30.3.1正多边形与圆课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

（人教版）九年级上 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 课时1 2 学习目标 1.经历从生活图形抽象正多边形、从等分圆生成正多边形的探究过程，提升图形观察、归纳概括能力. （1）核心概念：三角形的内切圆、内心（角平分线交点）、切点、内切圆半径； （2）核心性质： 内心到三边距离相等， 内切圆半径r； （3）尺规作图： 角平分线交点定圆心，垂直定半径； （4）必会应用：内切圆作图、半径与面积、周长计算、简单证明. 知识与技能 O B A C D r 复习导入 问题1：我们知道，三角形有外接圆和内切圆. 多边形是否有外接圆和内切圆呢？ 对于一般的多边形，容易知道，不一定有圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切. 问题2：对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢？ 思考：什么样的多边形叫作正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 注意：两个条件缺一不可. 如菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以不能说它们一定是正多边形. 新知探究 探究点1 正多边形的严格定义 议一议 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案(如图）. 定义：各边相等，并且各内角也相等的多边形叫做正多边形. 你还能举出一些这样的例子吗? 正多边形定义 新知探究 探究点1 正多边形的严格定义 议一议 图形 名称 边的关系 角的关系 …… …… …… …… 四条边相等 三个角相等（60°） 三条边相等 四个角相等（90°） 六条边相等 五个角相等（108°） 五条边相等 六个角相等（120°） 等边三角形 正方形 正五边形 正六边形 常见正多边形 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案（如图）. 你还能举出一些这样的例子吗？ 正多边形和圆的关系非常密切. 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形. 这个圆就是这个正多边形的外接圆； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形. 这个圆就是这个正多边形的内切圆. 菱形 矩形 正方形 新知探究 探究点1 正多边形的严格定义 议一议 各边相等， 但内角不都相等， 不是正多边形 说一说下列多边形是不是正多边形？ 各角相等， 但边长不都相等， 不是正多边形 四边相等、四角相等， 是正多边形 正多边形必须同时满足等边、等角两个条件，缺一不可. 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 正多边形和圆的关系非常密切. 如图中的多边形是⊙O的内接正九边形. 讨论 （2）把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形是正多边形吗？ （1）把一个圆平均分成九份相等的弧，以各分点为顶点的多边形是正多边形吗？ 根据圆中相等弧对的弦等，对的圆周角相等可得： 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆; 下面以圆的内接正五边形为例进行证明. 如图，把  分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE. 3 同理 . 又 五边形 ABCDE 的顶点都在  上 ∴ 五边形 ABCDE 是 的内接正五边形，是正五边形 ABCDE 的外接圆. 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心， 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距（如图 ）. 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 画一画 将圆周五等分、六等分，依次连接分点，得到圆内接正五边形、正六边形. 72° O A B C D E F 60° 各边相等 各内角相等 弦相等 圆周角相等 圆上弧相等 多边形是正多边形 O 多边形是正五边形 多边形是正六边形 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 结 小 纳 归 （1）把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，可以得到这个圆的内接正n边形； （2）任意一个正多边形都有唯一的外接圆，正多边形的顶点都在圆上. 是正n边形. 将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到的多边形叫什么？ 边心距 O · 弦心距 边心距 弦心距 区别 边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离. 弦心距是圆心到圆中某一条弦的距离. 联系 边心距也可以看作正多边形的外接圆的圆心到正多边形的边 (即外接圆的弦) 的距离，即边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 辨析 边心距与弦心距的区别与联系 跟踪训练 如图所示，△AOB 是正三角形，以点 O 为圆心，OA 为半径作 ，直径 FC // AB，AO，BO 的延长线交  于点 D，E. 求证：六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形. 证明：∵ △AOB 是正三角形， ∴ ，OB = OA， ∴ 点 B 在  上. ∵ FC // AB，∴ ∠FOA=∠OAB=60°，∠BOC=∠OBA=60°， ∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°， ∴ ， ∴ 六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形. 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 画一画 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 如图，A、B、C、D、E中是⊙O的五等分点 O A B C D E 经过各分点作圆的切线， 相邻切线相交于点F、G、H、I、J 多边形FGHI就是这个圆的外切正五边形 F G H I J 这个圆就是这个正五边形的内切圆. 圆的外切正多边形 圆的外切正六边形 新知探究 探究点2 正多边形与圆的关系 议一议 以圆的内接正五边形为例进行证明. 证明：∵ A、B、C、D、E中是⊙O的五等分点 ∴∠A =∠B 同理 ∠B =∠C =∠D =∠E. 又五边形 ABCDE 的顶点都在⊙O 上， ∴五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，⊙O 是五边形 ABCDE 的外接圆. O A B C D E ∴. ∴AB=BC=CD=DE=EA. . 求证：把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，可以得到这个圆的内接正n边形； 已知：如图，A、B、C、D、E中是⊙O的五等分点，顺次连结分点得五边形ABCDE 求证：五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形 规范书写 思考：正 n 边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 正 n 边形的一个内角的度数是 一个外角的度数是 一个中心角的度数是 ， 正多边形中心角与外角相等. · 教材延伸 正多边形的对称性 1. 正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心； 当 n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 2. 正 n 边形是旋转对称图形，最小旋转角为  . · 新知探究 归一归 O B C E F A D 探究点3 正多边形五大核心元素与计算模型 正多边形的外接圆的圆心，叫作正多边形的 ； 中心 正多边形外接圆的半径叫作正多边形的 ； 半径 正多边形每一条边所对的圆心角，叫作正多边形的 ； 中心角 正多边形中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的 ； 边心距 正多边形的每一边的长叫做正多边形 . 边长 正多边形五大核心元素： 中心角 半径R 边心距r 边长 正n边形的一个内角的度数是____________； 中心角是___________； 正多边形的中心角与外角的大小关系是________； 正多边形的中心角与内角的大小关系是________. 相等 互补 （1）正多边形的特征： 议一议 探究点3 正多边形五大核心元素与计算模型 O . R r a （2）核心计算模型： 过中心作边的垂线（边心距），由垂径定理可得： 半径、边心距、半边长，构成全等的直角三角形. 满足勾股定理： =+（ 斜边 = 正多边形半径R 一条直角边 = 边心距r 一条直角边 = a（半边长） 在Rt△中 新知探究 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一座八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形（如图）.求塔基的面积（结果保留小数点后一位）. 例1 · A B F E O G H C D P 先求出一个三角形的面积. 跟踪训练1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC，求 △ABC 的中心角、半径、边心距、面积. 解：如图所示，过点A作 AD⊥BC 于点D，过点B作 BE⊥AC 于点E，AD，BE 交于点O，连接CO. 由题意得 BD=CD=2，AE=EC=2， 即 AD 垂直平分 BC，BE 垂直平分 AC， ∴ CO=BO，AO=CO，即 AO=CO=BO， ∴ O为等边三角形ABC的中心. ∴ ∠BOC=2∠BAC，， ∴ △ABC 的中心角 ∠BOC. ∵ OB=OC，∴ ∠OBC=∠OCB. 跟踪训练1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC，求 △ABC 的中心角、半径、边心距、面积. 设 OD=x，则 BO=2x. 在 Rt  中，根据勾股定理,得 ， ∴ 等边三角形  的边心距为 ，半径为 . ∴ 边长为 a 的正三角形的面积是 . 新知探究 探究点3 正多边形五大核心元素与计算模型 议一议 外接圆的圆心 外接圆的半径 正多边形的每一条边所对的圆心角 弦心距 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形的边心距 O 圆心 半径 圆心角 弦心距 弦 O 中心 半径 边心距 中心角 类比学习 圆内接正多边形 归一归 （1）证明一个多边形是正多边形的方法： 1.证明多边形的各角都相等，各边都相等. 2.证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等. 探究点3 正多边形五大核心元素与计算模型 添加辅助线的方法： （1）连半径，得中心角； （2）作边心距，构造直角三角形 （2）与正多边形有关计算的方法： O . R r a 新知探究 特殊正多边形的有关结论 1.正六边形的边长等于其外接圆的半径； 2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍； 3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍. 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 30 正多边形与圆 正多边形与圆的关系 正多边形的有关概念 正多边形的性质 正多边形的外接圆和内切圆 各边相等，各角相等. 所有的正多边形都是轴对称图形 若有偶数条边，还是中心对称图形 正n边形的有关计算 中心 半径 中心角 边心距 内角 中心角、外角 半径（）、边长（）、边心距（）之间的关系 周长 面积 谢谢大家聆听 $