对数运算与对数函数分类专题练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学对数运算与对数函数分类专题练习 题型01指对数的互化及对数运算 1.（1）; （2）. 2.已知，，则 ．（用数字作答） 3.（1）若，，求的值； （2）求的值. 题型02换底公式的运用 4.化简的值为（    ） A． B． C． D． 5.已知，，则用，表示 . 6.记，那么 ． 7.若，则 . 8.求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 题型03识别对数(型)函数图象及定点问题 9.函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   10已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 11.已知，则函数与函数的图象可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 12.函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 13.（多选）已知函数（且）恒过定点，则函数的图象不经过不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型04根据对数型函数图象求参数 14已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（    ） A．m>0，0<n<1 B．m<0，0<n<1 C．m>0，n>1 D．m<0，n>1 15.如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    16.若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 17.已知函数，若且，则的取值范围为 . 18.已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值 ． 题型05求对数(型)函数的值域 19.设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 20.函数的最小值为 ． 题型06对数(型)函数的单调性问题 21.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数（     ） A． B． C． D． 22.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07比较指对幂的大小 23.已知，则（    ） A． B． C． D． 24.已知奇函数在R上是增函数，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型08解不等式 25.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26.设函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型09反函数的应用 27.函数的反函数为 . 28.函数反函数的定义域为 . 题型10根据值域(最值)求参数 29.已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 30.（多选）已知函数，若的值域为，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型11恒成立问题 31.若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 32.已知是偶函数. (1)求m的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型12对数函数的实际问题 33.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（    ）天．（结果保留一位小数．参考数据：） A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19 34.2023年11月，大批红嘴鸥从西伯利亚飞越数千公里抵达云南昆明过冬，昆明已开启观鸥季．科学家研究发现候鸟的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示候鸟的耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟的耗氧偏差的单位数．（参考数据：）． (1)当时，计算海鸥静止时耗氧量的单位数； (2)若雄性海鸥的飞行速度为，雌性海鸥的飞行速度为，那么此时雄性海鸥的耗氧量是雌性海鸥的耗氧量的多少倍． 答案解析 1.（1）; （2）. 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）根据对数运算公式求解. （2）根据对数运算与指数运算公式求解. 【详解】（1） . （2） . 2.已知，，则 ．（用数字作答） 【答案】6 【分析】将对数式化为指数式，利用指数幂的运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以，故. 故答案为：6 【变式1-2】 . 【答案】13 【分析】利用指对数运算律计算. 【详解】原式. 故答案为：13. 3.（1）若，，求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指对互化得出，，进而根据指数幂的运算性质，化简求值即可得出答案； （2）根据指数幂的运算性质，以及对数的运算性质、对数恒等式，化简求值即可得出答案. 【详解】（1）由，，可得，， 所以，， 所以. （2） . 题型02换底公式的运用 4.化简的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式计算. 【详解】= 故选：D 5.已知，，则用，表示 . 【答案】 【分析】根据换底公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 6.记，那么 ． 【答案】 【分析】利用对数的换底公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 7.若，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得， 可得，所以. 故答案为：. 8.求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的公式进行化简求值即可； （2）利用换底公式求解即可. 【详解】（1） . （2）, 题型03识别对数(型)函数图象及定点问题 9.函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断． 【详解】，当或时，，，排除AD， 当时，，，排除C， 故选：B． 10已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 11.已知，则函数与函数的图象可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据条件可得，化简可知两函数底数相同，利用单调性相同求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故与函数单调性相同， 因为①③④中函数单调性不同，②中函数单调性相同，故①③④错误，②正确. 故选：B 12.函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的增长速度，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，， 当时，，， 故对任意的，，所以，函数为偶函数，排除BD选项； 当时，，则函数在的增长速度快于函数的增长速度，排除C选项. 故选：A. 13.（多选）已知函数（且）恒过定点，则函数的图象不经过不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】CD 【分析】确定函数过定点，得到，根据函数的平移得到答案. 【详解】函数，当时，，故函数过定点， 故，， 函数可以由向上平移2个单位得到，不经过第三象限和第四象限. 故选：CD 题型04根据对数型函数图象求参数 14已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（    ） A．m>0，0<n<1 B．m<0，0<n<1 C．m>0，n>1 D．m<0，n>1 【答案】C 【分析】与对数函数的图象与性质比较可得． 【详解】解析：由题中图象知函数为增函数，故n>1． 又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0． 故选：C． 15.如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    【答案】 【分析】由对数函数的图象与性质判断 【详解】由题图可知，，，． 直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，， 故答案为： 16.若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解. 【详解】函数的图象关于对称，其定义域为， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可得，要使函数的图象不过第四象限， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 17.已知函数，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】画出的图象如图： ∵，且， ∴且，， ∴，即，∴，， 由图象得在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 18.已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值 ． 【答案】（在之间都可以）. 【分析】画出函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】 如图，当时， ，当且仅当时等号成立， 当时，， 要使方程有四个不等实根，只需使即可， 故答案为：（在之间都可以）. 题型05求对数(型)函数的值域 19.设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性解集合A，根据对数函数的单调性解集合B，结合补集的定义和运算即可求解. 【详解】由， 得， 所以. 故选：C 20.函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解. 【详解】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型06对数(型)函数的单调性问题 21.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义及基本函数的单调性逐项判定即可. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又符合，所以函数为偶函数， 当时，函数，单调递增，故A正确； 因为函数的定义域为， 不关于原点对称，故不具有奇偶性，故B错误； 因为的定义域为, 且满足， 故函数为偶函数，又函数为开口向下，对称轴为的二次函数， 故函数在上单调递减，故C错误； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，故函数为奇函数，故D错误， 故选：A. 22.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解得方程的解，利用二次函数、对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，令，解得， 所以， 对于函数，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 则，得，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 题型07比较指对幂的大小 23.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可. 【详解】幂函数在上单调递增，故， 又， 所以. 故选：A. 24.已知奇函数在R上是增函数，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用指数函数和对数函数单调性及中间值比较出，从而根据的单调性比较出大小关系. 【详解】，，， ， 由于在R上是增函数，故， 所以. 故选：A 题型08解不等式 25.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【详解】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 26.设函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性及在上的单调性，再求解不等式即可. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 故为偶函数， 当时，，，即， 故， 令， 因为在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又为偶函数，故在上单调递减， 因为， 所以，解得. 故选：C 题型09反函数的应用 27.函数的反函数为 . 【答案】 【分析】利用反函数的定义求解即可. 【详解】因为的反函数为， 所以，则. 故答案为：. 28.函数反函数的定义域为 . 【答案】 【分析】求得原函数的值域，即可得出反函数的定义域. 【详解】当时，单调递增，可知． 所以反函数的定义域为． 故答案为：． 题型10根据值域(最值)求参数 29.已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为， 所以，解得， 因为的值域为,， 所以的最小值为9，所以， 解得， 所以． 故选：A． 30.（多选）已知函数，若的值域为，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】结合图象，对选项逐一分析即可得. 【详解】在同一坐标系中画出函数及的图象， 结合图象，当时， 有时，， 当时，， 其中， 故的值域为为，不符合题意，故舍去； 当时，易得时，， 当时，， 此时，故的值域为，符合要求； 当时，易得时，， 当时，，故的值域为，符合要求； 综上所述，的取值可以是3、4，不能是5或6. 故选：AB. 题型11恒成立问题 31.若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数运算将问题等价转化为对于任意恒成立，进而根据的单调性求最值即可得答案. 【详解】解：， ， ，即对于任意恒成立， 对于任意恒成立， ∴， ∵函数在上单调递减， ，即， 所以，实数的取值范围是 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用对数运算将问题转化为对于任意恒成立. 32.已知是偶函数. (1)求m的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值. （2）由分离常数，然后利用构造函数法，结合函数的最值来求得的取值范围. 【详解】（1）因为为偶函数，且定义域为， 所以对任意的，， 即对任意的恒成立， 则恒成立， 所以，. （2）不等式对任意的恒成立， 需对任意的恒成立. 令，， 因为，所以， 所以，即， 所以的取值范围是. 题型12对数函数的实际问题 33.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（    ）天．（结果保留一位小数．参考数据：） A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19 【答案】A 【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得，进而利用对数的运算法则列式即可得解. 【详解】因为，，，所以，解得， 设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍的时间为， 则 （天． 故选：A. 34.2023年11月，大批红嘴鸥从西伯利亚飞越数千公里抵达云南昆明过冬，昆明已开启观鸥季．科学家研究发现候鸟的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示候鸟的耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟的耗氧偏差的单位数．（参考数据：）． (1)当时，计算海鸥静止时耗氧量的单位数； (2)若雄性海鸥的飞行速度为，雌性海鸥的飞行速度为，那么此时雄性海鸥的耗氧量是雌性海鸥的耗氧量的多少倍． 【答案】(1)900 (2)1.93 【分析】（1）将，，代入求解； （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为个单位，雌鸟每分钟耗氧量为个单位，由题意列关于， 的方程组，整理后得答案． 【详解】（1）将，，代入， 得，则， 即，解得． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为900个单位； （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为个单位，雌鸟每分钟耗氧量为个单位， 由题意得， 两式相减得，解得． 所以雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的1.93倍． 学科网（北京）股份有限公司 $