5.5 三元一次方程组 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三元一次方程组，通过基础巩固、情境应用、创新拓展三层设计，构建从概念理解到综合建模的知识路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三元一次方程组定义、直接解法|单选题1考定义，填空题9直接解方程，夯实概念与运算基础| |中档层|消元技巧、几何情境应用|单选题5天平平衡问题，填空题10正方体展开图，强化方程建模与推理意识| |拔高层|实际问题、跨学科综合|单选题7景区路线计算，解答题16体育用品购买方案，提升数据分析与应用能力|

5.5 三元一次方程组 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 3．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 4．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（    ） A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x 5．如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 6．购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元；则购买铅笔11支，作业本5个，中性笔2支共需（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 7．【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（    ）    A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 8．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 二、填空题 9．方程组的解为________． 10．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 11．在等式中，当，时，；当，时，；当，时，，则______，______，______． 12．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方差数”．例如：四位数6231，因为，所以6231是“和方差数”；四位数2546，因为，所以2546不是“和方差数”．若是“和方差数”，则__________；已知四位数是“和方差数”，将“和方差数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最大值是______________． 13．某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少，则乙公司B型生产线有________条． 三、解答题 14．解下列方程组： (1) (2) 15．小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 16．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 17．［阅读理解］： 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得： 得 把代入②得： 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①+②得： ③ 得： (1)［类比迁移］：直接写出方程组的解______． (2)若，求的值． (3)［应用拓展］：打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 18．阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C B B D B A 1．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程①+②，②+③可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案． 【详解】解：由②3+③得：11x+10z=35， ∴转化为二元一次方程组为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元． 5．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程的运用，根据图示，设圆形为，三角形为，正方形为，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为， ∴， ∴由①得， 把③代入②，，整理得，， ∴， ∴应方△的数量为6个， 故选：B ． 6．【答案】D 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元，然后根据购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元列出方程组求解即可 【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元， 依题意得， 用①×3-②得：， 购买铅笔支，作业本个，中性笔支共需元． 故选D． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 7．【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、三元一次方程组的应用 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故选B． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． 8．【答案】A 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解． 【详解】解： 由②×3，得 6x+9y+3z=102④， 由④-①，得 3x+7y+2z=63⑤， 由⑤-①，得 5y+z=24， ∴a=24， 由③×3，得 3x+6y+9z=78⑥， 由⑥-①，得 4y+8z=39， ∴b=4， 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应． 9．【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先用得出关于x，z的方程组，再消去z求出x，然后代入分别求出答案即可． 【详解】解：， 得： ； 得：， 解得， 将代入得：， 将，代入得：， 则方程组的解为， 故答案为． 10．【答案】1 【知识点】三元一次方程组的应用、正方体相对两面上的字 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 11．【答案】 1 5 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出三元一次方程组，求解即可，正确得出三元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：1，，5． 12．【答案】 9 6231 【知识点】整式加减的应用、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：是“和方数”， ， 解得：； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ，即， ， 能被33整除，， 是整数，且，，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：9；6231． 13．【答案】2 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意列出方程，可得，由乙公司需加工的产品总量比甲公司少，可得，得出，结合，求得，根据是正整数，即可求解． 【详解】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意得： ，是正整数， ， 乙公司需加工的产品总量比甲公司少， ， 即. ， ， ， 是正整数， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）先通过加减消元法消去y，得到关于x和z的二元一次方程组，解方程组得，，最后再代入①求解即可； （2）先用代入法消去y，得到关于x和z的二元一次方程组，解方程组得，，最后再代入④求解即可． 【详解】（1）解：， 得， 得， 得， 得， ， 把代入④，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 原方程组得解是； （2）解：， 由②得， 把④代入①，得， 整理得， 得， 得， 得， ， 把代入③，得， 解得， 把代入④，得， 原方程组得解是． 15．【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 16．【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 17．【答案】(1) (2)1 (3)100元 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①−②即可得出答案； （3）设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，由题意可得关于x，y的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【详解】（1）方程组的解为． 把②代入①中，得：，解得：， 把代入②中，得， ∴方程组的解为． （2） ①－②得：， ∴． （3）设打折前A商品每件x元，B商品每件y元， 根据题意得：， 可得． 两边同时乘以15，得：， （元）， 答：比不打折少花了100元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，得，． 【详解】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得，， ∴矩阵对应的方程组的解为； （2）解：∵矩阵所对应的方程组的解为， ∴将代入，得， 得，． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $