第1章、第2章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章、第2章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：浙教版九上第1章 二次函数；第2章 随机事件的概率 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）若 是二次函数，则 m 的值为（    ） A．1 B． C．1 或 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义以及直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 解：由于 是二次函数， 且， 且， ． 故选B． 2．（2026·浙江宁波·二模）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．与 轴的交点 C．顶点坐标为 D．当 时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 解：A．  二次项系数为负数， 因此抛物线开口向下，不符题意； B． 与 轴的交点为 ，不符题意； C ． 顶点坐标为 ，不符题意． D． 在 左边，又因为开口向下，所以 时，随的增大而增大，符合题意． 故选 D 3．（2026·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 4．（2026·江苏苏州·一模）若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意开口向上，且对称轴−≥−1，a＋b＝1，即可得到−≥−1，从而求解． 解：由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点， ∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上，且对称轴−≥−1，a＋b＝1， ∴a＞0，b＝1﹣a， ∴﹣≥﹣1， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a的不等式组是解题的关键． 5．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 6．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点拨】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出折线统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B．经过有信号灯的十字路口时，遇到黄灯 C．从分别标有，，，的张纸条中，随机抽出一张，抽到 D．任意写一个小于的正整数，能被整除 【答案】C 【分析】观察折线统计图，随着试验次数增加，频率在至之间波动并趋于稳定，估计该事件发生的概率约为（即），分别计算各选项的概率进行比对即可． 解：由图可知，随着试验次数增加，频率稳定在左右，即该事件发生的概率约为； 选项A：掷出偶数的概率为，不符合题意; 选项B：遇到黄灯的概率取决于信号灯时长设置，不是固定值，通常不符合此规律; 选项C：从张纸条中抽到的概率为，符合题意; 选项D：小于的正整数有共个，能被整除的有共个，概率为，不符合题意． 8．（2025·陕西西安·二模）已知二次函数（是常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为（   ） A．4 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最小值是，在对称轴的右边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为1． 故选：D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标． 解：∵抛物线的解析式为， ∴将抛物线的一般式转化为顶点式：， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了抛物线解析式与二次函数性质的联系，用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式是解题的关键． 10．（25-26七年级下·山东东营·期末）袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 【答案】16 【分析】根据概率计算公式，摸到绿球的概率等于绿球个数除以袋中球的总个数，据此列出方程，即可求解的值． 解：袋中球的总个数为，由题意得， 整理得， 移项计算得． 11．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，抛物线交轴于点，，将该抛物线向右平移4个单位后，与原抛物线交于点，则点的纵坐标为_______． 【答案】2 【分析】先求出平移后的函数解析式，然后联立方程组求解即可得． 解：平移后的抛物线解析式为：， 联立， ， 点的纵坐标为2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查求两个二次函数的交点问题，包括通过函数图像的平移确定函数解析式，解方程组，理解题意，通过平移确定函数解析式是解题关键． 12．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点顺时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，二次函数的性质．由题意设，则，代入得，根据二次函数的性质即可求得的取值． 解：由题意设，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， 时，有最小值为5，时，有最大值9， ， 故答案为：． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 【答案】 / 【分析】先根据平移规律得到原抛物线平移后的表达式，再求出已知抛物线关于轴对称的抛物线表达式，对比系数即可得到和的值． 解：∵原抛物线向下平移2个单位长度， ∴平移后得到的抛物线为， ∵关于轴对称的抛物线，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴只需将原抛物线中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为， ∵平移后的抛物线与轴对称后的抛物线是同一个抛物线， ∴对比对应项的系数可得，． 14．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）玩具店进购了一箱除颜色外都相同的散装塑料小球个．玩具店服务员小杨将箱里的球搅匀后，随机摸出一个球记下其颜色，再放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率稳定在左右，由此，可以估计箱子中红球的个数约为________． 【答案】 【分析】在大量重复试验中，随机事件发生的频率稳定在概率附近，设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可． 解：设箱子中红球的个数为， 根据题意得，解得， 因此可以估计箱子中红球的个数约为． 15．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为，抛物线开口向下，且点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，且， ∴． 16．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）的度数是______； （2）若点M是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点Q，则的长的最大值是______． 【答案】 /90度 4 【分析】（1）先分别求解A，B，C的坐标，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案. 解：（1）∵二次函数， 当时，则， 解得：，， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴； （2）设直线为， ∴，解得： ， ∴直线为， ∵，设，则， ∴， 当时，的最大值为：； 故答案为：（1）；（2）4 【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，熟练的利用二次函数的性质求解线段长度的最值是解本题的关键. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该函数的解析式． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． （1）解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵ ， ∴ 函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 18．（本题8分）（25-26九年级上·浙江宁波·期末）中国古代四大发明对世界影响深远，其分别是：造纸术，指南针，火药，印刷术．如图是小江同学收集的关于中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀后放好． （1）若随机抽一张卡片，则抽到的卡片恰好是“火药”的概率为__________． （2）若小江从这四张卡片中先随机抽取一张，不放回，再随机抽取另一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了概率计算公式，用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率是关键． （1）根据概率计算公式计算即可； （2）设造纸术，指南针，火药，印刷术分别为A，B，C，D，然后列表求出共有12种等可能结果，其中“造纸术”和“指南针”被选中的等可能结果有2种，再根据概率计算公式计算即可． （1）解：随机抽一张卡片，则抽到的卡片恰好是“火药”的概率为． 故答案为：． （2）解：设造纸术，指南针，火药，印刷术分别为A，B，C，D， 从这四张卡片中随机抽取两张的情况列表如下： A B C D A B C D 所以共有12种等可能结果，其中“造纸术”和“指南针”被选中的等可能结果有2种， 所以抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为． 19．（本题8分）（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过两点． （1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； （2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】（1），对称轴为直线；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． （1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 20．（本题8分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有交点； （2）若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值． 【答案】（1）证明：令， 则 ， ∵ ∴无论 取何值，方程 总有实数根， 即该抛物线与 轴总有交点； （2）或 【分析】（1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与轴总有交点； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据两点距离公式构建关于的方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：解方程 ， 得 ， ∴抛物线与 轴的两个交点分别为 和 ， ∴它们之间的距离为：， ∵抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ， ∴， ∴解得或. 21．（本题10分）（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点． （1）求，的值． （2）利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图像与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入中求出值，则，当时，，解该方程即可求出； （2）根据图像即可求解． （1）解：将代入中得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：，， ， 所以：，； （2）由图像得：当时，自变量的取值范围是：． 22．（本题10分）（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． （1）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】（1）每件商品售价为34元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1960元；（2）每件商品的售价定为32元时，每个月的利润恰好是1920元． 【分析】（1）设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元，利用每月的利润单件的利润销售件数，列关于的二次函数，运用配方公式化简最值函数形式即可求出最大利润以及每件的售价． （2）根据第一问所求的利润代数式，将第二问的利润代入，利用因式分解解一元二次方程，再结合未知数取值范围，确定最终的商品的售价． （1）解：设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元， ， ， ， 每件售价不能高于35元， ， ， ， ， 时，最大利润为1960元， 售价为元时，最大利润为1960元． （2）解：利润是1920，由（1）可知，， ， ， ， ， ，， 由（1）可知，， （舍去）， ， 售价为元时，每个月的利润是1920元． 23．（本题10分）（26-27八年级上·四川达州·开学考试）某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． （1）估计摸到黄球的概率； （2）求袋子中白球的数量； （3）若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 【答案】（1）；（2）6；（3）摸出红球和黄球的可能性不相同，游戏不公平．　 理由如下： 放入2个红球后，总球数为（个）， 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出两种球的可能性不同，游戏不公平． 【分析】（1）利用大量重复试验的频率稳定值估计概率，计算摸到黄球的频率即可； （2）根据黄球的概率公式列分式方程求解白球数量； （3）分别计算摸出红球和黄球的概率，比较概率大小判断可能性与游戏公平性． （1）解：∵ 重复摸球试验200次，摸到黄球80次， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为； （2）解：由（1）可知，摸到黄球的概率为， ∴袋子中总球数为（个）， ∴袋子中白球的数量为（个）． （3）略． 24．（本题12分）（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点C在y轴上，且坐标为，点D为直线下方抛物线上的一点，连接与交于点E．点P是线段上的一动点，从点B出发向点O匀速运动，同时点Q从点O出发，以与P大小相同的速度沿x轴负方向匀速运动，当点P到达点O时停止运动，此时点Q也随之停止运动，连接． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当时，则的面积为 ； （3）当时，求点D的坐标； （4）的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）4；（3）；（4） 【分析】（1）将点B的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）求出直线的表达式，得到点E的坐标，即可求解； （3）设点，由中点坐标公式得：点，即可求解； （4）过点O作，使，连接，证明，则，故当点B、Q、M共线时，最小，即可求解． （1）解：将代入得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：点， ∴点B到两坐标轴的距离相等， ∴点B在第二，四象限的角平分线上， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点C在y轴上，且坐标为， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：4； （3）解：设点， ∵， ∴点E为的中点， ∵点C在y轴上，且坐标为， ∴点， ∵点E在上， ∴， 解得：， ∴点； （4）解：过点O作，使，连接，则， ∵点，， ∴轴， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴当点B、Q、M共线时，，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章、第2章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：浙教版九上第1章 二次函数；第2章 随机事件的概率 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）若 是二次函数，则 m 的值为（    ） A．1 B． C．1 或 D．0 2．（2026·浙江宁波·二模）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．与 轴的交点 C．顶点坐标为 D．当 时，随的增大而增大 3．（2026·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 4．（2026·江苏苏州·一模）若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出折线统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B．经过有信号灯的十字路口时，遇到黄灯 C．从分别标有，，，的张纸条中，随机抽出一张，抽到 D．任意写一个小于的正整数，能被整除 8．（2025·陕西西安·二模）已知二次函数（是常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为（   ） A．4 B．或1 C． D．1 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是______． 10．（25-26七年级下·山东东营·期末）袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 11．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，抛物线交轴于点，，将该抛物线向右平移4个单位后，与原抛物线交于点，则点的纵坐标为_______． 12．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点顺时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是______． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 14．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）玩具店进购了一箱除颜色外都相同的散装塑料小球个．玩具店服务员小杨将箱里的球搅匀后，随机摸出一个球记下其颜色，再放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率稳定在左右，由此，可以估计箱子中红球的个数约为________． 15．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 16．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）的度数是______； （2）若点M是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点Q，则的长的最大值是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该函数的解析式． （2）当时，求的取值范围． 18．（本题8分）（25-26九年级上·浙江宁波·期末）中国古代四大发明对世界影响深远，其分别是：造纸术，指南针，火药，印刷术．如图是小江同学收集的关于中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀后放好． （1）若随机抽一张卡片，则抽到的卡片恰好是“火药”的概率为__________． （2）若小江从这四张卡片中先随机抽取一张，不放回，再随机抽取另一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率． 19．（本题8分）（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过两点． （1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； （2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 20．（本题8分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有交点； （2）若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值． 21．（本题10分）（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点． （1）求，的值． （2）利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 22．（本题10分）（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． （1）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 23．（本题10分）（26-27八年级上·四川达州·开学考试）某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． （1）估计摸到黄球的概率； （2）求袋子中白球的数量； （3）若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 24．（本题12分）（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点C在y轴上，且坐标为，点D为直线下方抛物线上的一点，连接与交于点E．点P是线段上的一动点，从点B出发向点O匀速运动，同时点Q从点O出发，以与P大小相同的速度沿x轴负方向匀速运动，当点P到达点O时停止运动，此时点Q也随之停止运动，连接． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当时，则的面积为 ； （3）当时，求点D的坐标； （4）的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $