26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象与性质 课时同步练习- 2026‑2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦二次函数y=ax²+k的图象与性质，分层设计从基础概念到综合应用，梯度清晰，通过选择、填空、解答题递进巩固知识，适配新授课"基础巩固+能力提升"需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对称轴、顶点坐标、象限判断|选择1-5直接考查核心概念，夯实基础认知| |中档|平移变换、增减性、开口大小比较|填空12结合平移规律，选择7-9强化性质应用| |提高|几何综合、存在性问题、函数与方程结合|解答25以等腰直角三角形为背景，解答21融合图形与函数关系，发展模型意识与创新思维|

第二十六章 二次函数 26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象与性质 1、 选择题 1．抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数y＝x2+4的图象不经过的象限为（　　） A．第三、第四象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第一、第四象限 4．抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．关于抛物线与的论述，不正确的是（    ） A．两条抛物线的顶点相同 B．两条抛物线的形状相同 C．两条抛物线与y轴的交点相同 D．两条抛物线的增减性相同 6．将二次函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5 7．点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 8．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 9.在函数①；②；③中，图象开口大小按题号顺序表示 为（      ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 10．已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 11．若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝2x2+m上，则y1，y2的大小关系为：y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 12．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为 ． 13．如图，两条抛物线，与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为　 　． 14．已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于________． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC与x轴重合，顶点 A、D在抛物线y＝﹣4x2+c上．若抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4，则c的值为 　 　． 16．如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时， ． 3、 解答题 17．二次函数y＝ax2+k（a≠0）的图象经过点A（1，﹣1），B（2，5）． （1）求该函数的解析式． （2）若点C（﹣2，m），D（n，7）也在函数的图象上，求m，n的值． 18．如图，抛物线yx2+3与x轴交于A，B两点，与直线yx+b相交于B，C两点，连接A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 19．已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）， （1）求抛物线的解析式． （2）当x为何值时，y随x的增大而增大． （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 20．已知抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于点（m，3）． （1）求m和n的值； （2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小； （4）函数y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1的图象是否还有其他交点？若有，请求出来；若没有，请说明理由． 21．抛物线y＝ax2﹣1交x轴于A，B（A左B右），交y轴于C，且AB＝4OC． （1）求a的值； （2）过抛物线上的点P（不与点B重合）作y轴的平行线交直线CB与点M，交x轴于点N，当PM＝2MN时，求点P的坐标． 22．如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 23．如图，抛物线yx2+3与x轴交于A，B两点，与直线yx+b相交于B，C两点，连接A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 24．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 25．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． （1）求a的值； （2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象与性质 1、 选择题 1．抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由解析式，直接代入对称轴公式“直线”，从而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，，， ∴对称轴为直线． ∴对称轴为y轴． 故选：A． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故选：A． 3．二次函数y＝x2+4的图象不经过的象限为（　　） A．第三、第四象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第一、第四象限 【分析】根据二次函数y＝x2+4的解析式，由于a＝1＞0，抛物线开口向上，且最小值为4，因此y始终为正，图象不经过y＜0的象限． 【解答】解：∵y＝x2+4，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵x2≥0， ∴y≥4， ∴函数值y始终为正数， ∴图象经过第一象限和第二象限，但不经过第三象限和第四象限． 故选：A． 4．抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断． 【详解】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C． 【点睛】应熟练掌握二次函数的图象与性质． 5．关于抛物线与的论述，不正确的是（    ） A．两条抛物线的顶点相同 B．两条抛物线的形状相同 C．两条抛物线与y轴的交点相同 D．两条抛物线的增减性相同 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的交点以及增减性，即可得出结论． 【详解】解：A. 两条抛物线的顶点相同，都是（0，2），不符合题意； B. ∵|3|=|-3|， ∴两条抛物线的形状相同，不符合题意； C. 两条抛物线与y轴的交点相同，都是（0，2），不符合题意； D. 抛物线，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大，抛物线，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，故选项D不正确, 符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用函数解析式确定顶点坐标，对称轴以及开口方向和与y轴的关系是解题的关键． 6．将二次函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5 【分析】根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式． 【解答】解：根据题意可得解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3﹣6＝x2﹣2x﹣8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 7．点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解： 中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 8．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 9.在函数①；②；③中，图象开口大小按题号顺序表示 为（      ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】由于抛物线的开口大小是由二次项系数的绝对值的大小确定，越大则开口越小．利用这个结论即可判断开口大小． 【详解】解：∵物线的开口大小是由二次项系数的绝对值的大小确定，越大则开口越小． ∴开口大小按题号顺序表示为②③①． 故选C. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小． 10．已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数和二次函数的性质即可判断． 【详解】解：当m＞0时，y＝mx的图象是经过原点和一三象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是y轴， 当m＜0时，y＝mx的图象是经过原点和二四象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴是y轴， 故选：D． 【点睛】主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 2、 填空题 11．若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝2x2+m上，则y1，y2的大小关系为：y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＜． 【分析】分别把A（﹣1，y1），B（2，y2）代入解析式求解． 【详解】解：把（﹣1，y1）代入y＝2x2+m得y1＝2+m， 把（2，y2）代入y＝2x2+m得y2＝8+m， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 12．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得的抛物线为， 整理得； 故答案为：． 13．如图，两条抛物线，与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为　 　． 【答案】8． 【分析】把阴影图形分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，过y2x2﹣1的顶点（0，﹣1）作平行于x轴的直线与y1x2+1围成的阴影， 同过点（0，﹣3）作平行于x轴的直线与y2x2﹣1围成的图形形状相同， 故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形， 因此矩形的面积为4×2＝8． 故填8． 【点睛】此题主要考查利用二次函数图象的特点与分割拼凑的方法求不规则图形的面积． 14．已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于________． 【答案】 【分析】代入解析式得，用含m的式子表示出，找到最大值即可． 【详解】解：把代入，则 ∴ ∵ ∴当时，有最大值，最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的最值，能用含m的式子表示是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC与x轴重合，顶点 A、D在抛物线y＝﹣4x2+c上．若抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4，则c的值为 　 　． 【答案】6． 【分析】由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标为（0，c），由四边形ABCD为正方形，抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4可得点D坐标，进而求解． 【详解】解：∵y＝﹣4x2+c， ∴抛物线顶点坐标为（0，c）， ∵抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4， ∴点A，D的纵坐标为c﹣4， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点D坐标为（，c﹣4）， 将（，c﹣4）代入y＝﹣4x2+c得c﹣4＝﹣4（）2+c， 解得c＝6或c＝2（舍）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握正方形的性质． 16．如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，最短路径问题，坐标两点的距离公式等知识，利用二次函数的性质将转化为求的长是解题关键． 连接，由抛物线的对称性可知，当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点的坐标，然后利用坐标两点的距离公式，求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， 抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长， ∵抛物线过点， ∴，解得：， 把代入，解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 17．二次函数y＝ax2+k（a≠0）的图象经过点A（1，﹣1），B（2，5）． （1）求该函数的解析式． （2）若点C（﹣2，m），D（n，7）也在函数的图象上，求m，n的值． 【答案】（1）y＝2x2﹣3；（2）m＝＝5；n． 【分析】（1）直接把两个已知点的坐标代入y＝ax2+k（a≠0）得到关于a、k的方程组，然后解关于a和k的方程组求出a和k的值即可． （2）把点C（﹣2，m），D（n，7）代入（1）中的解析式可求得结果． 【详解】解：（1）根据题意得， ， 解得， 所以二次函数解析式为y＝2x2﹣3； （2）∵点C（﹣2，m）在函数的图象上， ∴m＝2×（﹣2）2﹣3＝5； ∵点D（n，7）在函数的图象上， ∴7＝2n2﹣3 解得，n． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键． 18．如图，抛物线yx2+3与x轴交于A，B两点，与直线yx+b相交于B，C两点，连接A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）yx； （2）． 【分析】（1）利用抛物线解析式求出点B的坐标，然后代入直线解析式求出b的值，即可得解； （2）联立抛物线与直线解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）令y＝0，则x2+3＝0， 解得x＝±2， 所以，点B的坐标为（2，0）， 代入yx+b得，2+b＝0， 解得b， 所以，直线BC的解析式为yx； （2）联立， 解得，， 所以，点C的坐标为（﹣1，）， ∵AB＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4， ∴△ABC的面积4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟记性质并联立两函数解析式求出交点C的坐标是解题的关键． 19．已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）， （1）求抛物线的解析式． （2）当x为何值时，y随x的增大而增大． （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1）y＝﹣3（x﹣2）2． （2）x＜2； （3）（0，﹣12）． 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式． （2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值， ∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝a（1﹣2）2， ∴解得a＝﹣3， ∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2． （2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12， 所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 20．已知抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于点（m，3）． （1）求m和n的值； （2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小； （4）函数y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1的图象是否还有其他交点？若有，请求出来；若没有，请说明理由． 【答案】（1）m＝2，n＝﹣5． （2）顶点坐标为（0，﹣5），对称轴为y轴；； （3）x＜0． （4）（﹣1，﹣3）. 【分析】（1）先把（m，3）代入y＝2x﹣1可求出m，得到交点坐标为（2，3），然后把（2，3）代入y＝2x2+n可求出n的值； （2）、（3）由（1）得抛物线的解析式为y＝2x2﹣5，然后根据二次函数的性质求解； （4）把直线与抛物线的交点问题转化为方程组的解的问题解决：通过解方程组判断有没有其他交点． 【解答】解：（1）把（m，3）代入y＝2x﹣1得2m﹣1＝3，解得m＝2， 把（2，3）代入y＝2x2+n得2•4+n＝3，解得n＝﹣5； （2）抛物线的解析式为y＝2x2﹣5，它的顶点坐标为（0，﹣5），对称轴为y轴； （3）当x＜0时，二次函数y＝2x2﹣5中y随x的增大而减小； （4）有． 解方程组得或， 所以函数y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1的图象还有一个交点坐标为（﹣1，﹣3）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质. 21．抛物线y＝ax2﹣1交x轴于A，B（A左B右），交y轴于C，且AB＝4OC． （1）求a的值； （2）过抛物线上的点P（不与点B重合）作y轴的平行线交直线CB与点M，交x轴于点N，当PM＝2MN时，求点P的坐标． 【答案】（1）a； （2）（4，3）或（﹣4，3）． 【分析】（1）点C（0，﹣1），则OA＝OB＝2，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），即可求解； （2）PM＝2MN，即|x2﹣1x+1|＝2|x﹣1|，即可求解． 【详解】解：（1）点C（0，﹣1），则OA＝OB＝2， 故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0）， 点B的坐标代入函数表达式并解得：a； （2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：yx﹣1， 设点P（x，x2﹣1），点M（x，x﹣1）， PM＝2MN，即|x2﹣1x+1|＝2|x﹣1|， 解得：x＝2（舍去）或4或﹣4， 故点P的坐标为：（4，3）或（﹣4，3）． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． 22．如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)上；4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点和点， 令，则，即该抛物线经过点和， ∴此抛物线的大致图象如下图所示： （2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到． 故答案为：上，4． （3）解：∵抛物解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且时，函数有最小值，最小值为， 又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4， ∴当时，． 23．如图，抛物线yx2+3与x轴交于A，B两点，与直线yx+b相交于B，C两点，连接A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 【答案】(1)yx； (2)． 【分析】（1）利用抛物线解析式求出点B的坐标，然后代入直线解析式求出b的值，即可得解； （2）联立抛物线与直线解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）令y＝0，则x2+3＝0， 解得x＝±2， 所以，点B的坐标为（2，0）， 代入yx+b得，2+b＝0， 解得b， 所以，直线BC的解析式为yx； （2）联立， 解得，， 所以，点C的坐标为（﹣1，）， ∵AB＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4， ∴△ABC的面积4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟记性质并联立两函数解析式求出交点C的坐标是解题的关键． 24．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)0，1；y轴 (2)或 【分析】熟悉抛物线的图象和性质、等边三角形的性质，是正确解答本题的关键． （1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可； （2）设．根据轴于B，点，是等边三角形，得，求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标，即得． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 故答案为：0，1；y轴． （2）解：设． ∵轴，垂足为B， ∴． ∵点， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴ ， 解得，． ∴ ∴点P的坐标为或．    25．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． （1）求a的值； （2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1． （2）（2，1）． 【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式y＝x2﹣2ax+a2，令其x＝0找出点B的坐标，根据△AOB为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出△ABC为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出S△ABC的值． 【详解】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣a）2＝x2﹣2ax+a2， 令y＝x2﹣2ax+a2中x＝0，则y＝a2， ∴B（0，a2）． ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴a＝a2，解得：a＝1或a＝0（舍去）． 故a的值为1． （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，如图所示． ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°． ∵AD为抛物线的对称轴， ∴AB＝AC，∠CAD＝∠BAD＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形． ∵点B（0，1），抛物线对称轴为x＝1， ∴点C的坐标为（2，1）． S△ABCAB•AC1． 故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且S△ABC＝1． 【点睛】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $