4.2 指数函数（十大重点题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.2 指数函数 目录●重难点题型分布 重难点题型1 指数函数的判定与求值 1．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数函数的判定与求值、根据函数是指数函数求参数 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 3．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数值、求指数函数解析式 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 4．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、求指数函数解析式 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 5．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．是指数函数 B．和表示同一个函数 C．已知，则 D．与不是同一个集合 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断是否为同一集合、已知f（g（x））求解析式、判断两个函数是否相等、指数函数的判定与求值 【分析】对于A，符合指数函数的定义；对于B，求出两个函数的定义域，根据定义域不同即可判断；对于C，利用换元法求函数的解析式即可判断；对于D，根据空集的概念即可判断. 【详解】对于A，，所以是指数函数，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以和不能表示同一个函数，故B错误； 对于C，令，所以， 所以，故C错误； 对于D，不包含任何一个元素，而中包含一个元素，所以与不是同一个集合，故D正确. 故选：AD. 6．（23-24高一上·陕西·期中）（多选题）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】判断命题的真假、指数函数的判定与求值、判断函数是否是幂函数 【分析】利用幂函数与指数函数的概念一一判定选项即可. 【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确； 因为， 所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确． 故选：ACD 重难点题型2 求指数函数的解析式 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指数函数解析式 【分析】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【详解】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）指数函数的图象经过点___________. 【答案】81 【难度】0.85 【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式 【分析】设指数函数，且，代入点可得，即可得结果. 【详解】设指数函数，且， 因为指数函数的图象经过点，则， 即，可得， 则，所以. 故答案为：81. 3．已知指数函数的图象经过点，则时，函数值为____________． 【答案】/0.25 【难度】0.94 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】把已知点坐标代入求得后，再计算函数值． 【详解】由已知可得，，函数解析式为， 当时，． 故答案为：． 4．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【难度】0.92 【知识点】求指数函数解析式 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知指数函数的图象经过点，则______． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式 【分析】利用待定系数法求出指数函数的解析式，继而求值即可. 【详解】设（且）． 则．解得，所以， 所以. 故答案为：8. 6．（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为______. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求指数函数解析式 【分析】将点代入函数解析式计算即可求解. 【详解】因为指数函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为：3 重难点题型3 指数型函数图像及应用 1．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.79 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、一次函数的图像和性质、判断指数型函数的图象形状 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 3．（25-26高一上·上海·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. 4．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】根据函数图象的变换确定函数的图象. 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 5．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）函数且的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【详解】当时，在上单调递减，，，故A正确C错误； 当时，在上单调递增，，，故B，D均错误. 故选：A 6．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）函数（且）的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】分和两种情况，由函数单调性和图象平移知识作出判断，得到答案. 【详解】若，，单调递增， 其图象在的图象基础上，向下平移个单位，BD均不合要求； 若，，故单调递减， 其图象在的图象基础上，向下平移个单位，A满足要求，C不满足要求. 故选：A 重难点题型4 指数型函数过定点问题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 2．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】易知函数恒过定点， 将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数， 因此该函数图象一定过定点. 3．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数定义求得，然后由指数函数的性质求得定点坐标. 【详解】由题意可知，∴， ∴，令，即，， ∴函数图象过定点. 故选：C. 4．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据得到定点坐标，即可得到答案. 【详解】因为，所以定点为， 则，故. 故选：A 5．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 7．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数是指数函数求参数、指数型函数图象过定点问题 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 8．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 重难点题型5 指数型复合函数的定义域 1．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的定义域 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 5．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 6．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的定义域 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 重难点题型6 指数型复合函数的单调性与值域 1．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 2．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、判断指数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】原函数可以看作由和复合而成，由复合函数的单调性求解. 【详解】令，则， 因为单调递增，时，单调递减， 所以由复合函数的单调性知单调递减， 故选：B 3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性和二次函数的性质进行求解. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（25-26高一上·浙江温州·期中）函数在单调递减，则的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性确定的单调区间，再由已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】令，其图象的开口向下，对称轴为且， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，则，可得， 所以. 故答案为： 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【难度】0.83 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 6．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求出函数的值域. （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，再借助恒成立条件建立不等式求解. 【详解】（1）令，由，得， ， 当时，取最小值为；当时，取最大值为3，即， 所以函数的值域为. （2）依题意，， 令，则，且，于是 ， 而，当且仅当，即时取等号，， 即当时，，由恒成立， 得，解得， 所以实数的取值范围. 重难点题型7 指数型函数的奇偶性问题 1．（2026·河北·一模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数定义，结合指数运算求解即得. 【详解】函数的定义域为R， 由是偶函数，得，，即， 因此，即，则， 所以. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故. 故选：B 3．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出. 【详解】函数定义域为，由是奇函数，得， 则，整理得， 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 5．（23-24高二下·山东临沂·阶段检测）已知是奇函数，则__________. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数定义，列式求解即得. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数，得，即， 因此，即有，所以. 故答案为：2 6．已知函数（且）为偶函数，则________. 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】求出函数的定义域，利用偶函数的定义，列式求解即得. 【详解】函数中，由，得， 即函数的定义域为， 由是偶函数得，对， 恒成立， 即，则，整理得， 因此对恒成立， 所以. 故答案为：9 重难点题型8 指数幂比较大小 1．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 2．（25-26高二下·广东梅州·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即得. 【详解】由，得函数是上的减函数，函数是上的增函数， 因此，， 所以. 3．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、作商法比较代数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 4．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】先将指数化为相同的指数，再根据幂函数的单调性即可得解. 【详解】根据题意，，，， 又由，则有，即． 故选：B． 6．（25-26高一上·福建南平·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的单调性可得，由对数运算可得，进而可得结论. 【详解】因为，又在上单调递增， 又，所以， 又，可得. 故选：D. 重难点题型9 根据指数型复合函数的性质，求参数 1．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据指数函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数的单调性得出的最小值为，最后应用二次函数最值求参数. 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即得， 解得或，所以. 故选：A 3．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 4．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 5．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的最大值为2，则______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】利用复合函数单调性分析内层函数的最值，结合二次函数性质求解可得. 【详解】设，则． 因为为减函数，又有最大值为2，所以有最小值． 二次函数有最小值所以开口向上，因此， 二次函数的最小值，所以，解得． 故答案为：. 6．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数（且）在上的最大值为，则__________. 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最大值列方程，解方程可得的值. 【详解】， 若，则单调递减，单调递增， 可得为减函数， 当时，，解得：，符合题意； 若，则单调递增，单调递减， 可得为增函数， 当时，，解得：，符合题意， 综上所述：的值为或. 故答案为：或 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数型函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质求解即可． 【详解】由函数在上单调递减， 则，解得， 所以a的取值范围是． 8．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知函数，其中且，若的值域是，则的取值范围是___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、分段函数的值域或最值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】结合基本不等式及指数函数的性质分别求出各段的范围后可得参数满足的不等式组，从而可求其范围. 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的值域为. 若的值域是，则，解得． 重难点题型10 指数函数的最值与不等式的综合问题 1．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用换元法设，结合指数函数和二次函数的单调性可得； （2）先由指数幂的运算得到为奇函数，再判断其单调性，然后利用奇函数的性质结合二次函数的单调性可得. 【详解】（1）根据题意，若，， 设，由于，则， 则，易得，即函数的值域为. （2）根据题意，若，，                      易得的定义域为，且，则为奇函数                 为上的增函数，为上的减函数，故在上为增函数                     故                         变形可得：，即恒成立                     又由，必有，即的取值范围为. 2．（25-26高一上·云南曲靖·期中）如果函数与函数图象上既存在关于x轴对称的点，也存在关于y轴对称的点，则称与为“孪生函数”. (1)判断与是否是“孪生函数”并说明理由； (2)若与（）为“孪生函数”，求a的取值范围. 【答案】(1)是；理由见解析； (2)或. 【难度】0.4 【知识点】求指数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】（1）利用“孪生函数”的定义确定方程与都有解即可. （2）由方程有解，结合基本不等式及对勾函数的性质求出范围，再由有解求解范围，最后求出两个范围的公共部分即可. 【详解】（1）由与为“孪生函数”的定义，得方程与都有解， 由，得，即，解得或； 由，得，即，解得或， 因此方程与都有解，所以与为“孪生函数”. （2）由与（）为“孪生函数”， 得，即有解，令， 当时，，令， 函数在上单调递减，则， 当时，，当且仅当时取等号， 因此或； ，即有解， 而或，因此或， 所以a的取值范围是或. 3．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、指数函数最值与不等式的综合问题、已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）将代入中，得出函数的解析式，然后结合二次函数和指数型复合函数性质求解即可； （3）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）当时，， 此时函数， 由函数的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，根据复合函数单调性得： 在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是. 4．（25-26高一上·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明如下： 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、指数函数最值与不等式的综合问题、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）在上为减函数．证明略； （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 5．（24-25高一下·江西抚州·阶段检测）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式的恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）由偶函数的性质可得出，求出的值，然后验证函数为偶函数即可； （2）利用基本不等式可求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且为偶函数． 则，即，解得，此时，， 则，即函数为偶函数，故. （2）因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最大值为， 因为恒成立，则，即， 解得或，即实数的取值范围是. 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知定义在上的函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、由指数（型）的单调性求参数 【分析】（1）利用换元法，对的取值范围进行分类讨论，结合一次函数、二次函数的单调性可求得实数的取值范围； （2）由分离参数，利用换元法，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，令，则， 因为内层函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 故函数在上为增函数， 当时，则函数在上为减函数，不合乎题意， 当时，要使得函数在上为增函数， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）解：根据局部对称函数的定义可知，， 即， 即， 所以，， 令， 当且仅当时，即当时，等号成立， 则 ， 所以，， 则， 因为函数、在上为增函数， 故函数在上为增函数， 则，故. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 指数函数 目录●重难点题型分布 重难点题型1 指数函数的判定与求值 1．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 2．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 3．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 4．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 5．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．是指数函数 B．和表示同一个函数 C．已知，则 D．与不是同一个集合 6．（23-24高一上·陕西·期中）（多选题）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 重难点题型2 求指数函数的解析式 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）指数函数的图象经过点___________. 3．已知指数函数的图象经过点，则时，函数值为____________． 4．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知指数函数的图象经过点，则______． 6．（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为______. 重难点题型3 指数型函数图像及应用 1．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   5．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）函数且的图象可能是（   ） A．B． C． D． 6．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）函数（且）的图象可能是（    ） A．B． C． D． 重难点题型4 指数型函数过定点问题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 7．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 8．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 重难点题型5 指数型复合函数的定义域 1．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 6．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 重难点题型6 指数型复合函数的单调性与值域 1．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 4．（25-26高一上·浙江温州·期中）函数在单调递减，则的取值范围为______. 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 6．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 重难点题型7 指数型函数的奇偶性问题 1．（2026·河北·一模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 3．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 4．（24-25高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高二下·山东临沂·阶段检测）已知是奇函数，则__________. 6．已知函数（且）为偶函数，则________. 重难点题型8 指数幂比较大小 1．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东梅州·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建南平·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型9 根据指数型复合函数的性质，求参数 1．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 3．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的最大值为2，则______． 6．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数（且）在上的最大值为，则__________. 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 8．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知函数，其中且，若的值域是，则的取值范围是___________ 重难点题型10 指数函数的最值与不等式的综合问题 1．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（25-26高一上·云南曲靖·期中）如果函数与函数图象上既存在关于x轴对称的点，也存在关于y轴对称的点，则称与为“孪生函数”. (1)判断与是否是“孪生函数”并说明理由； (2)若与（）为“孪生函数”，求a的取值范围. 3．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 4．（25-26高一上·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 5．（24-25高一下·江西抚州·阶段检测）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知定义在上的函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $