数学思想-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

数学思想 ●女 * 展现集合与常用逻辑用语中的数学思想 T士 ⊙重庆慕泽刚 所以p是g的必要条件 一、函数与方程思想 二、分类讨论思想 函数与方程紧密相连，函数与方程的思想就 是用函数、方程的观，点和方法处理变量之间的关 分类讨论思想就是从所研究的具体问题出 系，从而解决问题的一种方法 发，根据对象的属性，不重不漏地划分为若干部 例1已知集合A=a,a+b,a+2b,B=分，逐一解决.其体现的是由大化小，由整体化部 a,ac,ac2{.若A=B,求c的值. 分，由一般化特殊的思想， 分析：要解决c的求值问题，关键是要有方 例3设集合A=x2+4x=0,B=x 程的数学思想，此题应根据相等的两个集合中的x2+2(a+1)x+a2-1=0.若A∩B=B,求 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、a的值 无序性建立关系式.分两种情况进行讨论. 分析：由A∩B=B可得BCA,所以可知B 解：1+6=ac,消去6得 有三种可能，应从三个方面B=、B为单元素 La +2b ac2, 集、B为双元素集进行讨论 a ac2-2ac 0. 解：由已知得A={-4,0. 当a=0时，集合B中的三个元素均为零，与 因为A∩B=B,所以B二A 元素的互异性相矛盾，故a≠0. (1)若B=⑦， 所以c2-2c+1=0,解得c=1. 则4=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 但c=1时，B中的三个元素又相同，故应 解得a<-1; 舍去 (2)若B为单元素集， (2)a+6=ac,消法b得2ad2-ac-a=0. 当B={-4}时， La 2b ac, 则4=4(a+12-4(c2-1)=0, 因为a≠0，所以2c2-c-1=0, 16-8(a+1)+a2-1=0, 即(c-1)(2c+1)=0. 方程组无解； 又c≠1，故c=分 当B={0}时， 则4=4(a+)2-4a2-1)=0. 综上所述，e的值为-行 1a2-1=0, 例2已知p:-2<m<0,0<n<1,9:关 解得a=-1; (3)若B={-4,0, 于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正 根，试分析p是q的什么条件 则2(a+1)=-4, 1a2-1=0, 解得a=1; 分析：首先明确P→9是充分性，9→p是必要 由(1)(2)(3)知a=1或a≤-1. 性，其次明确方程x2+mx+n=0有两个小于1 的正根的含义是0<x1<1,0<<1. 例4已知a>0,命题p:y=a在R上单 解：当-2<m<0.0<n<1时，方程对应调递减.命题q:VeR-5x+1>0,若命 的函数x)=+mx+n的对称轴为x=-受题p,9一真一假，求实数a的取值范围， ∈(0,1)，且满足n=f0)∈(0,1)，但函数不 分析：因为命题p,9一真一假，对命题p,9的 一定与x轴有交点，即4=m2-4n不一定大于等真假分类讨论即可求出a的取值范国。 于0，所以不满足充分性 解：根据题意，当命题p:“y=a在R上单调 反之，若方程有两个大于0小于1的根，则必递减”为真命题时，0<a<1; 有对称轴0<-<1，且f(0)>0,且4≥0， 而当合题g:VxeR心-5+12>0为 -2<m<0, 真命题时，4=25-4×15<0，解得a>各 5 2 所以n>0, 得0<n≤ 4 因为命题p,9一真一假. m2-4n≥0， ①当命题p为真，9为假时， 又m2<4,则n<1. r0<a<1, 0<n<1, 所以有 解得0<a≤ 69 -2<m<0, a≤6 数理极 ②当命题p为假，9为真时， ra≥1， 则 解得a≥1. 6 综上，实数a的取值范围为0，]U[1, +). 三、转化与化归思想 转化与化归思想是通过某种等价转化，将问 题归结为一类已经解决或比较容易解决的问题， 最终使原问题得到解决 例5已知集合U={(x,y)Ix∈R,y∈ R},集合A={(x,y)Ix+y=1},集合B= {(x,)之=1}，求(CB)n4 分析：解集合问题先弄清集合类型，然后将 符号语言转化为自然语言或图形语言进行运算 求解.本题可从转化为自然语言求解. 解：集合U表示平面上所有点的集合；集合 A表示直线x+y=1上的点的集合；集合B表示 直线x+y=1上除去点(1,0)的点的集合；而 CB表示点(1,0)以及平面上除了直线x+y=1 上的点以外所有点组成的集合， 所以(CB)∩A中只有元素(1,0)， 即(CB)nA={(1,0). 例6 若命题“]x∈R,x2+(a-1)x+1< 0”是假命题，则实数a的取值范围是 解：依题意，命题“3x∈R,x2+(a-1)x+1< 0”是假命题， 则命题“Vx∈R,x2+(a-1)x+1≥0”是真 命题 即x2+(a-1)x+1≥0对于一切实数x恒 成立， 所以4=(a-1)2-4≤0， 解得-1≤a≤3， 故实数a的取值范围是[-1,3]. 例7已知命题p:“对Hx∈R,了m∈R, 使4+2·m+1=0”,若命题p是假命题，则 实数m的取值范围是 ( (A)[-2,2] (B)[2,+∞) (C)(-∞，-2] (D)(-∞，-2]U[2,+∞) 分析：命题p是假命题，那么命题p是真命 题，判断m是否存在，即转化为关于2的二次方 程是否有解的问题了，我们可采取分离参数法， 也可借助二次函数在区间上的解的问题.本题等 价转化是关键. 解：由已知一p为假命题，得命题p为真命题， 即方程4+2·m+1=0有解， 所以-m=2+2,即m≤-2. 数理极 数学思想 3 解读一元二次函数、 数.若存在实数，使得[]=1，[2]=2，…， ["]=n同时成立，则正整数n的最大值是 方程和不等式中的数学思想 ( (A)3 (B)4 ©湖南李- 数学思想方法与数学知识一样，是人类长期 (C)5 (D)6 数学发展的经验总结和智慧结晶，是数学知识所 二、分类讨论思想 解：由[t]=1,得1≤t<2; 不能替代的.只有知识与思想方法并重，知识与 由[2]=2，得2≤t<5; 思想方法互相促进，才能更深刻地理解数学，从 例3解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+ 由[]=3，得3≤t<4; 整体上认识数学，灵活地运用数学以至进行数学 a>0(a∈R). 由[2]=4，得2≤t<5; 创造.在不等式中，数学思想和方法应用较频繁， 分析：首先考虑是否可以因式分解，分解之 由[]=5，得5≤t<6 恰当地运用这些思想方法，可以起到事半功倍的 后可知方程的根是a,a2,需要对两根进行比较 效果 大小，所以要进行讨论 因为(3)5=35=243，(6)5=63= 解：将不等式2-(a+a2)x+a>0变形216，所以3>6. 一、函数思想 为(x-a)(x-a2)>0. 同理可以得到1<5<2？<6<3宁<5 当a<0时，有a<d,解集为x1x<a或<4<万<2. 例1若不等式(a-1)x2+2(a-1x-4x>。:当0<a<1时，有a>02,解集为1x1 以上每一个范围在数轴上的示意图如下图 x<a2或x>a};当a>1时，有a<a2,解集为 <0恒成立，求a的取值范围， 所示，由图可知，当n=1,2,3,4时，[]=1， {x1x<a或x>a2};当a=0时，解集为{x1x 分析：要使一个二次函数式恒小于0，只需≠0；当a=1时，解集为xx≠1. [2]=2,…,[]=n能同时成立；当n=5时， 使二次项系数小于0，并且恒在x轴下方，注意二 []=3与[]=5不能同时成立，故n的最大 例4设a+b=2,b>0,则当a= 次项系数为0的情况. 值是4. 时2。+公取得最小值 1 解：(1)当a-1=0,即a=1时，-4<0 恒成立. 解：因为a+b=2, (2)当a-1≠0时，由(a-1)x2+2(a a+b 1)x-4<0恒成立得 阴2d+lg b-41a1 「a-1<0, =4+4+g l4(a-1)2+16(a-1)<0. 由于b>0,1a1>0, 所以-3<a<1. 四、整体思想 b ,a b,1a1 由(1)(2)知-3<a≤1. 所以4a+6≥2√41a·6 =1 所以a的取值范围是(-3,1]. 因此当a>0时， 例6求函数y=+3x+3的最小值 x2+1 例2设f(x)=lnx,0<a<b,若p= 2。+公的最小值是+1=： 1 分析：从函数解析式的结构来看，它与基本 而).9==)+6)则 不等式结构相差太大，而且利用函数求最值的方 当a<0时女丹的品小是行+朵不号求子安上我分分件个 下列关系式中正确的是 () (A)q=r<p (B)q=r>p 1 整体，用它来表示分子，原式即可展开 解：令1=x2+1,则1≥1，且x2=t-1. (C)p=r<9 (D)p =r>q 益。+公的最小值为子 所以y= x+3x2+3 解：因为6>4>0，故”老>瓜 x2+1 b 此时41a=6即a=-2 又f(x)=1nx(x>0)为增函数 -)2+3-D+3_+4+1=1+ t a<0 所以)>a而)，即g>n 1因为1≥1，以+片≥2-2，当且 三、数形结合思想 叉r=号[fa)+6)]=3(ma+lnb) 仅当1=即1=1时，等号成立 =ln√ab=p.故选(C). 例5设x∈R,[x]表示不超过x的最大整 所以当x=0时，函数取得最小值3. (上接第4版) 分析：第(1)小题根据题意可以将“1+2x” (2)令x-1=6,则x+马=+2. 四、整体思想 看成“一个整体”，视为“”，确定x即可；第(2) 于是问题转化为求二次函数：f()=2-2 小题通过观察，注意到式子中含有的x-1与x +2=(t-1)2+1的最小值 四）已知1+2)=卡，则 +的关系，可令x- ,=七，用整体思想求解 因为x≥2，函数1=x-1是增函数， 分) 解：(1)令1+2=分解得：=-士 4 (A)1 (B)3 (C)15(D)30 ②求函数)=术-2x+2+(x≥2列 t 所以(3) 1-() =15.故选(C). 11 的最小值 所以当=多时)m=子 5 数学思想。 点击函数的概念与性质中的 ninual 数学思想 。山西段芳 一、函数与方程思想 例3设函数y=与y=(分)“的图象 的交点为(x0,0),则x所在的区间是 例1若函数(x),g(x)分别是R上的奇 (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 函数、偶函数，且满足f(x)-g(x)=e,则有 分析：作出两个函数的 () 图象，通过观察图象确定 (A)f(2)<f(3)<g(0) 所在的区间 (B)g(0)<f(3)<f(2) 解：如图2，在同一坐标 (C)f(2)<f(0)<f(3) 系内，分别作出函数y=x3和 (D)g(0)<f(2)<f(3) 图2 解：因为式子f(x)-g(x)=e, ①y=(2)》的图象，可发现二者只有一个交点，即 则有f-x)-g(-x)=e 又函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶 为(6.当x=1时，P<(分) ,当x=2时， 函数， 所以有-f(x)-g(x)=e. ② 2> ,故x所在的区间是(1,2).故选(B) 由①，②两式得 例日已知函数)=-分+x问是否 八x)=e-e 2 ,g(x)=-e+e 存在实数m,n(m<n),使得f(x)当定义域为 易证得函数八)：，二为增函数。 [m,n]时，值域为[3m,3n].如果存在，求出m,n 的值；如果不存在，请说明理由。 从而0=f(0)<f(2)<f(3) 又g(x)=-e+e 解)=-+ <0,所以选(D). E-号(x-1)2+7≤2前 二、数形结合思想 由函数f(x)的图象 y (如图3)可知，f(x)在1 Ax)=- 例2对于实数a与b,定义新运算“⑧”：a (-∞，1]上单调递增， ⑧6=a,u-6≤1设函数x)=(2-2) 且fx)m=2, 图3 lb,a-b>1, 防以3n≤分即m≤6 1 ⑧(x-1),xeR.若函数y=f(x)-c的图象与 x轴恰好有两个公共点，则实数c的取值范围是 所以[m,n](-∞，1]， () 所以f(x)在[m,n]上单调递增. (A)(-1,1]U(2,+0) (B)(-2,-1]U(1,2] 假设存在满足条件的m,n,则m）=3m, f(n)=3n, (C)(-,-2)U(1,2] (D)[-2,-11 2m2+m=3m, 解：由题意知 「x2-2,(x2-2)-(x-1)≤1， 2n+n=3n, f(x)= 【x-1,(x2-2)-(x-1)>1, 解得m=0或-4， 即x)=-2,-1≤x≤2， ln=0或-4， lx-1,x<-1或x>2 因为a<a≤石，所以m=-4,a=0 函数y=f(x)-c的图象 即存在m=-4,n=0满足条件. 与x轴恰好有两个公共点台函 数y=f(x)-c有两个零点台 三、分类讨论思想 方程(x)-c=0有两个不同 的实数根台函数y=(x)与y =c的图象有两个不同的交点， 例5求fx)=x2-2ax-1在区间[0,2] 画出函数 上的最大值和最小值 f(x)= 「x2-2(-1≤x≤2)， 的图象，如 分析：由于函数f(x)的对称轴x=a位置不 [x-1（x<-1或x>2) 确定，所以按对称轴x=a与[0,2]间的关系分 图1. 类讨论求解 因为函数y=f(x)与y=c的图象有两个不同 解：二次函数f(x)=x2-2ax-1的图象开 的交点，所以c∈(-2，-1]U(1,2].故选(B).口向上，对称轴为x=a. 数理极 (1)a<0时，函数f(x)在[0,2]上是增 函数， 所以f(x)的最大值为f(2)=4-4a-1= 3-4a, f(x)的最小值为f(0)=-1; (2)0≤a≤1时，函数f(x)在[0，a]上是减 函数，在[a,2]上是增函数， 所以f(x)的最大值为f(2)=3-4a, f(x)的最小值为fa)=-(a2+1); (3)1<a≤2时，函数f(x)在[0，a]上是减 函数，在[a,2]上是增函数， 所以f(x)的最大值为f(0)=-1, f(x)的最小值为f(a)=-(a2+1); (4)a>2时，函数f(x)在[0,2]上是减 函数， 所以f(x)的最大值为f(0)=-1, f(x)的最小值为f(2)=3-4a. 例6 设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x -1](x2-ax-1)≥0，则a= 解：(1)当a=1时，不等式可化为：x>0时 均有x2-x-1≤0， 由二次函数的图象知，显然不成立， 所以a≠1. (2)当a<1时，因为x>0, 所以(a-1)x-1<0, 不等式可化为：x>0时均有x2-ax-1 ≤0， 因为二次函数y=x2-ax-1的图象开口 向上， 所以不等式x2-ax-1≤0在x∈(0，+∞) 上不能均成立，所以a<1不成立 (3)当a>1时，令f(x)=(a-1)x-1, g(x)=x2-ax-1,两函数的图象均过定点(0， -1), 因为a>1,所以f(x)在x∈(0，+∞)上 单调递增，且与x轴交点为(，0，即当x∈ (0,时)<0，当xe(+)时， fx)>0. 又因为二次函 数g(x）=x2-ax- y=x2-a-1 1的对称轴为：=号 3=(a-1)x-1 >0,则只需g(x) =x2-ax-1与x轴 图4 的右交点与点(。10)重合，如图4所示，则命 题成立， 即(。0)在(x)图象上， 所以有(a广-a1 0, 整理得2a2-3a=0, 3 解得a1=24=0(含去)： 综上可知a=多 (下转第3版) 数理极 数学思想、 学习指数函数与对数函数中的数学思想 a0时aae888t9e @河南李建国 一、函数与方程思想 解：函数定义域为{x1x∈R,x≠0}， xa 「a,x>0, 函数与方程思想，主要分为函数思想与方程 y=x={-a,x<0, 思想.函数思想，应用时主要是熟记各类基本初 易知y=a与y=-a的图象关于x轴 等函数的特征，将所研究的问题借助函数关系加对称， 以分析、转化，从而解决有关比较大小、解不等 又0<a<1,所以x>0时函数是减函数 式、求参数的取值范围等问题，在解决问题时，先 故选(D), 设定一些未知数，然后根据题设中的概念、性质 例3已知定义域为R的函数f(x)的解析 条件找出已知量与未知量之间的等式关系，从而 列出方程（组）来解决问题，这就是方程思想.运 式为f(x)= 小g1x-11,x≠1，则关于x的方 0. x=1. 用方程思想解题的关键是发现相等关系. 程(x)-2=0有 个解. 例1已知函数f(x)=x2-mx+n的两个 分析：画出图象，通过图象分析、观察结果 零点分别是2和-1. (lg(x -1), x>1, (1)求m,n; 解：f(x)= 0, x=1, (2)试判断方程log2(mx)=nx+3在区间 1lg(1-x), x<1, [1,2]上是否有实数解？请说明理由. 作出函数f(x)的图象，如图1所示 分析：方程log2(mx)=nx+3在区间[1,2] 由图知，f(x)的图象关于直线x=1对称 上是否有实数解，可以通过变形构造函数，通过 2 在区间[1,2]上考察函数值的符号来确定， 解：(1)由于函数f(x)=x2-mx+n的两个 零点分别是2和-1， 因此2和-1是方程x2-mx+n=0的两 个实数解， 求方程f(x)-2=0的解的个数即为求函 根据根与系数之间的关系得 数f(x)与y=2图象交点的个数.在图中作出 2+(-1）=m解得m=1, y=2”的图象，如图2所示可知f(x)与y=2的 2×(-1)=n, ln=-2. 图象有1个交点，故方程f(x)-2=0有1个解 (2)由(1)得log2x=-2x+3, 令g(x)=log2x+2x-3, 三、分类讨论思想 因为g(1)=l0g21+2-3 =-1<0, 分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法， g(2)=l0g22+4-3=2>0, 也是一种数学思想.分类讨论思想就是将较复杂 的问题划分为几个较小的范围，再来解决问题 所以有g(1)·g(2)<0,即方程在区间[1， 通俗地说，就是“化整为零，各个击破”. 2]上有实数解 例4若函数f(x)=a(a>0,a≠1)在 二、数形结合思想 [-1,2]上的最大值为4，最小值为m,且函数 g(x)=(1-4m)·√x在[0，+o)上是增函数， 数形结合思想，顾名思义是“数”与“形”相则a= 结合，它可以使抽象的代数问题直观化，使直观 解：若a>1,有a2=4,a1=m,此时a=2, 的因形严谨化，运月这一教学思想时，我们要美m=子，此时g:)一店为减函数，不合题意： 记一些函数的图象特征，在“形”中觅“数”，在 “数”中构“形” 若0<a<1,有a=4,d2=m,故a=4, 例卫函数？=买(0<a<)的图象大m=。检验知符合题意故应填号 致形状是 例5函数f(x)=log.(a-1)(a>0, a≠1). 证明：(1)函数f(x)的图象在y轴的一侧； (2)函数f(x)是定义域上的增函数. 分析：解决函数问题首先考虑其定义域，即 11 a-1>0,由于u取值不同，制约了函数f(x)的 定义域，所以需要分类讨论来处理问题. 证明：(1)由a-1>0,得a>1. 当a>1时，x>0, f(x)的定义域为(0，+∞)， 此时函数f(x)的图象在y轴的右侧； 当0<a<1时，x<0, f八x)的定义域为(-∞，0)， 此时函数f(x)的图象在y轴的左侧， 所以函数f(x)的图象在y轴的一侧， (2)由(1)当a>1时f(x)的定义域为(0， +∞)，当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞， 0). 设y=logu,u=a-1, 当a>1时，u=a-1在(0，+o)上递增， y=logu在其定义域上也是递增， 所以函数f(x)是定义域上的增函数； 当0<a<1时，u=a-1在(-∞，0)上 递减，y=logu在其定义域上也是递减， 所以函数f(x)是定义域上的增函数. 故函数f(x)是定义域上的增函数， 例6设aeR,试讨论关于x的方程lg(x- 1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数 分析：解对数方程的根的问题，需要先脱掉 “1g”符号，因此运用对数运算性质转化为二次 函数与常数函数，再讨论α的大小进行求解 解：原方程等价于 x-1>0, 3-x>0, a-x>0, (x-1)(3-x)=a-x. 整理得-x2+5x-3=a(1<x<3). 在同一坐标系中分别13yy=-2+5x-3.x∈(1,3) 作出函数y=a,及 3 =0 y=-x2+5x-3,x∈(1， 3)的图象，如图3所示 53 2 当x=1时，y=1; 图3 当x=3时，y=3; 当x=马，函数的最大值为星 (加>早或a≤1时，函数图象无交点， 故原方程无实数解； (2)当a=是或1<a≤3时，函数图象有 一个交点，故原方程有一个实数解； (3)当3<4<13时，函数图象有两个 4 交点，故原方程有两个实数解 12 数学思想 数理极 (2)若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x),即f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间[a,b] 四、转化与化归思想 2+是=2”+是即时+a2=25+ 上有零，点.它是一种逐步逼近的方法，通过不断 二分所在的区间，直到区间长度满足题设所要求 在处理问题时，将那些待解决或难解决的问 所以(2-2)(a-1)=0对x∈R恒的精确度为止 成立， 题通过适当的转化手段，化归为一类易解决或已 例11如图4，有一块边长 解决的问题，从而借助已有的经验、模式、方法、 所以a=1. 为30cm的正方形铁皮，将其四 结论解决问题，这种解题策略我们称之为化归与 故)=2+(xeR). 个角各截去一个边长为xcm的 转化思想.常见的转化手段有：①未知一已知； 设x1<x2, 小正方形，然后折成一个无盖的 ②新知→旧知：③复杂问题→简单问题：④实 图4 际问题数学问题等 则)-)=2+六-2-是 盒子，如果要做成一个容积是1200cm3的无盖 Γ2 =(2-2).2-1 盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少（精 例7已知lg427=a,54=3,用a,b表示 确到0.1cm)? logsa81 1og4108的值. 因为x1<x2,所以2<2,2>0. 解：盒子的容积y和以x为自变量的函数解 解：由54=3得10g43=b, ①若1,2∈(-0,0]，则x+名<0， 析式为y=(30-2x)2x,0<<15 07器 logs 27 +logs43 所以2<1.所以f(x,)-f(x2)>0, 由容积是1200cm3, 即fx)>f(x2). 则(30-2x)2x=1200 logs27 logs3tb 故函数f(x)在(-∞，0]上是减函数. 2-l0g427 2-a 下面用二分法来求方程在(0,15)内的近 ②当x1,x3∈(0，+∞)，则x1+x32>0, 例8已知方程ar2+bx+c=0(a≠0)有 似解 所以2>1.所以f(x,)-(x2)<0, -非零根x1,方程-ax2+bx+c=0有一非零根 即fx)<f(x2) 令f(x)=(30-2x)2x-1200,由f1)· f(2)<0与f(9)·f10)<0,得函数f(x)分别 x证明：方程号+bx+c=0必有一根介于x 故函数f(x)在(0，+∞)上是增函数. 在区间(1,2)和(9,10)内各有一个零点， 和x2之间. 五、整体思想 即方程(30-2x)2x=1200分别在区间(1， 分析：观察待证之结论，可以把方程化为函 2)和(9,10)内各有一个解 数，则方程根的问题就转化为函数的零，点问题 整体思想简单地说就是注重问题的整体结 取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算 令x)=号2+bx+c,只需证f(x)八x）<构，对问题进行整体处理的数学思维方式.有很得(1.5)=-106.5<0. 0即可 多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的 因为f(1.5)·f(2)<0,所以xo∈(1.5,2). 证明：令x)=+bx+c,则x)在 “视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，同理可得0e(1.5,1.75),0∈(1.625， [x,:2]上的图象为连续不断的曲线， 利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常175)，0∈(1.6875,1.75). 能使问题快速获解 因为ax+bx1+c=0,-a号+bx2+c=0, 由于11.75-1.68751=0.0625<0.1，此 所以bx1+c=-ax2,bx2+c=am2. 例10已知医数)=。+g,《x+)在[0，时区间(1.6875,1.75)的两个端点精确至0.1 所以fx)·八x2) 1]上的最大值和最小值之和为“，则a的值为的近似值都是1.7，所以方程在区间(1,2)内精确 () =(受+bx,+c)(分号+b,+e 度0.1的近以解为1.7. (A)2 (B)(C)2 (D)4 同理可得方程在区间(9,10)内精确度0.1 =(-a(受号+a) 分析：函数(x)由指数函数y1=a与对数的解为9.4. =-d6<0 函数y=log(x+I)作和得到，其单调性由参数 所以，如果要做成一个容积是1200cm2无 a决定，可见他们具有相同单调性，因此运用整盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是1.7cm 即fx)·fx)<0. 体思想解题 或9.4cm 所以方程分+6x+c=0必有一个根介于 解：因为y=a与y=log(x+1)在[0,1]上 单调性相同， 例12若方程gx1=-x+5在区间(k, x,和2之间. 所以函数(x)=ad+log,(x+1)在[0,1]k+1)(k∈Z)有解，则所有满足条件k的值的 例9已知定义在R上的函数(x)满足上是单调函数. 和为 f(logx)=x+a(a为常数) 则由f0)+f1)=1+log1+a+log2= 解：构造函数y=1g|x|+lx|-5,方程有解 即为函数在区间(k,k+1)(k∈Z)上有零点. (1)求f(x)的解析式； a,解得a=子故远（人. (2)当f(x)是偶函数时，试讨论f(x)的单 可知该函数为偶函数且在(-∞，0)为单调 调性. 六、二分法思想 减函数，在(0，+∞)上为单调增函数. 解：(1)设logx=t,则x=2, 因为f(5)·f(4)<0,f(-5)·f(-4)<0 所以0=2+， 二分法是求方程根的一种算法，其理论依据所以函数在区间(-5，-4)，(4,5)内各有一个 是零点存在的结论：一般地，若函数y=(x)在零点，即k,=-5,k2=4,所以满足条件k的值 因此x)=2+是(xeR). 区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且的和为-1. 数理极 数学思想 聚焦 E 数学思想是数学中处理问题的基本观，点，是对数学内容 米 的本质概括，是解决数学问题的指导方针.“三角函数”中蕴 含了许多数学思想，因此学习和复习过程中，在掌握其基础 三角函]数中的数学思想 知识的同时，还应注意数学思想的提炼、总结，熟练几种数学 思想的应用，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的 能力，下面通过例题透视三角函数中的数学思想 ⊙江西黄芳 r2a+a+b=4, 一，☒数思想 所以 2a×(-2)+a+6=3, 函数思想就是将所要解决问题转化为函数 解得a=2-1,b=3. 问题，然后利用函数的性质及图象进行解决.在 三角函数中的应用主要体现在：(1)求三角函数 三、分类讨论思想 的最值时常常用到函数的单调性、奇偶性等； (2)有些三角问题分析三角式的结构，通常通过 分类讨论思想主要是针对问题解答途径不 换元转化为普通的函数（如二次函数）来解决； 能利用统一的格式进行解答，而需要根据题目条 (3)解决与三角函数实际应用相关的最值应用 件或结论要求分几种情况来解决.分类讨论思想 题，往往需要建立目标函数来解决等等， 在三角函数中的应用主要体现在：(1)关于角的 圆d已知a≠km+受k∈乙，B≠nm,ne 象限位置讨论；(2)求解含有参数的三角函数的 Z,(3tan a cot B)3 +tan a+4tan a cot B= 最值（值域），一般须分类讨论.分类时必须注意 0,则4tan+cotB= 标准统一，做到“既不重复，又不遗漏”. 读思路：首先将已知的等式变形为：(3tana+ 例3已知函数f(x)=2asin2x- cot B)'+(3tan a cot B)=(-tan a)'+(-tan a). 观察其结构特点，考虑运用函数(x)=x3+x的 。25 asin xeos+b的定义域为[0，]，值域为 单调性加以解决 [-5,4].求a和b. 规范解：由(3tana+cotB)+tana+4tana 读思路：首先利用二倍角公式将解析式转化 +cotB=0化为(3tana+cotB)3+(3ana+为y=Asin(wx+p)+B(A≠0，w>0)的形式， cot B)=(-tan a)3+(-tan a). （*）然后根据正弦函数的有界性确定函数的最值情 设f(x)=x3+x,则f(x)是R上的增函数. 况，并建立方程求得a和b的值，但须注意对a进 由(*)式知f(3tanx+cotB)=f(-tana),， 行讨论. 所以3tan+cotB=-tana, 则4tana+cotB=0. 规范解：f(x）=a(1-cos2x)-√3asin2x+b =-a(cos 2x+3sin 2x)+a+b 二、方程思想 =-2asin(2x+石）+a+6. 主要针对求题目中含有的参数的值，常常可 因为xe[0,引所以2x+e[石， 根据已知的条件通过建立方程来解决.方程思想 在三角函数中的应用主要体现在：(1)已知三角 故sim2x+）e【-2,小 函数的最值或某种性质（单调性、奇偶性、对称 性、周期性等)，求相关的参数问题，属于逆向思 显然a=0不合题意 维型问题；(2)已知三角函数的最值或值域，求 (1)当a>0时，值域为[b-a,b+2a], 相关的参数；(3)根据已知条件或图象求三角函 即-a=-5解得9=3， 数的解析式等」 lb+2a=4, 1b=-2; 圆卫已知函数x)=a(2os艺+sinx）+6 (2)当a<0时，值域为[b+2a,b-a], (1)当a=1时，求f(x)的对称轴； 即-a=4,.解得0=，3， lb+2a=-5, lb=1. (2)当a>0,且x∈[0，π]时，f(x)的值域 是[3,4]，求a,b的值. 四、数形结合思想 读思路：首先利用二倍角公式将解析式转化 为y=Asin(wx+p)+B(A≠0，w>0)的形式， 数形结合思想主要包括“以数助形”与“以 然后令ox+P=m+(k∈Z)可求得第(1)形助数”两个方面，而“以形助数”往往能使问 小题；根据正弦函数的有界性，确定函数的最值题得到直观的解决.数形结合思想在三角函数中 情况，并建立方程求得a和b的值. 的应用主要体现在：(1)求解简单的三角函数不 规范解：(1)f(x)=1+cosx+sinx+b 等式的解集问题，常常可结合单位圆中的三角函 =Esi(x+母）+6+1. 数线，或利用三角函数图象求解；(2)求解在同 一个等式或不等式中，如果含有三角函数与其它 由x+平=km+受，ke乙，得函数()的的代数式（如指数式、对数式等），常常可化归为 两个函数图象的交点来解决， 对称轴方程为x=km+平，k∈乙 例4写出不等式sin Ix1>|cos xI在 (2)f(x)=a(cosx sinx)+a+b [-π，π]上的解集是 规范解：设y1=sin1x1,y2=|cosx|, =2asin(x+平)+a+b 在同一坐标系中作出在[0， 由于e[0,],所以x+子e[平， π]上两函数的图象（如右图）， 在[0，T]上，sin Ix=I cosx| 故in(x+）=【-小 的解为x=牙或x=平， 31 故由图象知要使得八>，则好<<平， 由于y1=sinlx,y2=|cos xl在[-T,π] 上为偶函数，故在[-m,0]上的x满足-3买 <x <-牙，故原不等式的解集为(-3π，-)U 五、化归与转化思想 化归与转化思想在三角函数中的应用可谓 无处不在.特别体现在：(1)利用三角公式转化 三角函数名称；(2)利用“升次”与“降次”变换 次数；(3)利用三角变换公式进行“复角”与“单 角”、“倍角”与“单角”的转换；(4)将非标准三 角函数解析式转化为标准三角函数解析式等等， 圆西已知函数x)=2in(牙+ √5cos2x-1,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若对任意的x∈[平引，不等式w)> m-3恒成立，求实数m的取值范围. 读思路：第(1)小题首先利用二倍角公式降 次及诱导公式变角，然后利用两角差的正弦公式 化函数为y=Asin(wx+p)(A>0,w>0)的形 式，再利用T=2π可求得周期：(2)小题将f(x) >m-3恒成立问题转化为不等式关于(x)的 解集包含函数(x)的值域，通过建立不等式即 可解决， 规范解：(1)因为八)=1-0s牙+2x 5cos2x-l=sin2x-5cos2x=2sin(2x-写）月 所以函数八x)的最小正周期T= TT. 2 (2)当xe[平时，2x-牙e[,, 所以sin(2x-)e[2,小 所以只需1>m-3,解得m<4, 即m的取值范围为(-∞，4). 六、整体思想 整体思想是一种常见的数学思想，它把研究 对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过 观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而 在客观上寻求解决问题的新途径.往往能起到化 繁为简，化难为易的效果，三角函数常常将具体 某结构的三角式视为一个整体来考虑 例6求函数fx)=1+sinx+cosx sin xcos x 的值域 读思路：由条件和问题联想到公式(sinx± cosx)2=1±2 sin xcosx,可实施整体代换求最值， 规范解：令t=sinx+cosx,则sin xcos x= f,且t=mx+）e[-,]-l 2 于是0= 2 -1 所以(x)的值域为 [-出，-u(-1,2