3.4 函数的应用（一） 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数模型应用为主线，分题型系统训练一次、二次、幂函数等模型的实际应用，注重数学建模与问题解决。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数模型|4题（存车费、采购等）|列解析式及线性规划|从基础建模到简单优化| |二次函数模型|3题（烟花高度、成本利润）|最值求解与情境限制|承接一次函数，强化最值应用| |幂函数模型|4题（新陈代谢率、投资利润）|非线性关系建模|拓展至幂函数的实际拟合| |对勾函数模型|3题（场地建造费用）|利用单调性求最值|深化函数性质在优化中的应用| |分段函数模型|3题（核酸检测耗时、成本利润）|多段函数解析式及最值|综合多模型处理复杂情境| |图像信息应用|4题（工资方案、消毒含药量）|从图像提取函数关系|培养数学眼光与数据意识|

人教A版必修第一册 高一上学期数学同步作业 第三章 函数的概念与性质 分层作业练题型 §3.4 函数的应用（一） 一次函数模型的应用题型01 1．（25-26高一·湖南·期中）据调查，某自行车存车处，在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意存车费总收入=变速车存车总费用+普通车存车总费用即可求解. 【详解】存车费总收入=变速车存车总费用+普通车存车总费用 即，其中，. 故选：D 2．（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【详解】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 3．（26-27高一上·福建厦门·开学考试）河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元． (1)求每个太阳帽、旅行包的进价； (2)该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每个太阳帽进价为4元，每个旅行包进价为15元； (2)购进太阳帽420个、旅行包280个时销售利润最大，最大利润为2240元. 【分析】（1）依据进货费用的等量关系列方程组求解两种商品的进价， （2）结合进货数量的限制条件建立利润函数，利用一次函数的单调性求解最大利润及对应进货方案. 【详解】（1）设每个太阳帽、旅行包的进价分别为,由题意可得 ，解得， 所以每个太阳帽进价为4元，每个旅行包进价为15元. （2）设景区购进太阳帽个，则购进旅行包个，销售太阳帽和旅行包所获利润为, 由题意， 即， 由于随的增大而减少， 故当时，取最大值，. 所以景区购进太阳帽420个、旅行包280个时销售利润最大，最大利润为2240元. 4．（24-25高一上·山东泰安·开学考试）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元；且它们的进价和售价始终不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元． (1)该公司有几种进货方案？ (2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案． 【答案】(1)三种进货方案， (2)购进甲种商品10件，乙种商品10件，可得最大利润45万元． (3)购进甲种商品1件，乙种商品4件可获最大利润 【分析】（1）设购进甲种商品件，所用资金为万元，进而得，再解不等式即可得方案情况； （2）设购进甲种商品件，销售后总获利为万元，进而得，再根据依次函数单调性即可得答案； （3）分别写出再次进货的方案，讨论其获利最大的情况即可. 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，所用资金为万元， 所以，， 因为所用资金不低于190万元，不高于200万元， 所以，解得， 因为为正整数， 所以，即有三种进货方案. 方案一：购进甲种商品件，乙种商品件； 方案二：购进甲种商品件，乙种商品件； 方案三：购进甲种商品件，乙种商品件； （2）解：设购进甲种商品件，销售后总获利为万元， 所以，， 因为是的一次函数，， 所以，函数随着的增大而增大， 所以，购进甲种商品件，乙种商品件时可获得最大利润万元. （3）解：用不超过万元，可进货的方案和相应的利润为： 方案一：购进甲种商品件，乙种商品件，可获得利润万元； 方案二：购进甲种商品件，乙种商品件，可获得利润万元； 方案三：购进甲种商品件，乙种商品件，可获得利润万元； 方案四：购进乙种商品件，可获得利润万元； 所以，购进甲种商品1件，乙种商品4件可获最大利润万元. 二次函数模型的应用题型02 1．（24-25高一上·江西上饶·阶段检测）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 【答案】B 【分析】利用配方法，求二次函数最大值即可. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 所以烟花爆裂的高度是57.6米. 故选：B 2．（24-25高一上·贵州·阶段检测）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】(1)年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； (2)年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【详解】（1）依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. （2）设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 3．（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 【答案】(1) (2)当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式. （2）由（1）求出年生长量函数，再分段求出最大值并比较大小即可. 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 幂函数模型的应用题型03 1．（2022·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元. （1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式； （2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？ 【答案】（1）；（2）当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元 【分析】（1）设出两类产品的利润与投资额的函数关系式，代入已知求解即可； （2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元，根据（1）可得获得的利润为，利用换元法转化为二次函数求其最值. 【详解】解：（1）设两种产品的利润与投资额的函数关系分别为： ， 结合已知得， 所以； （2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元， 依题意，获得的利润为， 令，则， 所以当，即时，取得最大值，， 故当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元. 4．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 【答案】（1），；（2）万元． 【分析】（1）利用曲线过可求参数的大小，从而得到所求的解析式. （2）设销售甲商品投入资金万元，则可得利润关于的函数，利用换元法可求利润的最大值. 【详解】（1）由题意，解得，故. 又由题意，得，. （2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元. 由（1）得. 令，则且， 故，， 当即时，取最大值， 答：该商场所获利润的最大值为万元． 对勾函数模型的应用题型04 1．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则 ， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得， 对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 2．（2025·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【分析】（1）甲工程队整体报价为，利用基本不等式求解即可； （2）若乙队要确保竞标成功则 恒成立，先参变量分离化为恒成立，再求函数的最小值即可求解. 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则 ， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 3．（24-25高一上·山西·阶段检测）某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)30米 (2) 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数对任意的恒成立，进而变形利用基本不等式求的范围即可. 【详解】（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为540平方米， 所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为（）米， 设甲工程队报价为y元， 则， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当前墙的长度为30米时，甲工程队报价最低为324000元. （2）根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功， 分段函数模型题型05 1．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段. 某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）与大致服从的关系为（为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】先求出函数的解析式，直接求即可. 【详解】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时，则. 由第天检测过程平均耗时为小时，则，解得：， 由第天和第天检测过程平均耗时均为小时，则，解得， 所以 所以当n=8时，. 故选：C 2．（24-25高一上·四川雅安·期末）某公司注重技术创新，今年加大了对产品研发的投入.通过市场分析，该公司生产的一款产品全年需投入固定成本100万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且满足：，由市场调研知，每件产品售价0.6万元，且全年内该产品能全部销售完. (1)求出今年该产品的利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式（利润销售额-成本）； (2)今年产量为多少千件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1); (2)产量为50千件时，获得的利润最大，最大利润为2200万元. 【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式； （2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为50千件时，所获利润最大为2200万元. 【详解】（1）， 当时， ， 当时， ， 所以. （2）当时， ， 当时，； 当时， ， 当且仅当时等号成立， 所以当时，， 所以该公司今年该产品的产量为50千件时，获得的利润最大，最大利润为2200万元. 3．（25-26高一上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【答案】(1)，其中 (2)100件 【分析】（1）根据题意分别写出当与时的函数解析式即可； （2）利用二次函数求最值与基本不等式求最值分析即可得出. 【详解】（1）当时， ； 当时， ， 所以，其中. （2）当时， 当时，取得最大值900万元； 当时， ， 当且仅当，即时， 取得最大值950万元， 所以当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950万元 图像信息应用题题型06 1．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）（多选）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 【答案】ACD 【分析】根据图象可直接判断A，B选项；对C，计算出采用A，B方案核算的计件工资可判断；对D，由图可知产品件数为1000时，A方案核算的计件工资最多，求出函数关系式运算得解. 【详解】从图中可得，A正确，B错误； 若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元，采用方案核算的计件工资为元， 因为，所以该员工采用方案核算的计件工资更多，C正确； 从图中易得当时，员工采用A方案核算的计件工资（单位：千元） 与生产的产品件数（单位：百件）的函数关系式为， 则当时，，即当某员工生产的产品件数为1000时， 该员工的计件工资最多为14200元，D正确. 故选：ACD. 2．（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），则（    ） A．当时， B．当时， C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下 D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下 【答案】AD 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况． 【详解】对于选项A：当时，设，则，故， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，把代入可得：，， 所以，故B错误； 对于选项CD：令，即， 则，解得，故C错误，D正确． 故选：AD． 3．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段检测）（多选）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（   ）． A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平 B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位 C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本 D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变 【答案】ABD 【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义(斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价，纵截距表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出)，分析图形即可得出结论. 【详解】由题意，直线的斜率的实际意义表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价； 直线的纵截距的实际意义表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出. A项，当时，， 所以图（1）中点B表示当乘客量为时， 既不亏损也不盈利，收支持平，故A说法正确； B项，当时，， 所以图（1）中当乘客量为0时，亏损个单位，故B说法正确； 对于C，根据题意和图（2）知，当乘客量为时，纵坐标不变， 即支出成本不变，故C项说法错误； D项，根据题意和图（3）知，两直线平行说明此建议保持票价不变， 乘客人数为0时的收支差额变大，即支出成本变小， 即说明此建议是降低成本而保持票价不变，所以D项说法正确. 故选：ABD. 4．（25-26高一上·山东日照·期中）一蔬菜基地种植某种蔬菜，由历年市场行情知，从十一月一日起的150天内，其市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）之间的关系用图甲的折线表示，其种植成本（单位：元/千克）与上市时间（第天）之间的关系用图乙的抛物线段表示.      (1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式，图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则该蔬菜上市第几天的纯收益最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，，. (2)第25天，100 【分析】（1）应用已知结合分段函数得出函数解析式即可得出函数关系； （2）应用二次函数性质计算求解最大值. 【详解】（1）由已知条件，设， 当时，， 当时，， 故图甲表示的函数关系式为； 设，则，所以. 所以图乙表示的函数关系式为，. （2）设第天的纯收益为，则由题意得， 即， 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值100； 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值87.5； 综上，由可知，在区间上最大值为100. 此时，即从上市起的第25天时，该蔬菜纯收益最大，最大值是. 1．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示出平均价格的函数，再利用其单调性列式求解. 【详解】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围. 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C 4．（25-26高一上·福建宁德·期中）（多选）如图，在中，，，、是边、上的动点，点、均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则下列结论正确的是（   ） A．的面积为 B． C．在定义域内先增后减 D．当取最大值时， 【答案】AC 【分析】取的中点，连接，则，求出的长，利用三角形的面积公式可判断A选项；求出，利用矩形的面积公式可得出的解析式，代值计算可判断B选项；利用二次函数的单调性可判断C选项；利用二次函数的基本性质和三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，取的中点，连接，则，且， 所以的面积为，A对； 对于BCD选项，过作，垂足为，设与交于点， 由等面积法可得，则. 由，得， 则， 所以， 则，则在上单调递增，在上单调递减，B错C对， 当取最大值时，，， 此时，D错. 故选：AC. 5．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 6．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元，则该月用水量为____m3. 每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 【答案】20 【分析】由题意确定，代入数据即可求解. 【详解】设用水量 m3，交纳水费为元， 由题可知y=， 当时，最大值为36， 当时，最大值为72， 所以，解得. 故答案为：20 7．（25-26高一上·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 【答案】 【分析】设，则可表示出矩形的面积，再结合分类讨论即可得. 【详解】设，则， 由题意可得且，故， 当时，由，可取，则得； 当时，不可取，又，则； 综上，可得. 故答案为：. 8．（25-26高一上·江西新余·期末）新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)30千台，最大利润是6560万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售额-固定成本-可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解； （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用函数的单调性可求得分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【详解】（1）销售额为万元， 当时， ， 当时，， 所以； （2）当时，， 当时，万元， 当时，单调递减， 所以时，万元. 综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元. 1．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 【答案】 【分析】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：. 2．（25-26高一上·四川南充·期中）如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为，梯形的周长为．    (1)写出与的函数关系式，并求出它的定义域； (2)当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线：与下底交于.记梯形位于直线左侧的图形的面积为，求函数的解析式； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）利用几何法，根据圆和等腰梯形的性质，列出周长表达式； （2）利用周长关系式，结合二次函数性质求出周长最大值，进而得出相关参数求出面积，令，结合图形形状讨论求出解析式； （3）根据的解析式和已知值，列方程求，进而求出． 【详解】（1）如图，过作于，圆心为，连接，设，则，    由，得， 整理得，， ， ，，即，解得． 与的函数关系式为，． （2）   ，， 当时，取得最大值，此时，，，， 故等腰梯形的底角为，面积为， 令，当时，； 当时，； 当时，； ． （3）， 令，则时，，解得（舍去）； 当时，，解得满足条件； 当时，，解得（舍去）或（舍去）， 综上所述，，故． 1．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】 130. 15. 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册 高一上学期数学同步作业 第三章 函数的概念与性质 分层作业练题型 §3.4 函数的应用（一） 一次函数模型的应用题型01 1．（25-26高一·湖南·期中）据调查，某自行车存车处，在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·福建厦门·开学考试）河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元． (1)求每个太阳帽、旅行包的进价； (2)该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 4．（24-25高一上·山东泰安·开学考试）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元；且它们的进价和售价始终不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元． (1)该公司有几种进货方案？ (2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案． 二次函数模型的应用题型02 1．（24-25高一上·江西上饶·阶段检测）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 2．（24-25高一上·贵州·阶段检测）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 3．（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 幂函数模型的应用题型03 1．（2022·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元. （1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式； （2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？ 4．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 对勾函数模型的应用题型04 1．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 2．（2025·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·山西·阶段检测）某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 分段函数模型题型05 1．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段. 某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）与大致服从的关系为（为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．（24-25高一上·四川雅安·期末）某公司注重技术创新，今年加大了对产品研发的投入.通过市场分析，该公司生产的一款产品全年需投入固定成本100万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且满足：，由市场调研知，每件产品售价0.6万元，且全年内该产品能全部销售完. (1)求出今年该产品的利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式（利润销售额-成本）； (2)今年产量为多少千件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 3．（25-26高一上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 图像信息应用题题型06 1．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）（多选）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 2．（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），则（    ） A．当时， B．当时， C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下 D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下 3．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段检测）（多选）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（   ）． A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平 B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位 C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本 D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变 4．（25-26高一上·山东日照·期中）一蔬菜基地种植某种蔬菜，由历年市场行情知，从十一月一日起的150天内，其市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）之间的关系用图甲的折线表示，其种植成本（单位：元/千克）与上市时间（第天）之间的关系用图乙的抛物线段表示.      (1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式，图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则该蔬菜上市第几天的纯收益最大，最大值是多少？ 1．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建宁德·期中）（多选）如图，在中，，，、是边、上的动点，点、均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则下列结论正确的是（   ） A．的面积为 B． C．在定义域内先增后减 D．当取最大值时， 5．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 6．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元，则该月用水量为____m3. 每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 7．（25-26高一上·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 8．（25-26高一上·江西新余·期末）新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 1．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 2．（25-26高一上·四川南充·期中）如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为，梯形的周长为．    (1)写出与的函数关系式，并求出它的定义域； (2)当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线：与下底交于.记梯形位于直线左侧的图形的面积为，求函数的解析式； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 1．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 所以的最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $