专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，四川专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·四川绵阳·期中）计算：（        ） A.  B. 2 C. 4 D.  【答案】C 【分析】 由根式的运算性质求解即可 【详解】 . 故选：C 2．（25-26学年高一上·四川广安友谊中学·期中）（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】 对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 3．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）计算的结果为（       ） A.  B.  C.  D. . 【答案】C 【分析】直接利用指数幂运算法则得到答案. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查了指数幂的运算，属于简单题. 4．（25-26学年高一上·四川绵阳·期中）（多选）设，则下列运算中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 根据指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 5．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指数幂运算判断的大小关系，进而可得结果. 【详解】 由题意可知：均为正数， 因为，，， 可得，所以. 故选：B. 6．（25-26学年高一上·四川广安友谊中学·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出，通过比较的大小，得到的大小. 【详解】 ，， ，， ，， ， ，. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 两边平方后，求出答案. 【详解】 因为，所以，即． 故答案为：3 8．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）化简：　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用指数运算性质化简计算即可. 【详解】 ；； 原式 故答案为： 9．（25-26学年高一上·四川内江第六中学·期中）化简或求值： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据分数指数幂运算和根式运算求解即可. （2）根据指数幂运算求解即可. (1) 小问详解： 原式 ； (2) 小问详解： 原式 ． 10．（25-26学年高一上·四川内江第一中学·期中）　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 直接利用指数幂的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误. 【详解】 ． 故答案为： 【点睛】 化简原则：① 化根式为分数指数幂；② 化负指数幂为正指数幂；③ 化小数为分数；④ 注意运算的先后顺序，属于较易题目． 11．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）已知函数． （1）证明：； （2）解关于的不等式：； （3）若，，对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明： .     （2）     （3）      【分析】 （1）由指数幂的运算可得； （2）由（1）的结论结合复合函数的单调性和一元二次不等式的解法可得； （3）先由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值.由指数幂的运算结合复合函数的单调性得到的范围，再利用换元法和指数幂的运算得到的表达式，最后结合二次函数的性质分析可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得， 所以， 因为， 由复合函数的单调性可得在定义域上为递增函数， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值. ， 由指数函数的性质可得在上单调递减， 时，；时，. 所以的值域为. 所以 令，所以， 由指数函数的性质可得是单调增函数， 当时，，当时，所以在上的取值范围是， 设对称轴为，开口向上， 当时，，解得； 当时，， 综上，实数的取值范围为. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·四川彭州中学·期中）已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系. 【详解】 由图象可知，当时，，则 故选：B 2．（25-26学年高一上·四川广元中学·期中）若函数是指数函数，则等于（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】 由题意可得 ，解得. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性，可判断三个式子的大小. 【详解】解：函数为减函数，故， 函数为增函数，故， 所以， 即 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于基础题. 4．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数的形状和二次函数的性质，分别求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】 由函数有意义，则，即， 所以，解得，所以， 又由函数，所以集合， 所以. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·四川绵阳·期中）已知指数函数，对于，若命题，命题，则是的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由充分条件和必要条件的单调性结合指数函数的单调性即可得出答案. 【详解】 因为，可知在定义域上单调递减， 则可以推出，即充分性成立； 且可以推出，即必要性成立； 所以p是q的充要条件. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 取特殊值即可判断ABD，由指数函数的单调性判断C. 【详解】 取，， 则，A选项错误； ，B选项错误； ，D选项错误； 因为函数中，函数在上单调递增，且 ∴，C选项正确. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·四川广安友谊中学·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 函数的图象关于成中心对称 B. 指数函数中，a的取值范围是 C. 函数的图象不过第三象限，则的取值范围是 D. 函数，，则的单调递增区间是 【答案】CD 【分析】 对于A，先分离常数，再根据函数图象平移可得的对称中心；对于B，由指数函数的定义可确定的范围；对于C，使时，恒成立即可；对于D，利用复合函数单调性即可判断. 【详解】 对于A：函数，其图象是由先向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得到的，故图象的对称中心由平移到了，故A错误； 对于B：由指数函数的定义可知，且，解得或且，故B错误； 对于C：由题可知，当时，恒成立，当时，无限趋于0，但恒大于0，因此，故C正确； 对于D：，得，解得，故，易知在上单调递增，的单调递增区间为，由复合函数单调性遵循“同增异减”可知的单调递增区间是，故D正确. 故选：CD. 8．（25-26学年高一上·四川什邡中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 和表示的是同一个函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 且在单调递减 【答案】ABD 【分析】 结合幂、指数函数的单调性及复合函数的单调性检验ACD，结合相同函数的定义检验B. 【详解】 当时，指数函数为增函数，所以， 又指数函数为减函数，故 ，A正确； 由和的定义域及对应关系相同，为同一函数，B正确； 由在和均单调递减，则的单调递减区间是和，C错误； 令，，， 当时，在上单调递增且值域为，在上单调递减， 根据复合函数单调性可知，此时函数单调递减； 当时，在上单调递减且值域为，在上单调递增， 根据复合函数单调性可知，此时函数单调递减， 综上，且在单调递减，D正确． 故选：ABD 9．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 对于任意两个集合，都有 B. ，若是的充分条件，则 C. 函数的值域为 D. 已知，则的取值范围是. 【答案】ABD 【分析】 由集合的交集和并集的定理即可判断A选项；由充分条件得到不等式，解得的范围即可判断B选项；由二次函数及幂函数得到的范围，然后得到函数值域判断C选项；由不等式的基本性质求得的取值范围判断D选项. 【详解】 ∵，，∴，A选项正确； 是的充分条件，则，解得，B选项正确； 函数，∴，则，C选项错误； ∵，∴，则，∴，即，D选项正确. 故选：ABD. 10．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）已知非零实数，且，则下列式子中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】 对于A，令，则，故A不正确； 对于B，在上为单调递增函数，若，则，故B正确； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，当时，若，则，故D错误； 故选：B 11．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）已知实数满足，则（     ） A. 有最大值1 B. 有最小值0 C. 有最小值1 D. 有最大值0 【答案】A 【分析】 构造函数，利用函数单调性得出，再由指数函数单调性求最值. 【详解】 令，由指数函数的单调性可知单调递增， 单调递减，所以为上的增函数， 由可得， 即，所以，即， 所以， 故选：A 12．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 利用函数的奇偶性和单调性定义逐一判断. 【详解】 对于A，设，定义域为，，所以为奇函数， 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，故A正确； 对于B，设，定义域为，，所以为奇函数，因为在上单调递增，故B错误； 对于C，设，定义域为，，所以为偶函数，故C错误； 对于D，设，定义域为，则，所以为奇函数， ，由于在上单调递增，所以在上单调递减，则在上单调递减，故D正确. 故选：AD 13．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）（多选）已知，若关于的方程有两个不等实根，，则（       ） A. 的取值范围是 B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 令函数并画出函数大致图象，由函数图象得的取值范围判断A选项；由f(x1)=f(x2)建立方程，并化简得到，由基本不等式判断B选项，由基本不等式判断C选项，由完全平方判断D选项. 【详解】 令函数，则函数的大致图象如下 由图象可知，A选项错误； ∵，且由图象可知， 则，即， ∵，即，当且仅当取等号， 又∵，∴，B选项正确； ，即，当且仅当取等号， 又∵，∴，C选项正确； ， ∴，D选项正确. 故选：BCD. 14．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）指数函数，则的图象过定点　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用指数函数的定义，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】 指数函数，得， 解得或，而， 得， 则， 令，得，此时， 得的图象过定点． 故答案为： 15．（25-26学年高一上·四川广安友谊中学·期中）设常数，函数，． （1）当时，求函数的值域． （2）若函数的最小值为,求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域，再求出的值域即可； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）时，， 令，，，，，即，， 则，，， ∵在，递增，且， ∴， 故的值域是. （2）函数，，， 令，，，，，即，， 故，，， 当时，在，递增， 的最小值是， 解得：，符合题意； 当时，在，递减，在，递增， 故的最小值是， 解得：，不合题意； 当时，在，递减， 的最小值是， 解得：，不合题意； 综上所述：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数的单调性和最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对称轴和区间位置关系的讨论. 16．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）函数的单调递增区间是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由是减函数，根据复合函数的单调性可得，要求函数的单调递增区间只需求二次函数的单调递减区间即可． 【详解】 二次函数开口向下，且对称轴为直线， 所以二次函数的单调递减区间是， 又是减函数，所以二次函数的单调递减区间即为函数的单调递增区间， ∴函数的单调递增区间为. 故答案为： 17．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据幂函数的定义以及偶函数的性质可得，结合指数函数的恒过点求解即可. 【详解】 函数为幂函数，所以，解得：或， 当时，为奇函数，图象不关于轴对称，舍去； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 所以，则函数且， 令，得，， 所以函数且的图象过定点为; 故答案为： 18．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）已知全集为．集合，常数，． （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据分式不等式化简集合A，根据复合指数函数的单调性解不等式即可得集合B，再由集合的交并补运算即可； （2）根据是的必要非充分条件得是的真子集，列不等式得实数的取值范围即可. (1) 小问详解： 当时，，即，解得，故， 对于集合B，，因单调递减，故， 即，解得，故， 则， 因此； (2) 小问详解： 由（1）知， 对于，，即，， 因是的必要非充分条件，故是的真子集， 则 ，且等号不同时成立，解得．实数的取值范围是． 19．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室． 【答案】（1）     （2）0.6      【分析】 （1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论； （2）利用指数函数的单调性解不等式． (1) 小问详解： 解：依题意，当时，可设，且， 解得 又由，解得， 所以 ； (2) 小问详解： 解：令，即， 得，解得， 即至少需要经过后，学生才能回到教室． 20．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）代入得到集合，故得到，由指数的运算解得集合，由集合的交并补运算得到； （2）由真子集的定义得到集合，列不等式解得的范围，由列不等式组解得的范围，从而得到的范围. (1) 小问详解： 当时，，故或. 集合. 所以或. (2) 小问详解： 由，得，故，解得. 由，得 或 . 故. 又，所以的取值范围是. 21．（25-26学年高一上·四川什邡中学·期中）已知函数（其中是常数）. （1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】试题分析：将转化为，令，得，从而利用二次函数的图象与性质解答相关问题． 试题解析：（1），令， 当时，，问题转化为当时，恒成立. 于是，只需在上的最大值，即，解得， ∴实数的取值范围是． （2）若存在，使，则存在，使， 于是，只需在上的最小值，即，解得， ∴实数的取值范围是． （3）若方程在上有唯一实数解， 则方程在上有唯一实数解. 因， 故在上不可能有两个相等的实数解. 令，因，故只需，解得， ∴实数的取值范围是． 考点：1、函数的单调性；2、二次函数的图象与性质． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）（多选）已知，，定义直线的斜率为，对数函数与的图象如图所示，过原点的直线交的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作轴的平行线交于C，D两点，交轴于M，N两点，则（       ） A. 三点共线 B. 梯形的面积为梯形面积的2倍 C.  D. 当轴时，点坐标为 【答案】ABD 【分析】 设点坐标，得到点坐标，由定义分别求且因为三点共线得，整理等式后即可判断A选项；通过对数的计算得到两个梯形的上底和下底的数量关系，即可判断B选项；由定理得由对数的运算化简后判断与的关系，判断C选项；由条件建立方程利用对数的运算求得点坐标，判断D选项. 【详解】 设，，则，， ∵三点共线，∴，即，， 则，即，∴三点共线，A选项正确； ∵， ∴，同理， ，B选项正确； ，C选项错误； 当轴时，，则，即， 又∵，∴，∵，∴，则， ∴，，即，D选项正确. 故选：ABD. 2．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）若是奇函数，则的值为（       ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【分析】 分析有意义的条件，结合奇函数定义域关于原点对称的性质列方程求，再由，化简求，由此可得结论. 【详解】 因为， 所以， 又， 所以， 由有意义可得， 所以当时，， 当时，，且， 因为函数是奇函数， 所以函数的定义域关于原点对称，故，其，所以， 因为是奇函数， 所以， 所以， 又， ， 所以，故， 所以， 故选：B. 3．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）（1）计算：； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）6. 【分析】 （1）根据根式运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则和性质计算即可. 【详解】 （1）原式. （2）原式. 4．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知，，则用，表示　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】 . 故答案为： 5．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： . 6．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知函数·. (1)令，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围； (2)求该函数的值域. 【答案】（1）,（2） 【分析】（1）利用对数运算求得换元后关于的函数关系式，由的范围，求得. （2）利用配方法，结合的取值范围以及二次函数的性质，求得该函数的值域. 【详解】(1)，又， ，即. (2)由(1)得， 当时，；当时，，，即函数的值域为. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查二次函数在闭区间上的值域的求法，属于基础题. 7．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）计算：　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据指数幂的运算法则、对数的运算法则对各项进行化简，然后进行计算. 【详解】 . 故答案为：2 8．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）求值：　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 根据对数运算法则、对数换底公式、指数运算即可得答案. 【详解】 . 故答案为：8. 9．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）已知，若，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可. 【详解】 由 得，所以， 所以 或 ，解得. 故答案为： 10．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）计算： （1）求值：； （2）； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；     （2）；     （3）1.      【分析】 （1）利用指数运算法则和对数运算性质计算； （2）利用对数运算法则和换底公式性质计算； （3）将指数式化为对数式，并利用对数运算法则计算. (1) 小问详解： (2) 小问详解： (3) 小问详解： 令，则， 所以， 所以，又， 所以 11．（25-26学年高一上·四川什邡中学·期中）关于x的方程的解为　　　　　　  . 【答案】81 【分析】 对原等式两边取对数得，整理得，令，，从而，再令，从而，即得，进而求解． 【详解】 由题意，得， 因为，所以， 即，所以， 令，，则，即， 设，则有，所以且， 由在上单调递增， 所以，所以， 所以，则， 当时，左边，则， 所以等式成立，故原方程的解为 故答案为： 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线的纵截距表示成本，倾斜角与门票价格的关系判断. 【详解】 对于A，当时，虚线值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误； 对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，B错误； 对于C，当时， 值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误； 对于D，当时，虚线值变大，说明成本见减小，又因为虚线的倾斜角变大， 说明提高了门票的价格，符合题意，D正确， 故选:D. 2．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】 ，，，所以． 故选：A. 3．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据对数函数的单调性比较与大小，再利用指数函数单调性得到与1的大小关系即可. 【详解】 ∵， ， 则， 故选：C. 4．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）已知函数恒过定点，则的最小值为（       ）． A.  B.  C. 3 D.  【答案】A 【分析】 利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果. 【详解】 由题意可知， 则， 当且仅当，时， 的最小值为， 故选:A． 5．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）函数的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案. 【详解】 因为，所以， 所以函数的定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为， 所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）已知，则的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】 故 所以， 故， 故选：D 7．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出解析式，从而得到的解析式，再根据对数型复合函数的单调性判断即可. 【详解】 因为函数且函数与函数图象关于对称， 所以， 所以，令，解得， 所以的定义域为， 又在上单调递增，在上单调递减， 在定义域上单调递减，所以的单调递减区间为（或）. 故选：B 8．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 A举反例；B利用不等式的性质；C利用对数函数的单调性；D利用指数函数的单调性. 【详解】 当时，不满足，故A错误； 因，则，故B正确； 因在上单调递减，，则，故C正确； 因在上单调递增，，则，故D正确. 故选：BCD 9．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）下列说法正确的是（     ） A. 函数（且）的图像恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 是的必要不充分条件 D. 函数定义域为R．则实数的取值范围 【答案】B 【分析】 根据可判断A的真假；根据一元二次不等式的解集可确定，的值，从而确定B的真假；根据集合并集与集合子集 的关系，判断C的真假；由函数的定义域为，确定可求的取值范围，确定D的真假． 【详解】 对于A：因为恒成立，故函数恒过定点，故A错误； 对于B：因为不等式的解集为或， 可知： ，可得 ，所以．故B正确； 对于C：是的充要条件，故C错误； 对于D：函数的定义域为， 故，则实数的取值范围，故D错误． 故选：B． 10．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）（多选）已知，下列说法正确的是（       ） A. 函数定义域为 B.  C. 在为减函数 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【分析】 对于A，求得函数定义域为即可判断；对于B，分两种情况结合基本不等式即可判断；对于C，根据复合函数的单调性即可判断；对于D，求解不等式即可判断. 【详解】 对于A，因为且，所以函数定义域为，A错误； 对于B，因为， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，B正确； 对于C，令，则在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 所以在上为减函数，C正确； 对于D，，令， 当时，解得或，所以或， 当时，，所以无实数解， 所以不等式的解集为，D错误. 故选：BC. 11．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合，然后由集合的运算法则计算． （2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围． 【详解】 解：（1），，， . （2）当时，，即成立； 当时， 成立. 综上所述，． 【点睛】 易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点． 12．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据复合函数的单调性以及真数大于零建立不等式，求解参数即可. 【详解】 由题意可知，在上单调递减，且在上恒为正， 则，且，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为： 13．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围. （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 （1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. (2) 小问详解： 令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即 ，解得. 因此，实数的取值范围是. (3) 小问详解： 对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得， 当时，不等式成立， 当时， 参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，则， 即， 综上可知，实数的取值范围是. 14．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）定义：对于函数.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，证明：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 【答案】（1）由函数， 对于任意，存在正常数，可得， 则， 又由，要使得，即， 因为，则，所以， 又因为，即，解得， 所以存在满足条件，所以函数是“一致变化函数”.     （2）     （3）证明：由函数，假设是“一致变化函数”， 存在正常数，使得，且 由， 因为，所以对恒成立， ①当时，可得，则， 可得， 当且仅当时，取等号； ②当时，可得，所以， 则， 所以， ③当时，可得，所以， 则，可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 综上可得，， 又由存在正常数，且，所以， 可得，解得，因为，所以， 所以存在，使得， 所以函数是“一致变化函数”，且“一致变化系数”的取值范围为.      【分析】 （1）根据题意，求得，且，得到，进而求得的取值范围，进而得到答案； （2）由，且，得到，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）假设是“一致变化函数”，得到，分，和，三种情况讨论，求得，结合题意，得到，进而求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由函数是“一致变化函数”， 则存在正常数，使得当时，，且， 由， 又由，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以的最小值为. (3) 小问详解： 略 15．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）已知函数与函数，函数的定义域为. （1）求的定义域和值域； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 【答案】（1）的定义域为，值域为.     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出的表达式，然后根据对数函数的定义域和值域求出结果即可. （2）先化简不等式，变为，然后根据二次函数的性质和定义域求出的最小值，即可求出的范围. （3）根据奇函数性质列出等式，得到，进而求得得到对称中心. (1) 小问详解： 因为. 所以要使得有意义，则，解得. 因为，， 所以，所以的定义域为，值域为. (2) 小问详解： 因为，所以. 因为，所以. 令，则，则不等式变为， 所以. 因为，所以，所以. 所以存在使得不等式成立，则的取值范围是. (3) 小问详解： 设的对称中心为，则函数是奇函数， 即是奇函数，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立。 所以. 因为上式对任意实数恒成立，所以 ， 解得 .所以函数图象的对称中心为. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 根据三个二次的关系可得系数的值，进而可得一元二次不等式的解集. 【详解】 因为函数的零点为1，2，所以方程的根为， 由根与系数关系得. 所以不等式即为，， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）函数的零点一定位于区间（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】 解：， 又因为函数在区间上都是增函数， 所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，与函数的交点个数为（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 【答案】A 【分析】 画出两函数图象，数形结合得到交点个数. 【详解】 画出与的两函数图象，如下： 可以看出两函数图象无交点，故交点个数为0. 故选：A 4．（25-26学年高一上·四川双流棠湖中学·期中）已知若，且，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案. 【详解】 画出 的图象，如下，    设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， . 故选：A 5．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（     ） A.  B.  C. 与的图象关于对称 D.  【答案】ABD 【分析】 由函数和关于对称，根据与垂直与反函数的性质结合对称性可得. 【详解】 由和得，， 即，，两式相加得， 因为和关于对称，所以，所以， ，则选项正确； ，而点不在 上，所以与的图象不关于对称，则不正确， 在同一平面直角坐标系中作出，其中，， 可知，    所以，则选项正确； 故选：. 6．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（       ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】 由于，所以， 依题意，则， 则,由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为6次． 故选：C. 7．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据复合函数单调性的关系先判断函数是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可判断． 【详解】 设，则， 当时，为增函数，也是增函数，则为增函数， 当时，为减函数，也是减函数，则为增函数， 综上可得：为增函数，即在内是单调函数． 因为是单调递增函数，所以若为“梦想函数”， 则有 ，即方程有两个不同的解， 即可得有两个不同的解， 令，即方程有两个不等的正实数根， 即，有两个不等的正实数根， 即和在的图象有两个不同交点， 又在的最小值为， 所以结合图象可知： 即. 即的取值范围为. 故选：A 8．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】转化条件为直线与函数的图象有3个交点，数形结合即可得解. 【详解】 方程有三个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有3个交点， 在直角坐标系中作出的图象,如图， 若要使直线与函数的图象有3个交点，数形结合可得，. 故答案为：. 9．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）作为重庆本土最高级别足球赛事，渝超某焦点赛事凭借激烈对抗与精彩进球，点燃了重庆民众的观赛热情．赛前球迷自发组织助威活动，赛后街头巷尾热议赛事细节，社交媒体上相关话题更是持续刷屏．某网站统计数据显示，该赛事开赛后48小时内网络热度值（单位：万次点击）与时间（单位：小时）呈现阶段性变化：①当时，受重庆民众自发传播、二次创作赛事内容的推动，热度持续增长，函数关系为；②当时，虽热度逐渐冷却，但重庆球迷仍持续关注，函数关系为 （1）当时间为多少时，网络热度值最大，并求出最大值； （2）该网站把“网络热度值超过220万次点击的时间段”称为“霸榜时段”，求“渝超”开赛后48小时内的“霸榜时段”． 【答案】（1）当时，取得最大值280．     （2）第7至第13小时.      【分析】 （1）分和，利用单调性求解最值； （2）分和，解不等式求解范围. (1) 小问详解： ① 当时，单调递增， 此时． ② 当时，．故单调递减． 此时． 所以，当时，取得最大值280． (2) 小问详解： ① 当时，令， 即， 解得或 ： ② 当时，令， 即，解得， ; 综上，霸榜时段为第7至第13小时. 10．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数. 2 4 6 8 8 64 511 4097 （1）请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：） 【答案】（1），     （2）12个单位时间      【分析】 （1）利用已知的四对数据代入函数模型进行验证得出结果； （2）根据指对互化以及对数运算求得结果. (1) 小问详解： 若选， 将和代入得 ，解得 ， 得，代入得，这与题干时差异很大， 所以该函数模型不适合： 若选， 将和代入得 ， 解得 ，得， 代入得得，与表中数据接近， 适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型； (2) 小问详解： 设至少需要个单位时间数，则， 两边同时取底数为10的对数得， 即， ， 又， ， 的最小值为12， 即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人. 11．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为160毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为6小时.则经过一天（24小时）后，其剩余活性为　　　　　　　　毫居里. 【答案】10 【分析】 由题意建立方程解得，得到的解析式，即可求出. 【详解】 由题意可知， ，即， ∴， ∴， 故答案为：10. 12．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要　　　　　　　　年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 【答案】 【分析】 根据条件列方程组求出参数，然后令解方程即可. 【详解】 由题知 ，解得 ，所以， 由得， 因为，所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年. 故答案为： 13．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为368万元，每生产1吨产品还需再投入材料、人工等费用14万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产30吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. （1）求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： （2）至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ （3）当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 【答案】（1）     （2）2吨     （3）24吨      【分析】 （1）根据销售单价公式和成本可知，，再写成分段函数的形式； （2）由分段函数计算当时，由，计算至少需要的产品数量； （3）由分段函数分别计算当和时的最值，再比较大小，即可求解. (1) 小问详解： 由题意， . (2) 小问详解： 当时，由，得. 故，整理得. 故，解得，结合，知， 当时，由恒成立， 综上可知至少需要生产2吨产品，公司才不会出现亏损. (3) 小问详解： 当时，. 因为. （当且仅当，即（吨）时取“”号） 所以（万元）. 当时，因为抛物线的对称轴， 所以（万元）. 因为，所以当生产量吨时，总利润达到最大 14．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，8点18分时，壶中热水自然冷却到. （1）求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； （2）若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①设从降至的时间为，从加热至的时间为，用表示，； ②判断这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数（不需要写出理由），并求该养生壶保温的临界值. 【答案】（1）     （2）①，，② 1次，      【分析】 （1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围. （2）①计算从降至的时间、从加热至的时间即可； ②由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数，列方程求值． (1) 小问详解： 当时，设，则，可得， 所以. 当时，，则，可得， 综上， ； (2) 小问详解： ①从降至，则， 可得， 从加热至，则，可得， ② 1次，理由如下： 由题意， 从降至，则， 可得分钟， 所以降至，所需时间分钟， 由于小王出门34分钟， 从加热至，则，可得分钟， 则从加热至所需时间分钟； 从降至，则，可得分钟， 则从降至所需时间分钟； 故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟， 又在上递减，且，即， 综上，只加热过一次，． 15．（25-26学年高一上·四川绵阳·期中）某种植园种植某菌类的年固定成本为万元，每产出吨该菌类需另外投入成本 万元，该菌类可以每吨万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润销售额成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元. （1）求年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； （2）当年产量为多少吨时，所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【答案】（1）     （2）当年产量为吨时，所获年利润最大，最大年利润是万元.      【分析】 （1）根据“年利润年销售收入固定成本另外投入成本”求得； （2）结合二次函数的性质以及基本不等式即可求得分段函数的最大值. (1) 小问详解： 由题可知，当时，总成本为，故有， 整理得，解得. 因此当时，； 当时，， 综上 ； (2) 小问详解： 当时，，对称轴为，因此在上单调递增， 因此当时，在时取得最大值，； 当时，， ，当且仅当，即时，等号成立， 故， 即当时，在时取得最大值，. 综上，当年产量为吨时，所获年利润最大，最大年利润是万元. 16．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由：假设为“伪奇函数”，∴存在满足， ∴有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”；     （2）     （3）      【分析】 （1）先假设为“伪奇函数”，然后推导出矛盾的结论即可得证； （2）由幂函数定义求得解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“”在R上有解，然后通过换元法，结合二次函数的零点分布知识求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 为幂函数，∴，∴． ∴， ∵为定义在的“伪奇函数”， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，∴在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， ∴，，∴的值域为， ∴，∴； (3) 小问详解： 设存在满足，即在上有解， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，取等号时， ∴在上有解， ∴在上有解（*）， ∵，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，∴， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，∴， 综上可知，． 【点睛】 方法点睛：本题考查新定义问题，有判断与新定义有关的问题时可能用反证法，这样可能通过新定义进行转化，然后证得结论．本题(2) (3)小题都是通过新定义转化为方程在某个区间有解问题，再利用已知函数知识求解即可． 17．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）已知函数，且. （1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； （3）若存在实数.使得关于x的方程三个不相等的实数根，求实数t的取值范围. 【答案】（1） 为奇函数，证明： 函数的定义域为， 当时，，， 所以函数为奇函数；     （2）     （3）       【分析】 （1）由奇偶性的判定方法和步骤计算即可得证； （2）由分段函数单调性结合二次函数性质即可列出关于a的不等式组求解； （3）将题设方程的解转化为方程的解，接着分、、三种情况研究分析函数图象性质，结合与直线有三个交点列不等式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数的对称轴为，图象开口向上， 函数的对称轴为，图象开口向下， 所以若是上是增函数，则 ，解得， 所以函数在上是增函数时，实数a的取值范围为； (3) 小问详解： 方程的解即为方程的解. ① 当时，函数在上是增函数， 关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ② 当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则当时，关于的方程有三个不相等的实数根， 又，则， ，，设， ∵存在使得关于x的方程有三个不相等的实数根， ，又由对勾函数性质可知在上单调递增， ，； ③ 当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根； 又，则， ，，设， ∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ，又由对勾函数性质可知在上单调递减， ，， 综上. 18．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）对任意函数，我们把方程的实根称为的不动点，的所有不动点组成集合；把方程的实根称为的稳定点，的所有稳定点组成集合. （1）设，求和； （2）设（，）. ①若，求； ②若，求的最小值. 【答案】（1），     （2）①；②1      【分析】 （1）由题意写出集合.令解得即为集合，令，解得即为集合； （2）① 由题意得的两根为，由韦达定理求出，再令，解得即为集合； ② 根据题意得到集合，化简整理，设集合，由题意得到的关系，然后代入由配方法得到最小值. (1) 小问详解： 由题意，，. 由，得. 故（当时），或（当时）. 解得，所以. 又. 由，得. 解得. 故. (2) 小问详解： ① 由题意，. 由根与系数的关系，得，且. 解得，，故. 由，得，故. 所以，即. 故，所以. ② 设函数，则. 故 .  设集合，则. 由，得，故. （ⅰ）若，则，即. （ⅱ）若，因为与不同解（即）， 所以是的真子集，故，所以，故. 综上可知，当且仅当， 即. 故. 所以的最小值为1（当且仅当，时取得） 19．（25-26学年高一上·四川广元中学·期中）已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是 　　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 先分析并作出两函数的图像，结合图像可得或，从而得解. 【详解】 对于函数， 当时，，显然在上单调递增； 当时，，显然在上单调递减； 当时，， 函数，显然的图象开口向下，且与轴交于点，， 作出与的图像如下， 结合图像可知当点在点和点之间时，与的图象有个交点， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，的取值范围是：或. 故答案为：或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．C 2．BD 3．C 4．CD 5．B 6．B 7．【答案】3 【分析】 两边平方后，求出答案. 【详解】 因为，所以，即． 故答案为：3 8．【答案】 【分析】 利用指数运算性质化简计算即可. 【详解】 ；； 原式 故答案为： 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据分数指数幂运算和根式运算求解即可. （2）根据指数幂运算求解即可. (1) 小问详解： 原式 ； (2) 小问详解： 原式 ． 10．【答案】 【分析】 直接利用指数幂的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误. 【详解】 ． 故答案为： 【点睛】 化简原则：① 化根式为分数指数幂；② 化负指数幂为正指数幂；③ 化小数为分数；④ 注意运算的先后顺序，属于较易题目． 11．【答案】（1）证明： .     （2）     （3）      【分析】 （1）由指数幂的运算可得； （2）由（1）的结论结合复合函数的单调性和一元二次不等式的解法可得； （3）先由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值.由指数幂的运算结合复合函数的单调性得到的范围，再利用换元法和指数幂的运算得到的表达式，最后结合二次函数的性质分析可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得， 所以， 因为， 由复合函数的单调性可得在定义域上为递增函数， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值. ， 由指数函数的性质可得在上单调递减， 时，；时，. 所以的值域为. 所以 令，所以， 由指数函数的性质可得是单调增函数， 当时，，当时，所以在上的取值范围是， 设对称轴为，开口向上， 当时，，解得； 当时，， 综上，实数的取值范围为. 考点02 指数函数 1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．CD 8．ABD 9．ABD 10．B 11．A 12．AD 13．BCD 14．【答案】 【分析】 利用指数函数的定义，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】 指数函数，得， 解得或，而， 得， 则， 令，得，此时， 得的图象过定点． 故答案为： 15．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域，再求出的值域即可； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）时，， 令，，，，，即，， 则，，， ∵在，递增，且， ∴， 故的值域是. （2）函数，，， 令，，，，，即，， 故，，， 当时，在，递增， 的最小值是， 解得：，符合题意； 当时，在，递减，在，递增， 故的最小值是， 解得：，不合题意； 当时，在，递减， 的最小值是， 解得：，不合题意； 综上所述：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数的单调性和最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对称轴和区间位置关系的讨论. 16．【答案】 【分析】 由是减函数，根据复合函数的单调性可得，要求函数的单调递增区间只需求二次函数的单调递减区间即可． 【详解】 二次函数开口向下，且对称轴为直线， 所以二次函数的单调递减区间是， 又是减函数，所以二次函数的单调递减区间即为函数的单调递增区间， ∴函数的单调递增区间为. 故答案为： 17．【答案】 【分析】 根据幂函数的定义以及偶函数的性质可得，结合指数函数的恒过点求解即可. 【详解】 函数为幂函数，所以，解得：或， 当时，为奇函数，图象不关于轴对称，舍去； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 所以，则函数且， 令，得，， 所以函数且的图象过定点为; 故答案为： 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据分式不等式化简集合A，根据复合指数函数的单调性解不等式即可得集合B，再由集合的交并补运算即可； （2）根据是的必要非充分条件得是的真子集，列不等式得实数的取值范围即可. (1) 小问详解： 当时，，即，解得，故， 对于集合B，，因单调递减，故， 即，解得，故， 则， 因此； (2) 小问详解： 由（1）知， 对于，，即，， 因是的必要非充分条件，故是的真子集， 则 ，且等号不同时成立，解得．实数的取值范围是． 19．【答案】（1）     （2）0.6      【分析】 （1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论； （2）利用指数函数的单调性解不等式． (1) 小问详解： 解：依题意，当时，可设，且， 解得 又由，解得， 所以 ； (2) 小问详解： 解：令，即， 得，解得， 即至少需要经过后，学生才能回到教室． 20．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）代入得到集合，故得到，由指数的运算解得集合，由集合的交并补运算得到； （2）由真子集的定义得到集合，列不等式解得的范围，由列不等式组解得的范围，从而得到的范围. (1) 小问详解： 当时，，故或. 集合. 所以或. (2) 小问详解： 由，得，故，解得. 由，得 或 . 故. 又，所以的取值范围是. 21．【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】试题分析：将转化为，令，得，从而利用二次函数的图象与性质解答相关问题． 试题解析：（1），令， 当时，，问题转化为当时，恒成立. 于是，只需在上的最大值，即，解得， ∴实数的取值范围是． （2）若存在，使，则存在，使， 于是，只需在上的最小值，即，解得， ∴实数的取值范围是． （3）若方程在上有唯一实数解， 则方程在上有唯一实数解. 因， 故在上不可能有两个相等的实数解. 令，因，故只需，解得， ∴实数的取值范围是． 考点：1、函数的单调性；2、二次函数的图象与性质． 考点03 对数 1．ABD 2．B 3．【答案】（1）；（2）6. 【分析】 （1）根据根式运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则和性质计算即可. 【详解】 （1）原式. （2）原式. 4．【答案】 【分析】 利用对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】 . 故答案为： 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： . 6．【答案】（1）,（2） 【分析】（1）利用对数运算求得换元后关于的函数关系式，由的范围，求得. （2）利用配方法，结合的取值范围以及二次函数的性质，求得该函数的值域. 【详解】(1)，又， ，即. (2)由(1)得， 当时，；当时，，，即函数的值域为. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查二次函数在闭区间上的值域的求法，属于基础题. 7．【答案】2 【分析】 根据指数幂的运算法则、对数的运算法则对各项进行化简，然后进行计算. 【详解】 . 故答案为：2 8．【答案】8 【分析】 根据对数运算法则、对数换底公式、指数运算即可得答案. 【详解】 . 故答案为：8. 9．【答案】 【分析】 先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可. 【详解】 由 得，所以， 所以 或 ，解得. 故答案为： 10．【答案】（1）；     （2）；     （3）1.      【分析】 （1）利用指数运算法则和对数运算性质计算； （2）利用对数运算法则和换底公式性质计算； （3）将指数式化为对数式，并利用对数运算法则计算. (1) 小问详解： (2) 小问详解： (3) 小问详解： 令，则， 所以， 所以，又， 所以 11．【答案】81 【分析】 对原等式两边取对数得，整理得，令，，从而，再令，从而，即得，进而求解． 【详解】 由题意，得， 因为，所以， 即，所以， 令，，则，即， 设，则有，所以且， 由在上单调递增， 所以，所以， 所以，则， 当时，左边，则， 所以等式成立，故原方程的解为 故答案为： 考点04 对数函数 1．D 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．B 8．BCD 9．B 10．BC 11．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合，然后由集合的运算法则计算． （2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围． 【详解】 解：（1），，， . （2）当时，，即成立； 当时， 成立. 综上所述，． 【点睛】 易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点． 12．【答案】 【分析】 根据复合函数的单调性以及真数大于零建立不等式，求解参数即可. 【详解】 由题意可知，在上单调递减，且在上恒为正， 则，且，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为： 13．【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 （1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. (2) 小问详解： 令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即 ，解得. 因此，实数的取值范围是. (3) 小问详解： 对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得， 当时，不等式成立， 当时， 参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，则， 即， 综上可知，实数的取值范围是. 14．【答案】（1）由函数， 对于任意，存在正常数，可得， 则， 又由，要使得，即， 因为，则，所以， 又因为，即，解得， 所以存在满足条件，所以函数是“一致变化函数”.     （2）     （3）证明：由函数，假设是“一致变化函数”， 存在正常数，使得，且 由， 因为，所以对恒成立， ①当时，可得，则， 可得， 当且仅当时，取等号； ②当时，可得，所以， 则， 所以， ③当时，可得，所以， 则，可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 综上可得，， 又由存在正常数，且，所以， 可得，解得，因为，所以， 所以存在，使得， 所以函数是“一致变化函数”，且“一致变化系数”的取值范围为.      【分析】 （1）根据题意，求得，且，得到，进而求得的取值范围，进而得到答案； （2）由，且，得到，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）假设是“一致变化函数”，得到，分，和，三种情况讨论，求得，结合题意，得到，进而求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由函数是“一致变化函数”， 则存在正常数，使得当时，，且， 由， 又由，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以的最小值为. (3) 小问详解： 略 15．【答案】（1）的定义域为，值域为.     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出的表达式，然后根据对数函数的定义域和值域求出结果即可. （2）先化简不等式，变为，然后根据二次函数的性质和定义域求出的最小值，即可求出的范围. （3）根据奇函数性质列出等式，得到，进而求得得到对称中心. (1) 小问详解： 因为. 所以要使得有意义，则，解得. 因为，， 所以，所以的定义域为，值域为. (2) 小问详解： 因为，所以. 因为，所以. 令，则，则不等式变为， 所以. 因为，所以，所以. 所以存在使得不等式成立，则的取值范围是. (3) 小问详解： 设的对称中心为，则函数是奇函数， 即是奇函数，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立。 所以. 因为上式对任意实数恒成立，所以 ， 解得 .所以函数图象的对称中心为. 考点05 函数的应用（二） 1．D 2．C 3．A 4．A 5．ABD 6．C 7．A 8．【答案】 【详解】转化条件为直线与函数的图象有3个交点，数形结合即可得解. 【详解】 方程有三个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有3个交点， 在直角坐标系中作出的图象,如图， 若要使直线与函数的图象有3个交点，数形结合可得，. 故答案为：. 9．【答案】（1）当时，取得最大值280．     （2）第7至第13小时.      【分析】 （1）分和，利用单调性求解最值； （2）分和，解不等式求解范围. (1) 小问详解： ① 当时，单调递增， 此时． ② 当时，．故单调递减． 此时． 所以，当时，取得最大值280． (2) 小问详解： ① 当时，令， 即， 解得或 ： ② 当时，令， 即，解得， ; 综上，霸榜时段为第7至第13小时. 10．【答案】（1），     （2）12个单位时间      【分析】 （1）利用已知的四对数据代入函数模型进行验证得出结果； （2）根据指对互化以及对数运算求得结果. (1) 小问详解： 若选， 将和代入得 ，解得 ， 得，代入得，这与题干时差异很大， 所以该函数模型不适合： 若选， 将和代入得 ， 解得 ，得， 代入得得，与表中数据接近， 适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型； (2) 小问详解： 设至少需要个单位时间数，则， 两边同时取底数为10的对数得， 即， ， 又， ， 的最小值为12， 即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人. 11．【答案】10 【分析】 由题意建立方程解得，得到的解析式，即可求出. 【详解】 由题意可知， ，即， ∴， ∴， 故答案为：10. 12．【答案】 【分析】 根据条件列方程组求出参数，然后令解方程即可. 【详解】 由题知 ，解得 ，所以， 由得， 因为，所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年. 故答案为： 13．【答案】（1）     （2）2吨     （3）24吨      【分析】 （1）根据销售单价公式和成本可知，，再写成分段函数的形式； （2）由分段函数计算当时，由，计算至少需要的产品数量； （3）由分段函数分别计算当和时的最值，再比较大小，即可求解. (1) 小问详解： 由题意， . (2) 小问详解： 当时，由，得. 故，整理得. 故，解得，结合，知， 当时，由恒成立， 综上可知至少需要生产2吨产品，公司才不会出现亏损. (3) 小问详解： 当时，. 因为. （当且仅当，即（吨）时取“”号） 所以（万元）. 当时，因为抛物线的对称轴， 所以（万元）. 因为，所以当生产量吨时，总利润达到最大 14．【答案】（1）     （2）①，，② 1次，      【分析】 （1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围. （2）①计算从降至的时间、从加热至的时间即可； ②由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数，列方程求值． (1) 小问详解： 当时，设，则，可得， 所以. 当时，，则，可得， 综上， ； (2) 小问详解： ①从降至，则， 可得， 从加热至，则，可得， ② 1次，理由如下： 由题意， 从降至，则， 可得分钟， 所以降至，所需时间分钟， 由于小王出门34分钟， 从加热至，则，可得分钟， 则从加热至所需时间分钟； 从降至，则，可得分钟， 则从降至所需时间分钟； 故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟， 又在上递减，且，即， 综上，只加热过一次，． 15．【答案】（1）     （2）当年产量为吨时，所获年利润最大，最大年利润是万元.      【分析】 （1）根据“年利润年销售收入固定成本另外投入成本”求得； （2）结合二次函数的性质以及基本不等式即可求得分段函数的最大值. (1) 小问详解： 由题可知，当时，总成本为，故有， 整理得，解得. 因此当时，； 当时，， 综上 ； (2) 小问详解： 当时，，对称轴为，因此在上单调递增， 因此当时，在时取得最大值，； 当时，， ，当且仅当，即时，等号成立， 故， 即当时，在时取得最大值，. 综上，当年产量为吨时，所获年利润最大，最大年利润是万元. 16．【答案】（1）不是，理由：假设为“伪奇函数”，∴存在满足， ∴有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”；     （2）     （3）      【分析】 （1）先假设为“伪奇函数”，然后推导出矛盾的结论即可得证； （2）由幂函数定义求得解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“”在R上有解，然后通过换元法，结合二次函数的零点分布知识求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 为幂函数，∴，∴． ∴， ∵为定义在的“伪奇函数”， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，∴在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， ∴，，∴的值域为， ∴，∴； (3) 小问详解： 设存在满足，即在上有解， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，取等号时， ∴在上有解， ∴在上有解（*）， ∵，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，∴， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，∴， 综上可知，． 【点睛】 方法点睛：本题考查新定义问题，有判断与新定义有关的问题时可能用反证法，这样可能通过新定义进行转化，然后证得结论．本题(2) (3)小题都是通过新定义转化为方程在某个区间有解问题，再利用已知函数知识求解即可． 17．【答案】（1） 为奇函数，证明： 函数的定义域为， 当时，，， 所以函数为奇函数；     （2）     （3）       【分析】 （1）由奇偶性的判定方法和步骤计算即可得证； （2）由分段函数单调性结合二次函数性质即可列出关于a的不等式组求解； （3）将题设方程的解转化为方程的解，接着分、、三种情况研究分析函数图象性质，结合与直线有三个交点列不等式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数的对称轴为，图象开口向上， 函数的对称轴为，图象开口向下， 所以若是上是增函数，则 ，解得， 所以函数在上是增函数时，实数a的取值范围为； (3) 小问详解： 方程的解即为方程的解. ① 当时，函数在上是增函数， 关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ② 当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则当时，关于的方程有三个不相等的实数根， 又，则， ，，设， ∵存在使得关于x的方程有三个不相等的实数根， ，又由对勾函数性质可知在上单调递增， ，； ③ 当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根； 又，则， ，，设， ∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ，又由对勾函数性质可知在上单调递减， ，， 综上. 18．【答案】（1），     （2）①；②1      【分析】 （1）由题意写出集合.令解得即为集合，令，解得即为集合； （2）① 由题意得的两根为，由韦达定理求出，再令，解得即为集合； ② 根据题意得到集合，化简整理，设集合，由题意得到的关系，然后代入由配方法得到最小值. (1) 小问详解： 由题意，，. 由，得. 故（当时），或（当时）. 解得，所以. 又. 由，得. 解得. 故. (2) 小问详解： ① 由题意，. 由根与系数的关系，得，且. 解得，，故. 由，得，故. 所以，即. 故，所以. ② 设函数，则. 故 .  设集合，则. 由，得，故. （ⅰ）若，则，即. （ⅱ）若，因为与不同解（即）， 所以是的真子集，故，所以，故. 综上可知，当且仅当， 即. 故. 所以的最小值为1（当且仅当，时取得） 19．【答案】或 【分析】 先分析并作出两函数的图像，结合图像可得或，从而得解. 【详解】 对于函数， 当时，，显然在上单调递增； 当时，，显然在上单调递减； 当时，， 函数，显然的图象开口向下，且与轴交于点，， 作出与的图像如下， 结合图像可知当点在点和点之间时，与的图象有个交点， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，的取值范围是：或. 故答案为：或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·四川绵阳·期中）计算：（        ） A.  B. 2 C. 4 D.  2．（25-26学年高一上·四川广安友谊中学·期中）（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）计算的结果为（       ） A.  B.  C.  D. . 4．（25-26学年高一上·四川绵阳·期中）（多选）设，则下列运算中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·四川广安友谊中学·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）化简：　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·四川内江第六中学·期中）化简或求值： （1）； （2）． 10．（25-26学年高一上·四川内江第一中学·期中）　　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）已知函数． （1）证明：； （2）解关于的不等式：； （3）若，，对，，使得，求实数的取值范围． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·四川彭州中学·期中）已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·四川广元中学·期中）若函数是指数函数，则等于（       ） A. 或 B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·四川绵阳·期中）已知指数函数，对于，若命题，命题，则是的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·四川广安友谊中学·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 函数的图象关于成中心对称 B. 指数函数中，a的取值范围是 C. 函数的图象不过第三象限，则的取值范围是 D. 函数，，则的单调递增区间是 8．（25-26学年高一上·四川什邡中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 和表示的是同一个函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 且在单调递减 9．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 对于任意两个集合，都有 B. ，若是的充分条件，则 C. 函数的值域为 D. 已知，则的取值范围是. 10．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）已知非零实数，且，则下列式子中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）已知实数满足，则（     ） A. 有最大值1 B. 有最小值0 C. 有最小值1 D. 有最大值0 12．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）（多选）已知，若关于的方程有两个不等实根，，则（       ） A. 的取值范围是 B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）指数函数，则的图象过定点　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·四川广安友谊中学·期中）设常数，函数，． （1）当时，求函数的值域． （2）若函数的最小值为,求的值． 16．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）函数的单调递增区间是　　　　　　　　. 17．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）已知全集为．集合，常数，． （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 19．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室． 20．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 21．（25-26学年高一上·四川什邡中学·期中）已知函数（其中是常数）. （1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）（多选）已知，，定义直线的斜率为，对数函数与的图象如图所示，过原点的直线交的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作轴的平行线交于C，D两点，交轴于M，N两点，则（       ） A. 三点共线 B. 梯形的面积为梯形面积的2倍 C.  D. 当轴时，点坐标为 2．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）若是奇函数，则的值为（       ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 3．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）（1）计算：； （2）计算：. 4．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知，，则用，表示　　　　　　　　. 5．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）计算下列各式的值： （1） （2）. 6．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知函数·. (1)令，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围； (2)求该函数的值域. 7．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）计算：　　　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）求值：　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）已知，若，则　　　　　　. 10．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）计算： （1）求值：； （2）； （3）已知，求的值. 11．（25-26学年高一上·四川什邡中学·期中）关于x的方程的解为　　　　　　  . 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）已知函数恒过定点，则的最小值为（       ）． A.  B.  C. 3 D.  5．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）函数的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）已知，则的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）下列说法正确的是（     ） A. 函数（且）的图像恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 是的必要不充分条件 D. 函数定义域为R．则实数的取值范围 10．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）（多选）已知，下列说法正确的是（       ） A. 函数定义域为 B.  C. 在为减函数 D. 不等式的解集为 11．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 12．（25-26学年高一上·四川仁寿第一中学校·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围. （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 14．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）定义：对于函数.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，证明：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 15．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）已知函数与函数，函数的定义域为. （1）求的定义域和值域； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）函数的零点一定位于区间（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，与函数的交点个数为（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 4．（25-26学年高一上·四川双流棠湖中学·期中）已知若，且，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（     ） A.  B.  C. 与的图象关于对称 D.  6．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（       ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·四川南江中学·期中）作为重庆本土最高级别足球赛事，渝超某焦点赛事凭借激烈对抗与精彩进球，点燃了重庆民众的观赛热情．赛前球迷自发组织助威活动，赛后街头巷尾热议赛事细节，社交媒体上相关话题更是持续刷屏．某网站统计数据显示，该赛事开赛后48小时内网络热度值（单位：万次点击）与时间（单位：小时）呈现阶段性变化：①当时，受重庆民众自发传播、二次创作赛事内容的推动，热度持续增长，函数关系为；②当时，虽热度逐渐冷却，但重庆球迷仍持续关注，函数关系为 （1）当时间为多少时，网络热度值最大，并求出最大值； （2）该网站把“网络热度值超过220万次点击的时间段”称为“霸榜时段”，求“渝超”开赛后48小时内的“霸榜时段”． 10．（25-26学年高一上·四川成都树德中学·期中）猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数. 2 4 6 8 8 64 511 4097 （1）请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：） 11．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为160毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为6小时.则经过一天（24小时）后，其剩余活性为　　　　　　　　毫居里. 12．（25-26学年高一上·四川成都玉林中学）已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要　　　　　　　　年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 13．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为368万元，每生产1吨产品还需再投入材料、人工等费用14万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产30吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. （1）求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： （2）至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ （3）当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 14．（25-26学年高一上·四川成都石室中学·期中）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，8点18分时，壶中热水自然冷却到. （1）求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； （2）若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①设从降至的时间为，从加热至的时间为，用表示，； ②判断这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数（不需要写出理由），并求该养生壶保温的临界值. 15．（25-26学年高一上·四川绵阳·期中）某种植园种植某菌类的年固定成本为万元，每产出吨该菌类需另外投入成本 万元，该菌类可以每吨万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润销售额成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元. （1）求年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； （2）当年产量为多少吨时，所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 16．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 17．（25-26学年高一上·四川德阳第五中学·期中）已知函数，且. （1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； （3）若存在实数.使得关于x的方程三个不相等的实数根，求实数t的取值范围. 18．（25-26学年高一上·四川成都第七中学·期中）对任意函数，我们把方程的实根称为的不动点，的所有不动点组成集合；把方程的实根称为的稳定点，的所有稳定点组成集合. （1）设，求和； （2）设（，）. ①若，求； ②若，求的最小值. 19．（25-26学年高一上·四川广元中学·期中）已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是 　　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $