专题19 旋转相关拓展提升题（5种类型40道）2026-2027学年人教版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（重庆专用）

专题19旋转相关拓展提升题 (5种类型40道) 专题目录 【类型1旋转相关最值问题】 【类型2旋转含辅助线几何求解】 11 【类型3旋转与函数图像综合】 -24 【类型4旋转相关综合性问题】 34 【类型5旋转相关动点问题】- 54 【类型1旋转相关最值问题】 1.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E在BC上，且CE=2BE,点F是矩形ABCD所在平面内 任意一点，且EF=4,连结AF,，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP,连结PE.则线段PE的最 小值为() B 234+2 B.210+4 C.8 D.2w34-4 【答案】D 【分析】连接AE,过点A作AG⊥AE,截取AG=AE,连接PG,GE,通过SAS证明△AEF≌aAGP,得 PG=EF=4,再利用勾股定理求出GE的长.最后在△GPE中，利用三边关系即可得出答案. 【详解】解：如图，连接AE,过点A作AG⊥AE,截取AG=AE,连接PG,GE, E :将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP, 第1页共73页 .AF=AP,∠PAF=90°， 、.∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°， ∴∠FAE=∠PAG. 又：AG=AE, :△AEF≌AGP(SAS)), ∴.PG=EF=4. ..BC=6,CE=2BE, .BE=2 ∴在Rt△MBE中，AE=VAB+BE2=2I7 ,AG=AE,∠GAE=90°， GE=√2AE=2V34 :PE≥GE-PG,且当点G,P,E三点共线时取等号， ∴.PE的最小值为GE-PG=2V34-4. 2.已知正方形ABCD边长为8，P在边AD上运动，连接BP,将线段BP绕着点B逆时针旋转45°，到线 段BE,连接AE,线段AE的最小值为() F A.4 8.84v2 C.44V2 0.42 【答案】B 【分析】将线段BA绕着点B逆时针旋转45°，到线段BH,连接HE,过点A作AT⊥BH于点T,证明 △BAP≌△BHE,得到∠BHE=∠BAP=9O°，则点E在射线HE上运动，故当AE⊥EH时，AE有最小值， 可证明四边形AEHT是矩形，得到AE=HT；证明△ABT是等腰直角三角形，得到AT=BT,利用勾股定 BT=4V2 8-4v2 理推出 据此可得4B的最小值为8 【详解】解：如图所示，将线段BA绕着点B逆时针旋转45°，到线段BH,连接HE,过点A作AT⊥BH 第2页共73页 于点T, E P D e- B C 由正方形的性质可得∠BAD=90°， 由旋转的性质可得BH=BA,BE=BP,∠ABH=45°=∠PBE, ∴.∠ABP=∠HBE=45°-∠ABE △BAP≌ABHE(SAS) .∠BHE=∠BAP=90°，即HE⊥BH, 点H为定点， ∴点E在射线HE上运动， ∴.当AE⊥EH时，AE有最小值， 又，AT⊥BH, ∴此时有∠ATH=∠ATB=∠H=∠AEH=90°， ∴.四边形AEHT是矩形， .AE=HT: 在Rt△ABT中，∠ABT=45°， .△ABT是等腰直角三角形， ∴.AT=BT, AB=VAT2+BT2=2BT=8 BT=4V2 :HT-BH-BT-8-4 :E=8-4v2 即柜的最小值为8-5 3.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△AB'C,点M是BC的 第3页共73页 中点，点P是A'B的中点，连接PM.若BC=4,AC=6,则线段PM长度的最小值是() P C M B B.3-2 c.i+2 【答案】B 【分析】旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线以及三角形三边关系，确定线段PM取最小值 时的情形，即可求得线段PM长度的最小值. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,AC=6, .4B=VAC2+BC2=6+4=213 ~△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△AB'C, ·△ABC2△AB'C, AB'=AB=2N13∠ACB'=90° “点P是AB的中点， CP3 点M是BC的中点，BC=4, “CM=2, 在△PCM中，PM>PC+CM, 当P,C,M三点共线时，点M在线段CP上，即M在C,P中间时，线段PM有最小值， PMmnin =CP-CM=13-2 4.如图，等边三角形ABC,AB=4,D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM,将线段CM绕点C 逆时针方向旋转60°得到CV,连接ND,则ND+CN的最小值为() 第4页共73页 D A.3 8.25 c35 D.6 【答案】B 【分析】先根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，再利用将军饮马模型计算即可. 【详解】解：如图，在△ABC外部作等边三角形PCD,当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与 D重合时，点N与点P重合， ∴点N在线段BP上运动， :aPDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点， .BD=DC=PD=PC,∠BCP=6O°， .∠CBP=30°，∠BPC=90°. 如图：作点D关于直线BP的对称点E,连接CE,BE,NE,CE与BP的交点就是DN+CN最小的位置， 且最小值为EC,连接BE,ED, B ·∠CBP=∠EBP=30°aBDE是等边三角形，∠CBE=60°， .BD=DC=DE. .∠BEC=90°，∠BCE=30° BC=4, :.BE-BD-BC-2.CE-BC-BE2 .DN+CN 23 最小值为 第5页共73页 5.如图，平面直角坐标系中，已知 (4,0),B(0,),C(4,2),线段01上有一点E,连BE,且绕点8逆 时针旋转9O°得BF,则CF的最小值和最大值() B A A.9,18 B.9,10 C.3,32 0.3,0 【答案】C 【分析】过点F作y轴的垂线，根据全等三角形的判定与性质，得出点F在直线x=1上，据此求出CF的 最大值及最小值即可 【详解】解：过点F作y轴的垂线，垂足为M, M B x=1 E A 由旋转可知， BF=BE,∠EBF=90° 所以∠MBF+∠BFM=∠MBF+∠EBO=90°， 所以∠BFM=∠EBO 在△BFM和△EBO中， ∠BMF=∠EOB ∠BFM=∠EBO BF=BE BFM≌△EBO(AAS) 所以 所以MF=BO=1, 所以点F在直线x=1上. 第6页共73页 当CF与直线x=1垂直时，CF取得最小值， 因为点C坐标为(4,2) 所以CF的最小值为4-1=3. 当点E在点O处时， 点F坐标为(L,) 则CF=V4-y+2-)=0 当点E在点A处时， 点F坐标为(，5)， 则CF=V4-}+(2-列-32 √2>V10 因为 所以C v2 的最大值为 显然只有C选项符合题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的大小比较等 知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键 6.如图，在等边△ABC中，AB=4,点D是BC边上一动点，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转60°得 到AE,点F是AC边的中点，连接CE、EF,则EF的最小值是() A.1 D.2 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理.根据等边三 第7页共73页 角形和旋转的性质，证 △MBD2△1CE(SMS）,得到∠4CE=∠B=60°，即点E在以点C为顶点，且与1C 夹角为60°的直线上运动，过点F作FG⊥CE于点G,当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG的 长，然后结合勾股定理求解即可 【详解】解：aABC是等边三角形， .AB=AC=4,∠B=∠BAC=60°， 由旋转的性质可知，AD=AE,∠DAE=60°， .·∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD=∠DAE-∠CAD=∠CAE. .∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴.∠ACE=∠B=60°， 即点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动， 如图，过点F作FG⊥CE于点G, 当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG的长， :点F是AC边的中点， .CF=2, 在RIACGF中，∠ACE=60°， ∴.∠CFG=30° ∴.CG=C℉=1 2 .FG=CF2-CG2=3 即E 的最小值是V5 故选：C Rt△AB 7.如图，在 C中，∠4CB=90°，∠B=30°，4C=65,P是BC边上一动点，连接4P,把线段 第8页共73页 AP A 60° Co 绕点”逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为() B A.3 B.6 C.9 0.35 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等 在AB上取一点E,使 E=AC=6V3 ,连接PE,过点作EF1BC于？由旋转的性质得出 A9=AP,∠PAQ=60° 证明 CAO≌△EAP(SAS) 由全等三角形的性质得出CQ=B ,则当EF1BC (点P和点F重合)时，EP最小，然后由含3O°角的直角三角形的性质求解即可， 【详解】解：如图：在46上取一点8，使低=1C=65,连接PE,过点E作F1BC干R E B P 由旋转知，AQ=AP,∠PAQ=60°， :∠ABC=30°」 ∴.∠EAC=60°， ·.∠PAQ=∠EAC .∠EAP=LCAg 又：AE=AC,AP=AQ, ,△CAQ≌aEAP(SAS) ..CO=EP 第9页共73页 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，即点P与点F重合，CO最小，最小值为EF, 在R△4BC中，∠ACB=90°∠B=30°AC=6N5 中， :B=125 :1E=AC=6N5 BE=AB-AE=6√3 在Rt△BFE中，∠B=30°， :EF=)BE=35 2 CO 故线段 长度的最小值是35 故选：D 8.如图，边长为8的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段BM绕 点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN,则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是() M A.4 B.2 C.1 D.3 【答案】B 【分析】取BC的中点M,连接MG,根据等边三角形的性质和旋转可以证明△MBG≌△NBH,可得 MG=H,根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，进而根据30度角所对直角边等于 斜边的一半即可求得线段HN长度的最小值， 【详解】解：如图， 第10页共73页 取BC的中点M,连接MG, ~线段BM绕点B逆时针旋转6O°得到BN, ∴.∠MBH+∠HBN=60° 又：△ABC是等边三角形， .∠ABC=60° 即∠MBH+∠MBC=60°， ∴.∠HBN=∠GBM, CH是等边三角形ABC的高， :.BH=AB ∴.BH=BG 又：BM旋转到BN, ..BM BN, .∴△MBG≌△NBH(SAS) .MG=NH, 根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短， 此时∠BCH=2×60°=30°， CG=二BC=-×8=4 2 2 :.MG-1CG-2 2 .HN=2 ∴线段HN长度的最小值是2. 故选B. 第11页共73页 【类型2旋转含辅助线几何求解】 9.如图，正方形ABCD中，AD=2,点E是CD的中点，连接AE,将AE绕点E的逆时针旋转90°得到 线段FE,连接BF并延长交DC延长线于点G,连接DF,则DF长为() D B A.3 B.3.5 C./10 【答案】C 【分析】过点F作FH1CD交DC的延长线于点H,证明 ADE≌AEHF(AAS) 得到 EH=AD=2,FH=DE=1,DH=DE+EH=3 DF=10 则 根据勾股定理即可求出 【详解】解：过点F作FH⊥CD交DC的延长线于点H, D E B ,四边形ABCD是正方形，AD=2, .∠D=90°，CD=AD=2, ,点E是CD的中点， ∴.DE=1 ,将AE绕点E的逆时针旋转9O°得到线段FE, .AE=EF,∠AEF=90° ∴.∠AED+∠FEH=90°， :∠DAE+∠AED=90°， .∠DAE=∠FEH, 在△ADE和△EHF中， 第12页共73页 ∠D=∠EHF=90° ∠DAE=∠FEH AE=EF △ADE≌AEHF(AAS) .EH=AD=2,FH=DE=1 .DH=DE+EH=3, DF-VDI+F0 10.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE,DE,若AD=5,AE⊥BE, ∠ADE+∠ABE=45°，则△CDE的面积为() D 、E 15 A.2 B.52 C.8 D.35 【答案】A 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转9O°得到△AGD,连接GE,证明△AGE和△GED都是等腰直角三角形， 求得BE=2AB AE=5 BE=25 利用勾股定理求得 5,过点E作4B的垂线分别交AB和CD于点M和 N,利用等积法求得EM=2,据此计算即可求解。 【详解】解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△AGD,连接GE, G D E ∴，AG=AE,DG=BE,∠GAE=90°，∠AGD=∠AEB=90°，∠ADG=∠ABE, 第13页共73页 :∠MBG=∠AGE=45°.∠DGE=90°-∠AGE=45°GB=V2AB .∠ADE+∠ABE=45°， :∠ADE+∠ADG=45°，即∠GDE=45°， .∠GED=90°， ∴△GED是等腰直角三角形， ∴.GD=V2GE=2AE, .'BE =2AE, AD=5,AE2+BE2 AB2. 4E+(2AEy=52 解得征=V5.BE=26 过点E作AB的垂线分别交AB和CD于点M和N,则四边形AMND是矩形， .'MN =AD=5, SAAWE= AE×BE=)AB×EM. EM=5x2V5 5 =2 .EN=5-2=3, 六△CDE的面积为×CDxEN=-)x5x3= 1 2 2· 1,如图，在正方形4BCD中，MB=25.E为4B中点，连接CE,F为C5上一点，连接4F,把线段 第14页共73页 CF AF绕着点F顺时针旋转90°后得到线段GF,连接DG和CG,若CG=√26，则AE的值为() 2 5 35 A B.2 c.5 D.10 【答案】C 【分析】连接AC,AG,BF,过点B作BT⊥CE于点T,先证明△CAG∽△BAF求出BF,再证明 CF △BET∽△CEB,然后用勾股定理求解TF,即可求解CF,即可求解AE, 【详解】解：连接AC,AG,BF,过点B作BT⊥CE于点T, D G ,正方形ABCD, 、BA=BC,∠ABC=∠BAD=90° ∠BAC=45° .cos∠BAC= AB√2 AC2 由旋转可得， FA=FG,∠AFG=90° ∴△AFG为等腰直角三角形，∠FAG=45°， cos∠FAG=F-V2 AG 2 AB FA ·ACAG: ∠FAG=∠BAC, .∠CAG=∠BAF, ∴.△CAG∽△BAF, 第15页共73页 CG CA ·BFBA 26=2, :.B BF=13 :正方形BCD巾，B=25E为B中点， :BE-AE-5 BC-AB-25 CE=BC2+BE2=5 ,BT⊥CE, ∴.∠ETB=∠EBC=90°， ,∠BET=∠CEB. △BET∽△CEB BE ET BT ∴.CE BE BC, 5 ET BT :552W5, :.ET =1BT=2. TF-VBF2-B-3 ∴.CF=CE-ET-T℉=5-1-3=1， CF 15 .BE5 5. 12.如图，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，EC=2BE,连接AE,将△ABE绕点A逆时针旋转90° 得△ADG,将△ABE沿直线AE翻折到正方形ABCD所在的平面内得△AFE,连接CF,连接GF交AD于 DH 点H,则FC的值是() 第16页共73页 21o 32 4v2 25 A.17 B.17 C.17 D.17 【答案】D 【分析】设正方形边长为3，利用旋转和翻折的性质确定点G和点F的位置.通过勾股定理建立方程组求 出点F到正方形边的距离，进而利用相似三角形求出DH的长，利用勾股定理求出FC的长，最后计算比 值. 【详解】解：设正方形ABCD的边长为3， .AB=BC=CD=DA=3, ..EC=2BE. ∴BE=1,EC=2, 由旋转性质可知，△ADG=△ABE, ∴.DG=BE=1,∠ADG=∠B=90°， ∠ADC=90°， ∴.∠ADG+∠ADC=180°， 即G,D,C三点共线， .GC=GD+DC=1+3=4. 由翻折性质可知，△AFE=△ABE, ∴、AF=AB=3,EF=BE=1, 过点F作FM⊥AB于M,作FN⊥BC于N, 设F到BC的距离为x,到AB的距离为y, 则AM=3-x,EN1-yl, 在Rt△AMF中，AM=3-x,MF=y,AF=3, 第17页共73页 6-+y2=32=9 ①， 在RtAENF中，ENy-II,F=x,EF=l, ：0-0}+2=1 ②， 9-6x+x2+y2=9 由①得 ：r+y2=6r y2-2y+1+x2=1 由②得 x2+y2=2y .6x=2y, y=3x, 2+y2=6xmx2+9x2=6x 代入 得 .10x2=6x, x≠0， x=0.6,y=1.8 即点F到BC的距离为0.6，到AB的距离为1.8， ·点F到CD的距离为3-1.8=1.2， 过点F作F№1GC于Q, 则F9=1.2 :点F到BC距离为0.6，G到BC距离为4， G0=4-0.6=3.4, ,AD⊥GC,Fg⊥GC, ·AD‖FQ, ∴.∠GHD=∠GFO,∠GDH=∠GOF, ∴AGDHAGOF 第18页共73页 DH GD FO GO' DH 1 即1.23.4 &m是9 在Rt△FNC中，FN=0.6,NC=3-1.8=1.2. ÷FC=VFw2+NC=0.62+12=8=35 6 DH=17=6×51025 .FC35173517√517. G E2 E N 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',点B,C的对应点分别为 B',C',B'C的延长线与边BC相交于点D,连接CC.若AC=3,CD=4,则线段CC'的长为() B 12 24 A.5 B.5 C.4 D.5 【答案】B 【分析】连接AD,交CC'于点O,先证出RtAACDS≌RtAAC"D,根据全等三角形的性质可得C"D=CD=4, 从而可得AD垂直平分CC',再得到CC=2OC,AD⊥CC,然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出 OC的长，即可求解 【详解】解：如图，连接AD,交CC于点O, 第19页共73页 O 由旋转的性质得：AC'=AC=3,∠AC"B=∠ACB=90°， .∠ACD=90°， 在RtAACD和RtAAC'D中， (AD=AD AC"=AC, Rt△ACD≌Rt△AC'D(HL) .'.C'D=CD=4, ∴AD垂直平分CC, .CC=2OC,AD⊥CC, :在RtAACD中，∠ACD=90°，AC=3,CD=4, “由勾股定理，得D=VAC2+CD=5 又Sm-xDx0C=)x4CxcD. 2 2 ×5x0C=x3x4,解得0C=2 2 5 :CC'=20C=2 1224 55· 14.如图，在正方形ABCD中，AB=5,点E在边BC上，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°交 CD延长线于点F,连接EF,连接BD分别交AE,EF于点M,N若CE=3,则线段MN的长度为 () 第20页共73页 19√2 3v2 29√2 39√2 A.14 B.2 C.14 D.14 【答案】C 【分析】由旋转性质证得△ABE≌△ADF,从而得到DF=BE=2;利用ADIIBC证得△ADMEBM,求 出BM与BD的关系；延长EF交AB的延长线于点K,利用△ECF∽aEBK求出BK,再利用 △DFN∽aBKN求出DN与BD的关系，最后根据MN=BD-BM-DN计算即可. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，AB=5, ∴.AD=BC=CD=AB=5,ADIIBC,CDI∥AB,∠BAD=∠BCD=∠ABE=90°， :BD=V52+5=52 CE=3, .BE=BC-CE=5-3=2 由旋转的性质得AF=AE,∠FAE=90°， .∠BAD=90° ∴.∠FAD+∠DAE=∠BAE+∠DAE=90°， ∴.∠FAD=∠BAE. 由题意得∠ADF=90°. AD=AB {∠ADF=∠ABE=90° 在 和 中， ADF△ABE ∠DAF=∠BAE· △ADF≌AABE(ASA) ∴.DF=BE=2. .ADlIBC, ∴.△ADM∽△EBM, 第21页共73页 DM AD 5 BMBE2 :BM-2DM :M-号如 延长EF交AB的延长线于点K, F A D M E K :CD∥AB,即CFI‖BK, ∴.△ECFAEBK, BK BE :.CF CE. :CF=CD+DF=5+2=7, BK 2 .73' 解得BK=4 . :DFI BK,即CDIIAB, .△DFN∽ABKN, DN DF 2 3 ·BNBK147 3 .DN-3BN 71 第22页共73页 :DN-BD 10 MN-BD-BM-DN-BD-2BD-3 BD-29 BD 7 10 70 :Mw=29x52-292 70 14 15.如图，在正方形ABCD中，点在CD上，且2DO=CO,连接Ag,点M在AD上，点N在BC上， MN 连接MN交A0于点H,且∠NH0=45°，则Ag的值为() D 4 4v2 3V2 A.1 B.3 C.3 D.4 【答案】D 【分析】过点A作AP∥MN,交BC于点P,连接P巴，将△ADO绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE.设 正方形ABCD的边长为30，根据勾股定理求出40=VD+DO=Vi0a,证明△P1O2aPME(SAS 得到 PO=PE PB=x,则 , 2=PE=BE+r=a+.PC=BC-BP=3a-x,在Rt△PC 中，根据勾股 定理构造方程，求得一0，再求出AP:证明四边形ANP是平行四边形，得到MN=AP-多50，即 3 2 可求解 【详解】解：过点A作AP∥MN,交BC于点P,连接P9,将△MDO绕点A顺时针旋转9O°，得到△ABE 第23页共73页 M D B PN 设正方形ABCD的边长为3a,即AB=BC=CD=AD=3a, .2D0=CO,DO+Co=CD=3a .D0=a,C0=2a, ,在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°， ∴在Rt△ADg中，A0=VAD+D0=3a'+d2=10a ,△AD0旋转90°得到△ABE, .BE=D0=a,AE=Ag,∠EAQ=90°， ,AP∥MN, .∠PAQ=∠NHQ=45° 、∠PAE=∠EA0-∠PA0=90°-45°=45°， ·∠PAE=∠PAg, .AP=AP △PAQ≌△PAE(SAS) .PO=PE 设PB=x,则P2=PE=BE+BP=a+x,PC=BC-BP=3a-x, Rt△PC9PC2+CQ2=P92 在 中， (3a-x+2a2=(a+x2 3 20, 解得术 3 即BP=S 0, 第24页共73页 ·在RteABP中， AP=AB2+BP2 ajr+j-a :在正方形ABCD中，AD∥BC,又AP∥MN, :四边形AMNP是平行四边形， .A-AP5a 32 A0 10a 4 16.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF, 过点A作EF的垂线，垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则EF的长为() D E B 52 5v10 534 A.5V2 B.2 C.4 D.4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对 应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。 连接EG,根据AG垂直平分EF,即可得出EG=FG,设CE=x,则DE=5-x=BF,FG=EG=8-x, 再根据RtACEG中，CE2+CG2-EG,即可得到CE的长，最后在RtACEF中，根据勾股定理求解即可. 【详解】解：如图所示，连接EG, D E G 由旋转可得，△ADE≌△ABF, 第25页共73页 .AE=AF,DE=BF, :BG=3,CG=2, BC=5, :AG⊥EF ∴H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF, ..EG=FG, 设CE=x, :四边形ABCD为正方形， .DC=BC=5. ..DE=5-x=BF,FG=FB+BC-CG=8-x. .EG=8-x, :∠C=90°， .RtCEG中，CE2+CG2=EG2,即+2=(8-x, 15 解得x= 4， ..CE=15 4 .DE=BF=5 , CF=2 EF=CF+CE=534 4 。 故选：D 【类型3旋转与函数图像综合】 17.如图，△MBC中，B=AC=4,∠B=45,&MBC绕点A逆时针旋转(0<a<90）得到△ABC, B'C'与BC,AC分别交于点D,E.设CD+DE=x,△AEC的面积为y,则y与x的函数图象大致是 () 第26页共73页 B A 45 42 42 42 【答案】C 【详解】解：由题意得：∠BAF=∠CAE=a,AB=AC=AB=AC',∠B=∠C'=45°， ,.△ABF≌△AC'E(ASA) ..AF AE, :FB'=CE, :∠B'=∠C=45°∠BDF=LCDE .△DB'F≌△DCE(AAS) :DB'=CD, CD+DE=x, :DB'+DE=x, 即B'E=x, AB=AC=4. 第27页共73页 ∴.BC=4V2BC 2√2 边上的高为 ∴B'C'=4V2B'C W2 边上的高为 .CE=4W2-x, }xCE×22=)×(42-xx22=8-2x, 2 故选：C 18.如图，△ABC中，AB=AC=2,∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转(0<a<120)得到△MB'C',BC与 BC,AC分别交于点D,E,设CD+DE=x,△MEC'的面积为y,则'与x的函数图象大致为() A V3 B. C. 0 23x 3 2/3x 23x 【答案】B 【分析】连接B'C,作AH⊥B'C',垂足为H,由已知以及旋转的性质可得AB'=AB=AC=AC'=2, ∠AB'C'=LC'=30°，继而可求出AH长，B'C'的长，由等腰三角形的性质可得∠AB'C=∠ACB',再根据 ∠A8D∠ACD=30,可得∠DBC-DCB,从而可得8D=GD,进而可得E,由此可得CE25X,再根 据三角形面积公式即可求得y与x的关系式，由此即可得到答案， 第28页共73页 【详解】连接B'C,作AH⊥B'C,垂足为H, .AB=AC,∠B=30°， ∴.∠C=∠B=30°， :△ABC绕点A逆时针旋转a0<Q<120)得到△MB'C', ∴.AB'=AB=AC=AC'=2,∠AB'C'=∠C'=30°， ∴.AH=2AC'=1. ∴.CH=VAC-AH=V5 BC-2CH-23 .'AB'=AC, .∠AB'C=∠ACB, '∠AB'D=∠ACD=30, .∴.∠AB'C-∠AB'D=∠ACB'-∠ACD 即∠DB'C=∠DCB', ∴.BD=CD, .'CD+DE=x, ∴.B'D+DE=X,即BE=x, CE-BC-BE-2V3 -X, x+3 y=2CB4H-号×25x1=2 观察只有B选项的图象符合题意， 故选B A B 【点睛】本题考查的是几何综合题，涉及了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数 的应用等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 第29页共73页 19.如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH,将正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合， 正方形BFGH绕点B顺时针方向旋转：设旋转的角度为 (0°≤0≤360) 两个正方形重叠部分的面积为 S,则变量S与θ的关系大致图象是() 【答案】B 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作EM⊥CD 于点M, EN⊥AD EWK≌AEML(ASA) 于点N,则可证明 ,从而得出重叠部分的面积不变，继而可得出 函数关系图象 【详解】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M,EN⊥AD于点N, H N/KD 点E是正方形的对称中心， .EN=EM, 由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL, 第30页共73页 在Rt ENK和RtAEML中， I∠NEK=∠MEL EN=EM ∠ENK=∠EML' △ENK≌AEML(ASA) 1 即阴影部分的面积始终等于正方形面积的4. 故选：B 20.如图1所示，Rt△ABC绕点A逆时针旋转80°，在此过程中AB、C的对应点依次为A、B、C连接 B'C ,设旋转角为，，=BC,'与产之间的两数关系图象如图2，当=150时，)的值为《) V A B O90°180°x 图1 图2 A V3 83 C.4 D.13 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换、勾股定理、函数图象等知识.过点B作BD⊥AC于D,由题意可知 BC=5,当x=90,AC=AB+1,设AB=a,则AC=a+1,可得+(a+=(5,求出a,当 ∠B'AB=150°时，解直角三角形求出B'C2即可. 【详解】解：过点B作BD⊥AC于D,如下图， CN B 第31页共73页 由题意得，当x=0°时，y=5, ..BC-5 当x=90°时，y=1,则AC=AB+1, 设AB=a,则AC=a+1, ,△ABC为直角三角形，由勾股定理可知AB+AC2=BC2, 即有+(a+-(5. 解得a=1或a=-2(舍去)， 即AB=a=1,AC=a+1=2. 当x=150°时，∠BAB=150°，∠BAD=∠BAB-∠BAC=60°， ∠AB'D=90°-∠B'AD=30° .DDD CD-4C-AD-3 故选：B 21.如图，在射线AB上顺次取两点C,D,使AC=CD=I,以CD为边作矩形CDEF,DE=2,将射线 AB绕点A沿逆时针方向旋转，旋转角记为Q(其中0°<α<45°)，旋转后记作射线AB,射线AB'分别 交矩形CDEF的边CF,DE于点G,H若CG=EH=y,则下列函数图象中，能反映y与x之间关系的 是() B 2 第32页共73页 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，画一次函数图象，证明△ACG∽△ADH 推出DH=2x,再由DE=2,可得y=2-2x,据此可得答案. 【详解】解：，四边形CDEF是矩形， ∴CF∥DE, .△ACGr△ADH, CG AC .DHAD· AC=CD=1, .AD=2, x I ·DH=2, .'DH =2x, DE=2, y=2-2x, .0°<a<45°， ∴.0<x<1, 故选D 22.在△ABC中，AB=AC,BC=4,∠BAC=120°，P为线段CA延长线上一动点，连接PB,将线段PB 绕点P逆时针旋转120°，得到线段PD,连接DB、DC、DB交PC于点M,设线段AP=x,△BCD的面积 为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是() D M A B C 第33页共73页 【答案】B 【分析】过点P作PE垂直于AB于E,PF垂直于BD于F,过点D作DG垂直于BC于G,由等腰三角形 性质即锐角三角函数，可得PE=5x,P-3 2x,BD=3,再证*PBEADBG,由对应线段成比例可得高 3 DG= ,用三角形面积公式即可求解。 【详解】解：过点P作PE垂直于AB于E,PF垂直于BD于F,过点D作DG垂直于BC于G, ∠BAC=120°， ∴.∠PAE=60° :∠AEP=90°，AP=x PE=AP-sin∠PAE=5 2 线段PB绕点P逆时针旋转120°，得到线段PD, .BP=PD,∠BPD=120° ∴.∠PBD=30°，BF=DF=BD 在RiABPF中，cos∠PBF= BP -c0s30°=35 2 第34页共73页 BPBP√5 BD 2BF 3 AB=AC,∠BAC=120°， .∠ABC=30°=∠PBF, .∠BPF+∠DBA=∠ABC+∠DBA, 即：∠PBE=∠DBC, ∠PEB=∠DGB=90°， .PBE△DBG, PE BP3 DGBD3· 3x ..DG= 2x3 2 3 2r, ∴SCD= DG-BC=Ix 3 x=3x 2 即：y=3x D P 1 E B G 故选B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形面积，函数图 像等知识，作辅助线构造直角三角形以及相似三角形是解题的关键。 23.如图，△ABC中，AB=AC=4,∠B=45°，△ABC绕点A逆时针旋转a(0°<&<90)得到△AB'C」 BC'与BC,AC分别交于点D,E.设CD+DE=x,△AEC'的面积为y,则y与x的函数图象大致是 () 第35页共73页 A 45 42 D 42 0 42 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，易得 △AFB≌△AC'E(ASA ,那么F=A,可得到PB=CB △DB'F≌△DCE DB'=CD ,进而可得 ,则 ，那么 BE=x,即可判断出CE的长度，易得△AEC'中CE边上的高，根据三角形的面积公式可得相应的函数 解析式，得到C”E用x表示的代数式是解决本题的关键. 【详解】解：由题意得：∠BAF=∠CAE=a,AB=AC=AB=AC,∠B=LC=45°， :.△AFB≌△ACE(ASA) .AF=AE, :FB'=CE :∠B=∠C=45°，∠FDB=∠CDE, .△DBF≌△DCE(AAS :DB'=CD, .:CD+DE=x, ..DB'+DE=x. 第36页共73页 即BE=x, :AB=AC=4. :BC=42 BC 2V2 边上的高为 ..B'C=42 B'C' W2 边上的高为 ∴.CE=4W2-x 1 ∴y=5(4V2-x)×2W2=8-V2x 2 故选：C 24.如图1，R1aABC绕点A逆时针旋转180°，在此过程中AB、C的对应点依次为A、B'、C连接B'C, 设旋转角为 (0≤x≤180)，y=BC,'与*之间的函数关系图像如图2，当x=1S0时，'的值为（) B B 90° 180°x 图1 图2 A.4 B.3 C v3 D.V13 【答案】B 【分析】过点B作BD14C于D,由题意可 BC=5 5,当x=90°，4C=4B+1,设B=0,则 1C=a+1,可得+a+=(5】 求出a,当∠B'AB=150 时，解直角三角形求出BC即可 【详解】解：过点B作BD⊥AC于D,如下图， 第37页共73页 B D 由题意得，当x=0时，y=5, BC=5 当x=90°时，y=1,则AC=AB+1, 设AB=a,则AC=a+1, ,△ABC为直角三角形，由勾股定理可知AB+AC2=BC2, 2+(a+1)2=(N5)2 即有 解得a=1或a=-2(舍去)， 即AB=a=1,AC=a+1=2, 当x=150°时，∠BAB=150°，∠BAD=∠BAB-∠BAC=60°， ∠AB'D=90°-∠BAD=30°， &0-w-分：m-8-0-9.0=4C-n- 21 .y-C--3. 故选：B 【类型4旋转相关综合性问题】 25.已知，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E是边AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转 9O°得到DF,过F作FG⊥CD于点G,连接EF,取EF中点H,连接DH,AH.点E在运动过程中， 下列结论：①△ADE≌aGDF;②∠GFH=∠ADE;③当点H和点G互相重合时，AE=6;④AH的最小值 为35，©4H的最大值为65 .正确的序号有 第38页共73页 【答案】①③④ 【详解】解：：DE绕点D逆时针旋转0°得到DF, ∴.DE=DF,∠EDF=90°， ,四边形ABCD是矩形， .∠ADC=∠DAE=90°=∠EDF, .∠ADE=∠GDF=90°-∠CDE: .FGLCD ∴.∠DGF=90=∠DAE 在△ADE和△GDF中， '∠DAE=∠DGF ∠ADE=∠GDF DE=DF △ADE≌AGDF(AAS) 故①正确： 如图所示，设CD,EF交于点T, D C G H 线段 绕点逆时针旋转 得到 B DE D 90° DE :DE =DF, H是EF的中点，FG⊥DC, ∴.∠DHF=∠FGD=90°， 又，∠DTH=∠FTG, 第39页共73页 .∠GFH=∠HDC. 根据现有条件无法证明GFH=∠GDF,即无法证明GFH=∠ADE,故②错误； 当点H和点G互相重合时，如图， (H)G C 线段 绕点逆时针旋转 得到， B DE D 90° DF ∴.DE=DF,∠EDF=90°」 △DEF是等腰直角三角形， H是EF的中点，FG⊥DC, 、∠HDE=∠FDE=45°=∠DEH, 2 .∠ADE=∠ADC-∠HDE=45°， .∠AED=180°-∠DAB-∠ADE=45°=∠ADE, .AE=AD=BC=6,故③正确： 当E与A重合时，AH最短，如图： D FGC H B A(E) 此时F与G都在DC上， :△DEF是等腰直角三角形，H是EF的中点， ∴.△ADH是等腰直角三角形， .AH=DH. .AH2+DH2=AD2. ∴.AH=3V2 第40页共73页 :AH V2 的最小值为 2,故④正确： 当E与B重合时，AH最大，过H作HK⊥AB于K,如图： D G B(E) .∠HAB=45° .AK=HK. BD=AD2+AB2 =10 DH2+BH2=BD2 BH DH :BH=52 设AK=HK=x,则BK=8-x, .BH2-BK2=HK2=AK2, (52-(8-x)}=x2, 解得：x=1(舍去)或x=7, HK=7, :AK=HK=7, ..AH=AK2+HK2=72 .AH 的最大值为 W2 故⑤错误： 综上所述，正确的有①③④。 26.如图，将等边△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBA,点E、F分别在BC和CA上，且BE=CF, BF、AE相交于点G,DG交AB于点H.则下列结论正确的有 (填写序号) ①∠AGF=60:②DG平分∠AGB:®DB'=DH-DG:④若CB=2BE,则BG=5GF 5 第41页共73页 【答案】①②③ 【分析】根据等边三角形的性质证 △ABE≌aBCF(SMS）,得到∠BAE=∠CBF,再利用三角形外角的性 质可判断①：过点D作DM⊥AG于点M,DN⊥BG交GB延长线于点N,则 ∠DMA=∠DMG=∠DNB=90°，通过证明△MDM2aBDN(AAS 得到DM=DN,再利用角平分线的判定可 判断②；证明△DBGPADHB,再利用相似三角形的性质可判断③：设等边△ABC的边长为3a,分别证明 △BGE∽△BCF△AFGABFA BG·BF=BC·BE=3a2GF.BF=AF2=4a2 和 ，得到 再利用比例的性质 可判断④，即可得出结论。 【详解】解：，等边△ABC, ∴∠ABE=∠C=60°，AB=BC, 又，BE=CF, △ABE≌△BCF(SAS) ∴∠BAE=LCBF. ∴.∠BAE+∠ABG=∠CBF+∠ABG, 即∠AGF=∠ABE=60°，故①正确： 如图，过点D作DM⊥AG于点M,DN⊥BG交GB延长线于点N, D B E 则∠DMA=∠DMG=∠DNB=90°. ,∠DMG+∠DNB=180°， 第42页共73页 ∴∠MDN+∠NGM=180°， 又：∠AGF+∠NGM=180°， :∠MDN=∠AGF=60°， :将等边△ABC绕点B逆时针旋转6O°得到△DBA, “,△DBA也是等边三角形， .AD=BD,∠ADB=∠ABD=60° ∠ADB=∠MDN. ∴.∠ADB-∠MDB=∠MDN-∠MDB,即∠ADM=∠BDN, △ADM≌△BDN(AAS) .'DM DN, 又：DM⊥AG,DN⊥BG, ∴DG平分∠AGB,故②正确： ,∠AGB=180°-60°=120°， :∠DGB=)∠AGB=60 2 ,∠DGB=∠DBH=6O°，∠BDG=∠HDB, ∴.△DBG∽aDHB, DB DG ·DHDB ·DB2=DH·DG,故③正确： 设等边△ABC的边长为3a,则BC=AC=3a, .CE=2BE, ∴.CE=2a,BE=a, ,∠BGE=∠AGF=60°=∠C,LGBE=LCBF, ·.△BGE△BCF, BG BE .BC BF, .'BG.BF BC.BE=3a.a=3a2, .CF=BE=a, 第43页共73页 .AF=AC-CF=2a. :∠AGF=∠BAF=60°，∠AFG=∠BFA, .△AFGABFA, AF GF ·BFAF, GF.BF=AF2-(2a)=4d BGBG.BF 3a2 3 GFGF·BF4a4' BG=3GF,故④错误 4 综上，结论正确的有①②③： 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质、角平分线的判定 定理、旋转的性质、相似三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形和相似三角形并证明是解题的 关键。 27.如图，在平面直角坐标系中，点4为44)，作41x轴，4C1y轴，垂足分别为8，C两点.点E F分别是OB和OC边上的动点，连接AE,AF,∠EAF始终为45°，连接BC分别交AF,AE于M,N 两点.以下结论：①BE+CF=EF;②BC=2MN;③AF平分∠CFE;④若F为OC中点，则E点坐标 其中正确的结论为」 (填正确选项的序号) B 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解决本题的关键是利用旋转 的性质构造全等三角形，根据全等三角形的性质找边、角之间的关系.把△ABE绕点A逆时针旋转90°， 第44页共73页 得到△ACE,可得△E'AF≌△EAF,利用全等三角形的性质可证BE+CF=EF；利用图形的旋转可得 △ANM≌aANM,可得CM2+BN2=MN2:根据△EAF≌△EAF可知AF平分∠CFE:设BC=x,则 CB=B5=x,0B=4-,利用勾服定理可得2+(4-=2+，解方程即可求出点E的坐标. 【详解】解：如下图所示，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE, 由旋转可知AE=AE',BE=CE',∠BAE=∠CAE, ~四边形ABOC是正方形， ∴.∠BAC=90° 又：∠EAF=45°， .∴.∠BAE+∠CAF=45° .∠EAF=∠CAE'+∠CAF=45°」 AE'=AE ∠EAF=∠EAF 在 和 中， △E'AF△EAF AF=AF .AEAF2△EAF, .EF=E'F=CE'+CF=BE+CF, 故①正确： M B 如下图所示，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE,点N的对应点是点N', 由旋转可知AN=AW',∠NBA=∠N'CA=45°，∠NAM=∠NAM=45°，CN'=BN, AN=AN' ∠NAM=∠N'AM=45° 在 和 中， AN'M△ANM AM=AM ∴.△AW'M≌AANM 第45页共73页 .N'M =MN, ∠ACM=45°， .∠N'CM=90°， ∴.N'C2+CM2=N'M2, ..CM2+BN2 =MN2. BC=CM+MN+BN. 故②不成立： E M N E B 由①可知AE'AF≌AEAF, ∴.∠CFA=∠EFA, ∴AF平分∠CFE 故③成立： “点A的坐标为 4,4) ..OB=OC=AB=AC=4. 点F为OC中点， 0F=F-0c=2, 设BC=x,则CE=BE=x,OE=4-x, ..E'F=CF+E'C=2+x, ..EF=2+x. 在△OEF中，OF2+OE2=EF2, 22+(4-x)2=(2+x) 4 解得：x=3 第46页共73页 .BE=4 .0E=OB-BE=4-4_8 33 点E的坐标是 0 故④成立 综上所述，正确的结论为①③④， 故答案为：①③④ 28.如图，在△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,M是斜边AB上一点，连结CM,将CM绕点C逆时针 旋转90°得到CN,连结MN交BC于点E,连结BN,给出下面五个结论：①NB⊥AB: ③AM-AC ⑥ScE=Mw2 ②∠MCE=∠BNE: )BEME;④CE·BN=EW.MC;S.AIE BM,上述结论中.所有正确的序 号是 【答案】①②④ 【分析】由旋转得，CN=CM,∠MCN=90°，可得∠BCN=∠ACM,进而可得△ACM≌△BCN,则 ∠CBN=∠CAM=45°，进而可得∠ABN=∠CBN+∠CBA=90°，即NB⊥AB,即可判断结论①，根据 ∠CMN=∠CBN=45°，∠CEM=∠NEB,∠CEM+∠CME+∠MCE=∠BEN+∠EBN+∠BNE=18O°，可 AM AC 得∠MCE=∠BNE,即可判断结论②：证明AACM∽ABME,得出BE=BM,故结论③不正确；证明 △CEN∽△CNB,可得到CE·BN=EN·NC.则④正确：证明△CEN∽△MEB,可得⑤不正确 本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题的关 键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 【详解】解：由旋转得，CN=CM,∠MCN=90° ·.∠MCE+∠BCN=90° 第47页共73页 :∠ACB=90°， ∴.∠MCE+∠ACM=90° ∴.∠BCN=∠ACM .AC=BC, ∴△ACM, △BCN(SAS) 2 ∴.∠CBN=∠CAM :∠ACB=90°，AC=BC ∠CAB=∠CBA=45°， .∠CBN=45° .∠ABN=∠CBN+∠CBA=90°， .NB⊥AB 故结论①正确： 由旋转得，CN=CM,∠MCW=90°， .∠CMN=∠CNM=45°， .∠CMN=∠CBW :∠CEM=∠NEB,∠CEM+∠CME+∠MCE=∠BEN+∠EBN+∠BNE=18O° ∴.∠MCE=∠BNE 故结论②正确： ∠CMB=∠A+∠ACM.∠A=∠CMN=∠ABC=45°， ∴.∠ACM=∠BME. ∴.△ACM∽△BME, AM AC BE BM 故结论③不正确： '∠ECN=∠NCB.∠CNE=∠CBN=45°， ∴.△CEN∽△CNB CN CE EN CB CN BN· .CE·BN=EN·NC, CN=CM, 第48页共73页 .CE·BN=ENMC, 故④正确： :∠CNE=∠MBE=45°，∠CEN=∠MEB, .△CEN∽AMEB, S.CM=(CN) CN2 S.RME BM BM2 .MN2 =2CN2, :.cN=1Mv 2 :S0E= MN2 S MBE BM2, 故结论⑤不正确。 综上所述，所有正确结论的序号是①②④」 故答案为：①②④ 29.如图.P是等边三角形4C内一点，且P4=8,PB=45,PC=4,以下四个结论： 0Pc=120,②4B=4w7,g5x=85 :④点P到△MBC三边的距离分别为PE,PF,PG,则 PE+PF+PG=321 ,其中结论正确的有 (填序号) 【答案】②③/③② 【分析】将△MPC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB,连接HP,由全等三角形的性质可得AH=AP=8, BH=PC=4,∠AHB=∠APC,可证△AHP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求∠HBP=9O°，取HP中 第49页共73页 点Q,连接BO,根据直角三角形斜边中线性质可求B0=2P=P吧=H№=4=HB,进判断△BH0为等 边三角形，∠HPB=30°，可得∠AHB=120°=∠APC,∠BPC=150°，可判断O,由勾股定理可求AB的 长，可判断②，由三角形的面积公式可求△ABC的面积，可判断③，由三角形的面积公式可求 PE+PF+PG的值，即可判断④ 【详解】解：如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB,连接HP, .△APC≌△AHB,∠HAP=60° .AH=AP=8,BH=PC=4,∠AHB=∠APC, ∴，△AHP是等边三角形， .HP=8,∠AHP=∠APH=60°. :HP2=64,BH2+BP2=64, ∴HP2=BH2+BP2, .∠HBP=90° 取HP中点Q,连接BO, B &0p=四=i0=4=B .△BHO是等边三角形 .∠BH0=∠BQH=60° ..OP=OB 第50页共73页 ·∠QBP=∠QPB. 又∠BOH=LQBP+∠QPB ∠BPH=30°. .∠APB=∠HPB+∠APH=90°， ∴.∠AHB=∠AHP+∠BHP=120°=∠APC, :.∠BPC=360°-∠APB-∠APC=150°，故O错误： ·∠APB=90°， :AB=√AP2+BP-82+(45=47,故②正确： :△ABC是等边三角形，如图，AD⊥BC B BD-14B.4D-AR-BD-BD-4B 2 Cx0x5B-8=285,数@正确 2 2 4 如图， H B E 点P到△ABC三边的距离分别为PE,PF,PG, 2×MB-(PG+PF+PE)=5 :. .AB2, 4 PG+PF+PE- 2 2 ×4√7=2√21，故④不正确， 第51页共73页 故答案为：②③， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形 的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键， 30.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点D与点B 对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F,连接BD并延长交EF于点G, CE BG 连接交于点H.下列结论： BD=DG,②CE=V2BD.gCH=EH:④FG=V2BG,其中 正确的有 (填正确的序号)， 【答案】①②③④ 【分析】连接DF、HE,可证四边形ABFE是矩形，△ABC≌△ADE,即可判断①③；根据①③的结论 可推出CE垂直平分DF,进而可得△HDF是等腰直角三角形，从而可判断②；根据勾股定理证明④的准 确性 【详解】解：连接DF、HF,如图所示： ,∠ABC=90°，BA=BC, .∠BAC=∠BCA=45°， 由旋转得：△ABC≌△ADE 、AD=AB,∠ADE=90°，∠DEA=∠DAE=45, :∠ABD=∠ADB=180°-45 2 =67.5°，∠BAE=90° EF∥AB, ∴∠AEF=90° 第52页共73页 四边形ABFE是矩形， 、.∠GFB=90°，EF=AB=AD=ED,∠DEF=90°-∠AED=45°， ∠GBF=90°-∠ABD=22.5°， :∠EDC=∠EFC=90°，ED=EF,EC=EC, △EDC≌△EFC(HL) .'..CD=CF &∠CFD=∠CDF=)∠ACB=2.5=∠GBF 2 .∠GFD=90°-∠CFD=67.5°=∠FGD, .'BD=FD=GD ∴点D是BG的中点， 即BD=DG,故①正确： :∠GDC=∠ADB=67.5°， ∴∠EDG=90°-∠GDC=22.5°. ,△EDC≌△EFC, DEH=LPEC∠DEF=22.5°=EDG .DH=EH, ,∠HDC=∠HCD=67.5°. .DH=CH, .CH=EH=DH,故③正确： CH=EH,∠EFC=90°， :HD-HF-ICE 2 .:∠HDF=∠DBF+∠DFB=45°， .△HDF是等腰直角三角形， ..DF =2DH, .CE=2DH,BD=DF, CE=2BD ,故②正确： 第53页共73页 设DF交CE于O, :△HDF是等腰直角三角形，∠DHC=∠FHC=45°， :△DOH和△FOH都是等腰直角三角形， ..OD=OH =OF, 设OD=OH=OF=a, :DG=DF=2a DH-HF-EH=a 、HG=DG-DH=2a-√2aE0=OH+HE=a+V2a GF2=HG2+F2=2a-2aj+2a=8-42)r, EF2=0E2+0F2=(a+V2a+d2=(4+22)a2, EF2（ 部 ·GF 2 GE-EF-FG-FG 2 即FG=V2BG 故④正确： 综上所述，正确的有①②③④： 故答案为：①②③④ 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算 等知识点，综合性较强， 31.如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上 任意一点，将BM绕点B逆时针旋转6O°得到BN,连接EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的有 一（填写序号）. 第54页共73页 E A D M B C O△MMB≌△ENB:②S,=SaB,③连接4N,则4NLBE ④若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1： ⑤当MM+BM+CM ,2W3 的最小值为时，菱形MB 的边长为2. 【答案】①④⑤ 【分析】①根据菱形的性质，运用“SAS”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线BD对称， 可知AM+CM最小为AC长；③先假设ANLBE,而后逆推即可判断：④连接AC,根据两点之间线段最 短可得，当点M落在BD的中点时，AM+CM的值最小；⑤根据图形特征得出当M点位于BD与CE的交 点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC,交CB的延长线于F,在 RtEFC中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④. 【详解】解：①，△ABE是等边三角形， ∴BA=BE,∠ABE=60° .∠MBN=60°， ∴.∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN. 即∠MBA=∠NBE, 又，MB=NB」 △AMB≌△ENB(SAS) ，故本答案正确： ② Sg边形AME=SAE+S,ABM边形ADCM=S,ACD+SAMC SAMBSAMC SABE =SACD S.ABE+SABMSACD+SAMC S名造形M能≠Sg迪彩W,故本答案错误 第55页共73页 ③假设AN⊥BE,且AE=AB, :、AN是BE的垂直平分线. 连接MN, E N B 由①知△AMB≌△ENB. .AM EN. ,∠MBN=60°，MB=NB, ∴△BMN是等边三角形. ∴.BM=MN .'EN BN BM MN=AM, ∴点M是BD上一定点， 而M为对角线BD(不含B点)上任意一点， 所以，无法得到AN是BE的垂直平分线，故本答案错误： ④连接AC交BD于点O, 四边形ABCD是菱形， 、.AB=BC,BD⊥AC,AO=CO ∴.点A和点C关于直线BD对称， ∴，当M点与O点重合时，AM+CM的值最小为AC的值. :∠ABC=60°， △ABC是等边三角形， ∴.AC=1 即AM+CM的值最小为1，本答案正确： ⑤由①知△AMB≌△ENB, .AM EN, :∠MBN=6O°，MB=NB 第56页共73页 ∴△BMN是等边三角形， .BM=MN .AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短， :当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长. 过E点作EF⊥BC,交CB的延长线于F, 则∠EBF=180°-120°=60°，设菱形的边长为a, 、.BF=5a.EF=V3 2 3 在RtEFC中， 解得a=2.故本答案正确」 综上所述①④⑤正确. 故答案为：①④⑤. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对 称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键， 32.如图，己知∠AOB=60°，OD平分∠A0B,P是OD上一定点，以点P为顶点作∠MPN=120°，将 ∠MPN绕点P旋转，PM与OA交于点E,PN与OB交于F,连接EF交OP于点G(点G在O,P之间)， 以下4个结论：①△EPF是等腰三角形；②当PM⊥OA时，△OEF是等边三角形：③当EF⊥OA时， △EOG≌△FPG:④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化.其中正确的选项有 【答案】①②③ 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，过P作PH⊥AO, PQ⊥BO ∠HPQ=120° ∠MPN=120° ∠EPH=∠NPO 根据四边形内角和得到 结合 ,得到 ,结合角平分 第57页共73页 线性质得到PH=PO,从而得到△EPH≌aFPO即可判断①，当PM⊥OA时，即可得到PN⊥OB,即可判 断@，根据角度关系得到OM=PF,∠BOP=∠PFE=30°即可判断③，根据 Soe=Soe即可判断④，即 可得到答案 【详解】解：过P作PH⊥AO,PQ⊥BO :PH⊥AO,P9⊥BO,∠AOB=60°， .∠HPQ=120°，∠EHP-∠NQP=90°」 ∠MPN=120°， .∠EPH=∠NPg, 在△EPH与△FPO中， ∠EPH=∠FPQ PH=PO ∠EHP=∠FQP' ·.△EPH≌aFPQ(ASA) .PE=PF, ∴，△EPF是等腰三角形， 故①正确， 当PM⊥OA时， :PM⊥OA, ∴.∠PE0=90°， AOB=60°，∠MPW=120°， .∠PF0=90°. OD平分∠AOB,∠PF0=90°，∠PE0=90° 第58页共73页 ..PE=PF, 在△PEO与△PFO中， 「PE=PF .OP=OP, .aPEO≌aPFO(HL). ..OF=OF, .∠A0B=60°， ∴.△OEF是等边三角形，故②正确， 当EF⊥OA时， :∠AOB=60°，OD平分∠AOB, .∠EOP=30°. ,△EPF是等腰三角形， A∠PEF=-∠PFE=180°，120°-30. 2 .EF⊥OA,∠EOP=30° ∴.∠0GE=90°-30°=60°」 ∴.∠EP0=∠OGE-∠PEF=60°-30°=30°， ∴.∠EPO=∠EOP=30° ∴.PF=PE=OE, ∠PE0=180°-2×30°=120°=∠NPE. EF⊥OA. ∴.∠PEF=120°-90°=30°=∠EOP, 在△EOG与△FPG中， ∠EOP=∠PFE=30° OE=PE ∠EGO=∠PGF △EOG≌APFG(AAS) 故③正确， :aEPH≌aFPg 第59页共73页 SEPH =SAFPO SOEPF=SoHPe Sop=2Somm=2xx0HxPH=Y30P2,故④错误 2 故答案为：①②③ 【类型5旋转相关动点问题】 33.如图，在等边三角形ABC中，点D为BC的中点，点P为线段AD上不与端点重合的一个动点，将线 段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段B吧，连接CD,D0.若AB=12,则当△CD0为直角三角形时， AP的长为 B D Q 334V3 【答案】 或 【详解】解：：在等边三角形ABC中，点D为BC的中点， :AB-BC=12:ADLBC:ZBAD=ZCAD-ZBAC:B4C-4CB-4BC-605 B4D-C4D=30:4DB-4DC-90:BD=CD=7C 由旋转性质可得∠ABC=∠PBQ=60°，PB=QB, ·.∠ABP+∠PBD=∠CBQ+∠PBD=60°， .∠ABP=∠CBQ 在△ABP △CBQ 和 中， 第60页共73页 AB=CB ∠ABP=∠CBQ PB=OB △ABP≌aCBQ(SAS) ·.∠BAP=∠BCQ=30°，AP=C2. 则①当∠C0D=90°时，如图， B 0-0=3 :C0=CD2-Dg=v6-3=3w5 .4P-3 ②∠CD9=90° 当 时，如图， B 9 1 Do=Ico 2 CO-CD+DO 第61页共73页 CO=43 :P45 综上可得： '的长为334V5 或 34.如图，在△ABC中，∠A=105°，∠C=30°，AB=8,D为AB边上一点，且AD=2,点E是AC边上 一个动点，连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转45°至线段DF,若点F恰好在BC边上，则线段BF 的长为 A D 9√2-3v√6+2 【答案】 【详解】解：如图，过点E作EH⊥AB于点H,交BC于点M,过点D作DG⊥BC于点G, M G W HA D B ∴.∠EHD=∠DGF=90° 将线段DE绕点D顺时针旋转45°至线段DF, ∴.DE=DF,∠EDF=45 在△ABC中，∠A=105°，∠C=30°， ∴.∠B=180°-∠A-∠C=45° .∠GDB=45°，∠HMB=45° 第62页共73页 AB=8,AD=2, ∴.BD=AB-AD=8-2=6 DG-DB-32 2 :'∠EDF=∠GDB=45° .∠EDH+∠FDG=180°-∠EDF-∠GDB=180°-45°-45°=90° 又：DG⊥BC ∴.∠FDG+∠DFG=90° ∴.∠DFG=∠EDH 又：∠EHD=∠DGF=90°，DE=DF ,△EHD≌ADGF(AAS) EH=DG=32 FG=HD .∠HMB=45°=∠C+∠CEM ∴.∠CEM=15o ∴.∠AEH=∠CEM=15° 在EH上取一点N,使得NE=NA .∠NEA=∠NAE=15° ∴.∠HNA=30° 六RtANH中，AH=)4N .HN=AH 设AH=x AN =2x,HIN=3x EH =HN+EN=3x+2x=32 x=6V2-3√6 解得： :DH=A+AD=6N2-3W6+2 第63页共73页 FG=HD=6V2-3√6+2 BF=BG+FG=3√2+6√2-3√6+2=9W2-3√6+2 35.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P是直线BC上的一个动点（不与点C重合），将线段 BP AP绕点P顺时针旋转90得到线段PE,连接4B,当CP=3时，AE的长为 B W10 【答案】12或 【分析】分点P在线段BC上和点P在BC的延长线上两种情况求出BP的长，在Rt△ABP中利用勾股定理 求出AP的长，由旋转的性质可知△APE是等腰直角三角形，进而求出AE的长， 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，BC=AD=8, BP Cp3, ∴.BP=3CP, 分两种情况讨论： ①当点P在线段BC上时， D B BP+CP=BC=8. .3CP+CP=8, 解得CP=2, BP=6. 在Rt△ABP中，由勾股定理得AP2=AB2+BP2=6+62=72, 第64页共73页 由旋转的性质可知，AP=PE,∠APE=90°， ∴，△APE是等腰直角三角形， 在RtAPE中，由勾股定理得4E=NAP+PE=V2AP=2x72=12】 ②当点P在BC的延长线上时， ..BP-CP=BC=8.3CP-CP=8. 解得CP=4, ∴.BP=12, 在RtABP中，由勾股定理得AP2-AB2+BP2=62+122=180, 由旋转的性质可知，AP=PE,∠APE=90°， ∴，△APE是等腰直角三角形， 在RtAPE中，由勾股定理得E=VAP+PE=V2AP=V2x180=V360=6i0】 综上所述， 的长为2或6i而 36.如图，△ABC是等边三角形，边长为10，点D在AB延长线上，且BD=2,动点E从点A出发，沿着 射线AC运动，连接DB,将线段DE绕点D逆时针旋转60得到线段DF,连接AB,当CE=24C时，则 线段AF的长为 D 【答案】7或3 第65页共73页 【详解】解：当点B在线段AC上时，过点D作DGBC交AC的延长线于点G,如图所示， ,△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°. ..DGI BC. ∴∠ADG=∠ABC=∠G=∠ACB=60°， ∴，△ADG是等边三角形， .DG=AD 将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到DF, .DE=DF,∠EDF=60°， .∠ADF=∠EDG, ∴.△ADF≌AGDE. ∴.EG=AF :AB=10,BD=2 .AD=10+2=12. .AG=12 AEAC .EG=AG-AE=12-5=7 .AF=7: B G 当点E在线段AC的延长线上时，过点D作DH∥BC,交AC的延长下于点H,如图所示， 同理可得△EDH≌△FDA, ∴，AF=EH. ·AB=10,BD=2 .AH=AD=12,AE=AC+CE=10+5=15, .EH=AE-AH=15-12=3, 第66页共73页 .AF=3 综上所述，AF的长为7或3. H E 37.如图，等边△ABC的边长为2，BO为中线，点D为BO上不与端点重合的一动点，连接CD,并将CD 绕点C顺时针旋转60°得到线段CE,连接AE,OE,当△AOE是直角三角形时，BD的长为 N52W5 【答案】2或3 【分析】通过旋转的性质构造全等三角形，实现线段和角度的转化，再对直角三角形中直角顶点的不同位 置进行分类讨论，利用等边三角形、含30°角的直角三角形的边角关系求解， 【详解】解：如图，连接DE, D B :△ABC是边长为2的等边三角形， ∴AB=BC=AC=2,∠BAC=∠ACB=60°，∠ABC=60°， ,BO是AC边上的中线， 40-CO-7AC=B0LAC0R :B0=VBC2-0C2=V2-P=V5 第67页共73页 :将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE, ∴.CD=CE,∠DCE=60°， :.△CDE是等边三角形. 又∠ACB=60」 :.∠BCD=∠ACB-∠ACD=6O°-∠ACD,∠ACE=∠DCE-∠ACD=6O°-∠ACD, ∴.∠BCD=∠ACE 在△BCD与△ACE中， BC=AC=2 ∠BCD=∠ACE CD=CE △BCD≌△ACE(SAS) ∴AE=BD,，∠CAE=∠CBD, ,BO是等边△ABC的中线， :.BO是∠ABC角平分线， :∠CBD=)∠ABC=30 2 ∴∠CAE=∠CBD=30° ①当∠AE0=90°时， 在Rt△AOE中，∠0AE=30°，AO=1, 则OE是30°角所对的直角边， .△BCD≌△ACE BD-AE- 2 3 此时BD的长度为 第68页共73页 ②当∠A0E=90°时， 在Rt△AOE中，∠0AE=30°，A0=1, 则AE是斜边， AE=- A0 AO 1225 cos∠DAE cos30° 333. .△BCD≌△ACE ·BD=AE=23 3 √323 综上，当△AOE是直角三角形时，BD的长为2或3， 325 故答案为：2或3. 【点睛】本题考查了全等的性质和SAS综合(SAS),等边三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含 30度角的直角三角形，根据旋转的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知 识点并能熟练运用求解 38.在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D不与A,B重合），以点D为中 心，将线段DC顺时针旋转120°得到线段DE.∠ACD=15°，则∠BDE的度数是 【答案】75 【分析】本题考查旋转的性质，外角的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是理解题意，灵活运用 所学知识解决问题， 本题利用三角形的外角的性质求出∠CDB=45°可得结论. 【详解】解：，AC=CB,∠ACB=120°， .∠A=∠ABC=30°， 第69页共73页 :∠ACD=15°， ∴.∠CDB=LA+LACD=45° 由题意可得：∠CDE=120°， ∴.LBDE=∠CDE-∠CDB=120°-45°=75° 故答案为：75°」 39.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2,M是BC边上一动点，连接AM,将线段 AM绕点A逆时针旋转30°到线段AW,连接CW,当线段CN最短时，线段BM的长度为 2-5 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.由旋转的性质可得 AB=AH=4,BM=HN,∠H=∠B=60°，即点N在过点H且与AH成60°的直线上运动，则当 CN⊥HN时，CN有最小值，由直角三角形的性质可求解 【详解】解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转30°得到△AHN, :∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2, .∠BAC=30° .AB-2BC-4,AC-BC-2 旋转， ∴AB=AH=4,BM=HN,∠H=∠B=60° ·点V在过点H且与4H成60° CH=4-2V3 成的直线上运动， ∴.当CN⊥HN时，CN有最小值， 此时：∠HCN=30°， &N=2HC=2-5 ,BM=2-V3 第70页共73页 2-V5 故答案为： 40.如图，△ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点D是BC边上的一个动点，连接AD,将△ADC绕点 D顺时针旋转9O°，得到△EDF(点A,C的对应点分别为E,F)·若点B到E,F两点的距离相等，则 BD的长为 【答案】V2 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过点A作AG⊥BC于G,过点 E作EH⊥BC于H,连接BE、BF,由旋转的性质可得∠ADE=∠CDF=9O°，AD=DE,CD=FD,进 而可证 MDG≌△DBH(AAS),得到4G=DH,DG=BH,利用勾股定理和等腰三角形的性质可得 DH=BG=2V2 ，即可得 D=G,设BD=6H=a,则FD=CD=4W5-a,H=DG=22-a BH=25+a,由BE=F列出方程可得a=2 ,即可求解，正确作出辅助线是解题的关键。 【详解】解：过点A作AG⊥BC于G,过点E作EH⊥BC于H,连接BE、BF,则∠AGD=∠DHE=9O° 第71页共73页 由旋转可得，∠ADE=∠CDF=9O°，AD=DE,CD=FD, ·.∠BDF=90°，∠ADG+∠EDH=90°， 又：∠ADG+∠DAG=90°， ∴.∠DAG=∠EDH. ÷△MDG≌ADEH(AAS) .AG=DH,DG=EH :AB=AC=4,∠BAC=90°， :BC=V4+4平=4V2 AG⊥BC, :.BG-CG-1BC-22 2 :AG=VAB2-BG2=42-(22=22. ÷DH=BG=22 .BD=GH, D=GH=a,则 设 FD=CD=42-a EH=DG=22-a BH=22+a .BE=BF, ∴.BH2+EH2=BD2+FD2, 即(22+a+22-a=d+(42-a 解得aV2 第72页共73页 BD的长为V2, 故答案为：V2 第73页共73页 专题19 旋转相关拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 旋转相关最值问题】 1 【类型2 旋转含辅助线几何求解】 3 【类型3 旋转与函数图像综合】 5 【类型4 旋转相关综合性问题】 9 【类型5 旋转相关动点问题】 11 【类型1 旋转相关最值问题】 1．如图，在矩形中，，点在上，且，点是矩形所在平面内任意一点，且，连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结．则线段的最小值为（     ） A． B． C．8 D． 2．已知正方形边长为8，P在边上运动，连接，将线段绕着点B逆时针旋转，到线段，连接，线段的最小值为（     ） A．4 B．8－ C．4+4 D．4 3．如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，等边三角形，，为中点，为上的动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 5．如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 6．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D．2 7．如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 8．如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 （     ） A．4 B．2 C．1 D． 【类型2 旋转含辅助线几何求解】 9．如图，正方形中，，点是的中点，连接，将绕点的逆时针旋转得到线段，连接并延长交延长线于点，连接，则长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，点是正方形内一点，连接、、，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在正方形中，，为中点，连接为上一点，连接，把线段绕着点顺时针旋转后得到线段，连接和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，点在线段上，，连接，将绕点逆时针旋转90°得，将沿直线翻折到正方形所在的平面内得，连接，连接交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在正方形中，，点E在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转交延长线于点F，连接，连接分别交，于点M，N．若，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，点在上，且，连接，点在上，点在上，连接交于点，且，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 16．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【类型3 旋转与函数图像综合】 17．如图，中，，，绕点逆时针旋转得到，与，分别交于点，．设，的面积为，则与的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 18．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到，与BC，AC分别交于点D，E，设，的面积为，则与的函数图象大致为(   ) A． B． C．D． 19．如图，两个边长相等的正方形和，将正方形的顶点E与正方形的中心重合，正方形绕点E 顺时针方向旋转；设旋转的角度为，两个正方形重叠部分的面积为S，则变量S与θ的关系大致图象是（  ） A． B． C． D． 20．如图1所示，绕点A逆时针旋转，在此过程中的对应点依次为A、、连接，设旋转角为，，与之间的函数关系图象如图2，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 21．如图，在射线上顺次取两点C，D，使，以为边作矩形，，将射线绕点A沿逆时针方向旋转，旋转角记为（其中），旋转后记作射线，射线分别交矩形的边于点G，H．若，则下列函数图象中，能反映y与x之间关系的是（　　） A． B． C． D． 22．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转120°，得到线段PD，连接DB、DC、DB交PC于点M，设线段AP＝x，△BCD的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 23．如图，中，，，绕点A逆时针旋转（）得到，与分别交于点D，E．设，的面积为y，则y与x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 24．如图1，绕点A逆时针旋转，在此过程中的对应点依次为A、、连接，设旋转角为，，与之间的函数关系图像如图2，当时，的值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【类型4 旋转相关综合性问题】 25．已知，矩形中，，，点E是边上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论：①；②；③当点H和点G互相重合时，；④的最小值为；⑤的最大值为．正确的序号有__________． 26．如图，将等边绕点逆时针旋转得到，点、分别在和上，且，、相交于点，交于点．则下列结论正确的有___________．（填写序号） ①；②平分；③；④若，则． 27．如图，在平面直角坐标系中，点为，作轴，轴，垂足分别为，两点．点，分别是和边上的动点，连接，，始终为，连接分别交，于，两点．以下结论：①；②；③平分；④若为中点，则点坐标为．其中正确的结论为_____．（填正确选项的序号） 28．如图，在中，，，是斜边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结交于点，连结，给出下面五个结论：；；；；，上述结论中．所有正确的序号是______． 29．如图，是等边三角形内一点，且， ，，以下四个结论： ①；②；③；④点到三边的距离分别为，，，则，其中结论正确的有 __________．(填序号) 30．如图，在中，， ， 把绕点A逆时针旋转得到， 点D与点B对应，点 D 恰好落在上，过E作交 的延长线于点F， 连接并延长交于点G，连接交于点 H． 下列结论： ①；  ②；③；④其中正确的有_________________（填正确的序号）． 31．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 ________（填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 32．如图，已知，平分，P是上一定点，以点P为顶点作，将绕点P旋转，与交于点E，与交于F，连接交于点G（点G在O，P之间），以下4个结论：①是等腰三角形；②当时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形的面积也随之变化．其中正确的选项有_______． 【类型5 旋转相关动点问题】 33．如图，在等边三角形中，点为的中点，点为线段上不与端点重合的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．若，则当为直角三角形时，的长为______． 34．如图，在中，，，，为边上一点，且，点是边上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，若点恰好在边上，则线段的长为_________． 35．如图，在矩形中，，，点P是直线上的一个动点（不与点C重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．当时，的长为______． 36．如图，是等边三角形，边长为10，点D在延长线上，且，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接，将线段绕点D逆时针旋转60°得到线段，连接．当时，则线段的长为_________． 37．如图，等边的边长为2，为中线，点为上不与端点重合的一动点，连接，并将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，当是直角三角形时，的长为______． 38．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线段．，则的度数是_______． 39．如图，在中，，，，M是边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，当线段最短时，线段的长度为_________． 40．如图，中，，，点是边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到（点的对应点分别为）．若点到两点的距离相等，则的长为______． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $