第7期：导数在研究函数中的应用-【数理报】2027年高考数学一轮复习学案

16.(15分)已知函数f(x)=x2+x-lnx. 18.(17分)已知函数f(x)=e+sinx-cosx,f'(x)为f(x) +y=1在(5，)处的曲率： (1)若a=1,求函数y=∫(x)的最小值； 的导数 (2)求椭圆子 (2)若函数y=f(x)在[1,2]上单调递减，求实数a的取值范 (1)证明：当x≥0时，f'(x)≥2； (3)定义(）-251二为曲线)=f()的“柯西曲率”.已 围。 (1+y')下 (2)设g(x)=f(x)-2x-1,证明：g(x)有且仅有2个零点 知在曲线f(x)=xlnx-2x上存在两点P(x1f(x))和Q(x2, f(x2),且P,Q处的“柯西曲率”相同，求+的取值范围. y 图2 高 高 考 数 学 轮 总 复 17.(15分)已知实数入>0，设函数f(x)=er-x 习 本 (1)当入=1时，求函数f(x)的极值； 考数学一轮总复习达标检 标 (2)若对任意的x∈(0，+∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求入的 最小值， 物 19.(17分)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们 测 需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图2所示的光滑曲线C:y=∫(x) 上的曲线段AB,其弧长为△s,当动点从A沿曲线段AB运动到B点 时，A点的切线l也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的 夹角为△（它等于l。的倾斜角与l的倾斜角之差）.显然，当弧长固 定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小 则弯曲程度越大，因此可以定义下：A 为曲线段AB的平均曲 As 率；显然当B越接近A,即△s越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处 的弯曲程度，因此定义K=四| （1+))（若极限存在) 为曲线C在点A处的曲率.（其中y'表示y=∫(x)在，点A处的一阶 导数，y表示y=∫(x)在点A处的二阶导数，即y”=()',∫"(x)= [f'(x)]') (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率： 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 羞理柄 2026年8月18日·星期二 高考数学 报纸发行质量反馈电话： 第 7期总第1203期 0351-5271248 第一轮复习 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-284 数学家的妙对 1981年4月，华 专题辅导 罗庚到合肥中国科 导数在 命题趋势 技大学（以下简称 1.以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值；以实际问题为背景，考 “科大”)讲学，同去 研究函数中的应用 查导数在生活中的优化问题的应用；以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平 面向量等知识相结合的问题， 的有张广厚、王元 2.预测2027年高考将考查一大一小两道题，小题主要考查导数的儿何意义或函数 等著名数学家。4月 专题解读 图象，大题考查运用导数研究函数的单调性、极值或最值等问题， 的合肥，正是春光 ○湖南肖迎春 明媚，鸟语花香的 考点精析 2 所以当xe(1,1+√1+)时(x)<0, 考点三、利用导数研究与函数零点有关的问题 季节。华先生一行 考点一、利用导数研究函数的单调性、极值、最值 例3已知函数f(x)=m-↓-(a+1)1nx 住在风景如画的 f')<0f()在(1,1+√+品 上单递减， “稻香楼”里朝南的 例1已知数f)=h2产+ax+6-1 (1)当a=0时，求f(x)的最大值； (1)若b=0,且f'(x)≥0，求a的最小值： 故f1+√+) <f(1)=-2,不符合题意 (2)若∫(x)恰有一个零点，求a的取值范围， 个小院子里，科 大还专门派了一位 (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； 2 解析：(1)当a=0时f(x)=-1-nx, (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2,求 综上，6的取值范围为[-弓，+) 医生倪女士照顾华 点评：本题考查利用导数研究函数的单调 >0,则f'(x)=-1=1- = b的取值范围. x 先生。 解析：(1)f(x)的定义域为(0,2)， 性和函数图象的对称性，考查逻辑推理能力、运 令f'(x)<0,解得x>1; 华先生在科大 若b=0,则y(x)=ln2- 算求解能力以及数形结合思想 令f'(x)>0,解得0<x<1. -ax 考点二、利用导数解决不等式问题 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1， 生活很愉快，每天 f'()=2.22)t+a 例2已知函数f(x)=a(x-1)-1nx+1. +∞)上单调递减， 傍晚由同住的数学 (2-x)2 (1)求f(x)的单调区间； 即f(x)ms=f(1)=-1. 家陪他散步、聊天， 2 =x(2对+a, (2)当a≤2时，证明：当x>1时f(x)< (2)由题青/'()=a+片-a生出 也说说笑话。一天， e-l恒成立. x 当x∈(0,2)时，x(2-x)∈(0,1]， 华先生在住处，突 f'(x)mn=2+a≥0，则a≥-2， 解析：(1)因为f(x)=a(x-1)-lnx+1, -ar-1)x-1D,x>0, 1 s- x2 然诗兴大发，他看 故a的最小值为-2. 所以f'(x)=a- ,x>0, ①当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调 着倪医生笑着对大 (2f(2-)=n2-i+a(2-x)+61 若a≤0，则f'(x)<0恒成立，所以(x)在递增，在(1，+∞)上单调递减， 家说：“我出一个对 (0,+∞)上单调递减，即f(x)的单调递减区间 f(x)m=f(1)=a-1<0, x)3=-ln2-x -ar-b(x-1)3+2a 为(0，+∞)，无单调递增区间； 所以函数f(x)无零点，不合题意： 子，你们来对一下： =-f(x)+2a, 若a>0,则当0<x<1时，f'(x)<0,当 妙人儿倪家少女”。 ②当0<a<1时，日>1，函数()在0， 故曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称 这个对子很 (3)由题知f(1)=a=-2, x 。时了()>0，所以()的单调递诚区)上单调递增，在(1，。）上单调递减，在（日 难，其中“妙”字拆 此时f(x)=ln2-x 2x+b(x-1)3, 间为(0，，单调递增区间为（日+x) +0 上单调递增 成了“少女”，“倪” 综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为 字拆成了“人儿”， f'()=2=x.2+5-2+36(x-1)2 (2-x)2 (0,+),无单调递增区间； 且f)=a-1<0f(a）<f)<0,当 又与倪医生相应 -2+3b(x-1)2 x→+时，f()一→+0，由零点存在定理可知 x(2-x) 当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0， 对。大家想了许久， f()在（日，+如）上必有一个零点，符合题意： 实在想不出下联， =-2 +3b] ,单调递增区间为（合，+）】 最后还是由华先生 2 记g(x)=x2-+36,xe(0,2), (2)设g(x）=a(x-1)-lnx+1-e- ③当a=1时f'()=x-1)≥0， 自己说出了下联： 只需证当x>1时g(x)<0即可， 函数∫(x)在(0，+∞)上单调递增， 易知g(x)在(0,1)上单调递减， 且f(1)=a-1=0, “搞弓长张府高 在(1,2)上单调递增，g(1)=2+3b, 易知g(x)=a--e, 所以函数∫(x)恰有一个零点，符合题意； 才”。 当6≥-子时，g(x)≥0'(x)≥0， 令()=g(0.则()=卡 -ex-1 其中“搞”字拆 ④当a>1时日<1，函数f(x)在(0， ∫(x)在(0,2)上单调递增， 由基本初等函数的单调性可知h'(x)在 1 成了“高才”，“张”字 又∫(1)=-2，故符合题意 (1,+∞)上单调递减， 上单调递增，在（后，1）上单调递减，在(1， 拆成了“弓长”，却正 当6<-子时，g1)<0., 则当x>1时，h'(x)<h'(1)=1-1=0, 所以h(x)=g'(x)在(1，+∞)上单调递减， +)上单调递增，且f(1)=a-1>0,f(日) 好又对着在座的数 2 g()=x(2-x) +3b =-36x2+6bx+2 于是当x>1时，g'(x)<g'(1)=a-2, >f(1)>0,当x→0+时，f(x)→-∞，由零点 学家张广厚。大家 x(2-x) 又a≤2，所以a-2≤0，则当x>1时， 惊叹不已，赞赏对 令g(x)=0,得x=1±1+36 g'(x)<0,故g(x)在(1，+∞)上单调递减， 存在定理可知f(x)在(0，。)上必有一个零 联之妙。 所以当x>1时，g(x)<g(1)=0, 点，符合题意， 因为b<- 2 ，所以1+6 ∈(0,1)，故 即当x>1时，f(x)<e-恒成立 综上所述，a的取值范围是(0，+o∞). 点评：本题考查利用导数求函数的单调区 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单 1+3b VI+ 2 间和不等式恒成立，考查运算求解能力、分类讨调性、函数的最值、函数的零点，意在考查学生的数 ∈(1,2)，1- ∈(0,1)， 论思想， 形结合能力、逻辑推理能力以及运算求解能力. 素养专练 数理极 （A)在(-2,1)上，f(x)是增函数 考题预测 （B)当x=4时，f(x)取得极大值 (A)a>c>b (B)a>b>c ©数理报社试题研究中心 (C)在(1,3)上f(x)是减函数 (C)b ze>a (D)b axc 1.函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是 (D)在(4,5)上(x)是增函数 5.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数)在 ( 3.已知函数f(x)=nx,则f(x)的极大值为 [-3,3]上有最小值3，那么a= f(x)在 (A)(-∞，2) (B)(0,3) [-3,3]上的最大值是 (C)(1,4) (D)(2,+0) ( 6.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 2.如右图是函数y= (A)-e (B)⊥ f'(x),且满足f'(x)-f(x)<0,f(2)=e,则不等 e fx)的导函数∫'(x)的图 (C)1 (D)0 式∫(x)>e-1的解集是 象，则下面判断正确的是 4.已知a=n2 3 26 =Inm-me In3-3, 3 参考答案见下期 又由条件知a>0,所以0<a≤1. 第6期2版参考答案 因为'()==1，所以0=1，求得0=1， 所以实数a的取值范围是(0,1]. 1.C;2.C;3.C;4.B;5.A;6.C. 所以函数f代x)在点A处的切线方程为y=x, 19.解：(1)由题得 所以曲线y=f(x)上的点到直线l的最短距 第6期3版参考答案 2x+3, x<0. 离即点A到直线的距离等于 h'(x) 11-1+21=2. x>0. 一、单项选择题 1~4 ADCD 5~8 AABA 5 二、多项选择题 (2)由题意得g(x)= 则h'(x)=2x1+3=1,解得x1=-1, 9.BD;10.AC;11.CD. 即A(-1,-2+a), 三、填空题 z2-(a+ix+hx+10<x<3). 12.24;13.x+y-2=0;14.1+√2 航以g()=-(a+)+ h'(x)= 1,解得=1，即B(1,-1) 四、解答题 x2-(a+1)x+1 所以k=-2-(-卫=1，解得a=-1. 15.解：(1)因为f(x)=(3x+1)21n(3x), -1-1 所以f'(x)=2(3x+1)×3ln(3x)+(3x+ 1)×品=6(3x+10n(3）+341y 因为曲线y=g(x)上存在两个不同的点， (2)设A(x1,h(x),B(x2,h(x2)）为函数 使得在这两点处的切线都与x轴平行， h(x)图象上的两点，且x1<x2, 所以关于x的方程g'(x)=0, 当x1<x2<0或0<x1<x2时， (2)由f'(x)=6(3x+1)n(3x)+(3x+)2 即x2-(a+1)x+1=0在(0,3)上有两个不 h'(x)≠h'(x2),所以x1<0<x2: 函数h(x)在点A(x,h(x,)处的切线方程为 得f(信）=6×(3x写+1)xh(3x写) 同的根， 设h(x)=x2-(a+1)x+1, y-(x2+3x1+a)=(2x1+3)(x-x), 3×号+1） 1 4=(a+1)2-4>0, 即y=(2x1+3)x+a-x, =12 h(0)=1>0, 函数h(x)在点B(x2,h(x2)处的切线方程为 1 0<<3, 所以/(x)的图象在（兮，0）处的切线方程为 h(3)=9-3(a+1)+1>0, 2x,+3=1 ① y=12(x-写），即y=12x-4 解得1<a<子 两切线重合的充要条件是 a-=-2,② 16.解：(1)由题得0+6+c=0, 所以实数a的取值范围是(1，子) x1 1+a=0, 由①及<0<，得0<1<5， 解得a=-1,b+c=1, 18.解：(1)因为f(x)=a(x+lnx), f(x)=-x2+bx+c,g(x)=xx, 所以f(x)=a1+）,所以f"(1)=2a, 令1=上，则0<1<5 所以f'(x)=-2x+b,g'(x)=3x2-1. 又f(1)=a, 又函数f(x)和g(x)在点(1,0)处有公共切 由①得=之心-3)， 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为 线， y-a 2a(x-1),y 2ax-a. 所以f'(1)=g'(1),即-2+b=2, 由②得a=好-2 =x2-2 x 解得b=4,c=-3. 由=2r-a消去)整理得x2-2a+a=0. 所以f(x)=-x2+4x-3,g(x)=x3-x. =(0-62+9)-21 (2)由(1)得，f'(x)=-2x+4, 则4=4a2-4a=0,解得a=1. 设切点P(xoyo), (2)由条件可知f(x)-g(x2)<fx,)- =--2+0<1<. 则切线斜率k=f'(x)=-2x。+4, g(x1)(x1<x2), F(x)=f(x)-g(x)=a(x+Inx)-x2, 设)=子--2u+0<1<. o-1 所以{x。 =-2x0+4, 则由条件可得F(x)在[1,2]上单调递减， 则p'(t)=2-3t-2<0, y%=-6+4x0-3, 所以F'(x)=a(x+）-2x≤0在[1,2]上 所以医微0)=子--2+号0 4 又点P(xo少)在第三象限， 恒成立， 上为减函数， 故解得=-2， 0=-15, 所以u≤2x x+在[1,2]上恒成立， 9 且-25<p()<4, 即点P的坐标为(-2，-15) 2 17.解：(1)设曲线y=f(x)上的点A(x0,o) 因为+山+了≥1 那以-25<a<是 到直线1的距离最短， (x 则函数f(x)在点A处的切线与直线1平行， 当x=1时等号成立，所以a≤1， 即实数口的取值范围是(-25，？) ∫(x)>0,且f(-2)=0,则不等式2>0的解集是( (A)当0=6=2时，f(x)的单调递减区间为(-号，0） 高考数学一轮总复习 (A)(-2,0)U(0,2) (B)(-,-2)U(2,+) 达标检测（七） (B)当a=6=2时，了()的单调递增区间为(-子，0) (C)(-2,0)U(2,+0) (D)(-∞，-2)U(0,2) 考试范围：导数在研究函数中的应用 7.已知函数f(x)= (x-)h,且a=(号)6=f(告) (C)当c=-4如时，若函数∫(x)恰有两个不同的零点，则哈=3 (D)当b=c=0时，f(x)>lnx恒成立，则a的取值范围是 ○数理报社试题研究中心 c=f(),则 (A)a >b>c (B)c>a>b 30,+0 第I卷选择题（共58分) (C)a>c>b (Dc>b>a 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 8.若不同的两点P,Q均在函数y=∫(x)的图象上，且点P,Q关 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 1.已知x=a是函数y=f(x)的极小值点，则下列各选项中是 于原点对称，则称(P,Q)是函数y=∫(x)的一个“匹配点对”（点对 函数y=∫(x)的导函数的图象的是 (P,Q)与(Q,P)视为同一个“匹配点对”).已知∫(x)= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 ex≥0， 12.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为 恰有两个“匹配点对”，则a的取值范围是 2ax2,x<0 13.函数f(x)=sinx+之in2x的最大值为 高 (B ((o,2) (®(- 14.若实数x满足∫(x)=-g(-x),则称x为函数y=∫(x) 高 与y=g(x)的“关联数”.若∫(x)=a(a>0,a≠1)与g(x)= 考 数 学 (c)(o,2) (D)(-3,0】 -x2在实数集R上有且只有3个“关联数”，则实数a的取值范围是 数 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 四、解答题：本题共5小题，共77分 轮 总 9.已知函数∫(x)的定义域为[-1,5]，其部分自变量与函数值 (C) (D) 复 的对应情况如下表： 15.(13分)已知函数f(x)=ax3-bx+4在点x=-2处取得 总 习 2.下列函数中，在(0，+∞)上单调递增的是 复 习 0 2 4 5 达 (A)f(x)=sin 2x (B)f(x)=xe 极值器 标 f(x) 2.5 13 (C)f(x)=x-x (D)f(x)=-x+Inx (1)求实数a,b的值； 达标 检 f(x)的导函数f'(x)的图象如图1所示 检 测 3.已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市 (2)求函数f(x)的单调区间. 测 则下列结论中正确的是 ( f'(x)/ 场销量y(件)与商品售价x(元)的关系式为y=e“,则当此商品的 45 (A)f(x)在区间-1,0]上单调递增 利润最大时，该商品的售价为 ( ) (B)f(x)有2个极大值点 1 (A)5元 (B)6元 (C)7元 (D)8元 (C)f(x)的值域为1,3] 4.若f(x)=xsinx+c0sx-1,x∈ 【-五，]，则函数f(x)的 (D)如果当x∈[t,5]时，f(x)的最小值是1，那么t的最大值 为4 零点个数为 ( 10.设f(x)=(1+x)nx,g(x)=(a-1)x,若f(x)≤g(x) (A)0 (B)1 在x∈[1,2]上恒成立，则实数a的值可以是（附：ln2≈0.69） (C)2 (D)3 5.已知当x=1时，函数f(x)=alnx+么取得最大值-2，则 (A)3-ln2 (B)3 ( (C)2 (D)2+3ln2 (A)-1 (B)1 2 (C)-2 (D)2 11.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+c(a>0,b,c∈R),则 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf'(x)高考数学第一轮复习第5~8期 °教理柄 答案详解 2026~2027学年 高考数学第一轮复习 第5~8期(2026年8月) 当x=1时，y=0; 第5期2版 当x>1时，函数y=2-2在(1，+∞)上单调递增， 考题预测 且y>0; 1.D;2.C;3.A;4.C;5.D6.A 当x<1时，函数y=2-2在(-，1)上单调递减， 且y>0. 第5期3,4版 故选(B). 高考数学一轮总复习达标检测(5) 5.设f(x)=x, 一、单项选择题 因为幂函数()的图象过点(2,7)）。 1 ~4 CBDB 5 ~8 CBBC 提示： 所以=2，解得0=-1， 1.由题意，函数f(x)=1og.(x-b)+c(a>0,且a≠1)， 当x-b=1,即x=b+1时，可得y=c, 所以f()=子 即函数f(x)的图象恒经过点(b+1,c. 当e[分，小时， 又因为f(x)的图象恒过定点(3,2)， 可得6+1=3， b=2, g(x)=(x+3x+1).1 解得 lc=2, lc=2, =x+ +3 所以b+c=4. 2.因为f(1)=f(3), 所以二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为 =5, 直线x=2, 又a<0,所以f(4)<f(3)<f(2), 当且仅当x=,即x=1时，等号成立， 又f(1)=f(3),所以f(4)<f(1)<f(2). 所以函数()=（父+3+1）()在区向[7]上 3.因为函数f(x)为奇函数， 的最小值为5. 所以f(1g7）=f(-1g2)=-f(1g2). 6.依题意得，6.0=lg0.001+1.66lg4+3.5, 又f(1g2)=100e2-1 则5.5=1.66lg4, =1024g2-1 =10g4-1 则g4=高-3313. =4-1=3, 故4=102318 =103×20.313×50313 所以/(g分）=-f(g2)=-3. ≈1000×1.24×1.65 r2-2,x≥1， =2046. 4.y=12-21= 2-2,x<1, 故选(B). 高考数学第一轮复习 第5~8期 7.由题知f(x)=3+x+1=0, 对于(C),因为x>y>0,所以2>2'，(C)正确： 得3*=-x-1, 对于(D),令x=2y=宁则n+1ay=11=0, 即a为函数y=3与函数y=-x-1交点的横坐标， (D)错误。 同理可知b为函数y=logx与函数y=-x-1交点的横 故选(A)(C). 坐标， c为函数y=x3与函数y=-x-1交点的横坐标， 10.对于(A)f(x)=√4-x的定义域为[-2,2]，其值 域为[0,2]，所以If(x)1≤2，符合题意正确； 分别作出y=3,y=logx,y=x3和y=-x-1的图象， 如图1所示 对于()f(0==子。一1的定义城为1≠ 今3 4},其值域为y1y≠-1}，所以不符合题意； 对于(C)f(x)=log号(2-2x+3)=lg号[(x-1)2+2] y=log;x 的定义域为R,其值域为(-0，-1]，所以不符合题意； 对于(D)f(x)=10-224=10-2(-224的定义域为 R,其值域为[-6,10)，所以|f(x)1<10,符合题意正确 图1 故选(A)(D) 由图象交点可得b>c>a. 11.函数f(x)的大致图象如图3所示， 8.因为f(x+2)=f(x-2), 所以f(x+4)=f(x), 所以函数f(x)的周期为4. 因为f(x)是偶函数，当x∈[0,2]时，-xe[-2,0], 图3 所以f()=f(-)=(3）”-1=2-1 作出函数y=f(x),g(x)=l1og（x+2)的图象如图2所示， 显然函数了()的图象不关于直线：=子对称，故选项 (A)错误； 由图3可知函数f(x)在(3，+∞)上单调递增，故选项 123456 (B)正确； 2￥1Q 函数y=「f(x)-11的大致图象如图4所示， 图2 易知a>1, 要使方程f(x)-log(x+2)=0恰有3个不同的实数根， 则需函数f(x)与g(x)的图象有3个不同的交点， 31 所以 2）<f2即4<3， 图4 g(6)>f(6),log8>3, 当m∈(1,2)时，0<2-m<1,此时函数y=2-m与 解得4<a<2. 函数y=1f(x)-11的图象有2个交点，所以方程1f(x)-1I 二、多项选择题 =2-m有2个不同的实数根，故选项(C)正确； 9.AC;10.AD;11.BC. 当m∈(-1,0)时，2<2-m<3,此时函数y=2-m与函 提示： 数y=1f(x)-11的图象有4个交点，所以方程1f(x)-11= 9.对于(A),因为x>y>0,所以x2>y2,(A)正确； 2-m有4个不同的实数根，故选项(D)错误， 对于(B),若x2-x<y2-y,则x2-y2<x-y, 故选(B)(C). 即(x-y)(x+y)<x-y.又x>y, 三、填空题 所以x+y<1,不符合题意，(B)错误； 12.x=2;13.4;14.4. -2 高考数学第一轮复习第5~8期 提示： (x 1og2(x-1) 12.由题得f(x)= log2 x =log2 (x-1)logzx =10g2(x2-x), 图5 -1>0, Hx1∈[m,n],3x2∈[0，+o),使得f(x1)=g(x2)成立， 解得x>1, x>0, 等价于函数f(x)在[m,n]上的值域是g(x)在[0，+∞) 所以函数f(x)的定义域为(1，+∞)： 上的值域的子集， 若f(x)=1,则l0g2(x2-x)=1, 所以m=-5,nmx=-1, 即x2-x=2,解得x=2或x=-1(舍） n-m的最大值为-1-(-5)=4. 四、解答题 13.因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)x"在R上为增函 r4x-1>0, 数， 15.解：(1)由题得 1oga3(4x-1)≥0， 所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3, 当m=2时，f(x)=x2,在R上不是增函数，不符合题意； 解得片<≤分即A=(仔]， 当m=3时f(x)=x3,在R上为增函数， 所以CA=(-,4]U(},+） 所以m=3. 当m=1时，0<x≤1， 则logm√27+2lg5+lg4+mm 所以片<4≤1，即B=(任，小 loga V27 +1g25+1g4+358 =1og337+lg100+2 1 所以(CnB=(分，1] =+2+ (2)因为B=(子4] 若存在实数m,使得A=B, =4. 4因为y=(兮)在R上单调造欢。 则必有4=宁解得m=宁 y=log2(x+3)在(-3，+∞)上单调递增， 放存在实数网=宁使得A=R 且当=1时，（兮） 1-2 16.解：(1)因为幂函数f(x)=(2-4h+5)x2m, =log2(1+3)=2. 所以2-4k+5=1,解得k=2. -2 ，-3<x≤1， 又因为幂函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x) 所以-m2+4m>0,解得0<m<4, 1og2(x+3),x>1. 因为m∈Z,所以m=1或m=2或m=3, 易知g(x)在[0,1]上单调递减， 当m=1或m=3时，f(x)=x3,图象关于原点对称， 在(1，+∞)上单调递增， 不合题意； 所以当x≥0时，g(x)≥g(1)=2, 当m=2时，f(x)=x,图象关于y轴对称，符合题意. 即g(x)在区间[0，+o)上的值域为[2，+∞) 综上，m=2,k=2. f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6， (2)由(1)可得m=2, 令f(x)=-x2-6x-3=2, 所以(2a-1)3<(a+2)3, 解得x=-1或x=-5. 而函数y=x3在(-∞，0)和(0，+∞)上均单调递减， 画出函数f(x),g(x)(x≥0)的图象如图5所示. 且当x>0时，y=x3>0, 一3 高考数学第一轮复习第5~8期 当x<0时，y=x3<0, 故当t=16时，y取得最大值，为375.25， 所以满足不等式的条件为0<a+2<2a-1或a+2< 即最大利润为3.7525万元. 2a-1<0或2a-1<0<a+2, 所以这30天内日销售利润均未能超过4万元， 解得-2<a<7或a>3, 该公司需要考虑转型。 18.解：(1)由题易知函数f(x)的定义域为R 故满足不等式(2a-1)3<(a+2)号的a的取值范围是 因为f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1), (-2,2）u3,+) 即1og:子-m=g5+m,解得m=-1 17.解：(1)若选择模型①， 经检验当m=-1时， 「k+b=2, 将(1,2)，(3,3)代入可得 f(x)=log2(4+1)-log22=l1og2(2+2), L3k+b=3, f(-x)=log2(2+2*)=f(x), 解得长=6=子 则函数f(x)是偶函数， 所以m()=子+子，经验证，符合题意： t 3 所以m=-1. (2)当m>0时，函数f(x)=log2(4+1)+mx在R上 若选择模型②， 单调递增，且f(0)=1. c·a=2, 将(1,2)，(3,3)代入可得 c·ad=3, 则f[8(g2+2(）+是-4]=1=f0), 3 所以8（吧P+2(付）+A-4=0, 所ua-25() 即2(1o82x)2-21og2x+4-4=0, m 当t=10时，m≈12.4，不符合题意， 即(log2x)2-log+2-2=0. m 因此m与t的关系更符合函数模型①， 其解析式为m=分+子1≤1≤30，且1为垫轮。 令t=log2x, 因为xe1,2万1，所以1=lgxe[0,号] (2)记日销售利润为y百元， 当1≤t≤15，且t为整数时， 所以F-4+品-2=0在1e[0,2】有两个不同的实 m y mf (t) 数根， =(+2）(-3+8) 即品-f+1+2在e[0 有两个不同的实数根， m ++12 即函数y= 与函数为=-？+t+2的图象有两个交 m 其图象的对称轴为直线1= 6, 点 故当t=13时，y取得最大值，为392， 如图6，因为函数y2=-t2+t+2的对称轴为= 2 即最大利润为3.92万元： 当16≤t≤30，且t为整数时， 9 3 y=m时(t) =(+)2 -2-10 1132 =303+1+900 图6 当16≤1≤30时，y=303+t+90单调递减， 上单调递增， t 所以=-子+t+2在0,2 4 高考数学第一轮复习第5~8期 在片，】上单调递减 当x1>0,2>0,x1+x2<1时， r(+2）=1og5(x1+x2+1), 由图可得2≤名<子， m r(x1)+r(x2)=log5(x1+1)+1og5(x2+1). 解得8<m≤1. 因为(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+2+1>x1+2+1, 所以log(x1+x2+1）<l0g5(x1+1)+log5(x2+1), 所以m的取值范用是（号，小。 即r(x1+x2)<r(x1)+(2), 即y=r(x)是L型函数 19.()证明：当∈(0，)时，g()>7>0 且对任意的m∈(0,4)，都存在x。∈(0,1)，使得等式 当x1>0,x2>0,x1+x2<1时， r(xo)=m成立. 8+)=(禹+)2+7 由此可知存在L型函数y=r(x)满足：对于任意的m∈ (0,4),都存在xo∈(0,1)，使得等式r(xo)=m成立. g(x1)+g(x2)=x7+号+1， 因为2≤x1+x<1,所以4x1x2<1, 第6期2版 则g(x1)+g(x2)-g(,+x) 考题预测 =+号+1-(6+)2-1 1.C;2.C;3.C;4.B;5.A;6.C. 2 1 =2-246= -4x>0, 第6期3版 2 所以g(x1)+g(x2）>g(x1+x2）, 高考数学一轮总复习达标检测(6) 所以g()=2+分为L型函数 一、单项选择题 1~4 ADCD 5~8 AABA (2)解：当x∈(0,1)时， 提示： 由p(x)>ln(0+b)≥0得b≥1. 1.h'(t)=3-2t,h'(3)=3-2×3=-3, 当x1>0,2>0,x+x2<1时， 故所求的瞬时速度为-3m/s. p(+2）=ln(x1+x2+b), 2.因为曲线y=f(x)在(5，f(5)处的 p()+p(x2)=In(+b)+In(x2+b). 切线方程是y=-x+5, 由p(x1+2)<p(x1)+p(x2), 所以切线的斜率为f'(5)=-1, In(+x+)<In(+6)+In(x2+b), f(5)=-5+5=0. 即x1+2+b<(x1+b)(52+b), 3.设切点为(xo,oln %o) 即x1+2+b<x2+b(x+x2)+b2, 因为y=xlnx,所以y'=lnx+1, 即62+b(x1+x2-1)+x2-(x+x2）>0. 所以y'l:0=lnxo+1. 令h(b)=62+b(x1+2-1)+xx2-(1+x2), 易知曲线在点(xo,oln %o)处的切线的斜率为2， 期对移销6=1-与+e(0,） 所以lnxo+1=2,所以xo=e, 2 所以切点的坐标为(e,e). 所以h(b)在[1，+∞)上的最小值为h(1), 把点(e,e)代入切线方程，得e=2e+b,所以b=-e. 只要h(1)>0,则h(b)>0. 因为h(1)=12+1×(x1+x2-1)+x2-(x1+x2) 4.由题意知f'(x)=a+2bx, =x52>0, 则f'(1)=a+2b,而f(1)=b, 所以b的取值范围是[1，+∞). 所以函数f(x)在x=1处的切线是 (3)解：存在，举例：(x)=l0g(x+1). y=(a+2b)(x-1)+b=(a+2b)x-(a+b), 理由如下：当x∈(0,1)时，r(x)∈(0,4)，符合r(x)>0. 因为切线与直线x-y-2e=0平行， 高考数学第一轮复习第5~8期 所以a+2b=1且a>0,b>0, 即2x-y+1=0. 所u+古=（+）a+2)=3+2的+云 8.由y=x3求导得y=3x2, 设曲线y=x上的任意一点(xo,)处的切线方程为 ≥3+2-3+2 y-x=3x6(x-x0), 3 当且仅当a=√2b时等号成立. 将点(1,0)代入方程得x=0或=2， 放。+古的最小值为3+2，E 当x。=0时，切线方程为y=0, 5.因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x), 所以a2+早-9=0仅有-解，得a= 64 求导得[f(x)]'=[f(-x)]' 当=子时，切线方程为：子子 2 4 →f'(x)=f'(-x)·(-x)'→f'(x)=-f'(-x). 又f(x)在(1，f(1)处的切线方程为x-2y+1=0, s 2727 4、 4 则财'(=分所以f(-)=-f'()=-之 由 =a2+-g 6.由f(x)=x4-x,得f'(x)=4x3-1, 得a2-3数- -=0仅有一解，解得a=-1. 则f'(0)=-1,f'(1)=3, 则曲线y=寸()在点0处的切线的领斜角为平。 综上知口=-1或a=一急 设曲线y=f(x)在点A处的切线的倾斜角为a,则tana=3. 二、多项选择题 9.BD:10.AC:11.CD. 提示： 9.(e3)'=3e“,故(A)错误； (2sinx-3)'=2cosx,故(B)正确； (2x4）=2+:+山=2+1-2 (2x+1)2 (2x+1)2 由上图可如，an∠0A=am(得-a=品 (2x+1)2,故(C)错误： 、1 1号-2 (cosx)'=x'cosx+x(cosx)'=cosx-xsinx,故(D)正确. 故选(B)(D). 7.由题意可得点(-号0）不在曲线y=2nx+3上， 10.因为函数f(x)=e,所以f'(x)=e. 设切点为(xo,y0),因为y=2lnx+2, 对于(A),令f'(x)=e=1,得x=0, 所以所求切线的斜率k=2m。+2=6, 2y0 所以曲线y=f(x)的切线斜率可以是1，故(A)正确； 1 x0+2 20+1 对于(B),令f'(x)=e=-1,无解， 所以%=2 oln %o+2x0+ln0+1. 所以曲线y=f(x)的切线斜率不可以是-1，故(B)错误： 对于(C),因为点(0,1)在曲线上，所以点(0,1)是切点， 因为点(xo,y)是切点，所以o=2xlnx+3, 则f'(0)=1,所以切线方程为y-1=x,即y=x+1, 所以2xlno+2x0+lnx0+1=2xoln+3, 所以过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1 即2xo+lnxo-2=0.设f(x)=2x+lnx-2(x>0), 条，故(C)正确： 明显f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0, 对于(D),因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点(x,e0), 所以2x,+lnx。-2=0有唯一解xo=1, 则切线方程为y-e0=eo(x-x), 则所求切线的斜率k=2, 因为点(0,0)在切线上，所以e0=xoe0,解得x0=1, 放所求切线方程为y=2(x+分）=2x+1, 所以过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1 -6 高考数学第一轮复习第5~8期 条，故(D)错误。 即x+y-2=0. 故选(A)(C). 14.由y=ln(x-a）+2得x=e-2+a, 1令)=e[o,》, 所以y=n(x-a)+2的反函数为y=e-2+a 由点B(x23)在曲线y=ln(x-a)+2上可知 因为f'(x)cosx+f(x)sinx<0, 点B,(y,x)在其反函数y=e-2+a上， ()=f')cos(sin cosx 所以dB=√(x,-2)2+(x2-y)相当于y=e-2+a 故g(x)在[0，牙）上单调递减， 上的点B,(y2,x2)到曲线y=n(x-a)+2上的点A(x1,y1)的 因为f(0)=0,则g(x)≤g(0)=0, 距离，即dg,=dAB=√(x1-y2)2+(x2-y1). 利用反函数的性质可得y=e-2+a与y=ln(x-a)+2 结合选项可知，（石）>（平），从而有 )f() 关于y=x对称，所以当AB,与y=x垂直时，dB,=dg取得最 2 2 小值2，此时A,B,两点到y=x的距离都为1. 因为曲线y=ln(x-a)+2在点A(1,y)处的切线平行 即f(）>(),故()错误： 于直线子=所以了=。则。=1，解得无=a+1 因为1血号>0，结合g(x)在[0，受)上单调递减可知 y1=ln(a+1-a)+2=2,即A(a+1,2).点A到直线y=x f() 的距离d=1a+1-21=1,解得a=1±万. (n牙）<0，从而有 <0, 2 s(lh号) 当a=1-2时，y=ln(x-1+2)+2与y=x相交，不 由co(血号）>0可得f(n）<0,故(B)错误： 合题意.所以a=1+2. 四、解答题 ()>()从面有 )、() 15.解：(1)因为f(x)=(3x+1)21n(3x), 1 2 2 所以'()=23x+1)×3加(3)+(3x+1)产×会 即f()>(）>2f(子)，故(C)正确： =6(3x+1)n(3x)+3x+1)2 (买)>()，从而有 )、f() (2)由f"(x)=6(3x+1)n(3x)+(3x+12 1 2 得f'(兮)=6×(3×号+1)×13×写) 即f(）>2f(牙)，故(D)正确， (3x号+1 故选(C)(D) -=12 三、填空题 3 12.24;13.x+y-2=0;14.1+√2. 所以f()的图象在（号，0）处的切线方程为 提示： 12.因为f(x)=f'(1)x3-3x2+3, y=12(-号），即y=12x-4 所以f'(x)=3f'(1)x2-6x,所以f'(1)=3f'(1)-6, 16解：1)由题得+6+c=0, 解得a=-1,b+c=1, 解得f'(1)=3,所以f'(x)=9x2-6x, 1+a=0, 所以f'(2)=9×4-6×2=24. f (x)=+bx+cg(x)=, 13.由f(x)=e-2x+1,得f'(x)=e-2, 所以f'(x)=-2x+b,g'(x)=3x2-1. 故f'(0)=e°-2=-1，又f(0)=e°+1=2， 又函数f(x)和g(x)在点(1,0)处有公共切线， 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-2=-x, 所以f'(1)=g'(1),即-2+b=2,解得b=4,c=-3. 7 高考数学第一轮复习第5~8期 所以f(x)=-x2+4x-3,g(x)=x3-x. 则由条件可得F(x)在[1,2]上单调递减， (2)由(1)得f'(x)=-2x+4,设切点P(xo,yo), 所以F'()=a(x+）-2Y≤0在[1,2]上恒成立， 则切线斜率k=f'(xo)=-2xo+4, Yo -1 所以a≤ 所以 =-2,+4·又点P(6)在第三象限， 名在1,2]上恒度立， 2x2 2 因为 ≥1， 0=-6+4x0-3, +1 1 .1 1 +2)-4 故解得厂2， 即点P的坐标为(-2，-15) 当x=1时等号成立， %=-15, 所以a≤1，又由条件知a>0,所以0<a≤1. 17.解：(1)设曲线y=f(x)上的点A(xo,y)到直线l的 所以实数a的取值范围是(0,1]. 距离最短，则函数f(x)在，点A处的切线与直线1平行， 2x+3,x<0, 因为f”()=1=1,所以0=1，求得0=1， 19.解：(1)由题得h'(x) x>0, 所以函数代x)在点A处的切线方程为y=x, 则h'(x1)=2x1+3=1,解得x1=-1,即A(-1,-2+a), 所以曲线y=f(x)上的点到直线l的最短距离即 '(5)=之=1，解得5=1，即B1,-1). 点A到直线1的距离等于1-+2L=2 所以k=a-2-（二业=1，解得4=-1. (2)由题意得gx)=7-(a+1)x+lnx+1(0<<3), -1-1 (2)设A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2)为函数h(x)图象上的 所以g(x)=-(a+1)）+1=-(a+1)x+1 两点，且x1<2, x 当x1<x2<0或0<x1<x2时，h'(x）≠h'(x2), 因为曲线y=g(x)上存在两个不同的点，使得在这两点 所以x1<0<x2: 处的切线都与x轴平行， 函数h(x)在点A(x1,h(x)处的切线方程为 所以关于x的方程g'(x)=0, y-(x+3x1+a)=(2x1+3)(x-x1), 即x2-(a+1)x+1=0在(0,3)上有两个不同的根， 设h(x)=x2-(a+1)x+1, 即y=(2x1+3)x+a-x, 函数h(x)在点B(x2,h(x2)处的切线方程为 r4=(a+1)2-4>0, 2 h(0)=1>0, 三2(x名)，即y=专x 则 7 0<a1<3, 解得1<a<3, 2+3=1 ① 2 h(3)=9-3(a+1)+1>0, 两切线重合的充要条件是 所以实数a的取值范围是(1，子) a-号=-2 2 ② 18.解：(1)因为f(x)=a(x+lnx), 由①及与<0<6得0<名<5， 所以f"()=a(1+）所以'()=2a,又)=a, 令1=L,则0<t<5 x2 所以f代x)的图象在x=1处的切线方程为 由①得=-3) y-a 2a(x -1),y 2ax -a. 由=2ar-a, 由②得u=听-2=元-21=子(-6+9)-2 消去y整理得x2-2ax+a=0, =女-2-2+0<1<同). 则4=4a2-4a=0,解得a=1. (2)由条件可知f(x2)-g(2)<f(x)-g(x1)(x1<2), 设(0=--24+0<1<万). 设F(x)=f(x)-g(x）=a(x+lnx)-x2, 则p'(t)=t-3t-2<0, -8 高考数学第一轮复习第5~8期 所以函数0)=子-三-2+子在05上为减函数。 当x∈（受）时f()<0()单调递减， 且-25<0<所以-26<a<是， 又f(-号)=受-1>0(0)=0， 即实数a的取值范围是 -25,) f(）=交-1>0f(m)=-2<0, 第7期2版 则f()=simx+cosx-1(e-受，π]）的草图 如图1所示， 考题预测 1.D;2.D;3.B;4.A;5.3,57;6.(-∞，2). 第7期3版 高考数学一轮总复习达标检测(7) 图1 一、单项选择题 由图象可知，函数f(x)的零点个数为2. 1 ~4 CBAC 5~8 CCBB 提示： 5.由题意知f()=-2,即adh1+片=-2， 1.对于(A),(B),x=a不是函数y=f(x)的极值点； 解得6=-2，所以f()=alnx-2 对于(C),x=a是函数y=f(x)的极小值点； 2 对于(D),x=a是函数y=f(x)的极大值点. 其定义域为(0，+0)，故f'(x)=a+ 故选(C), 因为当x=1时，函数f(x)取得最大值， 2.对于()，f'()=22x,因为f"(号）=-1<0， 所以x=1是f(x)的极大值点， 故f'(1)=a+2=0,解得a=-2, 故(A)错误； 经检验，a=-2满足题意 对于(B),由于x>0,所以f'(x)=(x+1)e>0, 6.f(x)是定义在R上的偶函数， 故(B)正确； 当x>0时，'()f2>0, 对于(C)f'()=3x-1,因为f(兮）=-号<0， 所以y=在(0，+0)上单调递增， 故(C)错误； 对于(D)"()=-1+,因为f"(2)=- -<0, 且y=fD是奇函数， x 故(D)错误 由题意知f(-2)=f(2)=0, 3.设商品的利润为f(x)(单位：元)， 所以2=0,2=0， 则f(x)=(x-4)e,x>0, 所以不等式f>0的解集是(-2,0)U(2,+0). 所以f'(x)=e-(x-4)e*=(5-x)e, 当x>5时，f'(x)<0f(x)单调递减； 7.由题意得/()：（1+）血x+1-是， 当0<x<5时f'(x)>0f(x)单调递增， 当x∈(0,1)时，f'(x)<0f(x)单调递减， 所以当x=5时，f(x)取得极大值，也是最大值 4.由题得f'(x)=sinx+xcos x-sinx=xcos. 因为f(）=(-x)h是=(-)）nx=f(), 当xe(-受，0）时f'(x)<0f(x)单调递减， 所以(6=宏)所以e=后) 当xe(0,受)时f"(x)>0f()单调递增， 因为0< <子<<1 高考数学第一轮复习第5一8期 所以()>f号)>f(专)，故e>a>6 故选(C)(D) 10.原不等式等价于x+1)1血x≤a-1(x∈[1,2])， 8.函数y=2ax2(x<0)的图象关于原点对称的图象所对 x 应的函数解析式为y=-2ax2(x>0),f(x)的图象上恰好有两 令p(0)=x+n(xe[1,2]), x 个“匹配点对”等价于函数y= (x≥0)与函数y=-2r2( 则p'(x)=1+x-lnx >0)的图象拾有两个交点，即方程-2a2=名(x>0)有两 令h(0=1+x-ln(xe1,2])=h()=≥0， 个不等的正实数根，即-2a=言(x>0)有两个不等的正实数 所以h(x)在x∈[1,2]上单调递增， 根设g()=言(>0)，则函数g)=专(x>0)的图象 则h(x)≥h(1)=2>0, 所以p'(x)>0,则p(x)在x∈[1,2]上单调递增， 与函数y=-2如的图象有两个交点，g(x)=1二x,当0<x< e 放p()≤p(2)=32≤a-1,即a≥2+32 2 2 1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0,g(x) 由1n2≈0.69知，3>2+3n2>2>3-h2 2 2 单调递减，所以g(x)≤g(1)=上，且x一→0*时，g(x)→0*， 故选(B)(D). x+∞时，g(x)→0.在平面直角坐标系中作出g(x)的大致 11.f(x)ax'+bx2+c(a >0,b,c R), 图象，如图2所示，数形结合可知，当0<-2a<上时，g(x)= 则f'(x)=x(3ax+2b), e 专(：>0)的图象与两数y=-2如的图象有两个交点，解得 当a=b=2时，f'(x)=2x(3x+2), 在区间(-子.0）上"(0<0， 2e <a<0. 所以f()在(-号0）上单调递减，(A)正确，(B)错误， -2a g(x)=(0) 要使函数f(x)恰有两个不同的零点， 则f(✉)有-个极值为0，所以(-治)=0或r0)=0, 图2 因为c=-4a,所以f(0)=0时，a=0,不满足题意， 二、多项选择题 9.CD;10.BD;11.ACD. (-治)=0时，器签板=0，化简得之=3， a 提示： (C)正确； 9.根据函数f(x)的导函数f'(x)的图象与表格，作出函数 当6=c=0时f()>hx恒成立，即a>恒成立， f(x)的大致图象，如图3所示 令h(x)= 则()=1引n,故(6)=0， x4 当x∈(0，)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 02 45x 当xe(e,+o)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 图3 所以4(=h0)=文，放a>C,(D)正确 对于(A),f(x)在区间[-1,0]上单调递减，故(A)错误； 故选(A)(C)(D) 对于(B),f(x)有1个极大值点，2个极小值点，故(B)错 三、填空题 误； 对于(C),根据函数f(x)的极值和端点值可知，f(x)的值 12(-,0:13.35；14.(e,)U1,)。 域为[1,3]，故(C)正确； 提示： 对于(D),根据图3函数f(x)的大致图象易知，满足题意 的t的最大值为4，故(D)正确。 12由题意得f")=12士=名x<2), 1 10 高考数学第一轮复习第5~8期 令f'(x)>0,即-x>0,解得x<1, 2-x 所以y=na与函数h(x)=的图象仅有3个交点， 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，1) 结合图象可得-2<lna<0或0<na<2 e 13.由题意得f'(x)=c0sx+cos2x=2cos2x+cosx-1 解得e是<a<1或1<a<e二. =(2c0sx-1)(cosx+1), 四、解答题 因为csx+1≥0，所以当}<c0sx≤1时，f"()>0, 15.解：(1)f'(x)=3ax2-b, 当-1≤esx<7时f'()<0, f'(-2)=0,12a-b=0, 则由题意得 即当2km-号<x<2m+号keZ时f(x)单调递增， /-2)=28 即 3 -8a+26+4=2 3 解得a= 当26m+号<x<2km+,keZ时()单调递减，故() 子6=4，经检验，满足题意。 在x=2m+牙，k∈Z处取得极大值，也是最大值， (2)由(0知/)=号2-4+4，所以'()=-4， 由f'(x)>0,得x<-2或x>2;由f'(x)<0,得-2<x<2, 所以f=m号+m(2x号）-+× 5 2 所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-2)，(2，+∞)， 33 单调递减区间是(-2,2). 16.解：(1)若a=1,则f(x)=x2+x-lnx,x>0. 14.根据题意，f(x)=a(a>0,a≠1)与g(x)=-x2在 所以f()=2x+1-1-2x+x-1 实数集R上有且只有3个“关联数”等价于f(x)=一(-x)仅 有3个解，即a=x2仅有3个解.x=0显然不是该方程的解， =(2x-1)(x+12 则1na=n,即na=血上仅有3个解 当0<x<7时'()<0： 设h()=血(：≠0)，定义城关于原点对称， 当x>?时f'()>0, 且满足h(-)=血亡=-()，则()为奇函数 -x 所以()在(0,3）上单调递减，在（分，+）上单调 考虑当x>0时的情况，h(x)=2血x x 递增，所以f()=f(3）=子-hn=子+h2 '(x)=21-nx2 x (2)由已知得f'()=2x+a-≤0在[1,2]上恒成立， 当0<x<e时，h'(x)>0,即h(x)在(0，e)上单调递增； 所以a≤1-2x在[1,2]上恒成立. 当x>e时，h'(x)<0,即h(x)在(e,+o)上单调递减， 所以函数h(x)的极大值为h(e)= 令g(x)=↓-2x,xe[1,2],则g(x)=- 1 e -2<0, 且当0<x<1时，h(x)<0:当x>1时，h(x)>0. 所以g(x)在[1,2]上单调递减， 作出函数h(x)的大致图象如图4所示， 所以g)=g2)=-子 h(x) y=In a 所以a≤子，即实数口的取值范围是(-x,一子] 17.解：(1)当入=1时fx)=e-x,则f'(x)=e-1, y=In a 令f'(x)<0,得x<0,令f'(x)>0,得x>0, 图4 所以f代x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递 增， 因为na= 血父仅有3个解， 故f代x)无极大值，只有极小值，且极小值是f0)=1. 11 高考数学第一轮复习第5~8期 (2)对任意的>0)≥0恒成立台=（色） 2=y-) 令8)=则g()= x2 )中) 由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e, 则y1=-y1=-2 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以g(x)=g(e）= e 所以K= =16万 49 即入≥。故入的最小值是 e (3)f'(x)=lhnx-1f”(x)= x 18.证明：f'(x)=e+cosx+sinx, 当x≥0时，要证f'(x)≥2， 0m-品=72=五 只要证2-:sinx-cosx≤1(x≥0). e 令4=风，5=石，则n=ln2, 设h(x)）=2-simx-cos(x≥0)， e 即14=，其中：=冬>1（不纷设4<》 t 则h'(x)）=2(simx-业≤0(x≥0)， p(x)xln x,p'(x)=1+In x. e 所以h(x)在[0，+∞)上单调递减，h(x)≤h(0)=1, 当0<x<。时，p(x)<0,即p(x)在(0，。）上单调递减： 所以当x≥0时f'(x）≥2. 亡时)>0，即()在（仁+）上单调递增： 当x> (2)g(x)=f(x)-2x-1 e*+sinx-cosx-2x-1, 且x→0时，p(x)→0，p(1)=0, g'(x)e*cos x +sinx-2=f'(x)-2, 画出p(x)的大致图象如图5. ①由(1)知，当x≥0时，g'(x)=f'(x)-2≥0， 所以g(x)在[0，+∞)上单调递增， 又g(0)=-1<0,g(m)=e+0+1-2m-1>0, 所以g(x)在[0，+∞)上有且仅有1个零点. ②当x<0时，可证g(x)<0,g(x)在(-∞，0)上单调递减 图5 证明如下：欲证g'(x)=e+cosx+sinx-2<0(x<0), h(t)In(+In[(t+1)] 只要证2-sinx-cosx>1(x<0). =ln(t+1) tnt e t-1' 设m(x)）=2-sinxco(x<0), e 则m'()）=2(six-D≤0(x<0), 《自行补运加1>24：4>》 所以m(x)在(-，0)上单调递减， 则h(t)在(1，+∞)上单调递增， m()2 2-sino-cos0 =1. im h(t)In2-1,limh(t)=0, eo 所以ln(t1+)∈(n2-1,0), 故当x<0时，g(x)<0,得g(x)在(-∞，0)上单调递减， 又g(0)=-1<0,g(-m)=e"+0+1+2m-1>0, 放沉+派=+6e(2,)片 所以g(x)在(-∞，0)上有且仅有1个零点. 第8期3版 综上所述，g(x)有且仅有2个零点 高考数学一轮总复习达标检测(8) 19.解：(1)K= △0 3=1. 一、单项选择题 1~4 BBCB 5 ~8 CDCB -12 高考数学第一轮复习第5~8期 提示： 在（日+∞）上单调递增，所以(A,(G错误，(D)正确 r2x+1>0 1.由题意得 0解得-方<x≤ 3 l3-4x≥ 7f2+-2 2x,x>0, 故定义蛟为（宁] 当a≥0时，f'(x)>0恒成立，此时f(x)单调递增，不符 2.(A)中函数为偶函数，不符合题意； 合题意； (B)中函数既是奇函数，又是增函数，符合题意； 当a<0时，若x>÷则f()<0,f)单闲速减， (C)中函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意； (D)中函数是奇函数，但不是增函数，不符合题意 若0<<产则/八>0，f)单调递增， 3.由y=+加得=1+ 放当：=亭时函数f()取得极大值，也是最大值。 当x=1时，切线的斜率k=2, 切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1. 故导=1，解得a=-2(a=2舍去) 因为该切线与抛物线相切， 8.由“躺平点”的定义，可得g(a)=g'(a), 所以ax2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解， 又g'(x)=e-1,所以e”-a=e“-1,解得a=1. 即ax2+ax+2=0有唯一解， 故0*0， 因为=h()6()=士所以h6=六 解得a=8. la2-8a=0, 令a()=h-(x>0)则m)=+宁>0， 4.由题意得f'(x)=(x2+2x-a)e, 即m(x)在(0，+0)上单调递增， 令f'(x)=0,则x2+2x-a=0,4=4+4a. 若4=4+4a≤0，即a≤-1，则f'(x)≥0恒成立， 又m(1)=-1<0,m(e)=1-g>0, 所以f(x)为增函数，故f(x)无极值； 所以m(x)在(1，e)上有唯一零点，即b∈(1，e) 若4=4+4a>0,即a>-1,则f(x)有两个极值. 因为p(c）=p'(c),p'(x)=2026, 所以“a≥-1”是“f(x)有极值”的必要不充分条件 所以2026c+2026=2026,解得c=0. 5.f'(）=血-cos,令g(x）=sinx-C0, 所以b>a>c. sinx 二、多项选择题 g'(x)cos x-cosx xsinx xsinx, 9.AD;10.AC;11.AC 因为g(x)>0在(0，π）上恒成立， 提示： 所以函数g(x)在(0，π)上单调递增， 9.令f(x）=0,得x=3-a. 所以g(x)>g(0)=0,即f'(x)>0, 令g(x)=(x+3)(x-a-1)=0, 所以函数f(x)在(0，π)上单调递增. 得x=-3或x=a+1. 6.因为函数f(x)的定义域为(-，0)U(0,+∞)， 依题意可得，3-a=-3或3-a=a+1, 且f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数， 解得a=6或a=1. 其图象关于y轴对称，所以(B)错误； 故选(A)(D). 当x>0时f(x)=nl=n, IxI 10对于(A),因为f(x-子) =-f(x), 所以f'(x)=nx+1,令f'(x)=0,可得x= e 所以f(x-3)=-f(x-子）=f(x) 当0<x<1时f'()<0: e 所以3是函数y=f(x)的一个周期，故(A)正确； 当x>名时"()>0. 对于(B),因为f(x+子）为奇函数， 所以函数()在(0，。）上单调递减， 所以f(-x+子)=-f(x+子) -13 高考数学第一轮复习第5~8期 所以点（子，0）是y=f()图象的对称中心，故(B)错误： 解得6-之5,6=15（合，所以此时完美区间r为0， 2 对于(C),因为f(x+)为奇函数， 15],则“复区间长度”为2(6-0)=2×1+5=1+5： 2 所以f(-+）=-f(x+). ②若a≥1，则f代x)=x2-1,x∈[a,b],此时f代x)在 [a,b]上单调递增，若f(x)的值域为[a,b],则 所以f(-+多）=-()， fa）=a2-1=a, 则a,b为方程x2-x-1=0的两个不等 又因为f(x-是）=-f. fb)=62-1=b, a=1-5 所以f(x+多)=f(x-子）： 实拉根部得-15。，所以 2 与 所以f(-x)=f(x),所以y=f(x)是偶函数，故(C)正确； =1+5 2 对于(D),由(C)知，y=f(x)是偶函数， a≥1矛盾，所以此时不存在“完美区间” 所以f(1)=f(-1)=-1, 综上可知，函数f(x)=1x2-11的“复区间长度”的和为 又3是函数y=f(x)的一个周期， 2+1+√5=3+√5，所以(C)正确，(D)错误. 所以f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2, 故选(A)(C). 所以f(1)+f(2)+f(3)=0, 三、填空题 又f(2026)=f(1)=-1,所以f(1)+f(2)+f(3)+… 12(答案不唯-)：13.26： +f(2026)=202×0-1=-1,故(D)错误 3 故选(A)(C) 4(-,-母)u(0,4）月 11.对于(A),当x∈[0,1]时f(x)=x2-11=1-x2, 提示： 则其值域为[0,1]，满足定义域与值域的范围相同，因而满足 12.函数f(x)=x一同时满足下列两个条件： “完美区间”定义，所以(A)正确； 对于(B),因为函数f(x)=1x2-11≥0，所以其值域为 ①012)=0×2=-1<0. [0,+0),而，5<0，所以不存在定义城与值域范围相同 2 ②/()=无零点 的情况，所以(B)错误； 13.f(x)log,[k(x+1)2]=log h +2log,(x+1), 对于(C),由定义域为[a,b],可知0≤a<b,当b≤1时， 由f(2)=2f(8)=3, [a,b][0,1],此时f(x)=1x2-11=1-x2,所以f(x)在[a, 得1og,k+2log.(2+1)=2,log。k+2log(8+1)=3, 1上单调递液，则满足）=1-口=6化简可得心。 两式相减得log.9=1,解得a=9, fb)=1-b2=a, 所以1oggk+2=3,解得k=9, 所以f(x)=1+21ogg(x+1). =6-6,即(a-2=(6-2,所以a-=6-或 该住房装修完成后要达到安全人住的标准， a-子=之-6，解得a=6(合)或a+6=1,由 则0.48-0.1f(x)≤0.08，则f(x)≥4， 即1+2l0gg(x+1)≥4，解得x≥26， 「a+b=1, 解得b=1或b=0(舍)，所以a=b-1=0,经 故至少需要通风26周. 1a+62=1, 14.F(x)=f (x)sin x(0<x<), 检验满足原方程组，所以此时“完美区间”为[0,1]，则“复区间 F(x)=f'(x)sinx +f(x)cosx >0, 长度”为2(b-a)=2; 即F(x)在(0，π)上单调递增， 当b>1时，①若0≤a<1,则1e[a,b],此时f(x)mm= f1)=0.当fx)在[a,b]上的值域为[a,b],则a=0f(b)= 易知F(牙）=f(年)m平=1 b,因为b>1,所以fb)=62-1=b,即满足b2-b-1=0, 当xe(0,r）时，sinx>0, 14 高考数学第一轮复习第5~8期 则f(x)<d可转化为f(x)si血x<1, sin x 又因为)=1)，即0=2a+6,所以6=-1 即F()F(年)，所以0<x<平 所以g(x)=x-1. 因为f(x)是定义在(-T,π)上的奇函数， (2)因为e(x)=mD-f)=卫-lnx在 x+1 x+1 所以F(x)=f(x)sinx是定义在(-T,r)上的偶函数， [1,+o)上是减函数， 则F(x)在(-π，0)上单调递减， 所以p)-2mr-+少≤0对e[1,+0)恒成立， x(x+1)2 且r(-)=()=1, 所以m≤ 「(x+1)21 ,x∈[1，+∞). 当xe（-T,0)时，sinx<0, 2x I min 则f()<m可转化为f()imx>1, 令h(x)=x+1)2-2+2x+1 2x 2x 1 即F()>F(-平)，所以-<x<-年 /x1 =克+2元+1≥2√2·2+1=2， 当x=0时，(x)<无意义 sinx 当且仅当宁=文，即x=1时，等号成立 综上可得，不等式f()<山的解集为 所以m≤2，故实数m的取值范围是(-∞，2]. 17.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+)， (-,-4)u(0,平）片 f'()=lnx+-1-m, 四、解答题 因为x=1是函数f(x)的极值点， 15.解：(1)由题得f'(x)=ae(x-2). 所以f'(1)=ln1+0-m=0,解得m=0. 当a>0时，由f'(x)<0,得x<2; 经验证，x=1是函数f(x)的极值点 由f(x)>0,得x>2. 所以m=0. 所以f(x)的单调递减区间为(-∞，2)， (2)若f(x)=(x-1)nx-m(x+1)≥0对任意x∈ 单调递增区间为(2，+∞) 当a<0时，由f'(x)<0,得x>2; (合，+）恒成立， 由f'(x)>0,得x<2. 则m≤hx对任意xe(仁，+）恒成立， x+1 所以f(x)的单调递减区间为(2，+)， 单调递增区间为(-∞，2) 令a=+n,则g0到：2山t2 x(x+1)2, (2)当a=-1时，g(x）=-e(x-3)+x2-4x 令h(x)=2xlnx+x2-1,则h'(x)=2lnx+2+2x 则g'(x)=-e(x-2)+2x-4=-(x-2)(e-2). 由g'(x)=0,得x=2或x=n2. 当xe(日，+）时，h()>0, 当x变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表： 所以h()在（，+） 上单调递增， (-∞，ln2) In2 (1n2,2) 2 (2,+9) 又h(1)=0,所以当x>1时，h(x)>0, g'(x》 0 + 0 g(x) 极小值 极大值 即g'(x)>0,g(x)单调递增； 所以g(x)小值=g(ln2)=(ln2)2-6ln2+6, -<x<1时，h(x)<0, 8(x)极大值=g(2)=e2-4. 即g'(x)<0,g(x)单调递减， 16.解：(1)因为曲线fx)与g(x)在公共点P(1,f1)处 故当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值， 有公共切线，且/"()=子8()=宁 为g(1)=0,则m≤0， 所以实数m的取值范围是(-∞，0]. 所以f'()=g(),即1=之，得a=2 18.解：(1)由题意得，f(x)的定义域为(0，+∞)， -15 高考数学第一轮复习第5~8期 f'(x)=二lnx (2)①证明：由函数f(x)=ar2+br+xnx, 2, 可得f'(x)=2ax+lnx+b+1. 当xe(0,1)时，f'(x)>0, 不妨设0<x<x2,曲线y=f(x)在(f(x)处的切 当xe(1,+o)时f'(x)<0, 线方程为l1y-f(x1)=f'(1)(x-), 故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， y=f'()x+f (x)-xf'(x), 所以f(x)mm=f(1)=1. 同理曲线y=f(x)在(x2f(x2)处的切线方程为 (2)由nx=e-er2+kx-l,得k=1+hx+ex-e, 12:y=f'(x2)x+f(x2)-x2f'(x2), g(x)=L+Inz+ex-20. 假设l1与2重合，则 f'()=f'(x2), 则g'(x)=-hx+e-e, f(x1)-xf'(x1)=f(x2)-f'(x2）, n32-n1+2a(x2-x1)=0, 当x∈(0,1)时，g'(x)>0, 代人化简可得 当xe(1,+∞）时，g'(x)<0, a(x2+x)=-1(a<0), 故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 两式消去a,可得n-n-2x=0, X2+x1 所以g(x)mx=g(1)=1, 所以g(x)的值域是(-∞，1]， 理科品兰 2 因为方程k=L+l血x+ex-e有实数根， 由)的结论如名<点兰，与上式矛商， x2-x1 所以实数k的取值范围是(-∞，1]。 即对任意实数a,b及任意不相等的正数x1,2,l1与l2均不 (3)证明：由(1)知f(x)≤1， 重合 当且仅当x=1时取等号，因此当x>1时，nx<x-1, ②解：当b=-1时，不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立， 即当n≥2时，nn2<n2-1, 所以h(x）=ax2-x+xlnx-2sin(x-1)≥0在(0，+o) ”=<)=) 上恒成立，所以h(1)≥0曰→a≥1， 下证：当a≥1时，h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立. aa]=-(日+)] 因为a≥1，所以h(x)≥x2-x+xnx-2sin(x-1), 所以g2++…+<-(分号）+1 设H(x）=x2-x+xnx-2sin(x-1), 则川'(x)=2x+lnx-2cos(x-1), (号)**1-（日4门[a-0-(分 (i)当x∈[1，+0)时，由2x≥2，lnx≥0， -2cos(x-1)≥-2知Ⅲ'(x)≥0恒成立， 月= 4(n+1) 即H(x)在[1，+∞)上为增函数， 所以H(x)≥H(1)=0成立，则h(x)≥0； 191)证明：在曲线y=士取一-点（生子6） (iⅱ)当x∈(0,1)时，设G(x)=2x+lnx-2cos(x-1), 过点M(2生兰2)作f)的切线分别交P.60于 可得G(x)=2+1+2sin(x-1), M1,M2, 由2snx-1）≥-2，>0知c()>0恒成立. 因为S自边梯形ABOP>S梯形B2, 即G(x)=H'(x)在(0,1)上为增函数， 可得h6-ha>方·1AM1+1B,I)小AB 所以H'(x)<'(1)=0,即H(x)在(0,1)上为减函数， 72 1 at6·(6-a), 所以H(x)>H(1)=0成立，则h(x)>0. 综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞). 即6< 16