第二章《反比例函数》章节测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数核心知识，通过图像判断、性质应用及实际问题（如消毒含药量），分层考查抽象能力与几何直观，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图像判断、k值求解、象限分布|结合三角形面积（第1题）、网格坐标（第7题）考查几何直观| |填空题|8/24|面积与k值关系、交点坐标、增减性|通过矩形中点（第16题）、三角形全等（第18题）融合几何与函数| |解答题|10/66|解析式、图像绘制、综合应用|以消毒情境（第26题）考查模型意识，整点问题（第28题）培养创新思维|

第二章《反比例函数》章节测试卷 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C． D． 2．在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 3．已知反比例函数的图像在第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 5．反比例函数， 点 在该函数图象上，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 7．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 8．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 9．已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 10．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 12．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 13．正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 14．下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 15．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 16．如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 18．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 三、解答题（10小题，共66分） 19．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 20．画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 21．反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 22.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)请根据图象直接写出当时，的取值范围； (3)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较，，的大小． 23．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 26．为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 27．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 28．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 参考答案 一、选择题 1．C 解：根据题意可知，，即， 可知函数图像为位于第一象限的反比例函数． 2．C 解：∵当时，， ∴代入，得：， 两边同时乘以，得：， ∴， 故选：C． 3．C 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：C． 4．D 解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 5．B 解：∵反比例函数为 ，且 ， ∴函数图象位于第二、第四象限，在每个象限内，随的增大而增大． ∵点 ，的横坐标都小于， ∴ 都在第二象限， 又∵ ， ∴， ∵点 的横坐标， ∴在第四象限， ∴， 综上可得：． 6．D 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 7．C 解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 8．C 解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 9．A 解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 10．B 解：∵点在反比例函数上，轴， ∴， ∵点、在反比例函数上，轴，轴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， A、，题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，由题意得，故本选项不符合题意； D、，因为，则，故本选项不符合题意． 二、填空题 11． 解：轴，， ∴， 反比例函数解析式为， ∵， ， 轴，， 点的纵坐标为4， 当时，， 解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 12． 解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 13． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 14．3 解：①在中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小，故①符合题意； ②在中，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而增大，故②不符合题意； ③在中，一次项系数， ∴y随着x的增大而增大，故③不符合题意； ④在中，变形得函数，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而减小，故④符合题意； ⑤在中，反比例函数系数， 当时，y随着x的增大而减小，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①④⑤，共有3个． 15．（答案不唯一，满足即可） 解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内随的增大而增大． ∵点，， ∴． 若，在同一象限，则可得，与已知矛盾， 因此，分别在两个不同象限． 因此可得， 解得． 在中任取一个值，如取， 将代入，得， 所以点的坐标可以是． 16．8 解：连接、，如图所示： 四边形是矩形， ，， 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵图象在第一象限，即， ． 17． 解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 18．-2 解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 三、解答题 19．（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 20．（1）解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 21．（1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限， ∴， 解得； （2）解：根据题意，把点代入，得； ∴点， 把点代入，得， 解得， ∴． 22．（1）解：把，代入，得， ∴交点坐标为， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴另一个交点为， 观察图象，当时，x的取值范围是或； （3）解：∵中，， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴，即． 23．解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 24．（1）解：把点代入反比例函数，可得， 解得 ， ∴反比例函数为，点的坐标为 ∵反比例函数的图象经过B点， ∴，解得 ∴点的坐标为， 把，代入得 解得 ∴一次函数为； （2）解：在直线中，令，则， ∴，即， ∴； （3）要满足不等式，即一次函数图象在反比例函数图象上方，如图所示，所以的解集是或． 25．（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 26．（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧后y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． (3)有效，理由如下： 把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 27．（1）解：把、代入反比例函数中， 得 解得 反比例函数的解析式为，、 延长交x轴于点M， 设直线的函数解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的函数解析式为， 当时，， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， 把，代入一次函数中， 得，解得 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得，不等式的解集为． 28．（1）因为双曲线经过点， 所以． 即的值为4． （2）①当时，由图1可知， 上的整点有4个， 上的整点有4个， 双曲线上段的整点有3个， 区域内部的整点有3个， 又点，，都被算了2次， 所以区域的整点个数为：． 故答案为：11． ②因为区域的整点个数为4，如图所示， 又，则区域的4个整点如图所示：，，，． 故纵坐标的取值范围是：． 故答案为：． ③问题一：由题知， ， 则不论为何值，时，， 即直线过定点， 所以． 故答案为：5，4． 问题二：如图所示，当时，区域内的整点共有15个． 又被分成的区域和的整点个数之差不超过2， 则当直线经过点时，的整点个数是7，的整点个数是5，满足要求． 此时，得． 当直线过点时，的整点个数是5，的整点个数是8，不满足要求．故当点在直线上方时，即可． 此时，得． 故的取值范围是：． 学科网（北京）股份有限公司 $