2.3.3点到直线的距离公式课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 2.3.3点到直线的距离公式 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线的距离公式解决有关距离问题. 逻辑推理 2.会用向量方法求点到直线的距离，简化运算. 数学抽象 复习回顾 两点间的距离公式： =. 注：① 原点 O (0，0) 与任一点 P (x，y) 间的距离：； ② 当直线 P1P2 垂直于 x 轴时：|| = ||； ③ 当直线 P1P2 垂直于 y 轴时：|| = ||. 前面我们学习了两点间距离公式，可以求任意两点距离。 思考：如果不是两点，而是**一个点和一条直线**，怎么衡量点到直线远近？ 回忆定义：点到直线的距离，是点到直线垂线段的长度。 举例子：点\(P(2,3)\)，直线\(l:x=1\)，距离很好算，是 1； 点\(P(2,3)\)，直线\(l:y=4\)，距离是 1。 提问：如果直线不是水平、竖直，比如直线\(l:3x+4y-5=0\)，点\(P(1,2)\)，怎么求距离？ 思路 1：求垂线、求垂足、两点距离。大家试算一下，计算繁琐。 有没有更简便的办法？今天学习**点到直线的距离公式**。 新课引入 前面我们学习了两点间距离公式，可以求任意两点距离。 思考：如果不是两点，而是一个点和一条直线，怎么衡量点到直线远近？ 点到直线的距离，是点到直线垂线段的长度 举例子：点P(2,3)，直线l:x=1，距离很好算，是 1； 点P(2,3)，直线l:y=4，距离是 1 提问：如果直线不是水平、竖直的。 比如直线l:3x+4y-5=0，点P(1,2)，怎么求距离？ 今天学习点到直线的距离公式 探索新知 思路： 探索新知     已知点 P (x0，y0)，直线 l：Ax + By + C = 0：     点 P (x0，y0)到直线 l ：Ax + By+ C= 0 的距离：   (当A = 0，或B = 0 时，仍成立) 思路简单，运算繁琐！ 探索新知 思考：反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？ 探索新知 设而不求： 探索新知 问题 2：结合以前所学的向量知识，说说能否用向量方法求点到直线的距离？ 思考：如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量 ？ 探索新知   向量法 探索新知   思考：除了坐标法和向量法，你还能用其他方法，求出点到直线的距离吗？ 探索新知 等面积法 x y O Q P l 求出点的坐标 求出点的坐标 求出 求出 利用勾股定理求出 等面积法求出 思考：除了坐标法和向量法，你还能用其他方法，求出点到直线的距离吗？ 探索新知 分子的式子是直线方程的一般式形式 分母的式子是直线方程的一般式的系数平方和，开根号 所以，点到直线的距离公式中直线要化成一般式方程 为点的 横纵坐标 探索新知 例1、求点 P (-1 , 2) 到直线 l : 的距离. d = 解： 将点 P 代入点到直线距离公式，得： 由题可得：A = 3 B = 0 C = -2. = = 探索新知 变式1、点到直线 的距离是_____. [解析] 根据点到直线的距离公式得所求距离 . 2、点到直线 的距离是___. [解析] 因为直线平行于轴，所以所求距离 . 探索新知 3、已知点P(2，-1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程. 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0， 由点到直线的距离公式得=2， 解得k=， 所以直线l的方程为3x-4y-10=0. 故直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. 探索新知 例2 (课本例6)、已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 解：如图，设边AB上的高为h，则S△ABC=|AB|h. |AB|==2. 边AB上的高h就是点C到直线AB的距离. 边AB所在直线l的方程为=即x+y-4=0. 点C(-1，0)到直线l：x+y-4=0的距离h==. 因此，S△ABC=×2×=5. 课堂小结 点到直线距离公式：   注意： ① 直线方程必须是一般式； ② 当点 P0 在直线上时，公式仍适用； ③ A = 0 或 B = 0 公式也成立. 课堂检测 B 课堂检测 2、已知直线，当变化时，点到直线 的距离的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知直线过定点，且不与 轴垂 直，则当直线经过点时，点 到直 线的距离取得最小值0. 当过点的直线垂直于 轴时，点到该直线的距离取得 最大值3，又直线不与 轴垂直，所以点到直线的距离小于3， 即点到直线 的距离的取值范围是 ，故选D. √ 课堂检测 课堂检测 课后作业 课本第77页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： $