专题4.3 对数专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.3 对数 考点预览 考点一 对数的概念与指对数互化 考点二 对数恒等式与基本性质 考点三 对数的运算性质 考点四 换底公式及其应用 考点五 对数运算的应用 一、知识填空 1．对数的概念 （1）如果 （ 且 ），那么 叫做以 为底 的 ，记作 。 （2）其中 叫做 ， 叫做 。 （3）指数式 与对数式 表示的是 、、 之间的 关系。 （4）负数和零 对数（填有或没有）。 2．对数的性质与恒等式 （1） ， 。 （2）对数恒等式： 。 （3） 。 3．对数的运算性质 设 ，，，，则 （1） ； （2） ； （3） 。 4．换底公式 （1） （写成常用对数或自然对数的商）。 （2）由换底公式可得 。 （3） 。 5．常用对数与自然对数 （1）以 为底的对数叫做 ，记作 ；以无理数 为底的对数叫做 ，记作 。 （2） ， 。 （3） 。 二、考点专练 考点一 对数的概念与指对数互化 方法与技巧： 1. 识别信号：题目要求在 与 之间转化，或已知其中两个量求第三个（底数、真数、对数）。 1. 操作流程：先把"底数"认出来——指数式里作底的那个数，到对数式里仍作底数；指数式的幂值变成真数，指数变成对数。 1. 技巧·口诀：三个量的相对位置固定，"底数不动、其余两个对角换位置"，画一遍 就再也不会错。 1. 易错点：底数必须满足 且 ，真数必须 ； 解出底数为 或为负时要舍去。 【例题精讲】 1．把 写成对数式，结果是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1． 的值是（　　） A． B． C． D．不存在 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．把 写成指数式是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．把 写成对数式是（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 可以表示为（　　） A． B． C． D． 考点二 对数恒等式与基本性质 方法与技巧： 1. 识别信号：式子形如 、、或是要把指数上的对数"放下来"。 1. 操作流程：认准底数 是否统一，统一时直接用 与 ；不统一时先化成同底或换元。 1. 技巧·口诀："指数上的对数，按下葫芦浮起瓢"——； 遇到 就拆成 。 1. 易错点： 要求 且底数与对数的底数完全一致； 而 ，两者形式相近但含义不同。 【例题精讲】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2．（，）的值是（　　） A． B． C． D． 3．若 ，，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 4． 的值是（　　） A． B． C． D． 5． 的值是（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 8．若 成立，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 即可 考点三 对数的运算性质 方法与技巧： 1. 识别信号：式子中出现两个同底对数相加减，或出现 与 的互化。 1. 操作流程：先把真数分解质因数，再按"乘变加、除变减、幂变系数"逐条展开，最后合并同类项算到最简。 1. 技巧·口诀： 这条最常用，特别是逆用时把系数 "收"进真数的指数； 、 建议记牢。 1. 易错点：，真数相加没有性质； 也不能合并，只有同底相加减才行。 【例题精讲】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 4． 的值是（　　） A． B． C． D． 5． 的值是（　　） A． B． C． D． 6． 的值是（　　） A． B． C． D． 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点四 换底公式及其应用 方法与技巧： 1. 识别信号：几个不同底的对数相乘，或要计算 、 这类"底数与真数不同族"的值。 1. 操作流程：统一换成常用对数（或自然对数）的商，约分后再用 收回一个对数；链式相乘时中间的底数会依次抵消。 1. 技巧·口诀：，连乘就是"首尾相接"； 可直接套用。 1. 易错点：，只有相乘才等于 ； 换底时分子分母的底数要一致，别写反。 【例题精讲】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5． 的值是（　　） A． B． C． D． 6． 的值是（　　） A． B． C． D． 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点五 对数运算的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：已知若干个对数的值求另一个对数、解对数方程、或把含 个变量的对数等式化成乘积等式。 1. 操作流程：先按运算性质把"和差"合并成单个对数，再与已知条件对照；解对数方程务必验真数大于 。 1. 技巧·口诀：已知 、，求 就把 分解质因数：。 1. 易错点：解对数方程必须验根，真数为负或为 的根要舍； 由 得 而不是 ，别把 当成乘 。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．方程 的解是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．方程 的解是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．方程 的解是（　　） A． 或 B． C． D．无解 4．方程 的解是（　　） A． B． C． D．无解 5．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．某车间产值每年增长，若经过 年后产值是原来的 倍，且每年是上一年的 倍，则 满足的对数式为（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．把 写成对数式是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 4． 的值是（　　） A． B． C． D． 5． 的值是（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 8．方程 的解是（　　） A． B． C． D． 9．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 10． 的值是（　　） A． B． C． D． 11．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 12．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 对数 考点预览 考点一 对数的概念与指对数互化 考点二 对数恒等式与基本性质 考点三 对数的运算性质 考点四 换底公式及其应用 考点五 对数运算的应用 一、知识填空 1．对数的概念 （1）如果 （ 且 ），那么 叫做以 为底 的 ，记作 。 （2）其中 叫做 ， 叫做 。 （3）指数式 与对数式 表示的是 、、 之间的 关系。 （4）负数和零 对数（填有或没有）。 2．对数的性质与恒等式 （1） ， 。 （2）对数恒等式： 。 （3） 。 3．对数的运算性质 设 ，，，，则 （1） ； （2） ； （3） 。 4．换底公式 （1） （写成常用对数或自然对数的商）。 （2）由换底公式可得 。 （3） 。 5．常用对数与自然对数 （1）以 为底的对数叫做 ，记作 ；以无理数 为底的对数叫做 ，记作 。 （2） ， 。 （3） 。 自检自纠： 1．（1）对数； （2）底数；真数 （3）同一 （4）没有 2．（1）； （2） （3） 3．（1） （2） （3） 4．（1）（也可写成 ） （2） （3） 5．（1）常用对数；自然对数 （2）； （3） 二、考点专练 考点一 对数的概念与指对数互化 方法与技巧： 1. 识别信号：题目要求在 与 之间转化，或已知其中两个量求第三个（底数、真数、对数）。 1. 操作流程：先把"底数"认出来——指数式里作底的那个数，到对数式里仍作底数；指数式的幂值变成真数，指数变成对数。 1. 技巧·口诀：三个量的相对位置固定，"底数不动、其余两个对角换位置"，画一遍 就再也不会错。 1. 易错点：底数必须满足 且 ，真数必须 ； 解出底数为 或为负时要舍去。 【例题精讲】 1．把 写成对数式，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 位置不变，指数 变成对数，幂值 变成真数。 故写成 。 记住"底数不动，另两个对角换"就不会写反。故选 A。 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】还原成指数式：，故 。 遇到求"真数"，一律先还原为指数式。故选 A。 【变式训练】 1． 的值是（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】由 知 。 任何底数的对数在真数为 时都等于 。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ， 故所求对数为 。 把真数也化成底数的幂是常用手法。故选 A。 3．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】还原得 ，解得 。 底数必须为正，故不能取负根。故选 A。 【巩固练习】 1．把 写成指数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 不动，对数 变指数，真数 变幂值。 故写成 。故选 A。 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】还原为 ，故 。故选 A。 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 ，设所求为 ， 则 ， 故 ，得 。故选 A。 4．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】还原得 ，即 ， 故 ，由 得 。故选 A。 5．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】B 的真数为负，无对数；C 的底数为 ；D 的真数为 。 只有 A 中 成立。 这类题最省事的办法是逐项还原为指数式检验。故选 A。 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由外层对数得 ， 再由内层得 。 嵌套对数要从外向里一层层剥。故选 A。 7．把 写成对数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 不动，指数 变成对数， 幂值 变成真数，得 。故选 A。 8．若 ，则 可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数式 直接改写成对数式 。 这就是对数最原始的作用：用来表示未知的指数。故选 A。 考点二 对数恒等式与基本性质 方法与技巧： 1. 识别信号：式子形如 、、或是要把指数上的对数"放下来"。 1. 操作流程：认准底数 是否统一，统一时直接用 与 ；不统一时先化成同底或换元。 1. 技巧·口诀："指数上的对数，按下葫芦浮起瓢"——； 遇到 就拆成 。 1. 易错点： 要求 且底数与对数的底数完全一致； 而 ，两者形式相近但含义不同。 【例题精讲】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直接用对数恒等式 ， 这里 、，故结果为 。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 直接得结果为 。 也可以理解为"以 为底 的对数"，由 同样得 。故选 A。 【变式训练】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】拆开：。 把指数拆成"整数部分 + 对数部分"是标准动作。故选 A。 2．（，）的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一项 ；第二项 。 故结果为 。 把分数写成负指数再用性质更快。故选 A。 3．若 ，，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对数还原：，。 故 。故选 A。 【巩固练习】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直接用对数恒等式得结果为 。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得结果为 。故选 A。 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把底数写成 ： 。 底数不统一时，先化成同底是关键。故选 A。 5． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故和为 。 这两条是最基本的性质，必须脱口而出。故选 A。 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由外层得 ，再由内层得 。 由外向里逐层还原。故选 A。 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数部分合并：， 故原式 。故选 A。 8．若 成立，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 即可 【答案】A 【详解】对数恒等式说明 恒等于 ， 故由等式得 。 这就是恒等式"恒"字的含义：与 无关。故选 A。 考点三 对数的运算性质 方法与技巧： 1. 识别信号：式子中出现两个同底对数相加减，或出现 与 的互化。 1. 操作流程：先把真数分解质因数，再按"乘变加、除变减、幂变系数"逐条展开，最后合并同类项算到最简。 1. 技巧·口诀： 这条最常用，特别是逆用时把系数 "收"进真数的指数； 、 建议记牢。 1. 易错点：，真数相加没有性质； 也不能合并，只有同底相加减才行。 【例题精讲】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】；。 故结果为 。 把真数化成底数的幂，一步到位。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 这条在化简对数式时几乎每道题都要用到。故选 A。 【变式训练】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把系数收进指数：。 故原式 。 先统一成"单个对数"，再合并。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，再加 得 。 注意 ，同底对数相加就是真数相乘。故选 A。 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 这实际上就是换底公式算 。故选 A。 【巩固练习】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】同底对数相减等于真数相除的对数： 。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】合并为 。故选 A。 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故结果为 。 先把真数化成底数的幂，再读对数。故选 A。 4． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 故原式 。故选 A。 5． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故原式 。 凑 是本题的关键。故选 A。 6． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用换底：， 约分得 。 链式换底时中间的底数会自动消掉。故选 A。 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 减去 得 。故选 A。 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】合并得 ，故 。 由"和"还原为"积"要立刻想到。故选 A。 考点四 换底公式及其应用 方法与技巧： 1. 识别信号：几个不同底的对数相乘，或要计算 、 这类"底数与真数不同族"的值。 1. 操作流程：统一换成常用对数（或自然对数）的商，约分后再用 收回一个对数；链式相乘时中间的底数会依次抵消。 1. 技巧·口诀：，连乘就是"首尾相接"； 可直接套用。 1. 易错点：，只有相乘才等于 ； 换底时分子分母的底数要一致，别写反。 【例题精讲】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】换底：。 中间的底数 自动消掉。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； 。 相乘得 。 先缩"底数与真数的指数"，算起来快得多。故选 A。 【变式训练】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】相邻两项首尾相接，依次抵消后只剩 。 链式乘积的结论是"第一个下标底数、最后一个真数"。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 除以 得 。 直接用 一步到位。故选 A。 3．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 【巩固练习】 1． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】首尾相接得 。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 乘 得 。故选 A。 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 底数与真数的指数同时开方，值不变。故选 A。 4．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 又 ， 故结果为 。故选 A。 5． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】首尾相接得 。 三个连乘也一样，只看首底与末真数。故选 A。 6． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一项 ，第二项 。 相乘得 。 先把每一项都换成常用对数，结构就清楚了。故选 A。 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 底数上有分数指数时，分子分母要同时处理。故选 A。 8．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 链式换底的结论：两端分别是首尾的底数与真数。故选 A。 考点五 对数运算的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：已知若干个对数的值求另一个对数、解对数方程、或把含 个变量的对数等式化成乘积等式。 1. 操作流程：先按运算性质把"和差"合并成单个对数，再与已知条件对照；解对数方程务必验真数大于 。 1. 技巧·口诀：已知 、，求 就把 分解质因数：。 1. 易错点：解对数方程必须验根，真数为负或为 的根要舍； 由 得 而不是 ，别把 当成乘 。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左边合并为 ， 还原成指数式得 。 "和变积"是本题唯一考点。故选 A。 2．方程 的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】还原为指数式：，得 。 检验：真数 ，符合条件。 凡解对数方程都要补这一步验根。故选 A。 【变式训练】 1．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】右边 ， 故 。 先把右边并成一个对数，再比较真数。故选 A。 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。 先分解质因数是通法。故选 A。 3．方程 的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】还原得 ，解得 。 验算真数 ，成立。故选 A。 【巩固练习】 1．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，得 。 先把能算的部分算掉。故选 A。 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．方程 的解是（　　） A． 或 B． C． D．无解 【答案】A 【详解】还原得 ， 即 ，解得 或 。 两根代入真数均为 ，都成立。 二次方程型对数方程不要漏根。故选 A。 4．方程 的解是（　　） A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】还原为指数式得 ，即 ，解得 。 验真数：两根代入都有 ，因此两根都成立。 二次方程型对数方程要考虑两个解，且必须逐根验真数。故选 A。 5．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由外层得 ， 再由中层得 ，最后 。 三层嵌套，由外向里逐层脱壳。故选 A。 6．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 直接把已知值代进去，不必求出真数。故选 A。 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左边合并为 ， 故 ，得 。 验真数： 时 ，舍去； 时两个真数均为正，成立。故选 A。 8．某车间产值每年增长，若经过 年后产值是原来的 倍，且每年是上一年的 倍，则 满足的对数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意列 ，改写成对数式即 。 把"求指数"翻译成对数，是对数最直接的用途。故选 A。 三、达标检测 1．把 写成对数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 不动，指数 变对数，幂值 变真数。故选 A。 2． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 知结果为 。故选 A。 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直接用对数恒等式 得结果为 。故选 A。 4． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，和为 。故选 A。 5． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】首尾相接得 。故选 A。 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】还原为 。故选 A。 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故原式 。故选 A。 8．方程 的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得 ；真数 ，成立。故选 A。 9．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 底数与真数的指数同时提取，比值抵消。故选 A。 10． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选 A。 11．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】合并得 ，故 。 "差变商"还原后要立刻写成指数式。故选 A。 12．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由外层得 ， 再由中层得 ，故 。故选 A。 学科网（北京）股份有限公司 $