2.3.4两条平行直线间的距离课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线及两平行直线间的距离公式，通过复习两点间距离和点到直线距离导入，将平行直线距离转化为点到直线距离，构建前后衔接的学习支架。 其亮点是以例题解析和分层练习为载体，通过具体问题抽象公式培养数学眼光，分类讨论与严谨推理发展数学思维，规范符号表达与模型应用强化数学语言，如例8证明公式、练习中方程转化。助力学生提升逻辑思维与应用能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

解： 作业解析 课本P76 解： 作业解析 2．求经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程。 作业解析 课本P76 解： 2.3.4 两条平行直线间的距离公式 人教A版（2019） 选择性必修第一册 1. 两点间的距离：平面上的两点P1 (x1，y1), P2(x2，y2)间的距离： 2. 点到直线的距离：点P (x0，y0)到直线l：Ax + By + C= 0的距离： 复习导入 5 两条平行直线间的距离：是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长 y x O l2 l1 Q P 两平行线间的距离处处相等 根据定义，两条平行直线间的距离就是一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。 由此可知，两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离. 新知探究 例7：已知两条平行直线 l1：2x − 7𝑦− 8 = 0， l2：6x − 21𝑦−1 = 0 ， 求 l1与 l2 间的距离.（提示：如何取点，可使计算简单？） 解：可取直线 l1与 x 轴的交点(4，0)， 根据点到直线的距离公式可得：点 (4，0)到直线 l2的距离为： d = = = ； ∴ l1与 l2 间的距离为 . 典例解析 课本P78 例8 求证：两条平行直线 与间的距离为 分析： 两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离. 证明： 在直线上任取一点， 点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离. 即 因为点在直线上， 所以 ，即 因此 典例解析 课本P78 两条平行直线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0间的距离公式： 注意：①直线方程要化成一般式； ②两直线方程中 x，y 的系数要相同． 概念生成 课本P78 1. 完成下列填空： （1）两平行线 2x + 3y – 8 = 0 和 2x + 3y + 18 = 0 的距离是______； （2）两平行线 3x + 4y = 10 和 6x + 8y = 0 的距离是______. 2 巩固练习 课本P79 注意：只有两直线方程中 x，y 的系数相同时才能使用公式. 3. 已知直线 l1：x − 2y + 1 = 0 与直线l2：x − 2y + 4 = 0 ，在 l1上任意取一点 A,在 l2上任意取一点 B,连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点 C 作l1的平行线 l3.求l1与l3的距离. 巩固练习 课本P79 解： l1 l2 l3 = 2. 已知两条平行直线 l1：6x − 8y + 12 = 0 与 l2：3x − 4y + C = 0 间 的距离为 3，求 C 的值. 解：根据距离公式应用条件，先将直线 l1：6x − 8y + 12 = 0 化为： 3x − 4y + 6 = 0，由于两条直线间的距离为3，所以代入公式得 ，解得 C = − 9 或 21. 巩固练习 课本P79 练习：求与直线 l：5x − 12y + 6 = 0 平行，且到 l 的距离为 2 的直线方程． 解：依题意，可设所求直线为 l1：5x − 12y + C = 0， 已知 l1 到 l 的距离为 2，根据两平行线间的距离公式可得： ，解得 C = − 20 或 32； 综上可得，所求直线为 l1：5x − 12y − 20 = 0 或 5x − 12y + 32 = 0 . 巩固练习 两平行线间的距离公式： 直线l1：Ax＋By＋C1=0 与l2：Ax＋By＋C2=0的距离公式： 课堂小结 布置作业 1.对照课件订正昨日作业 2.新课程2.3.3、2.3.4 3.习题2.3 第7题，第8题 解： 作业解析 课本P79 解： 2x－y＋1＝0 作业解析 新课程P58 解析： 作业解析 新课程P58 作业解析 新课程P58 －1 作业解析 新课程P58 解析： 探究三　距离公式的简单综合 [例3] 已知两平行直线l1，l2分别过点A(1，0)，B(0，5). (1)若l1，l2之间的距离为5，求两直线方程； 作业解析 新课程P58 探究三　距离公式的简单综合 [例3] 已知两平行直线l1，l2分别过点A(1，0)，B(0，5). (1)若l1，l2之间的距离为5，求两直线方程； 作业解析 新课程P58 探究三　距离公式的简单综合 [例3] 已知两平行直线l1，l2分别过点A(1，0)，B(0，5). (2)若l1，l2之间的距离为d，求d的取值范围． 作业解析 新课程P58 解： 作业解析 新课程P58 解： 特别提醒：利用距离公式时，要先将直线方程化为一般式；同时注意直线方程的特殊形式． 作业解析 新课程P58 当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0. 原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝－， 直线l的方程为7x＋24y－75＝0. 综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 探究二　两平行线间的距离公式及其应用 [例2] (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为 ． (2)已知直线l到两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程为 ． (1)由题意，得＝.解得m＝2. 将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0， 由两平行线间的距离公式，得＝＝. (2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0. 由题意，得＝.解得c＝1. 所以直线l的方程为2x－y＋1＝0. 拓展·提升 求两平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法：将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两平行直线间的距离公式d＝时，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 因为直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行， 所以a2－(a＋2)＝0.解得a＝2或a＝－1. 经检验，当a＝2时，两直线重合， 所以a＝－1，故l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋1＝0. 所以l1与l2间的距离为＝. [练2] (2025·天津和平区高二月考)若直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x ＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为 ；l1与l2间的距离为 ． (1)当l1，l2的斜率都不存在时，易知l1：x＝1，l2：x＝0，l1，l2之间的距离为1，不合题意． 当l1，l2的斜率存在时，设斜率为k， 则l1：y＝k(x－1)，l2：y－5＝kx， 化为一般式，得l1：kx－y－k＝0，l2：kx－y＋5＝0. 由l1，l2间的距离为5，可得＝5.解得k＝0或k＝. 当k＝0时，l1：y＝0，l2：y＝5； 当k＝时，l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. 故两直线方程为l1：y＝0，l2：y＝5或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. (2)如图，当l1，l2旋转到和AB垂直时，l1，l2之间的距离d最大，dmax＝＝. 当l1，l2旋转到和AB重合时，距离为0. 又两平行直线l1，l2不重合，故d∈(0，]. |AC|＝＝， 直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. 因为点B(m，)到直线AC的距离d＝， 所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝|(－)2－|. 因为1＜m＜4，所以1＜＜2， 所以0＜|(－)2－|≤.所以0＜S≤. 所以当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大． [练3] 已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，1<m<4，C(4，2).当m为何值时，△ABC的面积S最大？ $