≥2}，(A)正确； 所以P=+ax+a, l3=x2-5x+9, XnY={xl-2<x<2},CR(XnY)={xIx≥2或 rx=2, x≤-2}，(C)正确： x=3, XUY=fxlx≤2}，C.(XUY)={xlx>2,(D)错误 {a-2或 所以{ 故选(A)(B)(C). (2)因为B=C, 11.若A,B不具有包含关系，用Venn图分别表示集合A- 所以 x2+(a+1)x-3=3, B,A∩B,B-A,如图2， x+ax+a=1, 若A,B具有包含关系，不妨设AB, 解得-1或=3， la=-6la=-2. -B B-A 16.解：0={x1x是不大于9的正整数}=1,2,3,4,5,6， 图2 图3 7,8,9},且(CA)∩B={1,3},(CB)∩A={2,4,8},(CA) 则A-B=0,A∩B=A,B-A如图3所示. ∩(CB)=C(AUB)={6,9},作出Venm图，如图4. 对于(A),图2中，(A-B)∩(B-A)=0, 图3中，A-B=O,所以(A-B)∩(B-A)=⑦，故(A) B 2,4,85,7 1,3 正确； 对于(B),图2中，(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩ 6,9 B)成立， 图4 图3中，(A-B)U(B-A)=B-A,(AUB)-(A∩B) 所以A=2,4,5,7,8},B={1,3,5,7. =B-A, 17.解：(1)由题可得集合B中的元素个数为1， 所以(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩B)成立，故 所以4=4(a+1)2-4(a2-5)=0, (B)正确； 即8(a+3)=0,解得a=-3. 对于(C),若A=B,则A-B=⑦，故(C)正确： (2)因为AUB=A,所以B≤A=1,2. 对于(D),由图3可知，若A手B,则B-A≠⑦，故(D) 对集合B讨论： 错误 当A<0,即a<-3时，B=☑，满足条件： 故选(A)(B)(C). 当4=0，即a=-3时，B={2},满足条件： 三、填空题 当4>0时，要满足条件，必有B=1,2}, 13.Q(或xlx=3k-1,k∈Z}): 由一元二次方程根与系数的关系有 1+2=-2(a+1), 14.27. l1×2=a2-5, 提示： 12.因为A={x1x2+2ax-a<0},-1年A, 此方程组无解，不满足条件，舍去。 所以x=-1满足x2+2ax-a≥0， 综上，实数a的取值范围是{aIa≤-3}. 即1-2a-a≥0，解得a≤3 .1 18.解：(1)由题意知：CRA={xl-3≤x≤7}， 因为(CRA)UB=CRA,故BC(CRA). 13.集合M,P,Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集 ①当B=☑，即m+1>2m-1时， 2 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 满足BC(CRA),此时m<2; 专项小练二 ②当B≠☑时，若BC(CRA), 1.B;2.B;3.BD;4.{a1a>1};5.-1. rm+1≤2m-1, 6.解：(1)p:3m∈R,方程x2+x-m=0没有实根， 则m+1≥-3，解得2≤m≤4， 因为方程x2+x-m=0的判别式△=1+4m, 2m-1≤7， 综上，实数m的取值范围为m|m≤4. 所以当m<-子时，4=1+4m<0,方程没有实根， (2)因为(CRA)∩B={xIa≤x≤b},且b-a≥1， 即存在me mm<- 4 使得该方程没有实根， 故B≠☑，即m+1≤2m-1, 所以p为真命题. 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. (2)q:HxeR,使得x2+x+1>0. ①当2m-1≤7，即m≤4时， 因为4=1-4<0，所以x2+x+1>0恒成立， (CRA)∩B=B={xlm+1≤x≤2m-1}, 所以q为真命题。 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； ②当2m-1>7即4<m≤6时. 第2期3,4版参考答案 lm+1≤7， 集合与常用逻辑用语核心素养综合测评 (CRA)nB=x1m+1≤x≤7}， 一、单项选择题 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； 1~4 BCAC 5~8 ADBC ③当m+1>7,即m>6时，(C4)∩B=0,不合题意 提示： 综上，实数m的取值范围为{mI3≤m≤5}. 1.原命题即“3x>0,ax2-x-2=0”, 19解：()类合{生5,2}是复活集 其否定为“/x>0,ax2-x-2≠0”. 2.由集合知识得AUB=A台BCA, 理由如下 所以“AUB=A”是“BCA”的充要条件 因为1+5.125=-1+5+1-5=-1， 2 2 2 2 3.由题得U={x∈N11≤x≤6}={1,2,3,4,5,6}， 所以CuA=2,4,5,CuB={1,5,6, 所以集合{'5,5}是“复活集 故(CA)n(CB)=5}. (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+42=a1a2=t, 4.若x∈B,则x=4k=2(2)∈A,所以BCA, 因此a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不等 因为2∈A,且2B,所以A奕B. 正根， 5.由题意可知3x2≥a,1≤x≤3恒成立， 于是4=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 只需a≤(3x2)mim=3, 结合选项知a≤4台a≤3，但a≤3=a≤4， 所以a1a2的取值范围是{a1a2Ia1a2>4}. 故a≤3的一个必要不充分条件为a≤4. (3)不妨设A中元素a(i=1,2,3)满足a1<a2<a, 6.因为A={1,2,3,4},B={2,4}, 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a3, 又SCA,SnB≠☑， 因为a,∈N,则a1a2<3,a1aeN, 所以S=2},4},{1,2,2,3},1,4},3,4},{2,4, 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 1,2,3},1,2,4},2,3,4},{1,3,4},1,2,3,4}, 则2a3=3+a,解得a3=3, 所以满足条件的集合S的个数是12. 所以“复活集”A=1,2,3}. 7.由x2-x-6=0得x=-2或x=3, 第2期2版参考答案 所以A={-2,3}. 又A∩B=B,所以BCA 专项小练一 当a=0时，ax+6=0无解，B=☑，符合题意； 1.C;2.ABD;3.B;4.{m1m≤2}；5.③. 6.解：(1)因为命题p为真命题，P:关于x的方程x2-2ax+ 当a≠0时，由ax+6=0得x=-6, a a2+a-1=0有实数根， 依题意得-6=-2或-6=3. 则4=4a2-4(a2+a-1)≥0，解得a≤1， a a 故实数a的取值范围为a1a≤1}. 解得a=3或a=-2, (2)由(1)知p:a≤1,9：m-1≤a≤m+1. 对比四个选项知a的值不能为2. 若p是q的必要不充分条件，则m+1≤1，解得m≤0. 8.因为p(a,b)=0, 故m的取值范围为mlm≤0}. 所以√a2+b2-a-b=0,即a2+b2=a+b, 3 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 显然a+b≥0， 泡L亮时，开关K和K2也有可能都闭合，故电路中“开关K和 所以a2+62=a2+b2+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 13.因为3x∈B,x∈A为假命题， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以Hx∈B,x华A为真命题， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以A∩B=O且B≠O. 所以a2+2=(a+b)2, 所以2m<m+1或2m<m+1解得m≤-2， 即/a2+b=1a+b1=a+b, lm+1≤-1l2m≥4， 即实数m的取值范围为{mlm≤-2}. 所以p(a,b)=√a+2-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 14.若M中只有1个元素，则M={3}; 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， 若M中有2个元素，则M={1,5}或2,4}； 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 若M中有3个元素，则M=1,3,5}或{2,3,4}； 二、多项选择题 若M中有4个元素，则M=1,2,4,5； 9.ABD;10.AD;11.BCD. 若M中有5个元素，则M={1,2,3,4,5}. 提示： 所以满足题意的M共有7个. 9.对于(A),因为A二B,所以Hx∈A,都有x∈B,故(A) 四、解答题 正确； 15.解：(1)AUB=x4≤x<10. 对于(B),因为A不包含于B,所以了x∈A,使得xB,如 因为CRA={x1x<4或x≥8}， A={1,2,3},B=2,3,4},故(B)正确； 所以(CRA)∩B={xI8≤x<10}. 对于(C),当x=2+1时，x2=3+22是无理数，故(C) (2)要使得A∩C≠⑦，画出数轴如下图所示， 错误； C 对于(D),当x=2时，x=2万是无理数，故(D)正确. a 故选(A)(B)(D). 由图可知a<8. 10.U=AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 16.解：(1)由二次函数的性质得当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 又A∩(CB)=1,3,5,7},(CA)∩B=2,8,9,10, 因为p:]1≤x≤2，x2-a<0为真命题， 所以A∩B=0,4,6}. 所以a>1. 则A=0,1,3,4,5,6,7}, 故实数a的取值范围是ala>1}. AUB的子集个数为21=2048， (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. A∩B的子集有8个，非空真子集有6个， 因为命题q为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 故(A),(D)正确.故选(A)(D). 解得a≤0， 11.由224=4×56可得224∈[0]，故(A)错误： 所以当q为真命题时，a>0. 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确； 所以0<a≤1，即实数a的取值范围为al0<a≤1}. 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 17.解：(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0, 分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0, [3],故(C)正确； 所以x=m+1或x=2m-3. 若整数a,b属于同一“类”， 因为命题p为真命题， a 4n +k,n EZ,b 4n2 +h,n EZ, 则a-b=4(n1-n2)+0,所以a-be[0]: 所以~5<m+1<4 L-5<2m-3<4, 反之，不妨设a=4n1+k1,n1∈Z,b=4m2+k2,n2∈Z, 得-1<m<3. 则a-b=4(n1-n2)+(k1-k2), 所以A=m1-1<m<3}. 若a-b∈[0]，则1-k2=0,即k1=k2, (2)由(1)得集合A={mI-1<m<3},集合B=m1 所以整数a,b属于同一“类”， 1-a<m<1+a}, 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈[0]，即 由题得B是A的真子集， (D)正确.故选(B)(C)(D). 当B=☑时，1-a≥1+a,解得a≤0，满足题意； 三、填空题 r1 -a<I+a,1-a<1+a, 12.充分不必要；13.{m1m≤-2；14.7. 当B≠0时，{1-a>-1,或{1-a≥-1， 提示： l1+a≤3 1+a<3, 12.当开关K和K2有且只有一个闭合时，灯泡L亮，当灯 解得0<a<2. 4 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 综上，存在实数a∈{aIa<2满足条件. 综上：xy∈A. 18.解：(1)若A是空集，则ax2-2x+1=0无实数解. 故若x,y∈A,则必有xy∈A. 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，不符合题意， 第3期2版参考答案 所以a≠0,4=4-4a<0,解得a>1, 专项小练一 即实数a的取值范围为a1a>1}. 1.D;2.A;3.ACD;4.>; (2)若集合A中只有一个元素， 5.80+20(n-1)≥300， 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，符合题意： 6.证明：(a+b)2=a+b+2√ab, 当a≠0时，4=4-4a=0,解得a=1,符合题意。 (c+a)2=c+d+2ca, 所以a的值为0或1. 由ab=cd,a+b>c+d, (3)当B=xIx>0}时，若A∩B为非空集合， 得(a+6)2>(c+a)2, 则A={x1ax2-2x+1=0,a∈R}至少与集合B有一 所以a+b>√c+a. 个公共元素，即ax2-2x+1=0至少有一个正根. 专项小练二 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，所以AnB= 1.A;2.D;3.BD;4.3;5.16. 6.解：由x>0, {分}，符合题意： 当a≠0时，由A=4-4a=0,解得a=1,此时，A={x1 则3 x2-2x+1=0}={1},A∩B={1},符合题意； 由(1)得当a>1时，A为空集，不符合题意； ≤ 3 =2+5, 25-3 若0<a<1,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根 2x3 -3 之和己>0，两根之积。>0，即两根都为正根，符合题意； 当且仅当x=√3时，等号成立， 若a<0,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根之和 所以a≥ 3x x2-3x+3m =2+5, 2<0,两根之积<0，即两根为一正根一负根，符合题意 a 故a的取值范围为ala≥2+√3}. 综上，实数a的取值范围为aIa≤1}. 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”. 第3期3,4版参考答案 理由如下： 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2年B, 一、单项选择题 所以集合B不是“好集”. 1 ~4 BCAD 5 ~8 CDAD 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 提示： 且x≠0时，士eQ 1.基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x 2y≠0，所以x-2y>0,即x>2y 所以有理数集Q是“好集”. (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 2++y+2日 】+2λ/y·=2+2=4, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. (3)解：命题为真命题.理由如下： 当且仅当x=且y=,即x=1且y=1时等号成立 若x,y中有0,1时，显然有xy∈A, ra-B<0, 下设y巾不存在0,1，由定义得x-1,eA, 3.因为-1<a<B<1,所以-1<-B<1, -1<a<1, 所以寸4则e-1)e4 所以-2<a-B<0, 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2eA. 即α-B的取值范围为x1-2<x<0. 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2∈A; 4.因为0<a<1,0<b<1,且a≠b, 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 所以a2+2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>62, 可得2xy=(x+y)2-x2-y2eA, 所以a+b>a2+b2,故选(D). 所以站e4曲2)得时高+ 手=2+2∈A,所以y∈A 5设升级前的“屏占比为会（口>6>0，升级后保古 -5 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 比”为5+m(m>0).因为5+m-点=a-b)m>0,所以 故选(A)(C). a +m a +m aa(a+m) 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 升级后新手机“屏占比”和升级前相比变大. 6.m -m 2mn 2 是是 5m+nm+3n=m㎡+4mm+3nm+3边+4 ≤ 根据题意可知T=文+ s(y+),= 2V V n m 2 易知满足2（化+）=5则%=2 2S 25+ 4=2-5,当且仅当m=尽n时取等号，此时m m +n 由V1>0,V2>0可得， m中3n的最大值为2-万 1: 2Y√/V =T2, 7.由c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0得c≥b. 由b+c=6-4a+3a2, ① =S=12, V+%≤2元元 c-b=4-4a+a2, ② 即可得T≥T2≥T,即(A)正确，(B)错误； ①-②得2b=2+2a2,即b=1+a2, 所以6-a=1+2-a=(a-）广+子>0， 易知了3= S(Vi+V)2S S2 2V V …+= 所以b>a =T,即(C)正确； 综上，c≥b>a. 1 8+9=+9)(+）=13++≥ 时+方 4V,+(y+V2)2 13+ 2y.4红=25，当且仅当=4红 2S(V+2)1 y 即=弓y=子时，等号成立 S 故选(A)(C) 又不等式4x+9y-t≥0恒成立，只需(4x+9y)mim≥t, 三、填空题 因此t≤25，故实数t的最大值为25. 二、多项选择题 12.3； 1a{号2≤号≤2}：41+ 9.ABC;10.AC;11.AC. 提示： 提示： 12.因为x>0,y>0, 9.对(A),因为6>a>1,所以 公<日<1，(A)正确： a 所以1=专+≥2√·子=√骨， /xy 对.因为c<4<-1,所以>日>-1()正确： 所以可≤3，当且仅当号=子，即=子了=2时取等号， 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 因此xy有最大值3. 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， a+d=b+c=0,(D)错误. 故选(A)(B)(C). 1≤（≤4，所以专≤≤ 10.由题意可得-3≤3a≤12，即-1≤a≤4，(A)正确； 由-5≤a-b≤4可得-8≤2b-2a≤10， 所以2≤女 s27. 又2≤2a+b≤8， 14.易知△BDE∽△ACB,△GFH∽△ACB, 所以-6≤3b≤18，即-2≤b≤6，(B)错误； 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 2a-5b x(a-b)y(2a+b), 所以BD=b-&=4Gr。a l2 AC b=a+b+e'Ac=b=a+b+e = 则+2y=2,解得=4， l-x+y=-5,y=-1, 所以，=6.2x(a+6+e)6=号x(a+6+e, 因为-20≤4(a-b)≤16，-8≤-(2a+b)≤-2，所 以-28≤2a-5b≤14，(C)正确； 所以+上-a+6+c=1+区+E a+b a b a b 由(A),(B)选项知-1≤a≤4，-2≤b≤6， a2+6 若ab的最大值为24，则a=4,b=6, =1+√a+6+2ab =1+ 2ab 1+ 此时2a+b=14>8,(D)错误. a2+62 6 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期 又因为d2+B≥2ab,所以2ab a2+棕s1, 因为90(++720≥90×2 /16 ·x+7200= 当且仅当a=b时取等号， 14400 所以收+6 1+V=1+， 1 当且仅当 =x,即x=4时等号成立， 所以最小值为1+号 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低， 为14400元. 四、解答题 15.解：(px+qy)2-(px2+qy2) (②根据题意可知90（华+）+72m>01+旦 =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2p9xy, 对任意的2≤x≤6恒成立， 因为p+9=1,所以p-1=-9,9-1=-p, 即x+4)2>1+对任意的2≤x≤6恒成立， 所以(px+qy)2-(px2+q2)=-p9(x2+y2-2xy) =-p9(x-y)2 所以a<+4对任意的2≤x≤6恒成立， 1+x 因为P,9都为正数，所以-p9(x-y)2≤0， 因为a>0,x+42.+)2+6x+)+9=(x+ 因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 1+x 1+x 16.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2√ab,当 》++6≥2V+10+6=12. 9 且仅当a=b=2时取等号，即有ab≥4， 于是得+日)(1+古）=1+女+古+品=1+ 当且仅当+1=即=2时等号成立， 所以0<a<12, a+b+ ab ab =2+6≤2+= 1-9 故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙 工程队都能竞标成功. 所以(1+)(1+古）≤子成立 19.(1)解：由x2-1比1远离0， 17.解：(1)由a+b=2可得a+(b+1)=3, 则1x2-1-0「>11-01， 则a+≤(+)=(2广-子 解得x<-√2或x>2, 所以x的取值范围是{xIx<-2或x>√2. 当且仅当a=6+1,即a=弓，6=号时等号成立， (2)证明：若证a3+b比a2b+ab2远离2ab√ad, 所以a(6+1》的最大值是号 即证la3+b3-2ab√ad1>la2b+ab2-2ab√ab1, 因为a≠b,a>0,b>0, (2)因为a>0,b>0, 则a3+b>2√a6=2ab√ab, 所以a+1>0,b+1>0. 且a2b+ab2>2√a6=2ab√ab, 又a+6=2.所以a+1+6+1=4,所以士+16 4 所以即证a3+b3-2abab>a2b+ab2-2ab√ab, 4(+a+46)a+D+6+1=5+ 即证a3+b3>a2b+ab2, 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0, 4g+P]=5+28P]=子，当且仅当 所以a3+b3>a2b+ab2, 即1a3+b3-2ab√ab1>1a2b+ab2-2ab√ab1, 名号g即a宁6号时等号成立 即a3+b比a2b+ab2远离2ab√ab 所以十。+16的最小值为号 第4期2版参考答案 18.解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x 专项小练 ≤6)，底面积为12平方米， 1.A;2.C;3.B;4.C;5.B;6.ABD;7.B; 所以屋子前面的墙的长度为2米， 8.C;9.{b1-6≤b≤6}. 10.解：(1)由题可知x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2= 设甲工程队报价为y元， 0的两个解，且a>0, 则y=3×2×400+2×3x×150+7200=900 16 3 「1+b= 所以{ g解得0=1 x+7200,2≤x≤6， 2 1b=2. 1×b= 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, 综上可得d>b>a>c. 即(x-m)(x-2)<0, 6.因为不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R, 当m>2时，不等式的解集为{x12<x<m}; 所以当a-2=0,即a=2时，不等式为3>0恒成立，故 当m=2时，不等式的解集为☑； a=2符合题意； 当m<2时，不等式的解集为xlm<x<2}, 当a-2≠0，即a≠2时，不等式(a-2)x2+4(a-2)x+ 1解：()当a+子>0时a>-多 3>0的解集为R, 不等式fx)>0,即(x-a)(2x+3)>0, 则-2>0， 解得<-号或>。 4=[4(a-2)]2-4(a-2)×3<0, 解得2<a<升 所以不等式)>0的解集为{<-子或x>} 综上，实数a的取值范围 {2≤a<} (2)由题知2x2+(3-2a)x-3a+8=0在x<1上有两 个不相等实根， 7.由x+2y=3得(x+2)+(2y+1)=6, 令g(x)=2x2+(3-2a)x-3a+8, 又x>0,y>0,所以x+2>2,2y+1>1, 4>0, 4=4a2+12a-55>0, 即2+(3-2a)-3a+8>0, 所u2*6(*)加+2+a 则8(1)>0， 3-2a<1, 】++ + ）≥6(2+ 4 3-20<1, 4 以或 5 13 2y+1.x+2 解得a<- <a< 5 2+22+1) =子（当且仅当x=y=1时取等号）， 所以实数a的取值范围为aa<- 或 <a< 2 所以由1≤女+，中恒成立可得1≤号 13 8.解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.解方程2x2 5 +(24+7)+7张=0，得与=-子4=-k①当>子，即 第4期3,4版参考答案 -k<-2时，不等式2x+(2k+7)x+7k<0的解集为-6 7 一元二次函数、方程和不等式核心素养综合测评 一、单项选择题 <x<-子此时不等式组2-8>0， 的解集 1~4 ACBA 5 ~8 ABDB 2x2+(2k+7)x+7k<0 提示： 为{x-k<x<-子} 71 依题意-5≤-k<-4,即4<k≤ 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 2由≠0.可得#>0，则+号=22于 =2, 5:②当k<子即-6>-子时，不等式2+(2+7)x+76 7 x2 7 当组仅当=即=1时，等号成立， <0的解集为-之<x<-k,要使不等式组 改+子的银小值为2 「x2-2x-8>0, 的解集中只有一个整数，则需满足 2x2+(2k+7)x+7k<0 3.因为-1<a<0, -3<-k≤5，即-5≤k<3.所以k的取值范围是{1-5≤ 所以1+a>0,0<-a<1, k<3或4<k≤5}. 所以-a-a2=-a(1+a）>0, 二、多项选择题 a2-(-a3)=a2(1+a)>0, 9.AC:10.AC:11.BD. 所以-a>a2>-a3. 提示： 4.由题意知A={xl-1<x<3},B={x1-3<x<2}, 2<a<5,所以4<a+2b<1,(A)正确： 所以A∩B={xI-1<x<2}, 9.对于(A)2<h<6, 由根与系数的关系可知a=-1,b=-2, [2<a<5,所以-1<a-b<4,(B)不 所以a+b=-3. 对于(B)-3<-6<-1, 5.因为a+b=c+d,a+d>b+c, 正确； 所以2a>2c,即a>c,因此b<d. 对于(C), 因为a+c<b,所以a<b. <a<5:所以2<ab<15,(C)正确： 1<b<3, 一8 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 r2<a<5, 对于(D), -1+n=-m解得m=-2,n=3, 则 1 1 以号<号<5，(D)不正确 <6<1, -1·n=-3. .3 所以m·n=-6. 故选(A)(C) 13.因为正数x,y满足x+4y-xy=0, 10.因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集 为{xx<-2或x>3}, 所以x+4y=y,即+4=1， y 所以a<0,且方程ax2-bx+c=0有两个实根-2和3， 则+y=(+(+）=5++女5+ 则片=1，后=-6，即6=a,c60, a x 4y =5+4=9, 所以a+5b+c=a+5a-6a=0,故(A)正确： 2入y c=-6a>0,故(B)错误； 当且仅当：=4，即x=6,y=3时取等号， 由bx2-ax+c>0得ax2-ax-6a>0,即x2-x-6< 0,解得-2<x<3,即bx2-ax+c>0的解集是{x1-2<x 故x+y的最小值为9，则3的最大值为写 x+y <3},故(C)正确： 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 由cx2+ax-b<0得-6ax2+ax-a<0,即6x2-x+1 <0,不等式无解，故(D)错误. 明写片-2复4路=1解得。=16=3. 故选(A)(C). 所以T(2m,5-4m）=2mt3×5:4m≤4， 11.对于(A)f2,4)=2×(1+4)=10, 4m+5-4m f(4,2)=4×(1+2)=12, 解得m≥-之， 即f2,4)<f(4,2),故(A)错误； m,3-2m)=m+3×(3,2m>P,解得m<9-3P 对于(B)(）=1+)=+x≥2， 2m+3-2m 5 因为不等式组恰有3个整数解， 当且仅当号=x,即x1时，等号成立，故(B)正确： 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<-子 对于(C),f代x-a,2x）=(x-a)(1+2x）=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， 则实数P的取值范围是 -2≤P<-} 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 四、解答题 则4=(1-2a)2-16≤0， 15.证明：(1)由a>b>1,则a-1>0,b-1>0, 解得-子≤a≤名放(0)错误： 故(a-1)(b-1)>0, 由d<c<-2,则c+2<0,d+2<0, 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ 故(c+2)(d+2)>0, 0成立， 所以(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0,得证. 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, (2)由ac+bd-bc-ad=c(a-b)+d(b-a）=(c-d)(a r2a-1<2, -b), 则①4 而a-b>0,c-d>0, l2×22+(1-2a)×2+2≤0， 所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0, 或② r2a-1≥2， 4 即ac+bd>bc+ad,得证. 4=(1-2a)2-16≥0， 16.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 号，由②解得a≥号 则100-x万元投入B产品，则 由①解得3≤a< y=为+为=18-180+100-2 综上，得a的取值范围是aIa≥3}，故(D)正确。 x+10 5 故选(B)(D). =38-180 0-专，0<x<10 三、填空题 12.-6；13.3； 14 -2≤p<-} 2由0)得，5=8一。言：0- 180 x+10 x+10 提示： 5 ）≤40-20x-28 12.由不等式x2+mx-3<0的解集为xl-1<x<n}, 得-1，n是方程x2+mx-3=0的两根， 当且仅当，9。=号0，即x=20时等号成立 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 所以当x=20时，公司利润最大. 即5x 5bx 5bcx 17.解：(1)y≤4-2a,即x2-(a+2)x+2a≤0， 却6+1+bc+bc+6+1+1+6c+6=1 即(x-a)(x-2)≤0， 所以e严=1，即5x=1,解得x=号 1 +6+bc 因为不等式的解集恰好为{xI2≤x≤5}，所以a=5. 训=。+中=6+1中6器0 1 b 1262+2b+1 (2)由题意得对任意的1≤x≤4，x2-(a+2)x+5+a≥ 0恒成立，即a(x-1)≤x2-2x+5恒成立. b 当x=1时，0≤4恒成立，此时a∈R; 118 6+3 当1<≤4时a≤25-1+超成立， x-1 因为26+6≥2√26·石=22，当且仅当26=方， 因为0<-1≤3，所以1卡≥ 即6。 奇4，当且很当-1号即=3时 2√(x-1)·4 a=大=万时，等号成立， 等号成立，所以a≤4. 所以2b+。有最小值2万， 综上，实数a的取值范围为aIa≤4}. 此时—1 有最大值3-22， 18.解：(1)假设条件①②符合题意 26+ 6+3 因为a=-1,二次函数的图象开口向下， 从而1-1 —有最小值22-2， 所以y<0的解集不可能为x-1<x<3},不满足题意； 2+5+3 假设条件②③符合题意. 由a=-1知二次函数的图象开口向下，y无最小值，不满 1 1 即M=+。++2%有最小值25-2 足题意； 所以满足题意的条件为①③. 第5期2版参考答案 因为不等式y<0的解集为x1-1<x<3}, 专项小练一 所以-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根， 1.C;2.C;3.AC;4.[2,4];5.9. 所以-1+3=2=-合，-1×3= 6.解：(1)因为f)= x+2, 即b=-2a,c=-3a. 11 所以函数y=a成+加+e在x=一名=1处取得最小值， 所以f(2)=2+2=4 因为h(x)=x2+1, 所以a+b+c=-4a=-4,即a=1, 所以h(1)=12+1=2. 所以b=-2,c=-3. (2(2)]=2+1)=f5)=5+2=7 1 1 (2)由(1)知y=x2-2x-3, 则y≥(m-2)x+2m2-3即x2-mx-2m2≥0， 即(x+m)(x-2m)≥0. (3)因为=+2的院义坡为1≠-2，所以y0, 所以当m<0时，不等式的解集为xlx≤2m或x≥-m}; 所以函数fx)的值域为(-∞，0)U(0,+∞). 当m=0时，不等式的解集为R; 因为h(x)=x2+1的定义域是R,由二次函数图象（图略） 当m>0时，不等式的解集为{xlx≥2m或x≤-m}. 知最小值为1， 综上，当m<0时，不等式的解集为{xlx≤2m或x≥-m}; 所以函数h(x)的值域为[1，+∞). 当m=0时，不等式的解集为R; 专项小练二 当m>0时，不等式的解集为xlx≥2m或x≤-m. 1.C;2.D;3.ABC;4.2;5.-2. 1 1。ab ab 6.解：设f代x)=ax2+bx+c(a≠0). 19解：)1+a+1+6=b+0+ab+F 因为f(0)=1,所以c=1. a =a+b+a+b=1 又因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(aa2+bx+1)=2x, (2)因为abc=1, 整理得2ax+（a+b)=2x. 5ax 5bx 所以原方程可化为ab+a+ac+c+6+i+ 所以2a=2,解得a=1, 5bex la+b=0,lb=-1, 6(ca+c+1)=1, 所以f(x)=x2-x+1. -10 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 所以f0)+f代4)+f6)=0. 第5期3,4版参考答案 二、多项选择题 函数的概念及其表示同步核心素养测评 9.ABD:10.ABC:11.BCD. 一、单项选择题 提示： 1~4 CDBD 5~8 CADA 9.对于每个时间t,都有唯一的h,d与之对应，所以(A), 提示： (B)正确； 1.由fx)=√2x-1,则2x-1≥0，解得x≥2 对于每个d,根据对称性，有两个h与之对应，所以(C)错误； 对于每个h,有唯一的d与之对应，所以(D)正确。 所以函数)的定义城为[分，+0)】 故选(A)(B)(D)· 2.f2)=f0)=02+2=2. 10令1=士≠0，则x= 3.选项(A),(C),(D)的函数图象中存在x,对应多个不 同的函数值，故不可以表示函数，故(B)正确. 2+12+ 4.由题意得a>0,△=4-4a=0, 故f(t)= 所以a=1,所以fx)=x2+2x+1, 所以f(3)=9+6+1=16. 5.令t=x2-1,则t≥-1，且x2=t+1, 即f)=1+十红0且x≠-1).(D)错误： 代入原式得ft)=(t+1)2-1=2+2t(t≥-1)， 0=1++>2,即-÷>0， 故f(x)的解析式为f(x)=x2+2x(x≥-1). 故x(x+1)<0,得-1<x<0,(A)正确： 6.对于(A),两个函数的定义域相同fx)=F=x, g(x)=√=1x1,两者的函数解析式不相同，故两者不是同 由)=1+十x0且-0， 一函数； 得值域为{yIy≠1且y≠2}，(B)正确； 对于(B)f(x)=x2-2,g(t)=t-2,两个函数的定义域 2)=1+2手，（©）正确 1 和对应法则相同，故得到两个函数是同一函数： 故选(A)(B)(C). 对于(C),两个函数的定义域相同为{xIx≠0}，且f(x) 11.依题意，当0≤x≤3时，令y1=a1x+b1, =°=1，g(x)=二=1对应法则相同，故得到两个函数是同 b1=3, 则 解得a1=-1,b1=3,则y1=-x+3; 一函数； 3a1+b1=0, 对于(D),两个函数定义域相同f代x)= x-1,x之1对 l-x+1,x<1, 当3≤x≤4时，令为=5+，则a+6,=3, 3a2+b2=0, 应法则相同，故两个函数是同一函数. 解得a2=3,b2=-9,则y2=3x-9, 7.由a[f(a)-f-a)]>0可知， 若a>0,则fa)-f-a)>0, 因此f(x)= ∫-x+3,0≤x≤3， 3x-9,3<x≤4. 即a+1-[-2×(-a)-1]>0, 对于(A),ff4))=f3)=0,(A)不正确： 解得a<2,所以0<a<2, 对于(B),函数f代x)在[1,3]上随着x的增大而减小，在 若a<0,则fa)-f-a)<0, 即-2a-1-(-+1)<0, [9 上随着x的增大而增大， 解得a>-2,所以-2<a<0, 综上，实数a的取值范围为(-2,0)U(0,2). 而1)=2(9）=1，因此函数)在区间1.碧] 8.令x=y=0,则原式变为f0)+f(0)=f(0)f(0), 上的最大值为2，(B)正确； 即2f0)=f2(0),所以f0)=0或f0)=2, 对于(C),因为当0≤x≤3时，x-3+21x-31=-x+ 当f0)=0时，令y=0得到f(x)+f(x)=fx)f0), 3,当3<x≤4时，x-3+21x-31=3x-9, 所以f(x)=0,不满足题意舍去，所以f(0)=2, 所以f(x)=x-3+21x-31(0≤x≤4)，(C)正确； 令x=y=2,可得f4)+f0)=f2)f2)=0, 所以f4)=-f0)=-2, 对于(D),因为（含）=子（子）=子，观察图象知， 令x=4,y=2,可得f6)+f2)=f(4)f2)=0, 所以f6)=-f2)=0, 当a= 时，不等式)≤a的解集为[受，子]，(D)正确 -11 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期 故选(B)(C)(D). 三、填空题 所以)+）-经导=2. 12.14;13.{1,2};14.（-∞，1]，[0,2). 其中x≠-1且x≠0. 提示： 2 (2)解：由题得1)=中=1 12.在f2x-1)=4x+6中，令2x-1=3,解得x=2, 所以f(3)=2×4+6=14. 所以f225)+2024)+…+2)+)+(2）+ 13.当x=1时，g(f1)=g(2)=2=1+1, 所以x=1是方程的解； +(30）=25)+(20）++2+f(合） 当x=2时，g(f(2)=g(1)=3=2+1, +f1)=2024×2+1=4049. 所以x=2是方程的解； 18.解：(1)由题可知C(8,0),则-8+b=0,即b=8, 当x=3时，g(f3)=g(3)=1≠3+1， 所以y=-x+8,所以B(4,4), 所以x=3不是方程的解， 由图象知，fx)=k的图象经过点B(4,4), 所以方程的解组成的集合为{1,2}. 则4=k·√4，解得k=2. 14.当x≥0时f(x)=-x2 (2)由(1)得，fx)=2E,y=-x+8, +2x=-(x-1)2+1e(-0, 设E(x,2E),则D(x,0),F(8-2E,2E),0<x<4, 1小，当x<0时fx)= 2t+1e -2a0t 所以1CD1=8-x,1DE1=2E,1EF1=8-2E-x, (-∞，1)，所以f(x)的值域为 1FCI=22·E, (-∞，1] 图1 设直角梯形CDEF的周长为L, 不妨设a<b<c,作出函数y=f八x)的图象，如图1所示， 所以l=ICDI+lDEI+lEFI+FC1=16-2x+22·R, 由图象知a∈[-2,0)，b+c=2, 令E=t,0<t<2, 所以a+b+c=a+2∈[0,2). 所以1=16-2x+22·=-22+22t+16 四、解答题 15解：()要使函数有意义，需使-3x-4≥0， =-2-2)°+n, 1x+11-2≠0， 解得x≤-1或x≥4且x≠-3. 所以当：=号，即：=号时，周长1有最大值最大值为n 故函数的定义域为(-∞，-3)U(-3,-1]U[4,+∞)： 所以图书馆平面图CDEF周长的最大值为17， (2)因为y=f(x)的定义域为[-2,3]，要使函数y= 19.解：若x≤-1，则x-3<0,x+1≤0， 孔3x-7)有意义， 所以f(x)=-(x-3)+(x+1)=4; x-2 若-1<x≤3，则x-3≤0，x+1>0, 需使~2≤3x-7≤3， 5 解得 3 所以f(x)=-(x-3)-(x+1)=-2x+2; x-2≠0， x≠2， 若x>3,则x-3>0,x+1>0, 所以f(x)=(x-3)-(x+1)=-4. 故函数-3x7的定义坟为[号2)U(2,号] x-2 4, x≤-1， 16.解：(1)由题意得当x<0时，g(x)=-x>0, 所以f(x)= -2x+2,-1<x≤3， 所以g()=代-)=主=-士 -4,x>3. (1)当-1<x≤3时，-4≤-2x+2<4, 即当x<0时，函数()的解折式为g()=子 所以f(x)的值域为[-4,4)U{4}U{-4,即[-4,4]. (2)由题意得当x≤0时，f(x)=x≤0， (2))>0,即≤1或1<≤3或>3， 4>0 -2x+2>01-4>0, 所以g(f(x)）=g(x)=-x, 解得x≤-1或-1<x<1, 即当x≤0时，函数g(f代x))的解析式为g(f(x)=-x 所以f(x)>0的解集为(-∞，1). 17.(1)证明：因为f(x)=+x 2 (3)f(x)的图象如图2所示， 由图可知，若直线y=a与f代x)的图 -4-20 -2 象无交点，则a的取值范围为(-∞，-4) 4 U(4,+0). 图2 1217.(15分)已知命题p:关于x的方程x2-(3m-2)x+2m2 18.(17分)已知集合A={x1ax2-2x+1=0,a∈R} 19.(17分)若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①0 m-3=0的两根均属于集合x1-5<x<4}. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； ∈A,1eA:②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时，eA (1)若命题p为真命题，求实数m的取值集合A; (2)若集合A中只有一个元素，求实数a的值 (2)设B={ml1-a<m<1+a,是否存在实数a,使得“m (3)当B={x|x>0}时，若A∩B为非空集合，求实数a的取 (1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是否是“好集”， ∈A”是“m∈B”的必要不充分条件？若存在，求出实数α的取值范 值范围. 并说明理由； 围；若不存在，说明理由. (2)设集合A是“好集”，求证：若x,y∈A,则x+y∈A; (3)对任意的一个“好集”A,判断下面命题的真假，并说明理 由；命题：若x,y∈A,则必有xy∈A. 高中数学·必修第一册（人教A版）核心素养综合测评 高中数学·必修第一册（人教A版）棱心素养综合测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 数理极 2026年7月10日·星期五 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 2期总第1198期 人教A 0351-5271248 必修（第一册） 丢番图的墓志铭 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-201 数学家丢番图的生 变式题库 样的 「a≥ 4 平事迹现已无据可考 变式一：已知p:|x-2|≤1,9：x2-2x-3 3 仅在其墓志铭上可略知 二其墓碑十分特殊 子集关系统要条件 解得 所以a≥ ≤0，则p是g的 条件 解：由题设条件得P:1≤x≤3,9：-1≤x a≥2 ≤3， 点评：当所给条件中的二次不等式无法进 ⊙福建杨苍洲 所以P是Q的真子集， 行因式分解时，可先把“P是q的充分条件”转化 铭文是一首诗谜： 有关充要条件的判定题是高考的必考题， 为“P二Q”,然后利用二次函数的图象得到不等 过路的人！ 所以P是q的充分不必要条件 此类型题目考查的一种基本形式是：把两个命 式，进而求解参数范围， 点评：当条件所给的式子不是最简式时，需 这儿埋藏着丢番图 题用不等式的形式进行表示，并判断其充要性. 变式四：已知p:l≤x≤3,9：x2-ax-3a< 要将其进行等价转化，然后再判断。 请计算一下下面的 0,且p是g的必要条件，则a的取值范围是 在判定充要条件时，很多同学感到困难，经常产 变式二：已知p:|x-21≤1，g:x2+（a- 月， 生混淆，在容易题上反而失分.本文给同学们个3)x-3a≤0(a>-3),且p是q的充分条件，则 解：因为p是g的必要条件，所以QCP 便可知道他多少岁 绍一种简单的判定方法：用子集的关系来判定 a的取值范围是 设f(x)=x2-ax-3a, 充要条件，帮助同学们辨清充要条件。 解：由题知p:1≤x≤3，g:-a≤x≤3， 时寿终正寝 因为p:1≤x≤3,9：x2-ax-3a<0,所以 设p的结果可用集合P表示，q的结果可用 因为p是q的充分条件， (1)若Q=☑，则△=a2+12a≤0 他的一生的六分之 集合Q表示，则 所以PcQ,所以-a≤1， 解得-12≤a≤0： 是幸福的童年， (1)若PCQ,则p→9，即p是q的充分条件； 即a≥-1. (2)若Q≠0， 十二分之一是无忧 (2)若P2Q,则p=q,即p是q的必要条件； 点评：当所给条件中的二次不等式含有参 f4=a2+12a>0. (3)若PQ,则P是q的充分不必要条件；数时，依然应该优先考虑因式分解，用参数表示 无虑的少年， (4)若P异Q,则p是g的必要不充分条件.出不等式解集的范围，再把“p是q的充分条件” 则1≤号≤3， 解得ae☑ 再过去七分之一的 (以下例题中的P均表示p的结果，Q均表示q转化为“PCQ”,进行求解. f(1)≥0， f(3)≥0. 年程」 的结果) 变式三：已知p:lx-21≤1,9：x2-ax-3a 综上，a的取值范围是-12≤a≤0. 他建立了幸福的家 例题：已知p:1≤x≤3，g:-1≤x≤3，则 ≤0，且p是q的充分条件，则a的取值范围是 点评：解题时要注意审题，准确地将充要条 p是q的 条件 件转化为对应的子集关系是成功解题的关键. 解：由题易知P是Q的真子集， 解：因为p是q的充分条件，所以PCQ. 五年后儿子出生 编后语：从集合的角度来认识充要条件，用 所以P是9的充分不必要条件 设f(x)=x2-ax-3a, 子集的关系来判定充要条件，可以让我们更容 不料儿子只活到父亲 点评：解题时，需分清P是Q的子集还是真 因为p:1≤x≤3，q:x- ax-3a≤0， 易地掌握充要条件的判定方法，相信同学们掌 半的年龄， 子集，它们所对应的结论分别是“p是g的充分 所以由二次函数图象可知1)≤0， 握了上面的判定技巧，再对付充要条件时一定 竟先其父四年而终 条件”和“D是g的充分不必要条件”，两者是不 f(3)≤0 可以手到擒来 晚年丧子老人真可 新题速： 成立； (3)从一个相等，另一个不相等考虑：均不 (2)当k≠0时，则应为k<0, 满足.综上可知，答案是①和⑤；或⑥和⑤；或 悲痛之中度过了 烛残年！ 新题连连看 L4=4-4h·6k<0,②和③：或④和③：或②和④ 解得k<-6 四、综合型 6 例4为了激发同学们的兴趣，老师在上课 请您算一算， 综上可知，甲的条件中应删除的一部分是k时在黑板上写出了三个集合：A={x|x(口x 江西王静 丢番图活了多大年 √6 > 一、跨学科型 6 1)<0,B=x1x2-3x-4≤0，C={x0 龄？ 例1《三国演义》第49回：“欲破曹公，宜用 三、开放型 这首墓志铭被数学 火攻；万事俱备，只欠东风”，比喻一切都准备好 <<分}，然后叫甲，乙，丙三位同学到讲台 例3设关于实数x,y有下列关系式：①x+y 家麦特劳德尔收入数学 了，只差最后一个重要的条件你认为“东风”是=0；②x2+y2>0:③xy>0;④xy≠0：⑤x2+ 上，并将“口”告诉了他们，要求他们各用一句话 问题中.他收集了希腊数 “赤壁之战东吴打败曹操”的 y2=0;⑥xy=0.试写出： 、是 来描述，以便同学们能确定该数.以下是甲、乙 (A)充分不必要条件 的必要不充分条件.（只需填出一个即可） 丙三位同学的描述.甲：此数为小于6的正整数； 学家的许多名题，并以 (B)必要不充分条件 分析：从6个关系式中选择两个构成一个命 乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：A是C成 诗歌的形式写成，其手 (C)充要条件 题，使“若p,则q”为假命题，“若q,则p”为真命 立的必要不充分条件.若老师评说这三位同学 抄本当时曾广为流传 (D)既不充分也不必要条件 题即可. 说的都对，试求“口”中的数 影响颇大 解：“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的 解：可从三个方面考虑： 分析：先化简三个集合，再利用三位同学的 必要条件，但不是充分条件.故选(B) (1)从相等关系考虑：x+y=0不能推出x2 叙述，得到不等式组，从而求出口： 设丢番图活了x岁 二、探索型 +y2=0,而x2+y2=0x+y=0,故x+y= 解：由甲的描述，知0<口<6，且口∈Z,① 据题意得 三个集合可化简为： 例2条件甲“k<- 6或k6 ”;条件乙 0是x2+y=0的必要不充分条件.可分别填① 和⑤. 石+7+号+5+交+4x A={x0<x<马 }，B=x-1ss x2-2x+6k<0对x∈R恒成立”，则要使甲 同理，xy=0不能推出x2+y2=0,而x2+ 11 解得x=84,故知丢番 是乙的充要条件，则甲的条件中应删除的一部y2=0→y=0,故y=0是x2+y2=0的必要 4},C= {x0<x<2} 图活了84岁」 分是 不充分条件.可分别填⑥和⑤， 分析：先求出乙中不等式恒成立的充要条 (2)从不等关系考虑：x2+y2>0不能推出 由乙的描述，知 后≤4，得口≥ 4 ② 件，对照条件甲就可得出答案 xy>0,而y>0→x2+y2>0,所以2+y2> 由丙的描述，知片 >分得口<2 ③ 解：由“x2-2x+6k<0对x∈R恒成立”，则0是xy>0的必要不充分条件可分别填②和③， (1)当k=0时，即-2x<0,不等式显然不恒 同理可得两个空也可分别填④和③：②和④ 将①②③联立，解得口=1. 素养专练 数理极 1017 专项小练一、充分条件与必要条件 专项小练二、全称量词与存在量词 1.甲、乙、丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该此赛的冠军只有1人，则 1.已知命题p:Hx∈R,11-x|≤1，命题g:3x>0,x2>2x,则 “甲不是冠军”是“乙是冠军”的 ( (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (A)p和g都是真命题 (B)p和g都是真命题 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (C)p和g都是真命题 (D)p和g都是真命题 2.(多选)指出下列哪些命题中p是q的充分条件 2.若命题P:3x∈R,x2+2x+2-m<0是假命题，则实数m的取值 8> (A)在△ABC中，P:∠B>∠C,9:AC>AB 范围是 () (B)已知x,y∈R,P:x=1,9:(x-1)(x-2)=0 (A){mlm>1} (B){m|m≤1} (C)已知xeR,P:x>1,9:x>2 (C){mlm<1} (D){mlm≥1} (D)已知x∈R,p:x>2,9:x2>4 3.(多选)下列叙述正确的是 3.下列选项中，使1x-11<2成立的一个必要不充分条件是( (A)]x∈R,x2-3x+3<0 (A)-1<x<3 (B)-3<x<3 (B)命题“]x∈R,1<y≤2”的否定是“Hx∈R,y≤1或y>2” (C)0<x<3 (D)0<x<4 (C)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件 4.设a:2<x≤5，B:x>m,若a是B的充分条件，则实数m的取值范 (D)命题“Hx∈R,x2>0”的否定是真命题 围是 4.命题“Hx∈R,x2+2x+a≠0”为真命题，则实数a的取值范围为 V业可（令5）5 ,A州一 gu(vg)'gnv ( 5.设全集为U,给出下列条件：①AUB=B;②CB CCA;③AUCB =U;④A∩CB=O.其中是BCA的充要条件的有 ,(填序号) 5.对任意x∈R,等式m2(1-x)=mx+1成立，则实数m= 6.已知命题p:关于x的方程x2-2ax+a2+a-1=0有实数根，命题 6.写出下列命题的否定，并判断其真假 q:m-1≤a≤m+1. (1)p:Hm∈R,方程x2+x-m=0一定有实根； 卫 (1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围； (2)q:3x∈R,使得x2+x+1≤0. (2)若p是g的必要不充分条件，求实数m的取值范围， 数理报社试题研究中心 0- 参考答案见下期 第1期2版参考答案 13.Q(或{x|x=3k-1,k∈Z});14.27. rm+1≤2m-1. (4)9 四、解答题 则m+1≥-3， 解得2≤m≤4， 专项小练一 15.解：(1)因为2eB,BCA, l2m-1≤7， N 1.ACD;2.D;3.A;4.{x1x=n,neN};5.2 所以=+am+a, 综上，实数m的取值范围为mlm≤4} 4-0 6.解：(1)不正确. l3=x2-5x+9 (2)因为(CRA)∩B={xIa≤x≤b},且b-a≥1， 因为=-= 1 所以/2， 故B≠⑦，即m+1≤2m-1, a三-2或{a=7 7 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3 所以这个集合有3个元素. ①当2m-1≤7，即m≤4时， (2)不正确. (2)因为B=C, (CRA)∩B=B=xIm+1≤x≤2m-1}, 方程(x-3)(x+1)2=0的解是x1=3,6=x3=-1, 故2m-1-（m+1)≥1，解得3≤m≤4； 因此这个集合只有3，-1两个元素 43= 专项小练二 62 ②当2m-1>7即4<m≤6时， lm+1≤7， 3 E 1.D;2.C;3.CD;4.BA;5.2. 16.解：U=x1x是不大于9的 (CRA)nB={x1m+1≤x≤7}， 6.解：(1)由题知A={x1-2≤x≤5}， 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； 当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且 ③当m+1>7,即m>6时，(CRA)∩B=⑦，不合 所以A的非空真子集的个数为28-2=254个。 (CA)nB=11,3,(CB)nA 题意 (2)由题知显然m-1<m+1,因为B二A, 2,4,8,(CA)n(CB)=C(AU 6.9 综上，实数m的取值范围为ml3≤m≤5}. 所烈15。.解得-1≤m4, B)={6,9},作出Venm图，如右图. 所以A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}. 19解：0合{5} 是“复活集” 所以实数m的取值范围是{m1-1≤m≤4} 17.解：(1)由题可得集合B中的元素个数为1， 专项小练三 所以4=4(a+1)2-4(a2-5)=0, 理由如下： 1.A;2.A;3.AD:4.8;5.1. 即8(a+3)=0,解得a=-3. 因为15.，5.5+山5：-山， 2 2 2 6.解：(1)因为A={xl2≤x<7},B={x3<x<10}, (2)因为AUB=A,所以BCA=1,2: 所以AUB=x12≤x<10}, 对集合B讨论： 所以集合{5，}是复活集 CRA={x1x<2或x≥7}， 当4<0，即a<-3时，B=☑，满足条件； 则(CRA)∩B={xI7≤x<10}. (2)由a,a2}为“复活集”，设a1+a2=a1a,=t, 当4=0，即a=-3时，B={2},满足条件； (2)因为A=xI2≤x<7},C=xlx<a},且A 因此a1,a,是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不等 当4>0时，要满足条件，必有B=1,2}, ∩C≠0，所以a>2, 正根， 由一元二次方程根与系数的关系有 所以a的取值范围是{aIa>2 于是4=2-4>0，且t>0,解得t>4, 「1+2=-2(a+1), 第1期3,4版参考答案 l1×2=a2-5. 所以aa2的取值范围是aa1a1a,>4. (3)不妨设A中元素a(i=1,2, 、单项选择题 此方程组无解，不满足条件，舍去。 3)满足a1<a2<a, 1 ~4 CCAD 5 ~8 DBCB 综上，实数a的取值范围是{a1a≤-3. 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a3 二、多项选择题 18.解：(1)由题意知：CRA=xI-3≤x≤7}， 因为a:∈N+,则a1a2<3,a1a 眯 9.AC;10.ABC;11.ABC. 因为(CRA)UB=CRA,故BC(CRA). ∈N, 三、填空题 ①当B=⑦，即m+1>2m-1时， 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 2.{aa≤号}： 满足BC(CRA),此时m<2; 则2a3=3+a3,解得a3=3, ②当B≠O时，若BC(CRA), 所以“复活集”A={1,2,3}. 第I卷选择题（共58分） 9.下列命题中是真命题的是 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. (A)设A,B为两个集合，若ACB,则Hx∈A,都有x∈B 1.命题“关于x的方程ax2-x-2=0在x>0上有解”的否定 (B)设A,B为两个集合，若A不包含于B,则]x∈A,使得xEB 是 (C)Hx∈{y1y是无理数，x2是有理数 (A)]x>0,ax2-x-2≠0 (D)x∈{yIy是无理数，x3是无理数 (B)Hx>0,ax-x-2≠0 10.已知全集U=AUB={x∈NI0≤x≤10{，A∩(CB)= 高中数学 (C)]x<0,ax2-x-2=0 {1,3,5,7{,(C4)∩B={2,8,9,10,则下列选项正确的为( (D)Hx<0,ax2-x-2=0 (A)A∩B={0,4,6} 高中数学∴ 边 2.设A,B是两个集合，则“AUB=A”是“B二A”的( (B)AUB的子集的个数为1024 修 第 (A)充分不必要条件 (C)A={0,1,3,5,6,7 册 (B)必要不充分条件 (D)A∩B的非空真子集的个数为6 必修第一册 教 (C)充要条件 11.在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个 16.(15分)已知命题p:1≤x≤2，x2-a≥0，命题q:3x∈R, “类”，记为[k]={4n+k1n∈Z},k=0,1,2,3,则下列结论正确的 x2+2ax+2a+a2=0. 人教 A (D)既不充分也不必要条件 A 版 3.已知全集U={x∈NI1≤x2≤36}，集合A=11,3,6},B= 为 (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； 核 12,3,4,则(CA)n(CB)= ( (A)224∈[1] (2)若命题p和q均为真命题，求实数a的取值范围. 版)核 素 (A)5} (B)1,6} (B)-2∈[2] 养综合测评 (C){1,2,4,5,6 (D){5,6 (C)z=[0]U[1]U[2]U[3] 4.已知集合A={xIx=2k,k∈N,B={x|x=4k,k∈N} (D)整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]” 心素养综合测评 则A与B的关系为 ( (A)ACB (B)B∈A 第Ⅱ卷非选择题（共92分） (C)BCA (D)A =B 5.命题“H1≤x≤3,3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 件是 ( 12.右图是由电池、开关和灯泡组成的 (A)a≤4 (B)a≤2 电路，假定所有零件均能正常工作，则电路 (C)a≥3 (D)a≤0 中“开关K,和K2有且只有一个闭合”是“灯 6.设A=1,2,3,4{,B={2,4,如果S二A,且S∩B≠⑦，那泡L亮”的 条件.（填“充分不必 么符合条件的集合S的个数是 ( 要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) (A)4 (B)10 (C)11 (D)12 13.已知集合A=x|-1≤x≤4}，集合B={x12m<x<m 7.已知集合A=x1x2-x-6=0},B={x|ax+6=0,若+1{，且彐x∈B,x∈A为假命题，则实数m的取值范围为 A∩B=B,则实数a不可能取的值为 14.已知非空集合MC{1,2,3,4,5,且当a∈M时，有6-a∈ (A)3 (B)2 (C)0 (D)-2 M,则这样的M共有个