第1章、第2章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第1章、第2章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：苏科版九上第1章 一元二次方程；第2章 反比例函数 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26八年级下·江苏·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段检测）若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 6．（2026九年级下·重庆·专题练习）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 7．（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·中考真题）如图，为直线上一点，过点作的垂线交双曲线于点．若，则的值为（   ） A．12 B． C．6 D． 2、 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为__________． 11．（25-26九年级上·四川南充·期末）方程有两个实数根，则的取值范围______ 12．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 13．（26-27九年级上·北京·开学考试）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 14．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 15．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 16．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 17．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 18．（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，且，点A在y轴上，以为边的菱形的对角线， 交于点M，反比例函数的图象过点M．若，则k的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题8分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 20.（本题8分）（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）已知关于的方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若2是该方程的一个根，求代数式的值． 21.（本题6分）（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，，求点F的坐标． 22.（本题6分）（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 23.（本题6分）（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： （1）； （2）． 24.（本题8分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 25.（本题8分）（26-27九年级上·江苏·阶段检测）如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， （1）当时，求的值； （2）求证：； （3）随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 26.（本题8分）（2026九年级上·全国·专题练习）某蓄水池的排水管的排水速度（m3/h）与排完水池中的水所用的时间（）成反比例，且当时，． （1）写出关于的函数解析式； （2）若要5h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （3）如果每小时排水量不超过10m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 27.（本题8分）（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． （1）延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章、第2章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：苏科版九上第1章 一元二次方程；第2章 反比例函数 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26八年级下·江苏·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫反比例函数，根据反比例函数的定义逐项分析判断即可． 解：A.是反比例函数，故符合题意；     B.是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意； C. 不是反比例函数，故不符合题意；     D.不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段检测）若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】AB 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，三角形三边关系及解一元二次方程，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．分两种情况进行讨论，即当腰长为3，当底边长为3，进而求解即可． 解：当腰长为3时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，解得， 则三角形三边为3，3，1， ∵， ∴符合题意； 当底边长为3时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，解得， 则三角形三边为2，2，3， ∵， ∴符合题意； 综上，k的值为3或4， 故选：AB． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数（k是常数，）的图象是双曲线，当时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此进行解答即可． 解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 6．（2026九年级下·重庆·专题练习）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式，依次验证各选项即可得到正确结论. 解：A选项：把代入解析式， 可得：， 反比例函数的图象不经过点， 故A选项错误； B选项：反比例函数中， 反比例函数图象位于第二、四象限， 故B选项错误； C选项：反比例函数中， 当时，随的增大而增大，不是减小， 故C选项错误； D选项：当时，， ， 又，可得：， 两边同乘，不等号方向改变， 可得：， 即， ， 故D选项正确． 7．（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 8．（2025·湖北·中考真题）如图，为直线上一点，过点作的垂线交双曲线于点．若，则的值为（   ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数及一次函数的相关知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点．构造等腰直角三角形，再运用勾股定理列式得，得，然后设点，则所以即可作答． 解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点． 点为直线上一点， ， 又， ∴为等腰直角三角形， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， 同理得是等腰直角三角形， ，，， ． ， ， 整理，得 ． 设点， 则 ． 故选：D 2、 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．根据题意可得，，，，由可得，再将所求的式子展开即可求解． 解：，两点都在反比例函数的图象上， ，，，， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·四川南充·期末）方程有两个实数根，则的取值范围______ 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件，由题意得出，计算即可得出答案． 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 12．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 13．（26-27九年级上·北京·开学考试）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 14．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 【答案】 【分析】先根据方程有两个实数根得到判别式非负，再利用根与系数的关系表示和，代入已知等式求解，最后根据判别式舍去不符合的解即可． 解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴ 判别式， 即， 根据根与系数的关系得，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，不存在两个实数根，舍去， 当时，，符合条件， 因此． 15．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 16．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 17．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 18．（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，且，点A在y轴上，以为边的菱形的对角线， 交于点M，反比例函数的图象过点M．若，则k的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的性质以及，可得，从而得到，再由， 即，可得，从而得到，可求出的值，即可求解． 解：如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，即， ∴点的坐标为， 把点代入得：． 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题8分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）方程系数不适合因式分解，选用公式法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解． （1）解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 移项得 ， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 20.（本题8分）（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）已知关于的方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． （2）30 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，据此可计算判别式进行求证； （2）将代入原方程，整理得到关于m的等式，计算化简后，整体代入求代数式的值． 解：（1）略 （2）解：将代入方程中， 得，即； ∴． 21.（本题6分）（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，，求点F的坐标． 【答案】 【分析】由矩形可得到，，则有相同的纵坐标，有相同的横坐标，然后求出反比例函数表达式，即可求解点F的坐标． 解：由题意知， ∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ∴ 将代入中， 则 ∴反比例函数解析式为 ∵点C的坐标为 ∴将代入中得 ∴． 22.（本题6分）（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【答案】（1）三边长分别为，，；（2）不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． （1）解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； （2）略 23.（本题6分）（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答； （2）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答． （1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 24.（本题8分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【答案】（1）每袋薯片应降价5元；（2）不能实现每天250元的利润，理由如下： 设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现250元的利润． 【分析】（1）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，再根据根的判别式判断是否有根即可求解． （1）解：设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片应降价5元； （2）略 25.（本题8分）（26-27九年级上·江苏·阶段检测）如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， （1）当时，求的值； （2）求证：； （3）随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明：∵点在双曲线上， ∴， ∵点C在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）不变， 【分析】（1）先求出点的坐标，进而求出的值，求出两点坐标，根据题意，进行求解即可； （2）根据点为交点，分别代入反比例函数解析式，以及一次函数解析式，进行推导即可； （3）求出点的坐标，进而表示出，结合（2）的结论进行求解即可. （1）解：∵点为直线和双曲线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∵轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：不变，理由如下， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，轴于点D， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴，为定值. 26.（本题8分）（2026九年级上·全国·专题练习）某蓄水池的排水管的排水速度（m3/h）与排完水池中的水所用的时间（）成反比例，且当时，． （1）写出关于的函数解析式； （2）若要5h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （3）如果每小时排水量不超过10m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 【答案】（1）；（2）；（3）至少需要小时 【分析】（1）因为v与t成反比例，所以可设反比例函数解析式为（），将已知的t和v的对应值代入解析式求出k的值，即可得到v关于t的函数解析式． （2）因为已知排水时间，所以将代入已求得的函数解析式，就能计算出对应的v值． （3）如果每小时排水量，那么将代入函数解析式求出对应的t值，再结合反比例函数的增减性，即可得到最少排水时间． （1）解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴． （2）解：将代入， ， ∴每小时的排水量为． （3）解：， 即：， ∵， ∴， 解得． ∴至少需要小时． 27.（本题8分）（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． （1）延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】（1）；；（2）存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 解：（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $