第30章 30.3 正多边形与圆-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“正多边形与圆”核心内容，涵盖概念、计算及画法，课堂可结合正六边形螺母等生活实例导入，衔接圆的切线、圆周角等前序知识，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 其亮点是分层设计练习，通过正五边形角度计算培养推理能力，苯分子结构跨学科题发展数学眼光，路由器覆盖问题强化数学语言表达，助力学生提升解题与探究能力，为教师提供多样化教学资源。

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第三十章 直线与圆的位置关系 4 30.3 正多边形与圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正多边形的有关概念及计算 1.对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三 角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是 正多边形.正确的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆 内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确.共有2个正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 关键点拨 解决本题的关键是要掌握正多边形的概念，各边相等且各角也相等的多边形是正 多边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第2题图） 2.【2026山东临沂质检】如图，已知五边形 为正五边形， 以点为圆心，以的长为半径画弧，分别交， 的延长线 于点，.连接，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，连接，，. 五边形 为正五边形， ， ， ，同理可得 ， ， ， 故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第3题图） 3.【2025吉林四平期中】如图，是正五边形 的内切圆， 分别切，于点，，是优弧上的一点，则 的 度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，连接，.是正五边形 的内切圆， 分别切，于点，，.五边形 是正五边形， ， ， . 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （第4题图） 4.【2026河北保定期中】如图，，，， 均为圆周上的十二 等分点，若用直尺测量弦的长时，发现点、 点分别与刻度 1和4对齐，则， 两点的距离是( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】如图，设点为圆心，连接，，， ，由圆的 对称性可知，是的直径，点在上.点，，， 是圆周上的十二等分点， ， ， ，.是 的直径， .在中， ， ， ，， ．故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 （第5题图） 5.【2026江苏连云港质检】如图， 的内接正十二边形的面积为 ，的面积为，若的半径为1，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】的半径为1，的面积 .如图，设是 内 接正十二边形的一条边，连接，， .的内接正十 二边形的中心角为 ， .过点作 于点 ，， ， ．故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 关键点拨 正边形的中心角为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （第6题图） 6.【2026江苏宿迁期中】如图，，分别为 的内接正三角 形与内接正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则 的值 为____. 12 【解析】连接，，，如图.，分别为 的内接正 四边形与内接正三角形的一边， ， ， ， ，即 是圆内接正十二边形的一边.故答案为12. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 知识点2 正多边形的画法 7.【2026北京东城区期中】我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只 需在上任取点，从点开始，以的半径为半径，在上依次截取点 ， ，，，，从而点，，，，，把 六等分.下列可以只用圆规将圆 （已知圆心）等分的是( ) ①二等分；②三等分；③四等分. D A.② B.①② C.①③ D.①②③ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 【解析】 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点得到二等分点和三 等分点，可以.将半径为的六等分，依次得到，，，，， 六 个等分点；分别以点，为圆心，长为半径画弧， 是两弧的一个交点；以点 为圆心，长为半径作弧，交于点，，如图，，，， 就是圆的四 等分点， 也可以.故选D． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （第8题图） 8.【2025湖北荆门质检】如图，在中， 为直径， ，圆内接正五边形 的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径的中点 . ②以点为圆心，长为半径作圆弧，交直径于点 . ③长即为正五边形的边长，在 上依次作出各等分点 ，，， . 已知的半径，则 __________. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 【解析】连接.为中点，.在 中，由勾 股定理，得. ， .在 中，由勾股定理得， .， . 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 提升 1. 跨学科综合 【2026广西南宁校级期中，中】苯（分子式为 ）的环状 结构是由德国化学家凯库勒提出的.如图（1），一个苯分子中的6个碳原子形成了 正六边形的结构，其示意图如图（2），点为正六边形对角线 的中点， 连接，若，则 的长是( ) B 图（1） 图（2） A.2 B.1 C.3 D.4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】由题意可得.点为正六边形 对角线 的中点，即正六边形的中心，，且平分 ， ，是等边三角形， ．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （第2题图） 2. 【2026浙江杭州期中，中】如图，已知点， ， ，是的八等分点，若的周长为 ，四边形 的周长为 ，则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D.， 大小无法比较 【解析】如图，连接，. 点，， ，是 的八 等分点，， ， . ， ，， ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （第3题图） 3.【2026江苏南京质检，中】如图，在正五边形 中，经过 ，两点的与，分别相切于点，，则弧 的度数为 __________. 或 【解析】如图，连接，.与正五边形的边 ， 相切于点，，， ， ， ， ， 劣弧 的度数为 ，优弧的度数为 ，故答案为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4.【2025江苏泰州期末，中】如图，四边形是 的内接四边形， 是的内接正边形的一边，是的内接正 边形的一边 （，都是大于2的整数），，则 ________. 48或36 【解析】连接，，，如图. ， .由题意得 ， ， ， ，，中必有一个是3的倍数，且， 均为大于2的整数.设 （为正整数），则，.当时， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （不符合题意，舍去）；当时，，，则 ；当 时，（不符合题意，舍去）；当时，， ， 则；当时，（不符合题意，舍去）；当 时，（不符合题意，舍去）；当时， 均不为大于2的整数，不 符合题意，舍去.综上， 的值为48或36.故答案为48或36. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 连接，，，利用圆周角定理得出 ，分别计算 的内接正 边形与内接正边形的中心角得到 ， ，根据 ，得到，可知， 中必有一个是 3的倍数，设（为正整数），得出，将 的值依次代入计算，并验 证即可． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 5.［中］如图，在正六边形中，，点在边 上，且 .若经过点的直线将正六边形的面积平分，求直线 被正六边 形所截的线段长. 【解】如图，设正六边形的中心为，过点，作直线交 于点，则直线将正六边形的面积平分，直线 被正六边形所截的线段是 ，连接，，过点作于点.六边形 是正六 边形，，中心为， ， ，. ， 是等边三角形， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 ， . ， ， ， ， ， ， ， ， ，即直线被正六边形所截的线段长是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 经过正六边形 中心的直线可以将正六边形的面积平分，画出图形，利用 正多边形的性质和勾股定理求解即可． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力 【2026江苏南京期中，较难】某型号路由器的信号覆盖范 围是半径为 的圆形区域.现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆 盖场地的每个区域. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 图（1） （1）如图（1），在点 处布置一台路由器，则正方形场地边长的最 大值是______ ； 图（1） 【解析】如图（1），根据题意可知正方形场地边长最大时，该正方形 为内接正方形，则 为等腰直角三角形， ．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）如图（2），在点，处各布置一台路由器，且 ,请画出最大正方 形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长； 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 图（2） 【解】如图（2），正方形即为所求，点为 中点，正方形 的顶点，在上，，在上，点为对角线和 的交点，直线交正方形于，，连接 . 设正方形场地的边长，易知和 为等腰直角三角形，则 ．在 中， ， ，由勾股定理可得 ，，解得 （负值已舍去），则 ．故最大正方形场地的边长为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____________ . 图（3） 【解析】为使正方形场地边长最大，三个路由器，， 按照 等边三角形的形状布置（即，， 位于等边三角形的顶点 处），则 ，如图（3）所示，三个圆的交 点分别为，，，，，，连接，， ，则可知 ，，分别过点，， ，则 ， 为等边三角形．连 接并延长交于点，分别连接，并延长交，于点、点 ，连 接， 三个圆围成的区域关于直线对称，， 是 的直径， ．同理得 ， 四边形 为正方 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 形， 正方形 即为最大的正方形场地．根据等边三角形的性质，易得 ，， 易得 ．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $