4.3-4.4对数及对数函数 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕对数与对数函数的概念-运算-性质-应用逻辑，通过典例与变式构建运算转化、性质应用的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数运算|例1+变式1、练习1、12|换底公式与推论转化|从定义到运算性质，形成概念-法则推导链条| |对数函数性质|例2-4+变式2-4、练习5-6、8-10|图象特征分析、单调性判定|结合图象理解定义域、值域及单调性，体现几何直观| |综合应用|例5+变式5、练习7、11、13|定义域值域限制条件、恒成立问题转化|从单一性质到综合应用，培养应用意识与推理能力|

4.2 对数与对数函数 【知识点归纳】 一、对数及对数运算 1、对数式的运算 （1）对数的定义：一般地,如果 ,那么 叫做以 为底 的对数,记作 ,其中 叫做对数的底数, 叫做对数的真数. （2）常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底, ，记为； （3） 对数的性质和运算法则： ① ；； 其中且； ②（其中且，）； ③对数换底公式：； 推论：① ( ,且 , ,且 )； ② ( ,且 , ,且 , ,且 , )； ④；        ⑤； ⑥     ( ,且 , , , ) ⑦和； ⑧； 2、 对数函数的定义及图象 1、（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． （2）对数函数的图象 图象        性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 2.反函数 指数函数y=ax与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 3．(1)图象关键点(a,1)，(1,0)，，注意a＞1和0＜a＜1． (2)方程＋x－a＝0有且只有一实根，用直接求解无法得到，转化为y＝与y＝－x＋a两函数图象的关系，数形结合法求解． 4．对数函数图象的特征 (1)图象的升降，a＞1时，图象上升；0＜a＜1时，图象下降． (2)对数函数在同一直角坐标系中的图象，相对位置与底数大小有关， 图中0＜c＜d＜1＜a＜b. 在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 【典型例题】 例1.已知，则 .（用含的式子表示） 【变式1】已知，，，则__________ 例2.函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【变式2】函数的定义域为______ 例3.函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【变式3】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4.若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 例5.已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【变式5】已知函数 (1)若，求的值; (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【练习】 1. 若 则 用a的代数式可表示为（ ） A. a-2 B. 3a- C. 5a-2 D. 3a-a 2. 已知log[log()]=0则=( ) A. B. C. D. 3.已知，则的值为（ ） A. B. 4或1 C. 1 D. 4 4．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 5.函数的递减区间是（ ） A. (1, 3） B.（-，1） C. D .（-，3） 6.若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 8.（多选题）已知函数，则函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在定义域上递增 D．在定义域上递减 9.（多选题）已知函数f(x)=lg(7-x)+lg(x-3),则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为(3,7) B.f(x)在定义域内单调递减 C.f(x)的最大值为2lg 2 D.f(x)的图象关于直线x=5对称 10.（填空题）(1)函数（且）图象恒过定点坐标为______． (2)若函数为奇函数，则实数的值为__________． 11. （填空题） （1）若函数的定义域为，求的取值范围________； （2）若函数的值域为，求的取值范围________ ; （3）函数，的最小值为_________． 12.计算 （1） （2）若，求的值． 13.已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的定义域为，求的取值范围； (3)若的值域为，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 对数与对数函数 【知识点归纳】 一、对数及对数运算 1、对数式的运算 （1）对数的定义：一般地,如果 ,那么 叫做以 为底 的对数,记作 ,其中 叫做对数的底数, 叫做对数的真数. （2）常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底, ，记为； （3） 对数的性质和运算法则： ① ；； 其中且； ②（其中且，）； ③对数换底公式：； 推论：① ( ,且 , ,且 )； ② ( ,且 , ,且 , ,且 , )； ④；        ⑤； ⑥     ( ,且 , , , ) ⑦和； ⑧； 2、 对数函数的定义及图象 1、（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． （2）对数函数的图象 图象        性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 2.反函数 指数函数y=ax与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 3．(1)图象关键点(a,1)，(1,0)，，注意a＞1和0＜a＜1． (2)方程＋x－a＝0有且只有一实根，用直接求解无法得到，转化为y＝与y＝－x＋a两函数图象的关系，数形结合法求解． 4．对数函数图象的特征 (1)图象的升降，a＞1时，图象上升；0＜a＜1时，图象下降． (2)对数函数在同一直角坐标系中的图象，相对位置与底数大小有关， 图中0＜c＜d＜1＜a＜b. 在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 【典型例题】 例1.已知，则 .（用含的式子表示） 【答案】 【解析】因为，，所以，又， 所以 . 故答案为： 【变式1】已知，，，则__________ 【答案】1 【解析】由对数法则得， 即=2 所以=1 例2.函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【解析】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 【变式2】函数的定义域为______ 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式，结合对数函数的图像与性质，即可求解. 【解析】由函数有意义，则满足， 可得，解得，所以函数的定义域为. 故答案为：. 例3.函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于右函数值，即可解得a的取值范围. 【解析】因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 【变式3】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及对数函数单调性条件可转化为函数在区间上有意义，且在上单调递减，讨论结合二次函数性质可得结论. 【解析】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. 例4.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将变形为，再由幂函数和对数函数的单调性，并借助中间值1比较出的大小. 【解析】， ∵，，函数在上单调递增， ∴，即，∴. ∵函数在上单调递增， ∴，即，∴. ∴. 故选：D. 【变式4】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【解析】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 例5.已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【解析】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 【变式5】已知函数 (1)若，求的值; (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)略 (3) 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据函数单调性的定义进行证明. （3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数，然后利用换元法以及函数的单调性来求得的取值范围. 【解析】（1），， （2）证明：任取，，且， 则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. （3）， 由（2）可知，在上单调递增， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令 只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ， 【练习】（1-7单选题） 1. 若 则 用a的代数式可表示为（ ） A a-2 B 3a- C 5a-2 D 3a-a 【答案】A 【解析】 2. 已知log[log()]=0则=( ) A B C D 【答案】 C 【解析】因为log[log()]=0 ，所以， 所以，解得； 所以 故选C 3.已知，则的值为（ ） A. B. 4或1 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】由题设，且，故， 所以，可得或（舍），故.故选D 4．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用指数对数互换，解出的值，利用对数的运算法则计算即可. 【解析】已知 ，则， 于是 所以， .故选C 5.函数的递减区间是（ ） A. (1, 3） B.（-，1） C. D .（-，3） 【答案】A 【分析】根据“同增异减”判断复合函数的单调区间. 【解析】由 . 故所求函数的定义域为. 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，又在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的单调性的判断方法可知函数在上单调递减，故选A 6.若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得，解出即可求解. 【解析】由在上的增函数，所以，解得， 故选：D. 7．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【解析】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍.故选B 8.（多选题）已知函数，则函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在定义域上递增 D．在定义域上递减 【答案】AD 【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义判断AB；分析函数的单调性判断CD. 【解析】函数有意义，，解得，即函数的定义域为， 由，得函数是奇函数，A正确，B错误； 函数，函数在上递减，函数在上递增， 所以函数在定义域上递减，C错误，D正确. 故选：AD 9.（多选题）已知函数f(x)=lg(7-x)+lg(x-3),则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为(3,7) B.f(x)在定义域内单调递减 C.f(x)的最大值为2lg 2 D.f(x)的图象关于直线x=5对称 【答案】ACD 【解析】由解得3<x<7,所以f(x)的定义域是(3,7),所以A选项正确. f(x)=lg [(7-x)(x-3)]=lg(-x2+10x-21),函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增, 函数y=-x2+10x-21的图象开口向下,对称轴为x=5,所以f(x)关于直线x=5对称,D选项正确. 所以f(x)在区间(5,7)上单调递减,在区间(3,5)上单调递增,B选项错误. 当x=5时,f(x)取得最大值为f(5)=lg(2×2)=2lg 2,所以C选项正确.故选ACD 10.(1)函数（且）图象恒过定点坐标为______． 【答案】 【分析】利用对数函数性质求解. 【解析】因为对任意且，， 令得，将代入， 得， 所以函数的图象恒过定点坐标为. 故答案为： (2)若函数为奇函数，则实数的值为__________． (2)【答案】1 【分析】利用奇函数的性质和对数的运算性质得到关于的二次参数方程，再比较系数可得. 【解析】由题意可得，即， 即， 所以，即， 展开整理可得， 即， 比较系数可得，解得. 当时，，函数定义域为关于原点对称， ，为奇函数符合题意. 故答案为：1 11. （1）若函数的定义域为，求的取值范围________； （2）若函数的值域为，求的取值范围________ ; (3)函数，的最小值为_________． 【答案】（1）的取值范围是 （2） 的取值范围是， (3)【答案】 （1）【分析】分析可知，可求出的取值范围； 【解析】函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是； （2）【分析】可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【解析】函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， (3)【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【解析】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 12.计算 （1） 【答案】 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【解析】 ． (2) 【答案】 【解析】 (3) 若，求的值． （3）因为，所以， 故，即的值为. 13.已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的定义域为，求的取值范围； (3)若的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，利用对数函数单调性求解不等式. （2）将问题转化为对任意实数，不等式恒成立求解. （3）根据给定条件，由函数的值域包含求解即可. 【解析】（1）当时，不等式，即， 则，即，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）函数的定义域为，则对任意，恒成立， ①当时，得且，解得； ②当时，恒成立，的定义域为成立， 所以得的取值范围为. （3）函数的值域为，则函数的值域包含， 当时，不符合题意； 当时，是开口向下的二次函数，不符合题意； 当时，，当且仅当时取等号， 因此函数的值域为，则， 于是，解得，所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $