九年级数学上学期9月学情自测（新教材苏科版第1章～第2章，高效培优·强化卷）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与反比例函数，融合新能源汽车销售、数学史（欧几里得几何解法、赵爽勾股图）等真实情境，通过新定义“倍方程”“倒方程”、几何运动问题设计，实现基础巩固与创新能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|方程解、反比例函数性质、增长率方程|第6题“倍方程”结合根与系数关系，考查推理意识| |填空题|10/20|方程系数、函数图像、几何面积（菱形面积13题）|第16题反比例函数与直线交点规律，体现抽象能力| |解答题|11/88|方程解法、函数综合、应用题（22题新能源汽车增长）、新定义（24题倒方程）、几何运动（26题）、数学史应用（27题）|27题结合《几何原本》与《勾股圆方图注》，渗透文化传承；26题运动面积函数，培养模型意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材苏科版九年级上册第1章~第2章 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 1.方程x2=3x的解是() A.方-为=3 B.方=龙=0 C.=35=0 D.=-3,x=0 2.反比例函数少k>0)的图象如图所示，随若值的增大，y的值(）. A.减小 B.增大 C.不变 D.先减小后不变 目关于反比例函数》，下列说法错误的是() A.函数图象在第一、三象限 B.当x>0时，y的值随x的增大而减小 C.当x>-1时，y<-3 D.若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在它的图象上 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为297.9万元.设平均每月营业额 的增长率为x,则下面所列方程正确的是() A 90(1+x)=297.9 B.901-x}=297.9 C.90(1+2x)=297.9 D.90+90(1+x)+90(1+x)}=297.9 5.已知一元二次方程x2-4x+m=1有两个不相等的实数根，则m的取值范围为() A.m<5 B.m<4 C.m>-4 D.m>-5 x2+bx+c=0(a≠0) 6.如果关于的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的”倍，则 称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是() ①方程2-3x+2=0是2倍方程：②若(x-3mr+1)=0为3倍方程，则m=-。 9:③若p,q满足pg=8, 则关于的方程r-6x+g=0 为2倍方程：④若关于'的方程r+r+c=0为”倍方程，则 nb2=(n+1)ac A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③ 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 7.一元二次方程x2+x-2=0的一次项系数是 8若反比例函数y=-12 -x的图像经过点A(m,6),则m的值是 9.已知关于x的方程x2+ax+2=0有一个根为-2，则a的值为」 10.已知a是一元二次方程x2+3x-1=0的一个根，则2a2+6a= 1,在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所广产生的压强P心)与汽缸内气 V(mL) 体的体积 成反比例，p关于'的函数图象如图所示.当汽缸壁所产生的压强 20(kPa)时，汽缸内 218 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 气体的体积为， mL. p(kPa) 120 60 100 V(mL) 12.选一个数作为m的值，使关于x的函数y=m x的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为 13.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点4的坐标为（⑤，0），点c在反比例函数y=元(k<0, x>0)的图象上，连结OA、OC,以OA、OC为邻边构造菱形OABC.若菱形OABC的面积为20，则k 的值为 14.在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环 赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有一支 15.若关于x的一元二次方程 a2-(2k+1)x+k=0 有两个不相等的实数根，则的取值范围为 2 16.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=元图象与直线x=1,x=2,x=3,…,x=n（n≥1且 ”为整数)分别交于点4，），4()，4)，，4)，则 y1》2+2y3+y3y4+…+y2025y2026= 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y A x=2 x=3 x=n 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共 88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.用适当的方法解下列方程. )(2x+)°=-(2x+1) 22r-4x-9=0 18.己知反比例函数y=(2m-l)x2 ,当>0时，'随着的增大而减小 (1)求m的值： (2)当x>-2时，求y的取值范围 19已知关于*的一元二次方程-2x+m-1=0 有两个实数根 1,X2 (1)求m的取值范围， ②当+写=6时，求m的值 20.已知关于x的一元二次方程-(m+3)x+m+2=0 (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根： (2)若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值. 21.如图，一次西数y-在+bk≠0)的图象与反比例函数y=（(m≠0)的图象交于4L,2)Ba,-)两点. 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求m、n的值： (②根据图象，直接写出不等式c+b<的解年。 22.随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能 源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份 的销售量达到5.07万辆.某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价 为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆， 售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元， (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 如图所示：一次函数y=k+4的图象与反比例函数)三(m<0)的图象交于，B两点，与 于点C,已知点 (n,1)B(-1,3) B (1)求k,n,m的值： (2)求△OAB的面积； (3)观察函数图象，直接写出不等式：+4> x的解集。 24.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 应变能力和创新能力.定义：方程cx+br+a=0是一元二次方程ar+br+c=0的倒方程，其中a,b,c 为常数（且a,c≠0），根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程4x2+3x+1=0的倒方程是一： (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的倒方程的解，求出c的值： (3)若m是一元二次方程6xr2+x+1=0的倒方程的一个实数根，求m+m2-6m+2026的值. 25.【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解 因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题， 例如：分解因式+2x-3=(+2x+4=6x+少-2=(x+1+2(x+1-2)=(x+3(x-).又知，求代 数式2x2+4x-6的最小值，我们可以通过配方得到： 2x2+4x-6=2(2+2x-3)=2[（x+2x+4=2(x+-8.因为+≥0，所以2(x+旷≥0，则 2(+少旷-8之-8，当x=-1时，2x+4红-6有最小值，最小值是-8， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-8x+7; (2)当x为何值时，多项式-2x2-4x+5有最大值？并求出这个最大值. (3)若多项式x+4与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式. 26.如图，在等腰△ABC中，AB=BC=5,AC=6,过点B作底边AC的垂线，垂足记为点H.动点P从 点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线A→B→C方向运动；动点9与动点P同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度从点B运动到点H.连接HP,AQ,设运动时间为x秒（0<x<I0)，△APH的面积 为”，△ABH的面积与 的面积之比为”. △AQB 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 121 10 987 5 432 O123456789101112x ()请直接写出”，”关于x的函数表达式，并注明白变量x的取值范围： (②在给定的平面直角坐标系中，画出函数”，少的图象，并分别写出函数”，”的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出 片>”时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0,2）· 27.综合与实践. xx+10 B D x+10 x+10 x+10x 图1 图2 (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x+x=b的方程，可用如图1的几何解法：作 直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC=b, BC=号，在斜边AB上截取BD=BC,则该方程的其中一个 正根是哪段线段的长？说明你的理由， (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法： 以方程+10x=36为例，因为+10x=36,所以有2(x+10)=36 如图2，用4个长都是 x+10) 宽都 是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为. (用含x的 代数式表示)；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于4×36+100，故 可得原方程的一个正根是 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程x2+2x-4=0的正根（请在下面画出图形，注意 在图中标注出相关线段的长度)· 8/8 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1章~第2章 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 2．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 3．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 4．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 5．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 8．若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 【答案】 【分析】点在反比例函数图像上，点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：将代入， 可得，解得． 9．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 10．已知是一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到满足的等式，将所求代数式提取公因式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根 ∴将代入方程得移项整理得 ∴． 11．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 12．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 13．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，得到点的坐标从而求出． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【答案】 【分析】根据直线与反比例函数的交点坐标规律，得出，进而得到通项，利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解： 由题意可知，，，，，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 原式 ． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 18．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，以及反比例函数增减性列出等式与不等式求解，即可解题； （2）由（1）得到反比例函数解析式，结合解析式分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求m、n的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入，求出m的值，得到反比例函数的解析式，进而将B的坐标代入，求出n的值，即可解答； （2）结合函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点也在反比例函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：如图所示，当时，x的取值范围是或， ∴不等式的解集为或． 22．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 23．如图所示：一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，． (1)求，，的值； (2)求的面积； (3)观察函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求，再将点代入反比例函数求，最后把点代入一次函数求； （2）利用一次函数与轴交点，将面积转化为与的面积差，以为底、两点横坐标绝对值为高计算即可； （3）观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值范围，结合交点横坐标写出解集即可． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在上， ∴，解得， ∵点在上， ∴， 解得； （2）解：； （3）解：已知，由（1）得， 由图可知，不等式的解集为或． 24．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 25．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 26．如图，在等腰中，，，过点B作底边的垂线，垂足记为点H．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动；动点Q与动点P同时出发，以每秒个单位长度的速度从点B运动到点H．连接，设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)函数图象如图： 性质：当时，随着的增大而减小； (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出，则，那么，，当时，，即可求解，当时，，则，由，可得，则，即可求解；而，则； （2）通过描点，连线即可作图函数图象，再从增减性写出一条性质即可； （3）出时x的取值范围即为函数的图象在函数的图象上方时，对应交点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵，，过点B作底边的垂线， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∵ ∴； 当时，如图，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 综上：； ∵ ∴， ∴ （2）解：函数图象见答案；性质见答案； （3）解：由函数图象可得，时，． 27．综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C D A C 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．1 8． 9．3 10． 11．50 12．（答案不唯一） 13． 14．8 15．且 16． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ．-------------------3分 （2）解：， ， ， ， ， ∴， ．-------------------7分 18．(1) (2)或 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ；-------------------3分 （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或．-------------------7分 19．(1) (2) 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得．-------------------4分 （2）解：且， 即． ， ．-------------------8分 20．(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根；-------------------4分 (2)的值为，方程的另一个实数根为． 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为．-------------------8分 21．(1) (2)或 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点也在反比例函数的图象上， ∴， 解得；-------------------4分 （2）解：如图所示，当时，x的取值范围是或， ∴不等式的解集为或．-------------------8分 22．(1) (2)万元 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；-------------------4分 （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元．-------------------8分 23．(1)；； (2) (3)或 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在上， ∴，解得， ∵点在上， ∴， 解得；-------------------3分 （2）解：；-------------------5分 （3）解：已知，由（1）得， 由图可知，不等式的解集为或．-------------------8分 24．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是；-------------------2分 （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得；-------------------5分 （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴．-------------------8分 25．(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【详解】（1）解： ；-------------------2分 （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7．-------------------5分 （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、．-------------------8分 26．(1)，-------------------3分 (2)函数图象如图： 性质：当时，随着的增大而减小；-------------------6分 (3) 【详解】（1）解：∵，，过点B作底边的垂线， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∵ ∴； 当时，如图，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 综上：； ∵ ∴， ∴ （2）解：函数图象见答案；性质见答案； （3）解：由函数图象可得，时，．-------------------9分 27．(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长；-------------------3分 (2)； (3)； 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是-------------------6分 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即．-------------------9分 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $