专题01 概率的应用（专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦概率实际应用，以高频题型为载体，构建“基础应用-游戏规则-综合拓展”的递进式训练体系，渗透数学期望、树状图等核心方法，培养数据意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率基本应用|4题型12题|数学期望计算、频率估计概率|从随机事件平均次数到保险业/转盘/比赛场景，体现概率与实际问题的关联| |概率与游戏规则|1题型3题|树状图/列表法判断公平性|通过卡片、扑克牌游戏，建立概率与规则公平性的逻辑关系| |概率综合应用|1题型3题|方案选择中的概率比较|结合商场促销、抽奖折扣，实现概率计算与决策分析的综合迁移|

专题01 概率的应用 常考题型·精准突破 考点一 概率在实际问题中的基本应用 题型1 利用概率计算随机事件发生的平均次数（高频） 题型2 概率在保险业中的应用（高频） 题型3 概率在转盘抽奖中的应用（高频） 题型4 概率在比赛中的应用（高频） 考点二 概率与游戏规则 题型5 游戏的公平性（重、高频） 考点三 概率的综合应用 题型6 概率的其他应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 概率在实际问题中的基本应用 ◆题型1利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． ◆题型2 概率在保险业中的应用 1．（2026九年级下·全国·专题练习）某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 2．（2026九年级下·全国·专题练习）某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 3．一般地，如果随机事件A发生的概率是，那么相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为． 假设某航班平均每次约有100名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币40万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费x元，则在n次飞行中共收取保险费元．保险公司必须保证收入不小于支出，可得 (1)该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． (2)如图，媛媛从家A去学校D，选择骑电瓶车，需要经过两个红绿灯路口，设每个路口可直接通过和需要等待的概率相同． ①求媛媛从家去学校在B、C两个路口都需要等待的概率是多少？（用列表或画树状图的方法求解） ②若，每段路平均用时均为6分钟，各路口平均需要等待时间均为1分钟，全程需要等待时间的平均值为：分钟，则媛媛从家到学校所用时间的平均值为______分钟． (3)徐老师开车去学校的道路要途径5个红绿灯路口，每个路口需要等待的概率为，直接通行的概率为，各路口平均需要等待时间均为1分钟，从家到第一个路口和最后一个路口到学校所用行驶时间均为5分钟，其余相邻两个路口间所需行驶时间均为2分钟，则徐老师从家到学校所用时间的平均值为______分钟． ◆题型3 概率在转盘抽奖中的应用 1．（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 2．（2026·山东青岛·模拟预测）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“元”、“元”、“元”、“元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费元，转了两次转盘．请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于元的概率． 3．（2026·福建莆田·模拟预测）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际决定：凡购物满100元，则可参加摸球抽奖活动（活动设置一、二、三等奖）．摸球规则如下：现有两只不透明的口袋甲和乙，甲袋中装有2个白球和1个红球，乙袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，两个袋子搅匀后，先从甲袋中任意摸出1个球，再从乙袋中任意摸出1个球． (1)求摸出两个球均为白球的概率； (2)根据两次摸球的结果，请你设计一个兑奖方案，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率，并说明理由． 4．（25-26九年级上·山东威海·期末）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“50元”、“100元”、“150元”、“200元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满1000元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费2200元，转了两次转盘． (1)该顾客最少可得__________元购物券，最多可得__________元购物券； (2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于300元的概率． ◆题型4 概率在转盘抽奖中的应用 1．（2026·河南平顶山·一模）某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 2．某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 3．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 考点二 概率与游戏规则 ◆题型5 游戏的公平性 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）课间休息时，小林和小张在教室储物柜里发现了四张写着数字1，5，6，6的卡片（这些卡片除数字外其余均相同），这是他们班上周用来布置“数字互动游戏”的道具，两人决定来玩一场趣味对决，规则是小林先从四张卡片中任意抽取一张卡片（不放回），小张再从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是6的倍数，则由小林挑选下周班级出游的零食，否则由小张挑选． (1)小林抽到写有偶数卡片的概率是_________； (2)请利用画树状图或列表法，判断这个游戏是否公平． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在大课间活动中，小健和小康设计了一个“比点”游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的四张卡片的正面分别写上数字，，，，将这四张卡片正面朝下洗匀后放在桌子上，小健同学先从中随机抽取一张，然后小康同学再从剩下的三张中随机抽取一张，若两人的卡片上的数字之和大于，则小康同学胜，否则小健同学胜． (1)小健同学抽到数字的概率是________； (2)请用画树状图或列表的方法分析这个游戏是否公平． 3．（2026·福建三明·二模）扑克牌是风靡全球的娱乐工具，方寸之间藏着历史、数学与文化的巧妙融合．从花色象征到牌面设计，从民间游戏到竞技赛事，它既是休闲消遣的载体，也蕴含着严谨的组合与概率规律．小明和小红玩扑克牌游戏，共有张牌，现将这张牌数字朝下，抽到每张牌的可能性是相同的．小明和小红各抽一次，小明抽到了“方块”，小红抽到“梅花”．剩下三张牌如图所示． (1)如果小明再随机抽一次，求抽到的是“黑桃”的概率； (2)游戏规定：小明和小红从剩下的牌堆中再各抽一张牌，牌堆中只剩一张牌．如果抽到的牌和第一次的数字相同（不计花色），则成为“对子”，抽到“对子”的人赢得游戏（如果两人都抽到“对子”，算平局）．如果小明先抽，这个游戏是否公平？请用概率相关知识说明． 考点三 概率的综合应用 ◆题型6 概率的其他应用 1．（2026·贵州遵义·一模）小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 2．（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 3．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 2．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 3．从－3，1，－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，则使正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限的概率是(  ) A． B． C． D． 4．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 二、填空题 5．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 6．哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方____．(填“公平”或“不公平”) 7．动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.6，则现年20岁的这种动物活到25岁的概率是_____． 8．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______． 三、解答题 9．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 10．为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题．目前，该平台为广大客户仅提供300元、500元、800元、1000元四种不同面额的提货券．随机抽查了其中100天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二： 表一 提货券每张面额（元） 300 500 800 1000 销售量（张）的百分比 30% m% 18% 12% 表二 日均销售量（张） 300 450 500 650 天数 25 30 35 10 (1)随机抽取一张提货券，面额不少于800元的概率是多少？ (2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？ (3)估计月销售总额是多少元？（月以30天计算） 11．某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元． （1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： ①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率； ②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由． 12．人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 14．（25-26九年级上·福建·期末）小桐和叔叔参加社区举办的“义卖募捐”活动，叔叔发现一个摊点正出售他工作中需要的易耗小物件，标价为20元/件．摊主给出两种销售方式： A方式：按标价打八折． B方式：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：在装有红、白、黄3个仅颜色不同的小球的不透明袋子里随机摸出一个球，将球放回袋子搅匀后再随机摸出一个，若两次摸出的球同色就算中奖，则按标价打五折，否则按标价出售． 叔叔看到中奖后打折的力度会较大，选择了B方式． (1)求叔叔以五折的价格买到该物件的概率； (2)小桐说：“如果要买很多很多该物件，我估计选择B方式不如A方式划算．”你同意小桐的说法吗？请说明理由． 15．（24-25九年级下·云南大理·阶段检测）如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 16．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 17．（2026·云南楚雄·一模）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 18．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动．妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品．摊主提供两种购买方式： 方式A：直接打七折； 方式B：参与一次抽奖决定折扣．规则如下： 在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个． 顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球．如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折． 妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B． 请解答下列问题： (1)求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； (2)小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱．”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率的应用 常考题型·精准突破 考点一 概率在实际问题中的基本应用 题型1 利用概率计算随机事件发生的平均次数（高频） 题型2 概率在保险业中的应用（高频） 题型3 概率在转盘抽奖中的应用（高频） 题型4 概率在比赛中的应用（高频） 考点二 概率与游戏规则 题型5 游戏的公平性（重、高频） 考点三 概率的综合应用 题型6 概率的其他应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 概率在实际问题中的基本应用 ◆题型1利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【答案】10 【分析】本题考查了利用概率计算随机事件发生的平均次数．根据概率的意义，事件A平均每200次发生的次数等于试验次数乘以概率，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A发生的概率是， ∴大量重复试验中，平均每200次发生的次数为， 故答案为：10． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 【答案】(1)元 【分析】本题考查了的最值，利用概率计算随机事件发生的数学期望，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据表中数据，利用定义法求解； （2）先根据题意，列出点数的数学期望的算式，再配方后求出最值即可． 【详解】（1）解：返现金额的数学期望为 （元）； （(2)当时，数学期望最小，理由如下： 点数的数学期望为 ， 当时，数学期望最小，最小值为． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了画树状图法求概率．熟练掌握利用画树状图法求概率是解题的关键． （1）画树状图表示出所有的可能情况，再根据概率公式进行求解即可； （2）利用概率求获得元奖金的人数，再计算获得元奖金的概率，进而得到获得元奖金的人数，最后用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共有种等可能的情况，其中出现正正正，共种情况， 获得元奖金的概率； （2）解：获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 恰好有两次正面朝上的结果有：正正反、正反正、反正正，共种情况， 获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 设摊者获利（元）． 故答案为：；． ◆题型2 概率在保险业中的应用 1．（2026九年级下·全国·专题练习）某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 2．（2026九年级下·全国·专题练习）某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【答案】(1) (2)不低于元 【分析】本题主要考查了概率的应用，频率估计概率： （1）根据频率估计概率解答即可； （2）设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：， 解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 3．一般地，如果随机事件A发生的概率是，那么相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为． 假设某航班平均每次约有100名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币40万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费x元，则在n次飞行中共收取保险费元．保险公司必须保证收入不小于支出，可得 (1)该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． (2)如图，媛媛从家A去学校D，选择骑电瓶车，需要经过两个红绿灯路口，设每个路口可直接通过和需要等待的概率相同． ①求媛媛从家去学校在B、C两个路口都需要等待的概率是多少？（用列表或画树状图的方法求解） ②若，每段路平均用时均为6分钟，各路口平均需要等待时间均为1分钟，全程需要等待时间的平均值为：分钟，则媛媛从家到学校所用时间的平均值为______分钟． (3)徐老师开车去学校的道路要途径5个红绿灯路口，每个路口需要等待的概率为，直接通行的概率为，各路口平均需要等待时间均为1分钟，从家到第一个路口和最后一个路口到学校所用行驶时间均为5分钟，其余相邻两个路口间所需行驶时间均为2分钟，则徐老师从家到学校所用时间的平均值为______分钟． 【答案】(1)20 (2)①；②19 (3)20 【分析】（1）根据已知概率解出不等式即可求解． （2）①利用树状图法，根据概率公式即可求解，②根据全程需要等待时间的平均值即可求解． （3）利用概率求出平均值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，当时， ，即， 解得， 故答案为：． （2）①树状图如图所示， 在B、C两个路口都需等待的概率是， ②由题意得， （分钟）， 答：从家到学校所用时间的平均值为分钟， 故答案为：． （3）由题意得， （分钟）， 答：徐老师从家到学校所用时间的平均值为20分钟， 故答案为：． ◆题型3 概率在转盘抽奖中的应用 1．（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 2．（2026·山东青岛·模拟预测）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“元”、“元”、“元”、“元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费元，转了两次转盘．请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于元的概率． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于元的有种情况， 该顾客所获购物券金额不低于元的概率为：． 3．（2026·福建莆田·模拟预测）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际决定：凡购物满100元，则可参加摸球抽奖活动（活动设置一、二、三等奖）．摸球规则如下：现有两只不透明的口袋甲和乙，甲袋中装有2个白球和1个红球，乙袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，两个袋子搅匀后，先从甲袋中任意摸出1个球，再从乙袋中任意摸出1个球． (1)求摸出两个球均为白球的概率； (2)根据两次摸球的结果，请你设计一个兑奖方案，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率，并说明理由． 【答案】(1) 【分析】（1）用列表法列出所有等可能结果，根据概率公式计算即可 （2）先计算不同结果的概率，再按照题目要求的概率大小关系设计兑奖方案 【详解】（1）解：记甲袋2个白球为白，白，红球为红甲；乙袋1个白球为白乙，2个红球为红，红. 列表如下： 白 白 红甲 白乙 白，白乙 白，白乙 红甲，白乙 红 白，红 白，红 红甲，红 红 白，红 白，红 红甲，红 总共有种等可能的结果，其中两个球均为白球的结果有种 因此摸出两个球均为白球的概率为 (2) 设计方案：摸出两个红球时获得一等奖，摸出两个白球或甲袋摸出红球乙袋摸出白球时获得二等奖，摸出甲袋白球乙袋红球时获得三等奖 理由：获一等奖（两红）的概率为； 获二等奖（两白或甲红乙白）的概率为； 获三等奖（甲白乙红）的概率为 因为，所以该方案符合要求 4．（25-26九年级上·山东威海·期末）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“50元”、“100元”、“150元”、“200元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满1000元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费2200元，转了两次转盘． (1)该顾客最少可得__________元购物券，最多可得__________元购物券； (2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于300元的概率． 【答案】(1)100，400 (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得100元购物券，最多可得400元购物券； （2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于300元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： ， 则该顾客最少可得100元购物券，最多可得400元购物券； （2）解：由（1）知，共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于300元的有6种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于300元的概率为：． ◆题型4 概率在转盘抽奖中的应用 1．（2026·河南平顶山·一模）某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 2．某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【分析】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】盈利了， 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 3．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 考点二 概率与游戏规则 ◆题型5 游戏的公平性 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）课间休息时，小林和小张在教室储物柜里发现了四张写着数字1，5，6，6的卡片（这些卡片除数字外其余均相同），这是他们班上周用来布置“数字互动游戏”的道具，两人决定来玩一场趣味对决，规则是小林先从四张卡片中任意抽取一张卡片（不放回），小张再从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是6的倍数，则由小林挑选下周班级出游的零食，否则由小张挑选． (1)小林抽到写有偶数卡片的概率是_________； (2)请利用画树状图或列表法，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡片上的数字之和是6的倍数的结果数和两张卡片上的数字之和不是6的倍数的结果数，最后根据概率公式求出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张， ∴小林抽到写有偶数的卡片的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是6的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是6的倍数的结果数有8种， ∴小林获胜的概率为，小张获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在大课间活动中，小健和小康设计了一个“比点”游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的四张卡片的正面分别写上数字，，，，将这四张卡片正面朝下洗匀后放在桌子上，小健同学先从中随机抽取一张，然后小康同学再从剩下的三张中随机抽取一张，若两人的卡片上的数字之和大于，则小康同学胜，否则小健同学胜． (1)小健同学抽到数字的概率是________； (2)请用画树状图或列表的方法分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）利用树状图求出概率，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：∵四张卡片的正面分别写上数字，，，， ∴小健同学抽到数字的概率为； (2)解：这个游戏不公平，理由： 列表如下： 4 5 6 7 4 9 10 11 5 9 11 12 6 10 11 13 7 11 12 13 ∴共有12种可能结果，其中两人的卡片上的数字之和大于有4种， ∴小康同学获胜的概率为，小健同学获胜的概率为； ∵， ∴这个游戏对双方不公平 3．（2026·福建三明·二模）扑克牌是风靡全球的娱乐工具，方寸之间藏着历史、数学与文化的巧妙融合．从花色象征到牌面设计，从民间游戏到竞技赛事，它既是休闲消遣的载体，也蕴含着严谨的组合与概率规律．小明和小红玩扑克牌游戏，共有张牌，现将这张牌数字朝下，抽到每张牌的可能性是相同的．小明和小红各抽一次，小明抽到了“方块”，小红抽到“梅花”．剩下三张牌如图所示． (1)如果小明再随机抽一次，求抽到的是“黑桃”的概率； (2)游戏规定：小明和小红从剩下的牌堆中再各抽一张牌，牌堆中只剩一张牌．如果抽到的牌和第一次的数字相同（不计花色），则成为“对子”，抽到“对子”的人赢得游戏（如果两人都抽到“对子”，算平局）．如果小明先抽，这个游戏是否公平？请用概率相关知识说明． 【答案】(1) 【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：总共有张牌，其中“黑桃”有张，故小明再随机抽一次，抽到的是“黑桃”的概率为； (2)游戏公平， 说明：抽取两张牌时，画树状图如图所示， ∴共有种等可能结果，、、、、、，其中为小明赢，为小红赢， ∴小明赢的概率为，小红赢的概率为， ， ∴游戏公平． 考点三 概率的综合应用 ◆题型6 概率的其他应用 1．（2026·贵州遵义·一模）小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴ ， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 2．（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 【答案】(1) (2)选择方案一更为实惠 【分析】（1）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，数出获得8折优惠的结果数，根据概率公式计算概率即可； （2）分别计算方案一的实际付款金额，和方案二的平均实际付款金额，比较大小后即可判断哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下： 第一次第二次    乘积 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积（即获得8折优惠）的结果有8种． 所以获得8折优惠的概率为． （2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为： （元） 若顾客选择方案二，由（1）可知： ，对应9折，实际付款元 ，对应8折，实际付款元 ，对应7折，实际付款元 方案二的平均实际付款为： （元） 因为， 所以顾客选择方案一更为实惠． 3．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1) 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． (2)同意小明的说法， 理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵ ， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 3．从－3，1，－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，则使正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限的概率是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意画树状图为： 共有6种可能的情况，而正比例函数的图像经过二、四象限的条件是k＜0，因此符合的有4种可能，因此符合条件的概率为：. 故选D. 点睛：此题主要考查了树状图或列表法求概率，解题时根据抽取两数求积k的值，然后根据正比例函数图像经过的象限判断出k的范围，然后求符合条件的概率即可. 4．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 二、填空题 5．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 6．哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方____．(填“公平”或“不公平”) 【答案】不公平 【详解】列树状图得： 共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是，那么弟弟赢的概率是，所以该游戏对双方不公平． 7．动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.6，则现年20岁的这种动物活到25岁的概率是_____． 【答案】0.75 【分析】首先设出统计的总动物数，再根据题意求出活到20岁的动物的数量和活到25岁的动物的数量，则可计算出现年20岁的这种动物活到25岁的概率. 【详解】解：设某种动物开始时的数目为a个， 活到20岁的概率为0.8，则活到20岁时数目为0.8a个， 活到25岁的概率为0.6，则活到25岁时数目为0.6a个， 所以20岁的这种动物活到25岁的概率＝ ＝0.75． 故答案为0.75． 8．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______． 【答案】 【分析】根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可． 【详解】有实数根， ， ∴， ， 又， 对称轴为：， 时，随增大而减小， ， 综上， 可取0，2， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) 【分析】（1）画树状图列举出所有可能的情况和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况，然后利用概率公式求解； （2）分别求出甲胜的概率和乙胜的概率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况有4种， ∴取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为； (2)不公平，理由如下： 由（1）中树状图可得， 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字都为奇数的情况有4种，取出的两张卡片上的数字都为偶数的情况有1种， ∴取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率为，即甲胜的概率为； 取出的两张卡片上的数字都为偶数的概率为，即乙胜的概率为； ∵， ∴这个游戏不公平． 10．为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题．目前，该平台为广大客户仅提供300元、500元、800元、1000元四种不同面额的提货券．随机抽查了其中100天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二： 表一 提货券每张面额（元） 300 500 800 1000 销售量（张）的百分比 30% m% 18% 12% 表二 日均销售量（张） 300 450 500 650 天数 25 30 35 10 (1)随机抽取一张提货券，面额不少于800元的概率是多少？ (2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？ (3)估计月销售总额是多少元？（月以30天计算） 【答案】(1)面额不少于800元的概率为30% (2)该面额的提货券约为180张 (3)月销售总额为7479000元 【分析】(1)从表一中读取数据即可得到答案． (2)由销售量的百分比总和为1，可得m的值，对比各百分比大小可得答案；求出日均销售提货券的数量，按照该提货券占的百分比，可得答案． (3)根据加权平均数可得平均每张提货券的销售金额，根据销售总额=平均每张提货券的销售金额×日均销售提货券的数量×时间，可得答案． 【详解】（1）解：面额不少于800元的概率为：18%+12%＝30%． （2）解： m＝100﹣30﹣18﹣12＝40， 故500的提货券应多提供些． 平均每天销售提货券的数量为： （张）． 其中该面额的提货券约为：450×40%＝180（张）． （3）解：平均每张提货券的销售金额为：300×30%+500×40%+800×18%+1000×12%＝554（元）． 故月销售总额为：30×450×554＝7479000（元）． 11．某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元． （1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： ①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率； ②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由． 【答案】（1）y＝；（2）①；②超市应代理销售乙公司的产品较为合适． 【分析】（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，由此能出乙公司给超市的日利润y与销售数量n的函数关系； （2）①根据概率公式即可得到结论； ②求出甲公司给超市的日利润的平均数和乙公司给超市的日利润的平均数，由此能求出代理销售乙公司的产品较为合适． 【详解】解：（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700， ∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系为：y＝； （2）①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：＝； ②设甲公司的给超市的日利润为x元， 则x的所有可能的值为：171，174，177，180，183， ＝（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元）， 设乙公司的给超市的日利润为y元， 则y的所有可能的值为：130，140，170，200，230， ＝×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元）， ∵＜， ∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适． 12．人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 【答案】（1）0.0122、0.206；（2）2438.18万 【详解】试题分析：(1)利用频率估算；(2)利用频率估算20000个人中有多少人去世，再乘以赔偿金. 试题解析： （1）P(50岁去世)=0.0122,P（活到80岁）=0.206 . （2）951÷78009×20000×10≈2438.18万 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、加权平均数的计算、概率的应用，熟练掌握频率与概率的关系及加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据频率的计算公式频率落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数，变形为落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数频率，代入数据计算即可求出的值． （2）利用频率估计概率，观察表格中频率的变化趋势，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，该数值即为所求概率． （3）先根据圆心角之比求出各购物券对应的概率，再利用加权平均数公式计算出转动转盘获得购物券数额的平均数，最后将平均数与方式一的元比较，判断哪种方式更合算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39， ∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4． 故答案为：． （3）(3)方式二， 理由如下： 方式一：25元购物券； 方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ， 选择方式二更合算． 14．（25-26九年级上·福建·期末）小桐和叔叔参加社区举办的“义卖募捐”活动，叔叔发现一个摊点正出售他工作中需要的易耗小物件，标价为20元/件．摊主给出两种销售方式： A方式：按标价打八折． B方式：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：在装有红、白、黄3个仅颜色不同的小球的不透明袋子里随机摸出一个球，将球放回袋子搅匀后再随机摸出一个，若两次摸出的球同色就算中奖，则按标价打五折，否则按标价出售． 叔叔看到中奖后打折的力度会较大，选择了B方式． (1)求叔叔以五折的价格买到该物件的概率； (2)小桐说：“如果要买很多很多该物件，我估计选择B方式不如A方式划算．”你同意小桐的说法吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 同意小桐的说法，理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为． 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，可以估计：若买很多很多该物件，叔叔以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为． 在此情形下，设买件该物件，若选择B方式，可估计总花费为：（元）． 而若选择A方式，总花费为（元）． 因为，即选择B方式不如A方式划算，所以同意小桐的说法． 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，概率的实际应用，正确画出树状图是关键． （1）画出树状图，利用概率公式即可求出答案； （2）设买件该物件，分别求出选择B方式和选择A方式的总花费，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 因为有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， 所以 ． 即叔叔以五折的价格买到该物件的概率为； （2）同意小桐的说法，理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为． 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，可以估计：若买很多很多该物件，叔叔以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为． 在此情形下，设买件该物件，若选择B方式，可估计总花费为：（元）． 而若选择A方式，总花费为（元）． 因为，即选择B方式不如A方式划算，所以同意小桐的说法． 15．（24-25九年级下·云南大理·阶段检测）如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏公平 【分析】本题考查的是求简单事件的概率，游戏公平性的判断． （1）根据偶数可能的次数除以总次数即可； （2）列表求出所有的可能情况，再分别求出两人获胜的概率，最后比较大小即可． 【详解】（1）解：1，3，5，6，8数字中，偶数有2个， ∴小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 和 1 3 5 6 8 2 3 5 7 8 10 4 5 7 9 10 12 7 8 10 12 13 15 9 10 12 14 15 17 ∴共有种结果，其中数字之和大于10有8种，小于10有8种，等于10有4种， ∴小明获胜概率为，小丁获胜概率为， ∴该游戏公平． 16．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 17．（2026·云南楚雄·一模）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 【答案】(1)12种 (2)不公平；莹莹第一个出场的可能性更大 【分析】（1）画出树状图即可解答； （2）分别求出晶晶和莹莹第一个出场的概率，再进行比较即可解答． 【详解】（1）解：画树状图如答图： 由树状图可知，共有种等可能的结果． （2）这种规则对晶晶和莹莹不公平．     理由如下：由（1）可得，12种等可能的结果中，晶晶第一个出场的结果有4种，莹莹第一个出场的结果有8种， 晶晶第一个出场的概率为，莹莹第一个出场的概率为．， 这个规则对晶晶和莹莹不公平，莹莹第一个出场的可能性更大． 18．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动．妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品．摊主提供两种购买方式： 方式A：直接打七折； 方式B：参与一次抽奖决定折扣．规则如下： 在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个． 顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球．如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折． 妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B． 请解答下列问题： (1)求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； (2)小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱．”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)如下 【分析】（1）列出表格，利用概率公式进行计算即可； （2）分别求出两种方式所需费用，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，列表如下： 红1 红2 蓝1 蓝2 红1 红1，红2 红1，蓝1 红1，蓝2 红2 红2，红1 红2，蓝1 红2，蓝2 蓝1 蓝1，红1 蓝1，红2 蓝1，蓝2 蓝2 蓝2，红1 蓝2，红2 蓝2，蓝1 共12种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有4种， 故妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）同意小雅的说法，理由如下： 由（1）可知，按照方式，以六折价格买到该学习用品的概率为，则以九折价格买到该学习用品的概率为， 设共买件学习用品， 则利用方式所花费用为（元）； 利用方式所花费用为（元）； ∵， ∴方式A更省钱． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率的应用 常考题型·精准突破 考点一 概率在实际问题中的基本应用 题型1 利用概率计算随机事件发生的平均次数（高频） 题型2 概率在保险业中的应用（高频） 题型3 概率在转盘抽奖中的应用（高频） 题型4 概率在比赛中的应用（高频） 考点二 概率与游戏规则 题型5 游戏的公平性（重、高频） 考点三 概率的综合应用 题型6 概率的其他应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 概率在实际问题中的基本应用 ◆题型1利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．10 2．【详解】（1）解：返现金额的数学期望为 （元）； （(2)当时，数学期望最小，理由如下： 点数的数学期望为 ， 当时，数学期望最小，最小值为． 3．支 4．【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共有种等可能的情况，其中出现正正正，共种情况， 获得元奖金的概率； （2）解：获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 恰好有两次正面朝上的结果有：正正反、正反正、反正正，共种情况， 获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 设摊者获利（元）． 故答案为：；． ◆题型2 概率在保险业中的应用 1． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 2． 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：， 解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 3． 【详解】（1）解：由题意得，当时， ，即， 解得， 故答案为：． （2）①树状图如图所示， 在B、C两个路口都需等待的概率是， ②由题意得， （分钟）， 答：从家到学校所用时间的平均值为分钟， 故答案为：． （3）由题意得， （分钟）， 答：徐老师从家到学校所用时间的平均值为20分钟， 故答案为：． ◆题型3 概率在转盘抽奖中的应用 1． 2． 3． 【详解】（1）解：记甲袋2个白球为白，白，红球为红甲；乙袋1个白球为白乙，2个红球为红，红. 列表如下： 白 白 红甲 白乙 白，白乙 白，白乙 红甲，白乙 红 白，红 白，红 红甲，红 红 白，红 白，红 红甲，红 总共有种等可能的结果，其中两个球均为白球的结果有种 因此摸出两个球均为白球的概率为 (2) 设计方案：摸出两个红球时获得一等奖，摸出两个白球或甲袋摸出红球乙袋摸出白球时获得二等奖，摸出甲袋白球乙袋红球时获得三等奖 理由：获一等奖（两红）的概率为； 获二等奖（两白或甲红乙白）的概率为； 获三等奖（甲白乙红）的概率为 因为，所以该方案符合要求 4． 【详解】（1）解：画树状图如下： ， 则该顾客最少可得100元购物券，最多可得400元购物券； （2）解：由（1）知，共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于300元的有6种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于300元的概率为：． ◆题型4 概率在转盘抽奖中的应用 1． 2． 【详解】盈利了， 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 3． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 考点二 概率与游戏规则 ◆题型5 游戏的公平性 1． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张， ∴小林抽到写有偶数的卡片的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是6的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是6的倍数的结果数有8种， ∴小林获胜的概率为，小张获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 2． 【详解】（1）解：∵四张卡片的正面分别写上数字，，，， ∴小健同学抽到数字的概率为； (2)解：这个游戏不公平，理由： 列表如下： 4 5 6 7 4 9 10 11 5 9 11 12 6 10 11 13 7 11 12 13 ∴共有12种可能结果，其中两人的卡片上的数字之和大于有4种， ∴小康同学获胜的概率为，小健同学获胜的概率为； ∵， ∴这个游戏对双方不公平 3． 【详解】（1）解：总共有张牌，其中“黑桃”有张，故小明再随机抽一次，抽到的是“黑桃”的概率为； (2)游戏公平， 说明：抽取两张牌时，画树状图如图所示， ∴共有种等可能结果，、、、、、，其中为小明赢，为小红赢， ∴小明赢的概率为，小红赢的概率为， ， ∴游戏公平． 考点三 概率的综合应用 ◆题型6 概率的其他应用 1．A 2．【详解】（1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下： 第一次第二次    乘积 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积（即获得8折优惠）的结果有8种． 所以获得8折优惠的概率为． （2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为： （元） 若顾客选择方案二，由（1）可知： ，对应9折，实际付款元 ，对应8折，实际付款元 ，对应7折，实际付款元 方案二的平均实际付款为： （元） 因为， 所以顾客选择方案一更为实惠． 3． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． (2)同意小明的说法， 理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．D 2．D 3．D 4．A 二、填空题 5. 6．不公平 7．0.75 8． 三、解答题 9． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况有4种， ∴取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为； (2)不公平，理由如下： 由（1）中树状图可得， 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字都为奇数的情况有4种，取出的两张卡片上的数字都为偶数的情况有1种， ∴取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率为，即甲胜的概率为； 取出的两张卡片上的数字都为偶数的概率为，即乙胜的概率为； ∵， ∴这个游戏不公平． 10． 【详解】（1）解：面额不少于800元的概率为：18%+12%＝30%． （2）解： m＝100﹣30﹣18﹣12＝40， 故500的提货券应多提供些． 平均每天销售提货券的数量为： （张）． 其中该面额的提货券约为：450×40%＝180（张）． （3）解：平均每张提货券的销售金额为：300×30%+500×40%+800×18%+1000×12%＝554（元）． 故月销售总额为：30×450×554＝7479000（元）． 11． 【详解】解：（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700， ∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系为：y＝； （2）①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：＝； ②设甲公司的给超市的日利润为x元， 则x的所有可能的值为：171，174，177，180，183， ＝（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元）， 设乙公司的给超市的日利润为y元， 则y的所有可能的值为：130，140，170，200，230， ＝×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元）， ∵＜， ∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适． 12． 【详解】试题分析：(1)利用频率估算；(2)利用频率估算20000个人中有多少人去世，再乘以赔偿金. 试题解析： （1）P(50岁去世)=0.0122,P（活到80岁）=0.206 . （2）951÷78009×20000×10≈2438.18万 13． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39， ∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4． 故答案为：． （3）(3)方式二， 理由如下： 方式一：25元购物券； 方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ， 选择方式二更合算． 14． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 因为有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， 所以 ． 即叔叔以五折的价格买到该物件的概率为； （2）同意小桐的说法，理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为． 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，可以估计：若买很多很多该物件，叔叔以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为． 在此情形下，设买件该物件，若选择B方式，可估计总花费为：（元）． 而若选择A方式，总花费为（元）． 因为，即选择B方式不如A方式划算，所以同意小桐的说法． 15． 【详解】（1）解：1，3，5，6，8数字中，偶数有2个， ∴小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 和 1 3 5 6 8 2 3 5 7 8 10 4 5 7 9 10 12 7 8 10 12 13 15 9 10 12 14 15 17 ∴共有种结果，其中数字之和大于10有8种，小于10有8种，等于10有4种， ∴小明获胜概率为，小丁获胜概率为， ∴该游戏公平． 16． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 17． 【详解】（1）解：画树状图如答图： 由树状图可知，共有种等可能的结果． （2）这种规则对晶晶和莹莹不公平．     理由如下：由（1）可得，12种等可能的结果中，晶晶第一个出场的结果有4种，莹莹第一个出场的结果有8种， 晶晶第一个出场的概率为，莹莹第一个出场的概率为．， 这个规则对晶晶和莹莹不公平，莹莹第一个出场的可能性更大． 18． 【详解】（1）解：由题意，列表如下： 红1 红2 蓝1 蓝2 红1 红1，红2 红1，蓝1 红1，蓝2 红2 红2，红1 红2，蓝1 红2，蓝2 蓝1 蓝1，红1 蓝1，红2 蓝1，蓝2 蓝2 蓝2，红1 蓝2，红2 蓝2，蓝1 共12种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有4种， 故妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）同意小雅的说法，理由如下： 由（1）可知，按照方式，以六折价格买到该学习用品的概率为，则以九折价格买到该学习用品的概率为， 设共买件学习用品， 则利用方式所花费用为（元）； 利用方式所花费用为（元）； ∵， ∴方式A更省钱． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $