30.3 正多边形与圆（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“正多边形与圆”核心内容，涵盖正多边形的认识、有关计算及作图，课堂导入衔接直线与圆位置关系，通过外接圆、中心角等概念搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合易错题、中考题及数学文化，以问题驱动和变式训练培养抽象能力、推理能力与应用意识。如刘徽割圆术问题提升数学眼光，正多边形与圆的综合计算强化逻辑思维，助力学生深化理解，教师可实现分层教学，提升教学效果。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第三十章　直线与圆的位置关系 30.3　正多边形与圆 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　认识正多边形 1. 易错题 下列叙述中，正确的是(　D　) A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 各角相等的多边形是正多边形 C. 所有正多边形都既是轴对称图形，又是中心对称 图形 D. 任何正多边形都有一个外接圆 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2. (2025·陕西中考)如图，将正五边形绕着它的中心 O旋转n°(0＜n＜360)后，能够与原来的图形完全重 合，则n的值可以是 (写出一个符 合题意的数即可). 第2题图 72(答案不唯一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点二　正多边形的有关计算 3. 如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相 等，相邻两齿间的圆心角α的度数为(　B　) A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 第3题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 4. 如图，在☉O中，点A，B，C在圆上，OA＝AB， OC⊥AB，则下列结论错误的是(　D　) A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C. ＝ D. ∠BAC＝30° 第4题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 5. 如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的 顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上.若AB＝2，则中 心P的纵坐标为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 等价设问 该正多边形的内切圆半径的长是 ⁠. 延伸设问 (2025·成都中考改编)连接CF，则对角线CF的长 为 ⁠. 　 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 6. (2025·宿迁中考)如图，正五边形ABCDE内接于 ☉O，连接AC，则∠ACD的度数为 ⁠°. 72　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. 如图，正方形ABCD的外接圆为☉O，点P在劣弧 CD上(不与点C重合). (1)求∠BPC的度数； 解：(1)如图，连接OB，OC. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC＝90°. ∴∠BPC＝∠BOC＝45°. 解：(1)如图，连接OB，OC. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC＝90°. ∴∠BPC＝∠BOC＝45°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. 如图，正方形ABCD的外接圆为☉O，点P在劣弧 CD上(不与点C重合). (2)若☉O的半径为8，求正方形ABCD的边长. 解：(2)依题意，在Rt△BOC中，OB ＝OC＝8，∠BOC＝90°， ∴BC＝＝8.故正方 形ABCD的边长为8. 解：(2)依题意，在Rt△BOC中， OB＝OC＝8，∠BOC＝90°， ∴BC＝＝8. 故正方形ABCD的边长为8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点三　与正多边形有关的作图 8. 已知☉O与☉O上的一点A. (1)求作：☉O的内接正六边形ABCDEF(要求：尺规 作图，不写作法，但保留作图痕迹)； 解：(1)如图，正六边形ABCDEF为所作. 解：(1)如图，正六边形ABCDEF为所作. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 8. 已知☉O与☉O上的一点A. (2)连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并 说明理由. 解：(2)四边形BCEF为矩形.理由如下：如图，连接BE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：(2)四边形BCEF为矩形.理由如 下：如图，连接BE. ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA. ∴＝＝＝＝＝. ∴＋＋＝＋＋. ∴＝.∴BE为直径.∴∠BFE ＝∠BCE＝90°. ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA. ∴＝＝＝＝＝. ∴＋＋＝＋＋. ∴＝.∴BE为直径.∴∠BFE＝∠BCE＝90°. 8. 已知☉O与☉O上的一点A. (2)连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并 说明理由. 同理可得∠FBC＝∠CEF＝90°. ∴四边形BCEF为矩形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 9. (2026·北京东城区期中)我们可以只用圆规将圆等 分，例如：将圆六等分，只需在☉O上任取点A，从 点A开始，以☉O的半径为半径，在☉O上依次截取 点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把 ☉O六等分.下列可以只用圆规将圆等分的是(　B　) ①两等分；②三等分；③四等分. A. ② B. ①② C. ①③ D. ①②③ B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 10. 数学文化 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆 术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创 了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在 学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆 内接正八边形.若☉O的半径为2，则这个圆内接正八 边形的面积为(　B　) A. 4 B. 8 C. 4π D. 8π 第10题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 11. 如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形， 设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为 S2，则＝ ⁠. 第11题图 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. 改编题 如图，☉O是正方形ABCD与正六边形 AEFCGH的外接圆. (1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比 为 ⁠. ∶1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. 改编题 如图，☉O是正方形ABCD与正六边形 AEFCGH的外接圆. (2)连接BE，BE是否为☉O的内接正n边形的一边？ 如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由. 解：BE是☉O的内接正n边形的一边. 如图，连接OA，OB，OE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：BE是☉O的内接正n边形的一边. 如图，连接OA，OB，OE. 在正方形ABCD中， ∠AOB＝90°， 在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°，∴∠BOE ＝30°. ∴n＝＝12. 在正方形ABCD中，∠AOB＝90°， 在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝30°. ∴n＝＝12. 12. 改编题 如图，☉O是正方形ABCD与正六边形 AEFCGH的外接圆. (2)连接BE，BE是否为☉O的内接正n边形的一边？ 如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13. 如图，P，Q分别是☉O的内接正五边形的边 AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝ ⁠°. 72　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 拓展设问 如图，M，N分别是正n边形ABCDE…的边AB， BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，则 ∠MON的度数是 (用含n的式子表示). 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 图形变式 如图，点O为正五边形的中心，☉O与正五边形的 每条边都相交，求∠1的度数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：连接OA，OB，OC，OD，OE， BC，如图所示. ∵正五边形的中心与☉O的圆心重合， ∴∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD ＝∠AOD＝＝72°. ∴∠ABC＝∠AOC＝×72°＝ 36°， ∠BOD＝∠BOE＋∠EOD＝72°＋ 72°＝144°. ∴∠BCD＝∠BOD＝×144°＝ 72°. ∴∠1＝∠ABC＋∠BCD＝36°＋72° ＝108°. 解：连接OA，OB，OC，OD，OE，BC，如图所示. ∵正五边形的中心与☉O的圆心重合， ∴∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD ＝∠AOD＝＝72°. ∴∠ABC＝∠AOC＝×72°＝36°， ∠BOD＝∠BOE＋∠EOD＝72°＋72°＝144°. ∴∠BCD＝∠BOD＝×144°＝72°. ∴∠1＝∠ABC＋∠BCD＝36°＋72°＝108°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 $