第1期：集合与集合的运算-【数理报】2026-2027学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

17.(15分)已知集合A=xlx2-3x+2=0,集合B={x1 18.(17分)已知集合A={x1x<-3或x>7,B={x1m+ 19.(17分)已知有限集A=a1,a2,a3,…,a}(n≥2，n∈N), x2+2(a+1)x+2-5=0. 1≤x≤2m-1}. 若A中元素满足aa2an=a1+a2+…+an,则称集合A为“复活 (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (1)若(CRA)UB=CRA,求实数m的取值范围； 集” (2)若AUB=A,求实数a的取值范围. (2)若(CRA)nB=xIa≤x≤b,且b-a≥1，求实数m 2 是否为“复活集”，并说明 的取值范围. 理由； (2)若a1,a2均为正数，且{a1,a2为“复活集”，求a1a2的取值 范围； (3)若a:eN,(i=1,2,3),求“复活集”A. 高中数学·必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 数理格 2026年7月3日·星期五 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 期总第1197期 人教A 0351-5271248 必修（第一册】 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN140707/(F) 邮发代号：21-201 高中数学人教A版 专题铺导) 方法技巧 可得 m≤-2， 解得-6≤m≤-2 必修第一册 9+m≥3 编辑计划 例析 集合中的 (2)由A∩B=☑，可知集合B有两种情 得意勿忘 第一章集合与常用逻 常见题型 况，如图2 辑用语 ◎山西高晓娟 ©山东王明章 1期集合与集合的运 一、对概念、运算的理解与运用 、判定集合间的关系 图2 例1设集合U=2,3,a2+2a-3},A= 例1已知集合M={x1x≥2或x<-1}, 所以m≥3或m+9≤-2， W={xI2x+4<0},则集合M,N的关系是 2期常用逻辑用语及 l2a-11,2,C4={5},求实数a的值. 因此，实数m的取值范围为m≥3或m 本章综合 解：由题意知口+21-3：5，解得4=2 112a-11=3, ≤-11. 解：因为M=x1x≥2或x<-1}, 第二章一元二次函 二、运算与性质的综合 三、Venn图的应用 N={x|2x+4<0}=x1x<-2}, 数、方程和不等式 例2已知集合A={x|-2<x<3},B= 例3已知全集U={x∈N,Ix<10},且 3期等式性质与不等 10 x0<x-m<9}. (CA)nB={1,9,(CA)n(CB)={6,8, 图1 式性质，基本不等式 (1)若AUB=B,求实数m的取值范围； A∩B={2,4},求集合A与B, 由数轴可知N至M. 4期 二次函数与一元 (2)若A∩B=⑦，求实数m的取值范围. 解：由题意，全集U 二、求参数的值或取值范围 68 二次方程、不等式及本 解：B=x|m<x<9+m. 例2已知集合A={xlx<a,B={xl1< 1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 7 章综合 (1)由AUB=B得ACB,如图1， x<2,且AU(CnB)=R,则实数a的取值范围 根据条件作出Venn图 第三章 函数的概念 图3 是 394m 如图3所示， 与性质 5期 函数的概念及其 因此，A=2,3,4,5,7,B={1,2,4,9} 表示 新题速递 解：①当m,n都为正偶数时，符合条件的 (A)a≤1 (B)a<1 6期 函数的基本性质 集合“新定义” (m,n)有(2,6)，(4,4)，(6,2)，共3个 (C)a≥2 (D)a>2 7期 幂函数、函数的 ②当m,n都为正奇数时，符合条件的(m, 解：因为B={x|1<x<2}, 应用（一） 解题有依据 n)有(1,7)，(3,5)，(5,3)，(7,1)，共4个； 所以CB=xIx≥2或x≤1. 8期 函数的概念与性 ③当m,n中一个为正偶数，一个为正奇数 由AU(CB)=R,借助数轴，由图2可知 湖南文怀 质综合 时，符合条件的(m,n)有(1,8)，(8,1)，共2个 集合“新定义”创新题是以同学们已有的集 a≥2. 所以集合M的元素个数是3+4+2=9. 9期阶段综合（一） 合知识为基础，并在此基础上创设新的问题情 三、确定集合或集合中的元素 境或定义新的内容的问题.这类问题既能考查 故选(B) 例3为了解某市市民在阅读报纸方面的情 第四章指数函数与 对数函数 同学们的阅读理解能力和数学语言转换能力， 三、定义新图形 况，某单位抽样调查了500位市民，调查结果显 又能考查同学们的探究能力，因而是近年高考 例3定义A*B,B*C,C*D,D*B分别对 示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人， 10期指数与指数函 模拟题的热点题型.下面举例说明几方面的集 应下列图形： 其中两种都订的有150人（假定只有这两种报 合“新定义”信息迁移题，供同学们参考. 纸).则至少订一种报纸的有 人，有 11期对数与对数函 一、定义新概念 人不订报纸. 图1 例1集合U=10,1,2,3,4,5},4是U的子 解：设不订报纸的有x人，如图3所示，则由 那么下列图形中： 12期函数的应用 集，当x∈A时，若有x-1庄A且x+1主A,则 图可得，184+150+147+x=500,解得x=19, 500-19=481,则至少订一种报纸的有481人 二)及本章综合 称x为A的一个“孤立元素”，那么U的子集中无 第五章三角函数 “孤立元素”且含有4个元素的集合的个数是 (1) (2) (3) 图2 订阅日报 订阅晚报 13期任意角和弧度 可以表示A*D,A*C的分别是 184 150 解：满足条件的集合有两类：①有4个连续元 147 制、三角函数的概念 素的集合共有3个，即{0,1,2,3}，{1,2,3,4,2， (A)(1),(2) (B)(2),(3) 14期诱导公式、三角 3,4,5;②4个元素分成两组，每组两个元素是连 (C)(2),(4) (D)(1),(4) 图3 函数的图象与性质 续的且两组之间的元素是不连续的集合也有3 解：由已知图形及定义性质知A,B,C,D分 15期三角恒等变换 个，即10,1,3,4,1,2,4,5}，0,1,4,51.所以满 U 且对集合A,B都成立的一个等式 别对应下面的四个基本图形元素： 16期函数，三角函 足条件的集合共有6个 二、定义新运算 解：如图3中阴影部分可表示为：A※(A 数的应用 例2对于任意两个正整数m,n,定义某种运 ∩B);再结合新定义及并集概念，阴影部分也 17期三角函数综合 B D 算“※”如下：当m,n都为正偶数或都为正奇数 可表示为(AUB)※B. 18期阶段综合（二） 时，m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数，另 则由基本图形元素可构成A*D,A*C, 显然可填：A※(A∩B)=(AUB)※B. 19~26期复习专号 个为正奇数时，m※n=mn.在此定义下，集合M 故选项(C)正确. ={(m,n)1m※n=8}中的元素个数是 四、新定义开放探索 例4定义集合A和B的运算，A※B=xIx 图3 (A)10 (B)9 (C)8 (D)7 ∈A且x生B},写出含由集合符号“※”，“∩”， 另外也可填：B※(A∩B)=(AUB)※A. 2 素养专练 专项小练一、集合的含义及集合中 4.集合1，√2,5,2，W5,…用描述法可表示 元素的特性 5.由实数x,-x,1x1,√？，-所组成的 1.（多选)下列说法中不正确的是 ( 集合中最多含有个元素 (A)0与0：表示同一个集合 6.判断下列说法是否正确，并说明理由. (B)集合1,2,3}与{3,2,1{是两个相同的 集合 (1)2,号会，兮引，片这些数组成的柴合 (C)方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成有5个元素； 的集合可表示为1,1,2 (2)方程(x-3)(x+1)2=0的解组成的集 (D)集合x4<x<5}可以用列举法表示合有3个元素. 2.已知集合A={-1,0,1,2,集合B={y1 y=x2-2x,x∈A},则集合B= () (A){-1,0} (B){-1,2 (C){0,1,2 (D)-1,0,3 3.集合A={x13x+2>m},若-1∈A,则 实数m的取值范围是 () (A)m<-1 (B)m>-1 (C)m≥-1 (D)m≤-1 专项小练二、集合间的基本关系 5.设集合A=x,y,B={0,x2},若A=B, 则2x+y= 1.已知集合A=x1-1-x<0},则下列各式 6.设集合A={x1-1≤x+1≤6}，B={xI 正确的是 ()m-1<x<m+1}. (A)0A (B){0}∈A (1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数； (C)∈A (D){0}CA (2)若BCA,求实数m的取值范围. 2.已知ACB,ACC,B={1,2,3,5},C= 10,2,4,8},则A可以是 () (A){1,2 (B){2,4} (C)2 (D){4 3.（多选)下列选项中正确的有 (A){质数}二奇数} (B)集合1,2,3}与集合4,5,6}没有相同 的子集 (C)空集是任何集合的子集 (D)若ACB,BCC,则ACC 4.设x,y∈R,A={(x,y)ly=x,B={(x, )之=}则4，B的关系是 一科在90分以上的有38人.则两科都在90分以上 专项小练三、集合的基本运算 的人数为 1.已知集合A={-2,0,2,B={x1x2-x- 5.若U=1,2,3,4},A={x1x2+mx+n= 2=0,则AUB= ()0,C4={1,4},则m+n= (A){-1,2,-2,0}(B){2 6.已知集合A={x12≤x<7},B={x|3 (C){0,2 (D){-2,2,0 <x<10,C={xlx<a}. 2.已知全集U=Z,集 (1)求AUB,(CRA)∩B; 合A={x∈Z1-1<2x- (2)若A∩C≠⑦，求a的取值范围. 3<8,B={1,3,4,5,6, 则图中阴影部分表示的集 合为 ( (A){1,6} (B){2,6} (C){3,4,5 (D){2,4,6 3.（多选)设A为全体质数的集合，B=y1y =4x+3,x∈N},则 () (A)7∈A∩B (B)13∈A∩B (C)27主AUB (D)32主AUB 4.某班统计考试成绩，数学得90分以上的有 数理报社试题研究中心 25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有 参考答案见下期 2)M- ()一 (2)M- (3)命MVL--0.ER.ER (3)M=yl -7-0.8ER.7R N… (3)联北圳沙明语可心发功指想想： cu:2.3.6.m-11.2.3.6: (a)a)0.5800.3.4388.5 ny1-0.3.4.5. 7KnN材X-0.3.4.3 (2)3- 02 蓉 7.已知集合A={xlx2-px-2=0},B={x1x2+qx+r=0, 四、解答题：本题共5小题，共77分 且AUB={-2,1,5},A∩B={-2},则p+q+r= 15.(13分)已知a∈R,x∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3, 集合同步核心素养测评 (A)12 (B)6 (C)-14 (D)-12 +ax+a,C={x2+(a+1)x-3,1},求： ◎数理报社试题研究中心 8.定义集合A⊙B=xlx=√a+b,a∈A,b∈B,若A=n, (1)使2∈B,BCA的a,x的值； (2)使B=C的a,x的值 -1},B={√2,1}，且集合A⊙B有3个元素，则由实数n所有取值组 第I卷选择题（共58分） 成的集合的非空真子集的个数为 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (A)2 (B)6 (C)14 (D)15 1.设集合A={0,2,4,6,8,10,B={4,8,则CB= 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (A){4,8 (B){0,2,6 9.非空集合M,N,P均为R的真子集，且M至NP,则( (C)10,2,6,10 (D){0,2,4,6,8,10 (A)MUP=P (B)N(P∩M) 2.已知A={x∈R1x≠3}，B={xeR|x≠0，x≠1，x≠3} 高中数学 (C)CRPCRN (D)NnCrM=☑ 则AUB= 10.集合X={x1-2<x<2},集合Y={y1y≤2}，则集合 (A){x∈R1x≠0，x≠1} Z={z11z|≥2}可表示为 (B){x∈R|x≠0，x≠1，x≠3 必修第一 (C){x∈RIx≠3} (A)(Cx)U(CRY) (B)CgX (D){x∈RIx≠0，x≠3 (C)CR(xnY) (D)CR(X UY) 册（人教 高中数学·必修第一册（人教 3.已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和W 11.对于集合A,B,定义集合运算A-B={xIx∈A且xB, 16.(15分)全集U={x1x是不大于9的正整数，A,B都是U的 A ={xIx=2h-1,k∈N}的关系如右图所示， 则下列结论正确的有 子集，(CA)nB={1,3,(CB)nA=2,4,8,(CA)n(CB) A 版 同 则阴影部分所表示的集合中的元素共有( (A)(A-B)∩(B-A)=O 版 6,9,求集合A,B 同 (A)2个 (B)3个 (B)(A-B)U(B-A)=(A UB)-(AnB) 心 (C)1个 (D)无穷多个 (C)若A=B,则A-B= 素养测评 4.设集合A={x|-1<x<1},B={x|x-a>0}.若ACB (D)若A手B,则B-A=⑦ 步核心素养测评 则实数a的取值范围是 ( (A){a1a≥1} (B){a1a>1} 第Ⅱ卷非选择题（共92分） (C){a1a<-1} (D)ala≤-1 5.设集合A={0,1,2},B={mlm=x+y,x∈A,y∈A,则集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 合A与B的关系为 ( 12.已知集合A=x1x2+2ax-a<0},且-1生A,则实数a的 (A)A∈B (B)A =B 取值范围为 (C)BCA (D)ACB 13.设集合M={xlx=3k,k∈Z,P=xlx=3k+1,k∈Z, 6.已知集合A={x1x<-3或x>1},B={xIx≤-4或x>Q={x|x=3k-1,k∈Z,则Cz(PUM)=一 a,若A∩(CRB)中恰好含有2个整数，则实数a的取值范围是 14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17 种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出 (A)(3,4) (B)[3,4) 的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商 (C)(3,4] (D)[3,4 品最少有高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 数理橘 答案详解 2026~2027学年 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期(2026年7月) N}, 第1期2版参考答案 所以M∩N=1,3. 专项小练一 4.由题化简得集合B={x1x>a}, 1.ACD;2.D;3.A;4.{xlx=n,neN};5.2. 结合数轴可知，要使ASB,则只要a≤-1即可， 6.解：(1)不正确. 即实数a的取值范围是aIa≤-1}. 5.当x=0时，m=y,m可取0,1,2： 当x=1时，m=1+y,m可取1,2,3； 所以这个集合有3个元素。 当x=2时，m=2+y,m可取2,3,4. (2)不正确. 因此m的值可以为0,1,2,3,4， 方程(x-3)(x+1)2=0的解是x1=3,6=x3=-1, 即B={0,1,2,3,4},从而A≤B. 因此这个集合只有3，-1两个元素。 6.根据题意知a>-4,则CB={xl-4<x≤a. 专项小练二 又A={xlx<-3或x>1},A∩(C.B)中恰好含有2个 1.D2.C;3.CD;4.BA;5.2. 整数， 6.解：(1)由题知A={x1-2≤x≤5}， 所以A∩(CRB)={xl-4<x<-3或1<x≤a, 当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 所以3≤a<4. 所以A的非空真子集的个数为28-2=254个. 7.因为A∩B={-2},所以-2∈A, (2)由题知显然m-1<m+1,因为B≤A, 得(-2)2+2p-2=0,解得p=-1. 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， lm-1≥-2， 故A={x1x2+x-2=0}={-2,1}. 所以实数m的取值范围是{m「-1≤m≤4. 又因为AUB={-2,1,5},所以B={-2,5}. 专项小练三 1.A;2.A;3.AD;4.8;5.1. 代化6a lr=-10 6.解：(1)因为A={x|2≤x<7},B={xl3<x<10}, 综上可得p+9+r=-1-3-10=-14. 所以AUB={xI2≤x<10}, 8.由题可得x=√5,2，√2+n,√1+， CRA={x1x<2或x≥7}， 又集合A⊙B有3个元素， 则(CRA)∩B={xI7≤x<10. 当2=√2+n,即n=0时， (2)因为A={x12≤x<7},C={xlx<a},且A∩C A⊙B=5,√2,1}满足题意； ≠0，所以a>2, 所以a的取值范围是ala>2}. 当2=√个+n,即n=1,n=-1(舍去)时， A⊙B={3,2},不符合题意； 第1期3,4版参考答案 当5=个+n,即n=±2时， 集合同步核心素养测评 A⊙B={W5,√2,2}满足题意； 一、单项选择题 1 ~4 CCAD 5~8 DBCB 当5=√2+m,即n=1,n=-1(舍去)时， 提示： A⊙B={5,2},不符合题意 1.根据补集定义可得CB=0,2,6,10. 综上，ne{0,2,-2}, 2.由题意可知B二A, 故所构成集合的非空真子集的个数为23-2=6. 则AUB=A={x∈RIx≠3}. 二、多项选择题 3.因为M={x1-1≤x≤3}，N={x1x=2k-1,k∈ 9.AC;10.ABC;11.ABC. 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 提示： 合，整数集中去掉被3除余0和1的，剩余的只有余数为2的，即 9.因为M军P, R 集合Q 所以MUP=P,故(A)正确； 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 因为M季P,所以P∩M=M, =14种， 而M至N,故(B)错误； 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， 因为NP, 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， 所以CRP车CRN,故(C)正确； 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， MN,如图1所示， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 所以W∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误， 因为9<14， 故选(A)(C 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 10.Z={z1川z1≥2}={z1z≥2或z≤-2}， 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 因为X={xI-2<x<2}, 四、解答题 所以CRX={xIx≤-2或x≥2}，(B)正确； 15.解：(1)因为2∈B,BCA, CRY=yly>23, 则(CRX)U(CRY)=xlx≤-2或x≥2}，(A)正确； 所以P=+ax+a, l3=x2-5x+9, XnY={xl-2<x<2},CR(XnY)={xIx≥2或 rx=2, x≤-2}，(C)正确： x=3, XUY=fxlx≤2}，C.(XUY)={xlx>2,(D)错误 {a-2或 所以{ 故选(A)(B)(C). (2)因为B=C, 11.若A,B不具有包含关系，用Venn图分别表示集合A- 所以 x2+(a+1)x-3=3, B,A∩B,B-A,如图2， x+ax+a=1, 若A,B具有包含关系，不妨设AB, 解得-1或=3， la=-6la=-2. -B B-A 16.解：0={x1x是不大于9的正整数}=1,2,3,4,5,6， 图2 图3 7,8,9},且(CA)∩B={1,3},(CB)∩A={2,4,8},(CA) 则A-B=0,A∩B=A,B-A如图3所示. ∩(CB)=C(AUB)={6,9},作出Venm图，如图4. 对于(A),图2中，(A-B)∩(B-A)=0, 图3中，A-B=O,所以(A-B)∩(B-A)=⑦，故(A) B 2,4,85,7 1,3 正确； 对于(B),图2中，(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩ 6,9 B)成立， 图4 图3中，(A-B)U(B-A)=B-A,(AUB)-(A∩B) 所以A=2,4,5,7,8},B={1,3,5,7. =B-A, 17.解：(1)由题可得集合B中的元素个数为1， 所以(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩B)成立，故 所以4=4(a+1)2-4(a2-5)=0, (B)正确； 即8(a+3)=0,解得a=-3. 对于(C),若A=B,则A-B=⑦，故(C)正确： (2)因为AUB=A,所以B≤A=1,2. 对于(D),由图3可知，若A手B,则B-A≠⑦，故(D) 对集合B讨论： 错误 当A<0,即a<-3时，B=☑，满足条件： 故选(A)(B)(C). 当4=0，即a=-3时，B={2},满足条件： 三、填空题 当4>0时，要满足条件，必有B=1,2}, 13.Q(或xlx=3k-1,k∈Z}): 由一元二次方程根与系数的关系有 1+2=-2(a+1), 14.27. l1×2=a2-5, 提示： 12.因为A={x1x2+2ax-a<0},-1年A, 此方程组无解，不满足条件，舍去。 所以x=-1满足x2+2ax-a≥0， 综上，实数a的取值范围是{aIa≤-3}. 即1-2a-a≥0，解得a≤3 .1 18.解：(1)由题意知：CRA={xl-3≤x≤7}， 因为(CRA)UB=CRA,故BC(CRA). 13.集合M,P,Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集 ①当B=☑，即m+1>2m-1时， 2 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 满足BC(CRA),此时m<2; 专项小练二 ②当B≠☑时，若BC(CRA), 1.B;2.B;3.BD;4.{a1a>1};5.-1. rm+1≤2m-1, 6.解：(1)p:3m∈R,方程x2+x-m=0没有实根， 则m+1≥-3，解得2≤m≤4， 因为方程x2+x-m=0的判别式△=1+4m, 2m-1≤7， 综上，实数m的取值范围为m|m≤4. 所以当m<-子时，4=1+4m<0,方程没有实根， (2)因为(CRA)∩B={xIa≤x≤b},且b-a≥1， 即存在me mm<- 4 使得该方程没有实根， 故B≠☑，即m+1≤2m-1, 所以p为真命题. 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. (2)q:HxeR,使得x2+x+1>0. ①当2m-1≤7，即m≤4时， 因为4=1-4<0，所以x2+x+1>0恒成立， (CRA)∩B=B={xlm+1≤x≤2m-1}, 所以q为真命题。 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； ②当2m-1>7即4<m≤6时. 第2期3,4版参考答案 lm+1≤7， 集合与常用逻辑用语核心素养综合测评 (CRA)nB=x1m+1≤x≤7}， 一、单项选择题 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； 1~4 BCAC 5~8 ADBC ③当m+1>7,即m>6时，(C4)∩B=0,不合题意 提示： 综上，实数m的取值范围为{mI3≤m≤5}. 1.原命题即“3x>0,ax2-x-2=0”, 19解：()类合{生5,2}是复活集 其否定为“/x>0,ax2-x-2≠0”. 2.由集合知识得AUB=A台BCA, 理由如下 所以“AUB=A”是“BCA”的充要条件 因为1+5.125=-1+5+1-5=-1， 2 2 2 2 3.由题得U={x∈N11≤x≤6}={1,2,3,4,5,6}， 所以CuA=2,4,5,CuB={1,5,6, 所以集合{'5,5}是“复活集 故(CA)n(CB)=5}. (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+42=a1a2=t, 4.若x∈B,则x=4k=2(2)∈A,所以BCA, 因此a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不等 因为2∈A,且2B,所以A奕B. 正根， 5.由题意可知3x2≥a,1≤x≤3恒成立， 于是4=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 只需a≤(3x2)mim=3, 结合选项知a≤4台a≤3，但a≤3=a≤4， 所以a1a2的取值范围是{a1a2Ia1a2>4}. 故a≤3的一个必要不充分条件为a≤4. (3)不妨设A中元素a(i=1,2,3)满足a1<a2<a, 6.因为A={1,2,3,4},B={2,4}, 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a3, 又SCA,SnB≠☑， 因为a,∈N,则a1a2<3,a1aeN, 所以S=2},4},{1,2,2,3},1,4},3,4},{2,4, 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 1,2,3},1,2,4},2,3,4},{1,3,4},1,2,3,4}, 则2a3=3+a,解得a3=3, 所以满足条件的集合S的个数是12. 所以“复活集”A=1,2,3}. 7.由x2-x-6=0得x=-2或x=3, 第2期2版参考答案 所以A={-2,3}. 又A∩B=B,所以BCA 专项小练一 当a=0时，ax+6=0无解，B=☑，符合题意； 1.C;2.ABD;3.B;4.{m1m≤2}；5.③. 6.解：(1)因为命题p为真命题，P:关于x的方程x2-2ax+ 当a≠0时，由ax+6=0得x=-6, a a2+a-1=0有实数根， 依题意得-6=-2或-6=3. 则4=4a2-4(a2+a-1)≥0，解得a≤1， a a 故实数a的取值范围为a1a≤1}. 解得a=3或a=-2, (2)由(1)知p:a≤1,9：m-1≤a≤m+1. 对比四个选项知a的值不能为2. 若p是q的必要不充分条件，则m+1≤1，解得m≤0. 8.因为p(a,b)=0, 故m的取值范围为mlm≤0}. 所以√a2+b2-a-b=0,即a2+b2=a+b, 3 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 显然a+b≥0， 泡L亮时，开关K和K2也有可能都闭合，故电路中“开关K和 所以a2+62=a2+b2+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 13.因为3x∈B,x∈A为假命题， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以Hx∈B,x华A为真命题， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以A∩B=O且B≠O. 所以a2+2=(a+b)2, 所以2m<m+1或2m<m+1解得m≤-2， 即/a2+b=1a+b1=a+b, lm+1≤-1l2m≥4， 即实数m的取值范围为{mlm≤-2}. 所以p(a,b)=√a+2-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 14.若M中只有1个元素，则M={3}; 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， 若M中有2个元素，则M={1,5}或2,4}； 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 若M中有3个元素，则M=1,3,5}或{2,3,4}； 二、多项选择题 若M中有4个元素，则M=1,2,4,5； 9.ABD;10.AD;11.BCD. 若M中有5个元素，则M={1,2,3,4,5}. 提示： 所以满足题意的M共有7个. 9.对于(A),因为A二B,所以Hx∈A,都有x∈B,故(A) 四、解答题 正确； 15.解：(1)AUB=x4≤x<10. 对于(B),因为A不包含于B,所以了x∈A,使得xB,如 因为CRA={x1x<4或x≥8}， A={1,2,3},B=2,3,4},故(B)正确； 所以(CRA)∩B={xI8≤x<10}. 对于(C),当x=2+1时，x2=3+22是无理数，故(C) (2)要使得A∩C≠⑦，画出数轴如下图所示， 错误； C 对于(D),当x=2时，x=2万是无理数，故(D)正确. a 故选(A)(B)(D). 由图可知a<8. 10.U=AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 16.解：(1)由二次函数的性质得当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 又A∩(CB)=1,3,5,7},(CA)∩B=2,8,9,10, 因为p:]1≤x≤2，x2-a<0为真命题， 所以A∩B=0,4,6}. 所以a>1. 则A=0,1,3,4,5,6,7}, 故实数a的取值范围是ala>1}. AUB的子集个数为21=2048， (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. A∩B的子集有8个，非空真子集有6个， 因为命题q为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 故(A),(D)正确.故选(A)(D). 解得a≤0， 11.由224=4×56可得224∈[0]，故(A)错误： 所以当q为真命题时，a>0. 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确； 所以0<a≤1，即实数a的取值范围为al0<a≤1}. 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 17.解：(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0, 分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0, [3],故(C)正确； 所以x=m+1或x=2m-3. 若整数a,b属于同一“类”， 因为命题p为真命题， a 4n +k,n EZ,b 4n2 +h,n EZ, 则a-b=4(n1-n2)+0,所以a-be[0]: 所以~5<m+1<4 L-5<2m-3<4, 反之，不妨设a=4n1+k1,n1∈Z,b=4m2+k2,n2∈Z, 得-1<m<3. 则a-b=4(n1-n2)+(k1-k2), 所以A=m1-1<m<3}. 若a-b∈[0]，则1-k2=0,即k1=k2, (2)由(1)得集合A={mI-1<m<3},集合B=m1 所以整数a,b属于同一“类”， 1-a<m<1+a}, 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈[0]，即 由题得B是A的真子集， (D)正确.故选(B)(C)(D). 当B=☑时，1-a≥1+a,解得a≤0，满足题意； 三、填空题 r1 -a<I+a,1-a<1+a, 12.充分不必要；13.{m1m≤-2；14.7. 当B≠0时，{1-a>-1,或{1-a≥-1， 提示： l1+a≤3 1+a<3, 12.当开关K和K2有且只有一个闭合时，灯泡L亮，当灯 解得0<a<2. 4 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 综上，存在实数a∈{aIa<2满足条件. 综上：xy∈A. 18.解：(1)若A是空集，则ax2-2x+1=0无实数解. 故若x,y∈A,则必有xy∈A. 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，不符合题意， 第3期2版参考答案 所以a≠0,4=4-4a<0,解得a>1, 专项小练一 即实数a的取值范围为a1a>1}. 1.D;2.A;3.ACD;4.>; (2)若集合A中只有一个元素， 5.80+20(n-1)≥300， 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，符合题意： 6.证明：(a+b)2=a+b+2√ab, 当a≠0时，4=4-4a=0,解得a=1,符合题意。 (c+a)2=c+d+2ca, 所以a的值为0或1. 由ab=cd,a+b>c+d, (3)当B=xIx>0}时，若A∩B为非空集合， 得(a+6)2>(c+a)2, 则A={x1ax2-2x+1=0,a∈R}至少与集合B有一 所以a+b>√c+a. 个公共元素，即ax2-2x+1=0至少有一个正根. 专项小练二 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，所以AnB= 1.A;2.D;3.BD;4.3;5.16. 6.解：由x>0, {分}，符合题意： 当a≠0时，由A=4-4a=0,解得a=1,此时，A={x1 则3 x2-2x+1=0}={1},A∩B={1},符合题意； 由(1)得当a>1时，A为空集，不符合题意； ≤ 3 =2+5, 25-3 若0<a<1,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根 2x3 -3 之和己>0，两根之积。>0，即两根都为正根，符合题意； 当且仅当x=√3时，等号成立， 若a<0,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根之和 所以a≥ 3x x2-3x+3m =2+5, 2<0,两根之积<0，即两根为一正根一负根，符合题意 a 故a的取值范围为ala≥2+√3}. 综上，实数a的取值范围为aIa≤1}. 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”. 第3期3,4版参考答案 理由如下： 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2年B, 一、单项选择题 所以集合B不是“好集”. 1 ~4 BCAD 5 ~8 CDAD 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 提示： 且x≠0时，士eQ 1.基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x 2y≠0，所以x-2y>0,即x>2y 所以有理数集Q是“好集”. (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 2++y+2日 】+2λ/y·=2+2=4, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. (3)解：命题为真命题.理由如下： 当且仅当x=且y=,即x=1且y=1时等号成立 若x,y中有0,1时，显然有xy∈A, ra-B<0, 下设y巾不存在0,1，由定义得x-1,eA, 3.因为-1<a<B<1,所以-1<-B<1, -1<a<1, 所以寸4则e-1)e4 所以-2<a-B<0, 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2eA. 即α-B的取值范围为x1-2<x<0. 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2∈A; 4.因为0<a<1,0<b<1,且a≠b, 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 所以a2+2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>62, 可得2xy=(x+y)2-x2-y2eA, 所以a+b>a2+b2,故选(D). 所以站e4曲2)得时高+ 手=2+2∈A,所以y∈A 5设升级前的“屏占比为会（口>6>0，升级后保古 -5 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 比”为5+m(m>0).因为5+m-点=a-b)m>0,所以 故选(A)(C). a +m a +m aa(a+m) 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 升级后新手机“屏占比”和升级前相比变大. 6.m -m 2mn 2 是是 5m+nm+3n=m㎡+4mm+3nm+3边+4 ≤ 根据题意可知T=文+ s(y+),= 2V V n m 2 易知满足2（化+）=5则%=2 2S 25+ 4=2-5,当且仅当m=尽n时取等号，此时m m +n 由V1>0,V2>0可得， m中3n的最大值为2-万 1: 2Y√/V =T2, 7.由c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0得c≥b. 由b+c=6-4a+3a2, ① =S=12, V+%≤2元元 c-b=4-4a+a2, ② 即可得T≥T2≥T,即(A)正确，(B)错误； ①-②得2b=2+2a2,即b=1+a2, 所以6-a=1+2-a=(a-）广+子>0， 易知了3= S(Vi+V)2S S2 2V V …+= 所以b>a =T,即(C)正确； 综上，c≥b>a. 1 8+9=+9)(+）=13++≥ 时+方 4V,+(y+V2)2 13+ 2y.4红=25，当且仅当=4红 2S(V+2)1 y 即=弓y=子时，等号成立 S 故选(A)(C) 又不等式4x+9y-t≥0恒成立，只需(4x+9y)mim≥t, 三、填空题 因此t≤25，故实数t的最大值为25. 二、多项选择题 12.3； 1a{号2≤号≤2}：41+ 9.ABC;10.AC;11.AC. 提示： 提示： 12.因为x>0,y>0, 9.对(A),因为6>a>1,所以 公<日<1，(A)正确： a 所以1=专+≥2√·子=√骨， /xy 对.因为c<4<-1,所以>日>-1()正确： 所以可≤3，当且仅当号=子，即=子了=2时取等号， 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 因此xy有最大值3. 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， a+d=b+c=0,(D)错误. 故选(A)(B)(C). 1≤（≤4，所以专≤≤ 10.由题意可得-3≤3a≤12，即-1≤a≤4，(A)正确； 由-5≤a-b≤4可得-8≤2b-2a≤10， 所以2≤女 s27. 又2≤2a+b≤8， 14.易知△BDE∽△ACB,△GFH∽△ACB, 所以-6≤3b≤18，即-2≤b≤6，(B)错误； 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 2a-5b x(a-b)y(2a+b), 所以BD=b-&=4Gr。a l2 AC b=a+b+e'Ac=b=a+b+e = 则+2y=2,解得=4， l-x+y=-5,y=-1, 所以，=6.2x(a+6+e)6=号x(a+6+e, 因为-20≤4(a-b)≤16，-8≤-(2a+b)≤-2，所 以-28≤2a-5b≤14，(C)正确； 所以+上-a+6+c=1+区+E a+b a b a b 由(A),(B)选项知-1≤a≤4，-2≤b≤6， a2+6 若ab的最大值为24，则a=4,b=6, =1+√a+6+2ab =1+ 2ab 1+ 此时2a+b=14>8,(D)错误. a2+62 6 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期 又因为d2+B≥2ab,所以2ab a2+棕s1, 因为90(++720≥90×2 /16 ·x+7200= 当且仅当a=b时取等号， 14400 所以收+6 1+V=1+， 1 当且仅当 =x,即x=4时等号成立， 所以最小值为1+号 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低， 为14400元. 四、解答题 15.解：(px+qy)2-(px2+qy2) (②根据题意可知90（华+）+72m>01+旦 =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2p9xy, 对任意的2≤x≤6恒成立， 因为p+9=1,所以p-1=-9,9-1=-p, 即x+4)2>1+对任意的2≤x≤6恒成立， 所以(px+qy)2-(px2+q2)=-p9(x2+y2-2xy) =-p9(x-y)2 所以a<+4对任意的2≤x≤6恒成立， 1+x 因为P,9都为正数，所以-p9(x-y)2≤0， 因为a>0,x+42.+)2+6x+)+9=(x+ 因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 1+x 1+x 16.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2√ab,当 》++6≥2V+10+6=12. 9 且仅当a=b=2时取等号，即有ab≥4， 于是得+日)(1+古）=1+女+古+品=1+ 当且仅当+1=即=2时等号成立， 所以0<a<12, a+b+ ab ab =2+6≤2+= 1-9 故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙 工程队都能竞标成功. 所以(1+)(1+古）≤子成立 19.(1)解：由x2-1比1远离0， 17.解：(1)由a+b=2可得a+(b+1)=3, 则1x2-1-0「>11-01， 则a+≤(+)=(2广-子 解得x<-√2或x>2, 所以x的取值范围是{xIx<-2或x>√2. 当且仅当a=6+1,即a=弓，6=号时等号成立， (2)证明：若证a3+b比a2b+ab2远离2ab√ad, 所以a(6+1》的最大值是号 即证la3+b3-2ab√ad1>la2b+ab2-2ab√ab1, 因为a≠b,a>0,b>0, (2)因为a>0,b>0, 则a3+b>2√a6=2ab√ab, 所以a+1>0,b+1>0. 且a2b+ab2>2√a6=2ab√ab, 又a+6=2.所以a+1+6+1=4,所以士+16 4 所以即证a3+b3-2abab>a2b+ab2-2ab√ab, 4(+a+46)a+D+6+1=5+ 即证a3+b3>a2b+ab2, 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0, 4g+P]=5+28P]=子，当且仅当 所以a3+b3>a2b+ab2, 即1a3+b3-2ab√ab1>1a2b+ab2-2ab√ab1, 名号g即a宁6号时等号成立 即a3+b比a2b+ab2远离2ab√ab 所以十。+16的最小值为号 第4期2版参考答案 18.解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x 专项小练 ≤6)，底面积为12平方米， 1.A;2.C;3.B;4.C;5.B;6.ABD;7.B; 所以屋子前面的墙的长度为2米， 8.C;9.{b1-6≤b≤6}. 10.解：(1)由题可知x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2= 设甲工程队报价为y元， 0的两个解，且a>0, 则y=3×2×400+2×3x×150+7200=900 16 3 「1+b= 所以{ g解得0=1 x+7200,2≤x≤6， 2 1b=2. 1×b= 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, 综上可得d>b>a>c. 即(x-m)(x-2)<0, 6.因为不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R, 当m>2时，不等式的解集为{x12<x<m}; 所以当a-2=0,即a=2时，不等式为3>0恒成立，故 当m=2时，不等式的解集为☑； a=2符合题意； 当m<2时，不等式的解集为xlm<x<2}, 当a-2≠0，即a≠2时，不等式(a-2)x2+4(a-2)x+ 1解：()当a+子>0时a>-多 3>0的解集为R, 不等式fx)>0,即(x-a)(2x+3)>0, 则-2>0， 解得<-号或>。 4=[4(a-2)]2-4(a-2)×3<0, 解得2<a<升 所以不等式)>0的解集为{<-子或x>} 综上，实数a的取值范围 {2≤a<} (2)由题知2x2+(3-2a)x-3a+8=0在x<1上有两 个不相等实根， 7.由x+2y=3得(x+2)+(2y+1)=6, 令g(x)=2x2+(3-2a)x-3a+8, 又x>0,y>0,所以x+2>2,2y+1>1, 4>0, 4=4a2+12a-55>0, 即2+(3-2a)-3a+8>0, 所u2*6(*)加+2+a 则8(1)>0， 3-2a<1, 】++ + ）≥6(2+ 4 3-20<1, 4 以或 5 13 2y+1.x+2 解得a<- <a< 5 2+22+1) =子（当且仅当x=y=1时取等号）， 所以实数a的取值范围为aa<- 或 <a< 2 所以由1≤女+，中恒成立可得1≤号 13 8.解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.解方程2x2 5 +(24+7)+7张=0，得与=-子4=-k①当>子，即 第4期3,4版参考答案 -k<-2时，不等式2x+(2k+7)x+7k<0的解集为-6 7 一元二次函数、方程和不等式核心素养综合测评 一、单项选择题 <x<-子此时不等式组2-8>0， 的解集 1~4 ACBA 5 ~8 ABDB 2x2+(2k+7)x+7k<0 提示： 为{x-k<x<-子} 71 依题意-5≤-k<-4,即4<k≤ 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 2由≠0.可得#>0，则+号=22于 =2, 5:②当k<子即-6>-子时，不等式2+(2+7)x+76 7 x2 7 当组仅当=即=1时，等号成立， <0的解集为-之<x<-k,要使不等式组 改+子的银小值为2 「x2-2x-8>0, 的解集中只有一个整数，则需满足 2x2+(2k+7)x+7k<0 3.因为-1<a<0, -3<-k≤5，即-5≤k<3.所以k的取值范围是{1-5≤ 所以1+a>0,0<-a<1, k<3或4<k≤5}. 所以-a-a2=-a(1+a）>0, 二、多项选择题 a2-(-a3)=a2(1+a)>0, 9.AC:10.AC:11.BD. 所以-a>a2>-a3. 提示： 4.由题意知A={xl-1<x<3},B={x1-3<x<2}, 2<a<5,所以4<a+2b<1,(A)正确： 所以A∩B={xI-1<x<2}, 9.对于(A)2<h<6, 由根与系数的关系可知a=-1,b=-2, [2<a<5,所以-1<a-b<4,(B)不 所以a+b=-3. 对于(B)-3<-6<-1, 5.因为a+b=c+d,a+d>b+c, 正确； 所以2a>2c,即a>c,因此b<d. 对于(C), 因为a+c<b,所以a<b. <a<5:所以2<ab<15,(C)正确： 1<b<3, 一8 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 r2<a<5, 对于(D), -1+n=-m解得m=-2,n=3, 则 1 1 以号<号<5，(D)不正确 <6<1, -1·n=-3. .3 所以m·n=-6. 故选(A)(C) 13.因为正数x,y满足x+4y-xy=0, 10.因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集 为{xx<-2或x>3}, 所以x+4y=y,即+4=1， y 所以a<0,且方程ax2-bx+c=0有两个实根-2和3， 则+y=(+(+）=5++女5+ 则片=1，后=-6，即6=a,c60, a x 4y =5+4=9, 所以a+5b+c=a+5a-6a=0,故(A)正确： 2入y c=-6a>0,故(B)错误； 当且仅当：=4，即x=6,y=3时取等号， 由bx2-ax+c>0得ax2-ax-6a>0,即x2-x-6< 0,解得-2<x<3,即bx2-ax+c>0的解集是{x1-2<x 故x+y的最小值为9，则3的最大值为写 x+y <3},故(C)正确： 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 由cx2+ax-b<0得-6ax2+ax-a<0,即6x2-x+1 <0,不等式无解，故(D)错误. 明写片-2复4路=1解得。=16=3. 故选(A)(C). 所以T(2m,5-4m）=2mt3×5:4m≤4， 11.对于(A)f2,4)=2×(1+4)=10, 4m+5-4m f(4,2)=4×(1+2)=12, 解得m≥-之， 即f2,4)<f(4,2),故(A)错误； m,3-2m)=m+3×(3,2m>P,解得m<9-3P 对于(B)(）=1+)=+x≥2， 2m+3-2m 5 因为不等式组恰有3个整数解， 当且仅当号=x,即x1时，等号成立，故(B)正确： 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<-子 对于(C),f代x-a,2x）=(x-a)(1+2x）=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， 则实数P的取值范围是 -2≤P<-} 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 四、解答题 则4=(1-2a)2-16≤0， 15.证明：(1)由a>b>1,则a-1>0,b-1>0, 解得-子≤a≤名放(0)错误： 故(a-1)(b-1)>0, 由d<c<-2,则c+2<0,d+2<0, 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ 故(c+2)(d+2)>0, 0成立， 所以(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0,得证. 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, (2)由ac+bd-bc-ad=c(a-b)+d(b-a）=(c-d)(a r2a-1<2, -b), 则①4 而a-b>0,c-d>0, l2×22+(1-2a)×2+2≤0， 所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0, 或② r2a-1≥2， 4 即ac+bd>bc+ad,得证. 4=(1-2a)2-16≥0， 16.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 号，由②解得a≥号 则100-x万元投入B产品，则 由①解得3≤a< y=为+为=18-180+100-2 综上，得a的取值范围是aIa≥3}，故(D)正确。 x+10 5 故选(B)(D). =38-180 0-专，0<x<10 三、填空题 12.-6；13.3； 14 -2≤p<-} 2由0)得，5=8一。言：0- 180 x+10 x+10 提示： 5 ）≤40-20x-28 12.由不等式x2+mx-3<0的解集为xl-1<x<n}, 得-1，n是方程x2+mx-3=0的两根， 当且仅当，9。=号0，即x=20时等号成立 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 所以当x=20时，公司利润最大. 即5x 5bx 5bcx 17.解：(1)y≤4-2a,即x2-(a+2)x+2a≤0， 却6+1+bc+bc+6+1+1+6c+6=1 即(x-a)(x-2)≤0， 所以e严=1，即5x=1,解得x=号 1 +6+bc 因为不等式的解集恰好为{xI2≤x≤5}，所以a=5. 训=。+中=6+1中6器0 1 b 1262+2b+1 (2)由题意得对任意的1≤x≤4，x2-(a+2)x+5+a≥ 0恒成立，即a(x-1)≤x2-2x+5恒成立. b 当x=1时，0≤4恒成立，此时a∈R; 118 6+3 当1<≤4时a≤25-1+超成立， x-1 因为26+6≥2√26·石=22，当且仅当26=方， 因为0<-1≤3，所以1卡≥ 即6。 奇4，当且很当-1号即=3时 2√(x-1)·4 a=大=万时，等号成立， 等号成立，所以a≤4. 所以2b+。有最小值2万， 综上，实数a的取值范围为aIa≤4}. 此时—1 有最大值3-22， 18.解：(1)假设条件①②符合题意 26+ 6+3 因为a=-1,二次函数的图象开口向下， 从而1-1 —有最小值22-2， 所以y<0的解集不可能为x-1<x<3},不满足题意； 2+5+3 假设条件②③符合题意. 由a=-1知二次函数的图象开口向下，y无最小值，不满 1 1 即M=+。++2%有最小值25-2 足题意； 所以满足题意的条件为①③. 第5期2版参考答案 因为不等式y<0的解集为x1-1<x<3}, 专项小练一 所以-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根， 1.C;2.C;3.AC;4.[2,4];5.9. 所以-1+3=2=-合，-1×3= 6.解：(1)因为f)= x+2, 即b=-2a,c=-3a. 11 所以函数y=a成+加+e在x=一名=1处取得最小值， 所以f(2)=2+2=4 因为h(x)=x2+1, 所以a+b+c=-4a=-4,即a=1, 所以h(1)=12+1=2. 所以b=-2,c=-3. (2(2)]=2+1)=f5)=5+2=7 1 1 (2)由(1)知y=x2-2x-3, 则y≥(m-2)x+2m2-3即x2-mx-2m2≥0， 即(x+m)(x-2m)≥0. (3)因为=+2的院义坡为1≠-2，所以y0, 所以当m<0时，不等式的解集为xlx≤2m或x≥-m}; 所以函数fx)的值域为(-∞，0)U(0,+∞). 当m=0时，不等式的解集为R; 因为h(x)=x2+1的定义域是R,由二次函数图象（图略） 当m>0时，不等式的解集为{xlx≥2m或x≤-m}. 知最小值为1， 综上，当m<0时，不等式的解集为{xlx≤2m或x≥-m}; 所以函数h(x)的值域为[1，+∞). 当m=0时，不等式的解集为R; 专项小练二 当m>0时，不等式的解集为xlx≥2m或x≤-m. 1.C;2.D;3.ABC;4.2;5.-2. 1 1。ab ab 6.解：设f代x)=ax2+bx+c(a≠0). 19解：)1+a+1+6=b+0+ab+F 因为f(0)=1,所以c=1. a =a+b+a+b=1 又因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(aa2+bx+1)=2x, (2)因为abc=1, 整理得2ax+（a+b)=2x. 5ax 5bx 所以原方程可化为ab+a+ac+c+6+i+ 所以2a=2,解得a=1, 5bex la+b=0,lb=-1, 6(ca+c+1)=1, 所以f(x)=x2-x+1. -10 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 所以f0)+f代4)+f6)=0. 第5期3,4版参考答案 二、多项选择题 函数的概念及其表示同步核心素养测评 9.ABD:10.ABC:11.BCD. 一、单项选择题 提示： 1~4 CDBD 5~8 CADA 9.对于每个时间t,都有唯一的h,d与之对应，所以(A), 提示： (B)正确； 1.由fx)=√2x-1,则2x-1≥0，解得x≥2 对于每个d,根据对称性，有两个h与之对应，所以(C)错误； 对于每个h,有唯一的d与之对应，所以(D)正确。 所以函数)的定义城为[分，+0)】 故选(A)(B)(D)· 2.f2)=f0)=02+2=2. 10令1=士≠0，则x= 3.选项(A),(C),(D)的函数图象中存在x,对应多个不 同的函数值，故不可以表示函数，故(B)正确. 2+12+ 4.由题意得a>0,△=4-4a=0, 故f(t)= 所以a=1,所以fx)=x2+2x+1, 所以f(3)=9+6+1=16. 5.令t=x2-1,则t≥-1，且x2=t+1, 即f)=1+十红0且x≠-1).(D)错误： 代入原式得ft)=(t+1)2-1=2+2t(t≥-1)， 0=1++>2,即-÷>0， 故f(x)的解析式为f(x)=x2+2x(x≥-1). 故x(x+1)<0,得-1<x<0,(A)正确： 6.对于(A),两个函数的定义域相同fx)=F=x, g(x)=√=1x1,两者的函数解析式不相同，故两者不是同 由)=1+十x0且-0， 一函数； 得值域为{yIy≠1且y≠2}，(B)正确； 对于(B)f(x)=x2-2,g(t)=t-2,两个函数的定义域 2)=1+2手，（©）正确 1 和对应法则相同，故得到两个函数是同一函数： 故选(A)(B)(C). 对于(C),两个函数的定义域相同为{xIx≠0}，且f(x) 11.依题意，当0≤x≤3时，令y1=a1x+b1, =°=1，g(x)=二=1对应法则相同，故得到两个函数是同 b1=3, 则 解得a1=-1,b1=3,则y1=-x+3; 一函数； 3a1+b1=0, 对于(D),两个函数定义域相同f代x)= x-1,x之1对 l-x+1,x<1, 当3≤x≤4时，令为=5+，则a+6,=3, 3a2+b2=0, 应法则相同，故两个函数是同一函数. 解得a2=3,b2=-9,则y2=3x-9, 7.由a[f(a)-f-a)]>0可知， 若a>0,则fa)-f-a)>0, 因此f(x)= ∫-x+3,0≤x≤3， 3x-9,3<x≤4. 即a+1-[-2×(-a)-1]>0, 对于(A),ff4))=f3)=0,(A)不正确： 解得a<2,所以0<a<2, 对于(B),函数f代x)在[1,3]上随着x的增大而减小，在 若a<0,则fa)-f-a)<0, 即-2a-1-(-+1)<0, [9 上随着x的增大而增大， 解得a>-2,所以-2<a<0, 综上，实数a的取值范围为(-2,0)U(0,2). 而1)=2(9）=1，因此函数)在区间1.碧] 8.令x=y=0,则原式变为f0)+f(0)=f(0)f(0), 上的最大值为2，(B)正确； 即2f0)=f2(0),所以f0)=0或f0)=2, 对于(C),因为当0≤x≤3时，x-3+21x-31=-x+ 当f0)=0时，令y=0得到f(x)+f(x)=fx)f0), 3,当3<x≤4时，x-3+21x-31=3x-9, 所以f(x)=0,不满足题意舍去，所以f(0)=2, 所以f(x)=x-3+21x-31(0≤x≤4)，(C)正确； 令x=y=2,可得f4)+f0)=f2)f2)=0, 所以f4)=-f0)=-2, 对于(D),因为（含）=子（子）=子，观察图象知， 令x=4,y=2,可得f6)+f2)=f(4)f2)=0, 所以f6)=-f2)=0, 当a= 时，不等式)≤a的解集为[受，子]，(D)正确 -11 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期 故选(B)(C)(D). 三、填空题 所以)+）-经导=2. 12.14;13.{1,2};14.（-∞，1]，[0,2). 其中x≠-1且x≠0. 提示： 2 (2)解：由题得1)=中=1 12.在f2x-1)=4x+6中，令2x-1=3,解得x=2, 所以f(3)=2×4+6=14. 所以f225)+2024)+…+2)+)+(2）+ 13.当x=1时，g(f1)=g(2)=2=1+1, 所以x=1是方程的解； +(30）=25)+(20）++2+f(合） 当x=2时，g(f(2)=g(1)=3=2+1, +f1)=2024×2+1=4049. 所以x=2是方程的解； 18.解：(1)由题可知C(8,0),则-8+b=0,即b=8, 当x=3时，g(f3)=g(3)=1≠3+1， 所以y=-x+8,所以B(4,4), 所以x=3不是方程的解， 由图象知，fx)=k的图象经过点B(4,4), 所以方程的解组成的集合为{1,2}. 则4=k·√4，解得k=2. 14.当x≥0时f(x)=-x2 (2)由(1)得，fx)=2E,y=-x+8, +2x=-(x-1)2+1e(-0, 设E(x,2E),则D(x,0),F(8-2E,2E),0<x<4, 1小，当x<0时fx)= 2t+1e -2a0t 所以1CD1=8-x,1DE1=2E,1EF1=8-2E-x, (-∞，1)，所以f(x)的值域为 1FCI=22·E, (-∞，1] 图1 设直角梯形CDEF的周长为L, 不妨设a<b<c,作出函数y=f八x)的图象，如图1所示， 所以l=ICDI+lDEI+lEFI+FC1=16-2x+22·R, 由图象知a∈[-2,0)，b+c=2, 令E=t,0<t<2, 所以a+b+c=a+2∈[0,2). 所以1=16-2x+22·=-22+22t+16 四、解答题 15解：()要使函数有意义，需使-3x-4≥0， =-2-2)°+n, 1x+11-2≠0， 解得x≤-1或x≥4且x≠-3. 所以当：=号，即：=号时，周长1有最大值最大值为n 故函数的定义域为(-∞，-3)U(-3,-1]U[4,+∞)： 所以图书馆平面图CDEF周长的最大值为17， (2)因为y=f(x)的定义域为[-2,3]，要使函数y= 19.解：若x≤-1，则x-3<0,x+1≤0， 孔3x-7)有意义， 所以f(x)=-(x-3)+(x+1)=4; x-2 若-1<x≤3，则x-3≤0，x+1>0, 需使~2≤3x-7≤3， 5 解得 3 所以f(x)=-(x-3)-(x+1)=-2x+2; x-2≠0， x≠2， 若x>3,则x-3>0,x+1>0, 所以f(x)=(x-3)-(x+1)=-4. 故函数-3x7的定义坟为[号2)U(2,号] x-2 4, x≤-1， 16.解：(1)由题意得当x<0时，g(x)=-x>0, 所以f(x)= -2x+2,-1<x≤3， 所以g()=代-)=主=-士 -4,x>3. (1)当-1<x≤3时，-4≤-2x+2<4, 即当x<0时，函数()的解折式为g()=子 所以f(x)的值域为[-4,4)U{4}U{-4,即[-4,4]. (2)由题意得当x≤0时，f(x)=x≤0， (2))>0,即≤1或1<≤3或>3， 4>0 -2x+2>01-4>0, 所以g(f(x)）=g(x)=-x, 解得x≤-1或-1<x<1, 即当x≤0时，函数g(f代x))的解析式为g(f(x)=-x 所以f(x)>0的解集为(-∞，1). 17.(1)证明：因为f(x)=+x 2 (3)f(x)的图象如图2所示， 由图可知，若直线y=a与f代x)的图 -4-20 -2 象无交点，则a的取值范围为(-∞，-4) 4 U(4,+0). 图2 12