5.5 三元一次方程组（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 5.5 三元一次方程组 目 录 A组 巩固过关 题型01 三元一次方程组 题型02 方程组的解与两条直线的交点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 三元一次方程组题型01 一、单选题 1．若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 2．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 二、填空题 3．已知，则______． 4．三元一次方程组，则________ 三、解答题 5．解方程组：． 6．解方程组：． 7．解方程组． 8．解方程组：． 9．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为， 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组； (2)已知正整数x，y，z满足，试求x，y，z的值． 10．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 三元一次方程组的应用题型02 一、单选题 1．《张丘建算经》中记载了这样一个问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？意思是：如果1只公鸡值5个钱，1只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱．现有100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各是多少只．设公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为，，，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙7件、丙2件，共需33元钱，购甲9件、乙13件、丙3件共需60元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元钱 A．12 B．8 C．6 D．4 二、填空题 3．小虎的妈妈从花店买回一个花瓶和一把喷水壶，小虎按如图所示放置并测量，则桌子的高度为_______． 4．某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 5．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 6．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 三、解答题 7．【阅读感悟】已知关于，的方程组，求代数式和的值． 本题常规思路是解方程组求得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过变形整体求得代数式的值，例如，由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知关于，的方程组，则_______；________； 【拓展延伸】 (2)某班组织活动购买小奖品，买10支中性笔、4支记号笔、2本日记本共需42元；买19支中性笔、7支记号笔、3本日记本共需74元．求购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需多少元？ 8．【阅读理解】在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为2． 【类比迁移】 (1)已知，求的值； 【实际应用】 (2)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、2块橡皮、1本笔记本共需15元，买7支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需38元，则购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需多少元？ 9．已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 10．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 一、单选题 1．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 2．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 3．购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有______种． 5．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则需525元；若购买甲2件、乙3件、丙4件，则需675元；若购买甲、乙、丙各1件，则需_______元． 6．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为___． 三、解答题 7．某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 8．已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 一、填空题 1．《九章算术》中有段话用现代语言表述如下：用卖头牛、头羊的钱来买头猪，还余钱；用卖头羊、头猪的钱来买头牛，还差钱．根据这段话可推得，用卖头牛、头羊的钱来买头猪，还余__________钱． 二、解答题 2．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则______，______； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x、y，定义新运算：解得，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么______． 3．定义：在平面直角坐标系中，把满足关系式的点称为“立信点”． (1)判断：点___（填“是”或“不是”）“立信点”；若点是“立信点”，则__________． (2)已知点、均为“立信点”，且关于x，y的两个方程组与的解相同，求a，b，m，n的值． (3)若点满足关系式（其中k为常数），同时点C到x轴的距离是到y轴距离的2倍．试问：点C能否成为“立信点”？若能，请求出此时点C的坐标及对应的k的值；若不能，请说明理由． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.5 三元一次方程组 目 录 A组 巩固过关 题型01 三元一次方程组 题型02 方程组的解与两条直线的交点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 三元一次方程组题型01 一、单选题 1．若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求解给定的三元一次方程组，得到的值，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 得 ， ， 得， 得 得， 把代入得， 整理得， 解得． 2．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【答案】B 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 二、填空题 3．已知，则______． 【答案】3 【详解】解： 得， ∴． 4．三元一次方程组，则________ 【答案】14 【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ，得， ∴． 三、解答题 5．解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 将，得， 解得， 将，得④， 将代入④，得， 解得， 将，代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 6．解方程组：． 【答案】 【详解】解： 得：，④ 得：，⑤ 得：， 把代入④得：，解得：， 把，代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 7．解方程组． 【答案】 【详解】解：． ，得，解得 把分别代入①和②，得 ，得； 把代入④，得； ∴方程组的解为． 8．解方程组：． 【答案】 【分析】先将后两个方程相加消去未知数y，得到只含x、z的二元一次方程，再和第一个方程组成二元一次方程组，求出x、z后，代入原方程组中的第三个方程求出y即可． 【详解】解： 得，④， 与①联立得，， 解二元一次方程组得，， 把代入③得，， 解得， ∴ 9．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为， 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组； (2)已知正整数x，y，z满足，试求x，y，z的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将看作整体，依照例题求解即可； （2）将看作整体，将②变形后代入①化成，求得，得到，再根据x，y都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：， 由②得，即③， 将①代入③得，， 解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为； （2）解：， 由②得，即③， 将③代入①得， 解得， ∴， ∵x，y都是正整数， ∴， ∴． 10．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【答案】(1) (2)购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1）计算即可； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元，根据“购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元”得，求出，可知的值． 【详解】（1）解：， ，得， ∴． （2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元． 根据题意，得 ∴，得． ∴（元）． 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元． 三元一次方程组的应用题型02 一、单选题 1．《张丘建算经》中记载了这样一个问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？意思是：如果1只公鸡值5个钱，1只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱．现有100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各是多少只．设公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为，，，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵公鸡每只5钱，母鸡每只3钱，3只小鸡值1钱，总花费为100钱， ∴， ∵三种鸡总只数为100， ∴， 联立得． 2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙7件、丙2件，共需33元钱，购甲9件、乙13件、丙3件共需60元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元钱 A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】设甲商品每件元，乙商品每件元，丙商品每件元．利用整体思想，通过方程组变形直接求解的值． 【详解】解：设甲商品每件元，乙商品每件元，丙商品每件元．根据题意得 将第一个方程两边乘2，得． 减去第二个方程，得． 整理得． 二、填空题 3．小虎的妈妈从花店买回一个花瓶和一把喷水壶，小虎按如图所示放置并测量，则桌子的高度为_______． 【答案】 【分析】设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出方程组，再利用消元法解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为， 根据图中测量关系列方程组： ， 将两个等式相加，和抵消，得， 解得， 即桌子高度为． 4．某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 【答案】 180 【详解】解：设1只鸡1只兔1只鸭的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得， ∴；即他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元. 5．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 【答案】 【分析】设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据题意列出两个方程，得到三元一次方程组，整理求出的值，即可求解． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元， 根据已知条件，列出方程组， ，得 ， ∴， ∴． 所以小莹应付元． 6．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【答案】－10 【分析】本题考查了解三元一次方程组，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据新定义运算，列出关于a，b，c的方程组，通过消元法求解a，b，c的值，再代入计算5△7的值． 【详解】解：由题意，得 ，得④， ，得，即⑤， ，得，解得， 将代入④，得，解得， 将，代入①，得，解得， ∴方程组的解为 因此，． 故答案为：． 三、解答题 7．【阅读感悟】已知关于，的方程组，求代数式和的值． 本题常规思路是解方程组求得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过变形整体求得代数式的值，例如，由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知关于，的方程组，则_______；________； 【拓展延伸】 (2)某班组织活动购买小奖品，买10支中性笔、4支记号笔、2本日记本共需42元；买19支中性笔、7支记号笔、3本日记本共需74元．求购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)14，12 (2)10元 【分析】（1）根据等式性质，两个方程相减即可求得的值；两个方程相加再两边除以3即可求得的值； （2）设中性笔单价a元，记号笔单价b元，日记本单价c元，列出方程组，再根据等式性质即题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：将方程组的两个方程相减，得； 两个方程相加，得，方程两边同时除以3，得； （2）解：设中性笔单价a元，记号笔单价b元，日记本单价c元，则 ， ，得③， ，得． 答：购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需10元． 8．【阅读理解】在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为2． 【类比迁移】 (1)已知，求的值； 【实际应用】 (2)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、2块橡皮、1本笔记本共需15元，买7支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需38元，则购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)20 (2)购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需120元 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设1支铅笔需要元，1块橡皮需要元，1本笔记本需要元，依题意可得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解： 得：③， ，得：， 所以，的值为20． （2）解：设1支铅笔需要元，1块橡皮需要元，1本笔记本需要元，依题意可得： ， ，得：， ； 答：购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需120元． 9．已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【详解】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 10．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 一、单选题 1．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程的应用．设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元，根据题意列出方程组，通过相加方程消去变量，直接求出的值． 【详解】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元．根据题意，可列方程组： 将方程①和②相加，得到： ， 化简得： ， 两边同时除以4，得： ， 因此，购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元． 故选：A． 2．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，列出方程组，解方程组求出、的值，再把出、的值代入计算即可． 【详解】解：如下图所示， 设中间小方格中的数是， 则有， 解得：， ， ， 的立方根是． 故选：C． 3．购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元”，即可得出关于x、y、z的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 二、填空题 4．“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有______种． 【答案】 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用．首先设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案． 【详解】解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得： ； 解得：， ， ，，是正整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，；(不符合题意，舍去) 租房方案有种． 故答案为：． 5．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则需525元；若购买甲2件、乙3件、丙4件，则需675元；若购买甲、乙、丙各1件，则需_______元． 【答案】240 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出的值即可． 【详解】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元， 根据题意，得， 得：， 整理，得． ∴购买甲、乙、丙各1件，则需240元； 故答案为：240． 6．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为___． 【答案】4 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， 即， ， ； 故答案为：4． 三、解答题 7．某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡各是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，本题还需注意去时的上坡路是回时的下坡路，去时的下坡路是回时的上坡路，平路不变．正确找到三个等量关系是解题关键设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，根据从甲地到乙地，平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；从乙地到甲地：平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；平路加上坡路加下坡路等于千米，列方程组求出、、的值即可得答案 【详解】设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，则 ∴， 解得：，，， 答：平路千米、上坡路千米、下坡路千米 8．已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 【答案】(1)； (2)丙需要花费元． 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握解三元一次方程组是解题的关键． （）利用，可求出的值； （）设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，根据题意，得，按照题例解题即可． 【详解】（1）解：， ，得：； （2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元， 根据题意，得， ，得， 原方程组可化为， 把代入，得， ∴． 答：丙需要花费元． 一、填空题 1．《九章算术》中有段话用现代语言表述如下：用卖头牛、头羊的钱来买头猪，还余钱；用卖头羊、头猪的钱来买头牛，还差钱．根据这段话可推得，用卖头牛、头羊的钱来买头猪，还余__________钱． 【答案】 【分析】设每头牛的价钱是钱，每头羊的价钱是钱，每头猪的价钱是钱．得出，，设，得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：设每头牛的价钱是钱，每头羊的价钱是钱，每头猪的价钱是钱． 依题意， 由①得， 由②得， 设 ∴ 解得：， ∴（钱） 二、解答题 2．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则______，______； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x、y，定义新运算：解得，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么______． 【答案】(1)，6； (2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元； (3)． 【分析】（1）利用可求出的值；利用可求出的值； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，利用，即可求出购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本所需费用； （3）根据定义的新运算结合“，”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程，利用，即可求出的值． 【详解】（1）解： 由得：； 由得：． 故答案为：，6． （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意得： 由得：． 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）依题意得： 由得：， 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）利用“整体思想”，求出和的值；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 3．定义：在平面直角坐标系中，把满足关系式的点称为“立信点”． (1)判断：点___（填“是”或“不是”）“立信点”；若点是“立信点”，则__________． (2)已知点、均为“立信点”，且关于x，y的两个方程组与的解相同，求a，b，m，n的值． (3)若点满足关系式（其中k为常数），同时点C到x轴的距离是到y轴距离的2倍．试问：点C能否成为“立信点”？若能，请求出此时点C的坐标及对应的k的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)不是；9 (2)，，，； (3)能，点的坐标为，；点的坐标为，． 【分析】（1）根据“立信点”的定义求解即可； （2）根据“立信点”的定义和同解方程的定义得到方程组，据此求解即可； （3）分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：对于点， 代入关系式，右边，左边，左右不相等， ∴不是“立信点”； 若点是“立信点”， ∴，解得； （2）解：由题意得， 解得， ∵点、均为“立信点”， ∴，， 将，代入， 得， 将，代入得， 整理得， 将①代入②得， 解得， 则， ， ； （3）解：已知点满足，且，同时若C是“立信点”，则， 分两种情况讨论： 情况1：， 联立，解得， 点的坐标为， 代入，解得； 情况2：， 联立，解得， 点的坐标为， 代入，解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $