第3讲 集合的基本运算导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本运算，核心知识点包括并集、交集、补集的概念及Venn图表达。课堂导入可衔接集合基本概念作为学习支架，引导学生从集合关系过渡到运算，明确学习目标与重难点。 资料特色在于题型分类系统，涵盖基础计算、补集运算、含参数问题等，结合多地阶段检测题。通过Venn图识图和容斥原理应用题培养数学眼光与应用意识，巩固提升题强化推理思维，助力学生构建知识体系与解题能力。

第三讲 集合的基本运算 【学习目标】会求集合间的并集,交集与补集. 【学习重点】集合间的并集,交集与补集. 【学习难点】含参数的集合间基本运算的应用. 必掌握知识点： 一 并集与交集 1．并集的概念及表示 2.交集的概念及表示 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 二 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 三 Venn图表达集合的关系和运算 1．如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 必考题型全归纳： 题型一、交集、并集基础计算 1．（北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】解不等式得，即，与无公共元素， 故. 2．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题. 3．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案. 【详解】集合，， 所以. 题型二、补集运算（全集、求∁ᵤA、结合交并混合运算） 4．（25-26高二下·天津河东·期末）设全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由全集，集合，得，而， 所以. 5．（25-26高二下·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 6．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. 题型三、给定参数值，求交、并、补综合运算 7．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 8．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 9．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 题型四、韦恩图（Venn 图）识图转化集合表达式 10．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 11．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 12．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 题型五、容斥原理实际应用题（人数统计） 13．某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【答案】160 【详解】听讲座的人数为. 14．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 15．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 巩固提升： 1．（25-26高二下·安徽·期末）（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集定义求解. 【详解】，， 所以． 3．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 4．（25-26高二下·甘肃白银·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，故. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 6．（25-26高一下·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． 7．（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，再由即可得到． 【详解】由， ， 故选：D． 8．（2026·贵州黔东南·模拟预测）若集合，，则中的元素个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为集合，， 所以， 则中有4个元素. 9．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用集合运算得，然后利用元素与集合的关系列不等式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以且， 所以且，所以，即实数的取值范围为. 故选：A ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 集合的基本运算 【学习目标】会求集合间的并集,交集与补集. 【学习重点】集合间的并集,交集与补集. 【学习难点】含参数的集合间基本运算的应用. 必掌握知识点： 一 并集与交集 1．并集的概念及表示 2.交集的概念及表示 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 二 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 三 Venn图表达集合的关系和运算 1．如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 必考题型全归纳： 题型一、交集、并集基础计算 1．（北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型二、补集运算（全集、求∁ᵤA、结合交并混合运算） 4．（25-26高二下·天津河东·期末）设全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 题型三、给定参数值，求交、并、补综合运算 7．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 8．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 9．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 题型四、韦恩图（Venn 图）识图转化集合表达式 10．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 12．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 题型五 、容斥原理实际应用题（人数统计） 13．某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 14．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 15．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 巩固提升： 1．（25-26高二下·安徽·期末）（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 4．（25-26高二下·甘肃白银·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 6．（25-26高一下·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州黔东南·模拟预测）若集合，，则中的元素个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A．B．C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $