第1章、第2章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第1章、第2章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟满分：120分 范围：浙教版八上第1章三角形；第2章特殊三角形 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.(25-26七年级下·福建泉州期末)已知三角形三边长分别为5，x,8,若此三 角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为()· A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个 【答案】C 【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶 性，统计符合条件的x的个数即可. 解：三角形三边长分别为5，x,8 “根据三角形三边关系得8-5<x<8+5,即3<x<13, ~三角形周长为奇数，周长为5+8+x=13+x,且13是奇数， …x必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数， :边长x为正整数， 符合条件的x为4,68,10,12，共5个， “满足条件的三角形个数为5个 2.(25-26七年级下·北京·阶段检测)如图所示，在△ABC中，BA⊥AC,AD⊥BC ,垂足分别为A,D,已知AB=6,AC=8,BC=10,则BC边上的高的长为() D A.4 B.4.8 C.6 D.8 【答案】B 【分析】利用△ABC通过等面积法列出式子，求解即可. 解：由题意得，及m方Bx4C=8C×AD, 2 即2×6x8=)×10xAD 解得AD=4.8, 故选：B 3.(2026·四川凉山中考真题)如图，AD∥CB,CA⊥BA,若∠C=30°，则∠DAB= () A.40° B.60° C.70° D.150° 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出∠CAB=90°，由平行线的性质得出∠DAC=150°，从而可得出 ∠DAB 解：，CA⊥BA, .∠CAB=90°， AD∥CB, ∴.∠DAC+∠C=180°， .∠C=30°， .∠DAC=180°-∠ACD=180°-30°=150° ∴.∠DAB=∠DAC-∠BAC=150°-90°=60° 4.(2026安徽中考真题)在凸五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,F是CD的 中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是() A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌 握全等三角形的判定的方法是解题的关键. 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即 可证得结论. 解：A、连接AC、AD, :∠ABC=∠AED,AB=AE,BC=DE, ·△ACB≌aADE(SAS), ..AC=AD 又：点F为CD的中点 .AF⊥CD,故不符合题意； B、连接BF、EF, B E ,'AB=AE,∠BAF=∠EAF,AF=AF, .△ABF≌△AEF(SAS), ∴.BF=EF,∠AFB=∠AFE 又：点F为CD的中点， ..CF=DF, .BC=DE, .△CBF≌aDEF(SSS), ∴.∠CFB=∠DFE, ∴.∠CFB+∠AFB=∠DFE+∠AFE=90°， :AF⊥CD,故不符合题意： C、连接BF、EF, E ,点F为CD的中点， ∴.CF=DF, :∠BCF=∠EDF,BC=DE,, .aCBF≌aDEF(SAS), .∴，BF=EF,∠CFB=∠DFE, .AB=AE,AF=AF, .△ABF≌aAEF(SSS), ∴.∠AFB=∠AFE, ∴.∠CFB+∠AFB=∠DFE+∠AFE=90°， .AF⊥CD,故不符合题意； D、∠ABD=∠AEC,无法得出题干结论，符合题意： 故选：D 5.(25-26八年级下·云南玉溪期中)一个三角形的三条边长分别为1,3,2， 这个三角形的面积为（) A. 3 2 B,1 C.3 D.25 【答案】A 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再计算面积即可， 解：：P+(5=1+3=4,2=4 1P+(5=22, 该三角形是直角三角形，斜边长为2，两条直角边长分别为1,3， 面积为x1xv5= 2 6.(25-26八年级上浙江台州期末)如图，AD是△ABC的角平分线，AB=13, AC=5,BC=12,则BD的长为() B 6 A.3 5 B.3 7 C.2 D.2 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应 用，过点D作DE⊥AB于点E,证明△ABC是直角三角形，且∠C=90°，根据角平分线的性 质可得DC=DE,证明RtAADCS≌RtAADE(HL)得出AE=AC=5,设BD=x,在RtADBE 中，DB2=DE2+BE2,根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解. 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, AB=13,AC=5,BC=12, AC2+BC2=AB2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠C=90° 又：AD是△ABC的角平分线 ∴.DC=DE 又，AD=AD .RtAADC≌Rt△ADE(HL) ..AE=AC=5, .BE=AB-AE=13-5=8 设BD=x,则DE=DC=BC-BD=12-x, 在RtADBE中，DB2=DE2+BE2 .x2=(12-x)}+82 2 解得：x= 3 6 即BD的长为3 故选：A, 7.(25-26八年级上浙江台州期末)如图，在△ABC中，分别以A,B为圆心，大 于2AB长为半径画弧，两弧交于点M,N,作直线MN交∠ACB的平分线于点D,过 点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E.若CB=5,BE=3,则AC的长为() B N A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质和作法，全等三角形的判定 和性质，解题的关键是掌握以上性质. 过点D作DF⊥AC于点F,连接AD,BD,根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，得 出相等的线段和直角，证明RtACDF≌RtACDE和RtAADF≌RtABDE,得出相等的边，最后利 用线段的和差进行求解即可. 解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F,连接AD,BD ,CD平分∠ACE,且DE⊥CB, .DE=DF,∠CFD=∠AFD=∠BED=90°， 又，CD=CD ..RtACDFRtACDE(HL). ..CF=CE=CB+BE=5+3=8. 由作图可得，MW垂直平分线段AB, .'AD =BD. .RtAADFS≌RtABDE(HL), .AF=BE=3, .AC=CF+AF=8+3=11. 故选：D 8.(25-26八年级上·浙江衢州期中)如图，在四边形ABCD中， AB-ADI2,BC=DC,∠A6O°，点E在AD上，连接BD,CE相交于点F,CE∥AB. 若CE=8,则EF的长为() B A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关 键是利用角之间的关系找到边之间的关系， 首先根据AB=AD=12∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交BD于点G,可 证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC=∠DAC=30°， 根据平行线的性质可证∠ACE=∠DAC=30°，从而可得DE=4,根据平行线的性质可证 △DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可知EF=DE=4. 解：如图所示，连接AC交BD于点G, A 4 B :AB=AD=12,∠BAD=60°， ,△ABD是等边三角形， ∴.AB=AD=BD=12,∠BAD=∠ABD=∠ADB=60° AB=AD=12,BC=DC. .AG⊥BD,BG=DG, ∴.∠BAC=∠DAC=60°÷2=30°， :CE∥AB, ∴.∠ACE=∠BAC=30° .∠ACE=∠DAC=30°， .AE=CE=8. .DE=AD-AE=12-8=4, :EF∥AB, ∴.∠EFD=∠ABD=60°，∠FED=∠BAD=60°， ∴，△DEF是等边三角形， ∴.EF=4, 故选：C 9.(25-26八年级下广东梅州期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB,D 为AB延长线上一点，点E在BC边上且BE=BD,连结AE、DC,若∠CAE=25°，则 ∠D的度数为() E A.65° B.70° C.75 D.80° 【答案】B 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=45°，再利用SAS证明△ABE≌aCBD, 得出∠D=∠AEB,最后利用三角形外角的性质求出∠AEB即可得出答案. 解：：AB=CB,∠ABC=90°， ∠ACB=∠BAC=45°，∠ABE=∠CBD=90°， 在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD .△ABE≌△CBD(SAS), ∴.∠D=∠AEB, :∠AEB是△AEC的外角， ∠AEB=∠CAE+∠ACB=25°+45°=70°， 则∠D=70° 10.(25-26八年级下·浙江台州期中)我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核 心是四个全等直角三角形拼接成正方形，如图，四边形ABCD为正方形，若直角三 角形的斜边为V29，中间小正方形的面积为9，则图中线段AE的长为() √29 B A.3W2 B.5 C.23 D.4 【答案】B 【分析】设直角三角形的较短直角边为x,根据小正方形面积得出较长直角边长为x+3,再利 用勾股定理列方程求出x,进而求出较长直角边长即可求解 解：设直角三角形的较短直角边长为x, ,中间小正方形的面积为9， .小正方形的边长为V9=3, ∴直角三角形的较长直角边长为x+3, ,直角三角形的斜边为√29， ∴，根据勾股定理得，x2+(x+3)2=(W29)2, 整理得，x2+3x-10=0. 解得x=2,x2=-5(不合题意，舍去)， .较长直角边长为2+3=5， .AE=5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.(25-26七年级下·江西吉安期末)设a,b是一个等腰三角形的两边长，且满 足(a-3)'+7-=0,则该三角形的周长是 【答案】17 【分析】先根据非负数的性质求出a,b的值，再分情况结合三角形三边关系讨论，计算符合 条件的三角形周长即可 解：(a-3)+7-=0,且平方与绝对值均为非负数， ∴.a-3=0.7-b=0. 解得a=3,b=7, 分两种情况讨论：①当3为腰长时，三角形三边长分别为3,3,7， :3+3<7,不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去： ②当7为腰长时，三角形三边长分别为3,7,7， 3+7>7,满足三角形三边关系，能组成三角形， 此时三角形的周长为3+7+7=17 12.(24-25八年级上·浙江温州·期中)如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的 墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米.当梯子的顶端沿墙面下滑米 后，梯子处于AB位置，恰与原位置AB关于墙角∠ACB的角平分线所在的直线轴对 称. 77777777 B B 【答案】1.7 【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出AC的长是关键. 根据勾股定理可得AC的长，再根据轴对称的性质可得AC=BC,再用AC减去AC可得答 案。 解：由题意得：AC=VAB2-BC2=V2.52-0.7=-2.4(米)， ,梯子处于AB位置，恰与原位置AB关于墙角∠ACB的角平分线所在的直线轴对称， AC=BC=0.7米， 4C-4C=2.4-0.7=1.7(米)， 即当梯子的顶端沿墙面下滑1.7米后，梯子处于AB位置，恰与原位置AB关于墙角∠ACB的角 平分线所在的直线轴对称. 故答案为：1.7. 13.(25-26八年级上福建福州阶段检测)如图，把一个长方形纸片沿EF折叠 后，点D,C分别落在D',C'的位置，若∠EFG=54°，则∠BGD等于一. G B 【答案】72°/72度 【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，三角形的外角性质：由平行可求得 ∠DEF=∠EFG=54°，又由折叠的性质可得∠D'EF=∠DEF=54°，再利用三角形的外角性质 求得∠BGE的度数，据此计算即可求解。 解：四边形ABCD是长方形， AD∥BC, .∠DEF=∠EFG=54°， 又由折叠的性质可得∠D'EF=∠DEF=54°， .∠BGE=∠EFG+∠D'EF=I08°， .∴.∠BGD'=180°-∠BGE=72° 故答案为：72°. 14.(25-26七年级下·江西九江期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆 心，适当长为半径作弧，交AB,AC于点E、F,分别以点E、F为圆心，大于 F的长为半径作弧，两额交于点G,作射线1G文C于点D:若点D到直线B 的距离为2，BD=4,则BC的长为 B 【答案】6 【分析】根据作图痕迹判断AD是∠BAC的平分线，利用角平分线的性质得出CD的长，结合 线段的和差关系即可求解 解：由作图可知，射线AD是∠BAC的平分线， ∠C=90°， .DC⊥AC, ,点D到直线AB的距离为2，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴DC等于点D到直线AB的距离，即DC=2, BC=BD+DC.BD=4. ∴.BC=4+2=6,BC的长为6. 15.(25-26八年级上·浙江杭州期末)如图，在等边△ABC中，BD是∠ABC的平分 线，点E在BC的延长线上，连接DE.若∠E=30°，BE=6,则AB的长为— B 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边. 设4B=2x由等边三角形的性质可符4C=B=2x:∠AC3=609,CD=' 24C=x,再根据三 角形外角性质可得∠CDE=∠ACB-∠E=30°，得到∠CDE=∠E,进而列式计算即可求解， 解：·△ABC为等边三角形，设AB=2x, .AC=AB=2x,∠ACB=60°， BD平分∠ABC, :.CD-4C-x, 2 ∠E=30°， :.∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°， .∠CDE=∠E, ..CE=CD=x, ,BE=6, .2x+x=6, 解得x=2, .AB=2x=4 故答案为：4 16.(25-26八年级上广东汕头·阶段检测)如图，BD是△ABC的外角∠ABP的平分 线，DA=DC,DE⊥BP于点E.若AB=I5,BC=3,则BE的长为 D B 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线 构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立线段之间的关系. 过点D作DF⊥AB,利用角平分线的性质得到DE=DF,再通过“HL”分别证明 RtABDE≌RtoBDF和RtADF≌aCDE,结合线段和差关系推导出2BE=AB-BC,进而求 出BE的长. 解：如图，过点D作DF⊥AB于F, E B ,BD是∠ABP的角平分线， .DE=DF 在Rt△BDE和Rt△BDF中， BD=BD DE=DF :.RtaBDE≌RtABDF(HL) :BE=BF, 在Rt△ADF和Rt△CDE中， DA=DC DE=DF :.RtADF≌CDE(HL) .AF=CE AF AB-BF,CE BC+BE .∴.AB-BF=BC+BE ..2BE=AB-BC AB=15,BC=3 .∴.2BE=15-3=12 .BE=6 故答案为：6 17. (25-26八年级上河南郑州·期中)国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的 4 柱子装扮一下.如图，柱子底面圆的直径为元m，高12m’若彩带从点4顺着圆柱 侧面绕4圈到点B(A,B分别是圆柱两底面圆周上的点)，则需要彩带的长度最 短为 m B 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用路径最短问题，熟练掌握知识点是解题的关键，圆 柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高， 再根据勾股定理求解即可， 解：由题意得，圆柱的侧面展开图如图所示： 用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕4圈到B的运动最短路线是AC-CD-DE-EB, 4 :柱子底面圆的直径为元m,高12m :AM=π，44m,CM=12÷4=3m, 由勾股定理得AC=√AM2+CM2=5m, .AC+CD+DE+EB=5x4=20m, 故答案为：20. 18.(25-26八年级上：浙江衢州·期中)已知在等边三角形ABC中，点D是BC的中 点，点E在AB的延长线上，且CD=BE,连接AD,DE.AB=10时，P,O分别为射 线AB、射线CA上的动点，且∠PD0=120,若Ag=4,则∠ADE=一，BP的长为 【答案】 120° 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的 判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键.分 两种情况：当点Q在线段CA的延长线上时，当点O在线段CA上时，分别求解即可得到答 案 解：：△ABC是等边三角形，点D是BC的中点， ∠ABC=60°，BD=CD,AD⊥BC, ∴.∠EBD=120°，∠ADB=90°， .CD=BE :BD=BE, ∠BD5=∠B=X080-120)=30. .∠ADE=90°+30°=120°： 当点Q在线段CA的延长线上时， 如图③，作DM∥AB交AC于点M, B 图③ 由(2)知ACDM为等边三角形， ∴.CD=DM=MC,∠DMC=60°， :D为等边△ABC的边BC的中点， .DB=DC=DM,∠ABD=60°， MC=BD-2X10=5, .AM=5, ∴QM=AM+AQ=5+4=9, ∠BDM=120°，∠PD9=120°. ∴.∠BDP=∠QDM,∠QMD=∠PBD=180°-60°=120°， 在△PBD和△OMD中， [∠PBD=∠QMD BD=MD ∠PDB=∠QDM APBDSOMD(ASA). :.BP=OM=9: 当点Q在线段CA上时，如图④， D 图④ 同理可证明△PBD2aOMD(ASA). 则BP=QM=AM-AQ=5-4=1, 综上所述，BP的长为9或1. 120.9或 1. 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(本题6分)(25-26七年级下山东泰安期末)如图，已知直线∥1，直线 分别与4、h交于点A、B. (1)请用尺规作图法，在线段AB上求作点P,使点P到、2的距离相等.保留 作图痕迹，不写作法： (2)由(1)知PA=PB,证明点P到，的距离相等. A B 【答案】(1)如图，点P即为所求： M P N B (2)证明：如图，作PD1l于点D,延长DP交于点E, O A M P E PD⊥4，L, .PD, ∴.∠PDA=∠PEB=90°， 在△ADP和△BEP中， ∠PDA=∠PEB ∠APD=LBPE, PA=PB .△ADP≌aBEP(AAS), .PD=PE, ∴.点P到4,2的距离相等. 【分析】)分别以点AB为圆心，以大于2B的长度为半径画弧，两弧交于点M·N ,作直线MN,与AB的交点，即为所求的点P: (2)作PD1(于点D,延长DP交马于点E,由平行线的性质可得PD1马，则 ∠PDA=∠PEB=90°，容易证明△ADP≌aBEP(AAS),因此PD=PE. 解：(1)略 (2)略 20.(本题6分)(26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试)如图，在一条绷紧的绳索 一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E ,同时小船从点A移动到点B,且绳长始终保持不变.A,B,F三点在一条直线 上，CF⊥AF 回答下列问题： (1)AC BC+CE(填“>”“<”或“=”)； (2)若CF=8m,AF=15m,AB=9m,求小男孩向右移动的距离 【答案】(1)=：(2)小男孩向右移动的距离为7m. 【分析】(1)根据绳长始终保持不变即可解答： (2)首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可 求解。 (1)解：由题意，绳长始终保持不变， 故AC=BC+CE: (2)解：：AF=15m,AB=9m,A,B,F三点在一条直线上， .BF AF-AB =6m, ,CF⊥AF, ∴∠AFC=LBFC=90°， 由勾股定理，得AC=VAF2+CF2=17(m),BC=VBF2+CF2=10(m), .AC=BC+CE .CE=17-10=7(m), 由题意，小男孩向右移动的距离即为CE的长， 7m 故小男孩向右移动的距离为 21·(本题8分)(25-26七年级下·河北邯郸·期末)如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC,∠C=9O°，DE⊥AB于点E,点F在AC上，CF=EB.求证：DF=DB. E B D 【答案】证明：，AD平分∠BAC, .∠CAD=∠BAD, :DE⊥AB,∠C=90°， ∴.∠AED=∠BED=90°=∠C. 又，AD=AD, :.△ACD≌aAED(AAS) :.CD=DE, 在△DCF和△DEB中 CD=DE ∠C=∠DEB, CF=BE .△DCF≌aDEB(SAS), ∴.DF=DB 解：略 22.(本题8分)(25-26七年级下·上海期末)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90° ,CH⊥AB,AT平分LCAB,交CH于D,DE‖AB,求证：CT=BE. 【答案】证明：如图，过点T作TF⊥AB于点F, H AT平分∠BAC,∠ACB=90°， ∴.CT=FT, ∠ACB=90°，CH⊥AB, ∴.∠DAH+∠ADH=90°，∠ATC+∠CAT=90° :AT平分∠BAC, ∴.∠CAT=∠DAH, .∠ADH=∠ATC, .∠ADH=∠CDT, .∠CDT=∠ATC, ..CD=CT, 又CT=FT, ..CD=FT, :CH⊥AB,DE I AB .∠CDE=90°，∠B=∠CED, 在△CDE和△TFB中， I∠B=∠CED ∠CDE=∠TFB=90° CD=TF .aCDE≌aTFB(AAS), ∴CE=TB, ∴.CE-TE=TB-TE, 即CT=BE. 【分析】过点T作TF⊥AB于点F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得CT=FT, 再根据角平分线的定义和等角的余角相等的性质得到∠CDT=∠ATC,所以CD=CT,再证明 △CDE和△TFB全等，然后根据全等三角形对应边相等可以得到CE=TB,都减去TE即可得 到CT=BE. 解：略 23.(本题8分】(25-26八年级上·甘肃庆阳期中)如图，在△ABC中，∠B=60°， △ABC的角平分线AD、CE相交于点O,求证：AE+CD=AC. E D B 【答案】证明：∠B=60°， ∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°， :AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, 4C=∠0AB=)∠BAC.∠0CA=∠0CB凸 2 .∠OAC+∠OCA= BACC(BAC+ZACB)-00 2 2 ∴.∠A0C=120°. .∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60°」 如图，在AC上截取AF=AE,连接OF, F E B C 在△A0E和△AOF中， AE=AF ∠OAE=∠OAF, A0=A0 .△AOE≌△AOF(SAS), .∠AOE=∠AOF=60°， .∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60° :∠C0D=60°， ∠COD=∠COF, 在△COD和△COF中， ∠OCD=∠OCF CO=CO ∠COD=∠COF :∴ACOD2aCOF(ASA), :.CD=CF, AF=AE, ∴.AF+CF=AE+CD=AC, 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到∠AOC=120°， ∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE,连接OF,分别证明△AOE≌△AOF(SAS), △COD≌aCOF(ASA),得到CD=CF,即可证明结论. 解：略 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助 线构造全等三角形是解题关键， 24.(本题10分)(26-27八年级上内蒙古单元测试)如图，两个全等的等边三 角形ABC和等边三角形DEF的一边重叠地放在直线I上，AC,DE交于点P. (1)判断△PCE的形状，并说明理由. (2)连接AF,BD,求证：AF=BD. 【答案】(I)解：aPCE是等边三角形. 理由如下： ,'△ABC和△DEF都是等边三角形， .∠ACB=∠DEF=60°， ∴△PCE是等边三角形. (2)证明：：△ABC,△DEF是两个全等的等边三角形， .AB=DF,∠ABF=∠DFB=60°， 在△AFB和△DBF中， AB=DF, ∠ABF=∠DFB, FB=BF, .△AFB≌aDBF(SAS). .AF BD 【分析】(I)由△ABC和△DEF都是等边三角形，可得∠ACB=∠DEF=60°，即可得结论： (2)由△ABC和△DEF都是等边三角形，可得AB=DF,∠ABF=∠DFB=60°，可证明 △AFB≌△DBF,即可证明结论， 解：(1)略 (2)略 25.(本题10分)(25-26八年级上广东汕头期末)如图，点0是等边△ABC内一 点，∠A0B=120°，∠BOC=a,△OCD也是等边三角形. (1)求证：△BOC≌aADC: (2)当a=120°时，试判断△AOD的形状，并说明理由： (3)探究：当a为多少度时，△AOD是直角三角形？ 【答案】(1)证明：，等边△ABC, .BC=AC,∠ACB=60°， ,等边aOCD, ∴.C0=CD,∠0CD=60°， ∴.∠BCO+∠ACO=∠ACD+∠ACO ∴.∠BCO=∠ACD BC=AC ∠BCO=∠ACD CO=CD ∴.aBOC≌aADC(SAS) (2)解：△AOD是等边三角形.理由如下： .∠AOB=∠BOC=a=120°， .∠AOC=360°-∠BOC-∠AOB=120°， ,等边aOCD, .∠COD=∠DC0=60°， ∴.∠AOD=∠AOC-∠COD=60° .ABOCSADC .∠ADC=∠BOC=120° ∴.∠DAO=360°-∠AOC-∠ADC-∠DCO=60° ∴.∠AOD=∠DAO=∠ODA=60°， 故△AOD是等边三角形. (3)150°或90° 【分析】(I)利用等边三角形的性质，结合SAS原理，证明全等即可： (2)根据周角，等边三角形的判定和性质，四边形内角和，解答即可： (3)根据△AOD是直角三角形，结合三角形全等的性质，分三种情况求解即可. 解：(1)略. (2)略. (3)解：，等边aOCD, .∠COD=∠DC0=∠ODC=60°， :△AOD是直角三角形， 当∠AD0=90°时，根据题意，得∠ADC=∠AD0+∠ODC=90°+60°=150°， :ABOC2△MADC(SAS), .∠ADC=∠B0C=150°， 故a=150°： 当∠AOD=90°时， ∴.∠BOC=360°-∠AOB-∠AOD-∠COD=90° 故a=90°： 当∠OAD=90°时，根据题意，得∠AOD+∠AD0=90°， :ABOC≌△ADC, :.∠ADC=∠BOC=a, ,等边aOCD, .∠C0D=∠CD0=60°， ∠AOB=120°， :.∠AOD+∠BOC=180°，∠ADO=∠ADC-∠CDO=a-60°， .∠AOD=180°-a, ∴.∠AOD+∠AD0=180°-a+a-60°=120° 矛盾， 故此情形不成立， 综上所述，当a=150°成a=90 或 △AOD 时； 是直角三角形 26.(本题10分)(25-26八年级上山西吕梁期末)综合与探究 【问题背景】 (1)如图1，直线I经过点A,∠BAC=90°，AB=AC,过点B,C分别向直线I作垂 线，垂足分别为点D,E,求证：△ABD≌△CAE. 【问题探究】 (2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且 ∠BDE=90°，DB=DE=AE,若BC=5,求AD的长. 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD的面积为14， CD=7,请直接写出△BCD的面积. D B 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：BD⊥DE,CE⊥DE, .∠BDA=∠AEA=90°， :∠BAC=90°，直线l经过点A, ∴.∠BAD+∠CAE=LCAE+∠ACE=90°，即LBAD=∠ACE, AB=AC. .△MBD≌aCAE(AAS), (2)10: 1 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线 是解题的关键 (1)根据垂直得出直角三角形，根据同角的余角相等得出相等角，最后利用AAS证明三角形 全等即可： (2)过点E作EF⊥AC交于点F,同理可得△DFE≌aBCD(AAS),可得DF=BC=5,再根 据等腰三角形的性质可得AF=DF=】D=5,即可解答： 2 (3)过点B作BN⊥DC交DC的延长线于点N,过点A作AM LDC于点M,同理可得 △AMC2aCNB(AAS),可得CM=BN,AM=CN,证明DM=AM,利用三角形面积公式求得 AM=4,进而得到DM=AM=4,再求出BN=CM=3,即可解答. 解：(1)略 (2)解：如图，过点E作EF⊥AC交于点F, 同理(I)得△DFE≌aBCD(AAS). ..DF =BC=5. DE=AE,EF⊥AD, :.AF-DF-TAD, .AD=2DF=10: (3)解：如图，过点B作BN⊥DC交DC的延长线于点V,过点A作AMLDC于点M, N.I :∠ABC=∠CAB=45°. ∴.AC=BC, ∠AMC=∠N=90°， 同理(I)中得△AMC≌aCNB(AAS), .CM=BN,AM=CN, ∠ADC=45°，∠AMD=90° .∠MAD=45°， .DM=AM, :△ACD的面积为14，CD=7, 0AM=14, .AM=4, .DM=AM=4, ∴.CM=CD-DM=3, .BN =CM=3. ..ABCD CDBN=1x7x3-21 2 的面积为 第1章、第2章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：浙教版八上第1章 三角形；第2章 特殊三角形 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交的平分线于点D，过点D作，交的延长线于点E．若，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期中）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26七年级下·江西吉安·期末）设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． 12．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑______米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 13．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于______． 14．（25-26七年级下·江西九江·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 16．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为_____ 17．（25-26八年级上·河南郑州·期中）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为______． 18．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______ ，的长为______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，直线分别与、交于点A、B． （1）请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．保留作图痕迹，不写作法； （2）由（1）知，证明点到，的距离相等． 20．（本题6分）（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： （1）_________（填“”“”或“”）； （2）若，，，求小男孩向右移动的距离 21．（本题8分）（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 22．（本题8分）（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，平分，交于，，求证：． 23．（本题8分）（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    24．（本题10分）（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． （1）判断的形状，并说明理由． （2）连接，，求证：． 25．（本题10分）（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． （1）求证：； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是直角三角形？ 26．（本题10分）（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，E，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为14，，请直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $