4.5.2 用二分法求方程的近似解（3大题型）训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4．5．2 用二分法求方程的近似解 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：用二分法求近似解的条件 2 题型二：求方程近似解的过程 2 题型三：求函数零点的过程 3 02 重难点拓展 4 题型一：用二分法求近似解的条件 1．（2025·高一·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 3．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（    ）    A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 题型二：求方程近似解的过程 5．（2025·高一·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 6．某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为 . 7．（2025·高一·江西南昌·期末）要求方程的一个近似解，设初始区间为．根据下表，若精确度为0.02，则应用二分法逐步最少取 次；若所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 ． 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 0 1 2 0.5 1 2 0.5 0.75 0.09375 0.625 0.75 0.09375 0.6875 0.75 0.09375 0.71875 0.75 0.09375 0.734375 0.75 0.09375 0.734375 0.7421875 0.044219017 题型三：求函数零点的过程 8．判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1） 9．借助计算器或计算机，用二分法求函数在区间内的零点的近似值（误差不超）． 10．用二分法求方程在区间上的根的近似值（误差不超过0.01）． 1．（2025·高一·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 2．（2025·高一·广东佛山·期中）用二分法求函数零点时，所求到的零点（    ） A．一定是近似值 B．一定不是近似值 C．一定不是准确值 D．可以是准确值 3．（2025·高一·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·山西长治·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 5．（2025·高一·全国·课前预习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·全国·单元测试）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·全国·专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高一·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 9．（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高一·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·高一·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·高一·上海·阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 13．（2025·高一·全国·课前预习）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是 ． 14．（2025·高一·全国·单元测试）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 15．（2025·高一·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为的区间，使；如果没有，请说明理由？（注：区间的长度）. 16．（2025·高一·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据：）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．5．2 用二分法求方程的近似解 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：用二分法求近似解的条件 2 题型二：求方程近似解的过程 3 题型三：求函数零点的过程 5 02 重难点拓展 7 题型一：用二分法求近似解的条件 1．（2025·高一·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 2．（2025·高一·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 3．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6. 故选：B. 4．已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（    ）    A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 【答案】C 【解析】图象与轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个， 所以可以用二分法求解的个数为3. 故选：C 题型二：求方程近似解的过程 5．（2025·高一·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【答案】 【解析】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 6．某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为 . 【答案】 【解析】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是，又方程的近似解是， 故后4个区间分别是， 故它取的4个值分别为， 故答案为：. 7．（2025·高一·江西南昌·期末）要求方程的一个近似解，设初始区间为．根据下表，若精确度为0.02，则应用二分法逐步最少取 次；若所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 ． 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 0 1 2 0.5 1 2 0.5 0.75 0.09375 0.625 0.75 0.09375 0.6875 0.75 0.09375 0.71875 0.75 0.09375 0.734375 0.75 0.09375 0.734375 0.7421875 0.044219017 【答案】 6 【解析】初始区间的长度为1，第一次分割后区间长度为0.5，第二次分割后区间长度为0.25，第三次分割后区间长度为0.125，第四次分割后区间长度为0.0625，第五次分割后区间长度为，第六次分割后区间长度为，所以精确度为0.02时应用二分法逐步最少取6次. 令 第一次分割后，故近似解的区间为，区间长度为0.5； 第二次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.25； 第三次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.125； 第四次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.0625，满足题意， 故所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 故答案为：2； 题型三：求函数零点的过程 8．判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1） 【解析】设， 利用二分法，列表计算如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 0.875 0.0826 由表中数据可得， 因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3. 所以近似解为1.3. 9．借助计算器或计算机，用二分法求函数在区间内的零点的近似值（误差不超）． 【解析】在上单调递增， ， 所以在区间内有唯一零点， ，所以在区间内有唯一零点， ，所以在区间内有唯一零点， ，所以在区间内有唯一零点， ，所以在区间内有唯一零点， ， 所以在区间内的零点的近似值为（或）. 10．用二分法求方程在区间上的根的近似值（误差不超过0.01）． 【解析】令函数，则方程在上的根即为函数在上的零点， 函数在上单调递减， ，则函数零点在上； ，零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，， 所以方程在区间上的根的近似值为. 1．（2025·高一·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 故选：C 2．（2025·高一·广东佛山·期中）用二分法求函数零点时，所求到的零点（    ） A．一定是近似值 B．一定不是近似值 C．一定不是准确值 D．可以是准确值 【答案】D 【解析】由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值. 故选：D 3．（2025·高一·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 4．（2025·高三·山西长治·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【解析】由于为奇函数，为偶函数，故和， 进而可得和， 因此，从而， 故为周期为4的周期函数， 当时，，故， 由于，结合，可得，故， 又，故，即，故， 因此， 作出的一个周期内的函数图象，则直线与的两个交点关于直线对称， 因此在内的两个零点之和为4， 则在内的两个零点之和为12，故所有的零点之和为16， 故选：A 5．（2025·高一·全国·课前预习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 6．（2025·高一·全国·单元测试）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 7．（2025·高三·全国·专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 8．（2025·高一·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 9．（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于选项A： 函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B： 函数，故函数有唯一零点， 但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C： 当时，， 当且仅当时，等号成立，此时无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，， 且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，C正确； 对于选项D： 当时，，当时，， 所以能用二分法求零点的近似值，D正确． 故选：ACD. 10．（多选题）（2025·高一·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选：AC. 11．（多选题）（2025·高一·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，不能用二分法求零点，故选项错误； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 故选：． 12．（2025·高一·上海·阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 【答案】 【解析】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 13．（2025·高一·全国·课前预习）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 14．（2025·高一·全国·单元测试）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 【答案】7 【解析】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 15．（2025·高一·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为的区间，使；如果没有，请说明理由？（注：区间的长度）. 【解析】（1）要使函数有意义，则，解得， 故函数的定义域为． （2）由（1）知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题意知方程等价于， 可化为，. 设，. 则，， 函数图象连续不断，所以，故方程在上必有实根． 又，所以， 故方程在上必有实根．又区间长度， 所以满足题意的一个区间为. 16．（2025·高一·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据：）． 【解析】设2022年每台电动车的生产成本为元，依题意得， 解得，所以2022年每台电动车的生产成本约为924元． 设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为， 根据题意，得，令，作出的对应值表： 60.15 则，故函数在区间内有零点． 取区间的中点，可得． 由，得， 取的中点，得， 因为，所以， 同理，又， 所以原方程的近似解可取为0.1125， 故2019～2022年生产成本平均每年降低． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $