专题15 相似相关几何动点问题分类训练（4种类型32道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦相似三角形与动态几何结合，通过4类32道题系统训练定值、最值、数量关系及存在性问题，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定值问题|8道|探究动点运动中线段比、面积等不变量|以相似性质为核心，通过比例转化建立等量关系| |最值问题|8道|求线段长、面积等动态最值|结合图形变换与函数建模，渗透转化思想| |数量关系|8道|推导线段间和差倍分关系|从特殊到一般，通过全等与相似推理构建关系| |存在性问题|8道|判断相似三角形等图形是否存在|强化分类讨论，综合运用相似判定与方程思想|

专题15相似相关几何动点问题分类训练 (4种类型32道) 专题目录 【类型1相似相关动点定值问题】 【类型2相似相关动点最值问题】 23 【类型3探究数量关系】 % 【类型4相似相关动点存在性问题】 74 【类型1相似相关动点定值问题】 1.如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB,过点P作 PE⊥PB,交DC于点E,已知AD=3,AC=5.设AP的长为x. PE (1)AB= 当x=1时，求PB的值： PE (2)试探究：PB是否是定值？若是，请求出这个值：若不是，请说明理由： 【答案】14,4 3 (2)是，4 AM PM 1 【分析】(1)过点p作PM⊥AB于点M,交CD于点N,先证明△APM∽△ACB,可得4=3=5， PE PN =5,再证明ABMP∽APNE,可得PBBM,即可求解： (2)同理(1)即可得结论： 【详解】(1)解：如图，过点P作PM⊥AB于点M,交CD于点N, 第1页共109页 A M 四边形 是矩形， D NE C ABCD .BC=AD=3,∠ABC=∠ADC=∠DAB=90° ÷在Rt△ABC中，AB=VAC2-BC=V5-3=4 当x=1时，即PA=x=1, :PM⊥AB,∠ABC=90°， .PM II BC .△APM△ACB, AM PM AP AM PM 1 AB=CBAC,即4=35， Pw=3 :AM=4 5 BM=AB-AM=4-4-16 55, .∠ADC=∠DAB=90°，PM⊥AB, ∴四边形ADNM是矩形， .MN AD=3, PW=MN-PM=3-3_12 Γ55， ,PE⊥PB,PM⊥AB, .∠PMB=∠PNE=∠BPE=90°， ∴∠BPM+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°， ∴.∠BPM=∠PEN, .△BMP∽△PNE, 12 路器 3 第2页共109页 PE (2)解：PB的值为定值. 如图，过点P作PM⊥AB于点M,交CD于点N, A M B D NE C 同理(1)可得△APM∽△ACB】 AM PM AP AM PM=x ·AB=CB=AC,即4=3=5， .PM=x AM=x 5 BM=4-4 ,PN=3-3 同理(1)可得△BMP∽△PNE, 3 ，1 PE PN 3- 51 3 PB BM 4 5+ 1 4 41-5 2.如图，BE、DF是正方形ABCD两个外角的平分线，点MN分别是平分线BE、DF上的点，且始终满 足∠MAW=45o E 图1 图2 (1)如图1，若AM=AN,求证：BM=DN: (2)如图2，若正方形ABCD的边长为2，随着点M在BE上运动，点N在DF上也随之运动， ①小明认为BMDN为定值，∠MCN为定角，请问你是否同意小明的观点，如果同意，求出定值和定角， 如果不同意，请说明理由： ②以BM,DN,MN为边构成的三角形面积为_· 第3页共109页 【答案】(1)证明：：BM,DN分别平分正方形的两个外角， ∴.∠CDN=∠CBM=45°. ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC=CD,∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°， ∴.∠ABM=∠ADN=135°， .∠NAM=45°， .∠BAM+∠DAN=45°，∠BAM+∠AMB=45° .∠AMB=∠DAN. 同理：∠BAM=∠DNA 在△MBA和△ADN中， [∠BAM=∠DNA ∠AMB=∠DAN AM=AN ∴.AMBA≌AADN(AAS) .BM=AD,AB=DN, 又AB=AD, :.BM =DN (2)①同意，BMDN=4,∠MCN=135°. ②2 【分析】(1)由已知条件易证∠ABM=∠ADN=13S°，∠BAM+∠NAD=45°，∠NAD+∠AND=45°，则 ∠BAM=∠AND,结合AM=AW,即可得到 MBA≌△ADN(AAS) 再由全等的性质即可证明： (2)①先证△ADW∽aMBA,利用相似的性质可得BM·DN=AB·AD=4,再证aCBM∽aNDC,结合角 的关系可求∠MCN: ②将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF,可得△ABF≌△ADN,利用边角的关系得出 △BMF是直角三角形，再得到面积即可. 【详解】(1)略 (2)①同意，BM·DN=4,∠MCN=135° 第4页共109页 由(1)知∠ADN=∠ABM=135°，∠DAN=∠AMB、 ∴△ADN∽△MBA, AD DN ·BM=AB, BM·DN=ABAD=4 ,BM·DN=BC·DC, BC BM DN DC ,∠CBM=∠CDN ∴.aCBM∽aNDC, .∠DCN=∠BMC, .∠BCM+∠BMC=135° :.∠BCM+∠DCN=135°， :.∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DC=135°： ②将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF. D B 则△ABF≌△ADN .∠I=∠3，AF=AN,BF=DN,∠AFB=∠AND, ∴.∠MAF=∠I+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAW=45° .∠MAF=∠MAN」 又：AM=AM, 第5页共109页 △AMF≌AAMN(SAS) ∴.MF=MN 可得∠MBF=(∠AFB+∠)+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°， ∴在RtABMF中，BM2+BF2=FM2. .BM2+DN2 MN2, 以BM,DN,MN为边构成的三角形面积为5BM-DN=×4=2 2 3.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连接DE交BC于 点F,BG平分∠CBE交DE于点G. D D D B B 备用图1 备用图2 (1)当点F恰好为BC的中点时，求证：△DCF≌aEBF; (2)若BD=6,DG=2GE ①求菱形ABCD的面积；②求证：∠DBG=90°，③求tan∠BDE的值. (3)若BE=AB,当∠DAB的大小发生变化时(0°<∠DAB<180)·.在AE上找一点T.使GT为定值，说 明理由并求出ET的值 【答案】(1)证明：四边形ABCD是菱形， ..DCll AB ∴.∠C=∠CBE,∠CDE=∠DEB 点F为BC的中点， :.BF=CF, ∠DCF=∠EBF ∠CDF=∠BEF 在 和 中， ADCF AEBF CF=BF ∴.△DCF≌△EBF(AAS) (2)① 第6页共109页 24②证明：四边形ABCD是菱形， ·.∠CBD=∠ABD={∠ABC 2 ·BG平分∠CBE, ∠CBG=∠EBG=。∠EBC ∠DBG=∠CBD+∠CBG=(ABC+∠BC)=×180=90: 4 ③g (B)解：如下图所示，连接AC交BD于点O,交DE于点L,过点G作GTI‖BC,交AE于点T,此时 6r-为定。 理由如下： D B 由题(2)③可知当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG‖AC, EG BE GL AB .AB=BE=5. ∴.EG=GL. 同理可得DL=GL, ∴.DL=GL=EG, GT II BC, ∴.GTI‖AD ∴.∠ETG=∠EAD,∠EGT=∠EDA, .AEGT∽AEDA GT EG ET 1 AD ED EA3· 第7页共109页 5 又：AD=B=5,G7=3,为定值. 此e时r-4-(4+E）-9. 【分析】(1)根据菱形的性质可知∠C=∠CBE，∠CDE=∠DEB,根据中点的定义可知BF=CF,利用 AAS可证△DCF≌aEBF (2)①根据菱形的性质可知AC⊥BD,OA=OC,OB=OD=3,利用勾股定理可以求出AC=8,根据 菱形的面积公式即可求出菱形ABCD的面积： ②根据菱形的性质可知CBD=∠ABD=2ABC,根据BG平分人CBE,可得ZCBG=∠EBG=》 2 ∠EBC 可证∠DBG=∠CBD+∠CBG=90°： ③根据平行线分线段成比例定理可以求出0=4-8号 33,根据正切的定义即可求出结果： (3)由题(2)③可知当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG‖AC,根据平行线分线段成比例可知 GT EG ET 1 EG=GL,同理得ADOL∽ADBG DL=GL,根据AEGT∽aEDA,可得：AD ED EA3,由 0=B=5可以求出67-青：为定监：即可求出T+的-9。 【详解】(1)略 (2)①解：如下图所示，连接AC交BD于点O, ~四边形ABCD是菱形， AC1BD:04-0C.OB-OD-7BD-x6=3 2 2 又：AB=5, ∴.OA=VAB2-0B2=V52-32=4 ∴.AC=20A=8 :菱形ABCD的面积是)4CBD-×6x8=24 2 第8页共109页 D G B ②略 ③解：如下图所示， :∠DOL=90°，∠DBG=90° .∠DOL=∠DBG=90°， ∴.ACI/BG DL-DO=1 GL BO DL=GL=DG .DG=2GE .GE=IDG 2 ∴.DL=GL=GE, .CDIlAB CL DL 1 AL EL 2 1 CL=AC=,×8=9 3 3, 0L=4-84 33, 4 ∴.tan∠BDE= 0L_3_4 DO O G (3)略 4.综合与探究 第9页共109页 【问题情境】 综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动 【实践操作】 如图1，将等腰RtAEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF=90°，EA=EF,连接CF 点H为CF的中点，连接HD,HE,DE,得到△DHE 图1 图2 图3 【应用探究】 (1)勤奋组：如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由： (2)善思组：如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由； 【深入探究】 BE BE (3)创新小组发现：若连接CF,在旋转Rts4EF的过程中CF为定值，请你直接写出CF的值， 【答案】(1)△DHE是等腰直角三角形.理由见解析 (2)△DHE是等腰直角三角形.理由见解析 2 3)2 【分析】(1)结论：△DHE是等腰直角三角形.利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可」 (2)连接BH,过点H作HG⊥AB于G.想办法证明DH=BH,BH=EH,∠DHE=90°，可得结论. (3)利用相似三角形的判定和性质解决问题即可. 【详解】(1)解：结论：△DHE是等腰直角三角形.理由如下： ,四边形ABCD是正方形， .∠CDF=90,∠DCA=45°， ∠AEF=90°， .∠CDF=∠FEC=90°， ,点H是CF的中点， ·DH=,CF,HB=ICF 2 第10页共109页 :DH-HE-1CF-CH=HF 2 .CH=HE. :.∠HCE=∠HEC, .∠EHF=∠HCE+∠HEC=2∠HCE, 同理：∠DHF=2∠HCD ,∠DCA=∠HCE+∠HCD=45° ∠DHE=∠DHF+∠EHF=2(∠HCE+∠HCD)=90°、DH=HE :,△DHE是等腰直角三角形. (2)解：结论成立.理由如下： 如图3：连接BH,过点H作HG⊥AB于G, 图3 ,四边形ABCD是正方形，RtAAEF是等腰三角形，∠AEF=90°， ∴.∠BAC=∠EAF=45°， A,F,C共线， 'CB=CD,∠BCH=∠DCH=45,CH=CH, △BCH≌ADCH(SAS) .DH=BH,∠CDH=∠CBH ,∠FEA=∠HGA=∠CBA=90°， ∴.EF∥G∥BC, BG CH EG HF' ..CH=HF. ∴GB=GE ,HG⊥BE, .HB=HE, 第11页共109页 、.∠HBE=∠HEB,HE=HD. :∠CDA=∠CBA=90°，∠CDH=∠ABH. ∴，∠ADH=∠ABH=∠HEB, :∠HEB+∠AEH=180°， ∠ADH+∠AEH=180° ∴∠DHE+∠DAE=180°， :∠DAE=90°， .∠DHE=90°， ∴.△DHE是等腰直角三角形。 (3)解：如图1中，连接AC,BE. 图1 :四边形ABCD是正方形，RtaAEF是等腰三角形，∠AEF=9O°，EA=EF, ∠CAB=∠EAF=45°AC=V2ABAF=V2AE AB AE2 ∠CAF=∠BAE'ACAF2 ∴△BAE∽aCAF, BE AB2 CF AC 2 5.(1)初步探究： 如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D为边BC上一点，以AD为边作等腰直角三角形ADE, 且∠DAE=90°，连接CE,若BD=2,AB=4V2,求△CDE的面积. (2)深入探究： 如图2，矩形ABCD 为一个艺术演艺规划区域，B=105+10m,D=40m.在矩形4BCD 部或边上， 作如下规划：点B为入口，点E为AD中点，点F在边CD上，△DEF为演员化妆区，DF=2Om,点P在 第12页共109页 AB上，4P=105-10m,点Q在F上，等边 POI 为表演舞台 ,△MPO和△BPI为观看区域.请问观看 区域△AP9和△BPI面积之和是否为定值？如是，说明理由并求出定值；如不是，说明理由. B 图1 图2 【答案】(1)6： (2)观看区域△Mr2和△BPI面积之和为定值，定值为150+50~5)m ,理由如下： 作R⊥AB交AB于点R,作QN⊥RN交RI的延长线于点N,作QM1AB交AB于点M,作PH⊥QI交QI 于点H,过点H作HK⊥AB交AB于点K,作QJ⊥AD交AD于点J,延长KH交QN于点T,如图所示： D P R B ·.∠AM0=∠AJ0=∠ARI=∠QNR=∠HKP=90°， 又：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90°， :四边形AMQ)是矩形，四边形AKT是矩形，四边形ARNW是矩形， :.AW=Mg=KT=RN,AM=JQ,AK=JT,∠JTK=∠NR=90°， .AK-AM=JT-JO 第13页共109页 ..MK=OT, ABCD AB=10W3+10mAP=10V3-10m ,四边形 是矩形， ：AD=40m BP=AB-AP=20(m) :点E为AD中点， 46-号40=20n DE DF=20. .△DEF是等边三角形，∠DEF=45°， 0=EJ, 设Q=EJ=x, AJ=AE+EJ=20+x=MO=KT=RN PM=AP-AM=103-10-x ?△POI是等边三角形，PH⊥OI, ÷∠Pg=60=∠0Pm,∠HP1=∠HPQ-)<QP1=30,Qn=m=o, ∴tan∠0PH-g1=tn∠30°- PH 3 PH3 即OH :∠PHK+∠QHT=180°-∠PH0=180°-90°=90°，∠HPK+∠PHK=180°-∠PKH=180°-90°=90°， .∠QHT=∠HPK 又∠HKP=∠HT9=90°， .△PKH∽aHTQ. PK_PH_KH=3 ∴.HT HO T9 设r=y,则PK=3y, 第14页共109页 :∠QTH=∠NR=90°， .HT∥N, ∴.aOHT∽aOIN, OH HT 1 .OI IN 2' :IN=2HT=2y, ..KT=20+x=RN=MO :.KH =KT-HT=20+x-y,RI=RN-IN =20+x-2y, ÷70=KH20+x-y .MK-MP+PK-105-10-x+3 MK-OT 20+x-y=10W3-10-x+V3y, ：vBx+x-4y=10-10N5 8m4r0M-o5-0k(20+-(65-列k(20+. Sam-P8R-20x(20+x-2)=20+10-20y, SAPO+SBPI =1003-100+5V3x-5x+200+10x-20y =100W3+100+5V3x+x-4y) =1003+100+510-105) =100√3+100+50-50W5 =150+50W5 第15页共109页 ÷观看区域aMPO和aBPI面积之和为定值，定值为150+505)m 【分析】(1)先证明△BAD≌△CAE,得到BD=CE=2,∠ACE=∠B=4S°，推出∠DCE=90°，利用 勾股定理可知BC的长度，从而得到CD的长度，然后根据三角形面积公式计算即可： (2)作R⊥AB交AB于点R,作QN⊥RN交RI的延长线于点N,作M1AB交AB于点M,作PH⊥QI 交QI于点H,过点H作HK⊥AB交AB于点K,作Q,⊥AD交AD于点J,延长KH交ON于点T,先证明 四边形AMQ)是矩形，四边形AKTI是矩形，四边形ARNW是矩形，求得△DEF是等边三角形，设 PK_P阳-K-5,设Hm=y那么PK=By Q=EJ=x’,E=9x'证明APKH∽aHIQ,得到HT=H0TO 接下来利用 KH=50r=5MK,得到3x+-4y=10-10 ,又因为 S+S.m=)AP-QM+PB-I,从而计算出面积的定值。 2 【详解】解：(1)：△ABC、△ADE为等腰直角三角形， :∠B1C=D1E=90°，AB=AC=42.∠ABC=∠ACB=450AD=AB .∠BAD=∠CAE, △BAD≌ACAE(SAS) .BD=CE=2,∠ACE=∠B=45 .∠DCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°， 又：BC=VAB2+AC=42+(42=8, ∴.DC=BC-BD=8-2=6. :S.cm-DC-CE-x6x2=6, 1 2 2 (2)略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定 第16页共109页 理，矩形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 6.(1)如图，已知△ABC和△DCE均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90° D 图1 图2 图3 【发现问题】①如图1，连接BE,若AC=BC=4,CD=CE,AE=2,∠EAC=45°，则AD的长为 【探索问题】②如图2，若∠1BC=∠CED=∠EAC=30°，AC=2V5,AE=-8 求AD的长 【解决问题】(2)如图3，在凸四边形4BCD ∠DAB=∠DBC=∠DCB=45°，AB=4V ， ,过D作 DE⊥AD,交AB延长线于点E.那么△ABC的面积是否定值若为定值，请求出这个值，请求出这个值： 若不是，请说明理由 421 【答案】[发现问题]6；[探索问题]3；[解决问题]不变，16 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形： (1)[发现问题]①连接BE,证明△ACD≌aBCE,得到AD=BE,在Rt△BAE中，AB=4√2，AE=2, 勾股定理求出BE,得到答案： AD_AC 3 [探索问题]②连接BE,证明△ACDABCE,得到BEBC3,求出BE的长，得到AD的长. ABD≌AECD(SAS) (2)[解决问题]证明 进而得出∠AEC=90°，CE=B=42,进而根据三角形的面 积公式，即可求解 【详解】解：(1)如图1，连接BE, 第17页共109页 图1 ∠ACB=∠DCE=90° :.∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又AC=BC,DC=EC, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠BCE=∠ACD DC=EC .△ACD≌ABCE. ∴AD=BE, AC=BC=4. .AB=4v2 :∠BAC=∠CAE=45°， .∠BAE=90°， 在RtABAE中，AB=4V2,AE=2, BE=42+2=6, .AD=6: ②在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°， tan30°=AC-V5 BC 3, ∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠BCE=∠ACD, ∴.ACDABCE 第18页共109页 AD_AC3 .BE BC 3 ∠BAC=60°，∠CAE=30° =90°，又1B=.=2AC=4W3, sin30° BE=VAB+AE2=(43+82=47 47x542 .AD= 33 [解决问题](2)解：如图所示，过D作DE⊥AD,交AB延长线于点E,连接CE, 图3E :DE⊥AD,∠DAB=45°， ∴.△ADE是等腰直角三角形， ∴.AD=DE,∠DEA=45°. 又：∠DBC=∠DCB=45°，∠BDC=90°， ∴.DB=DC,∠ADB=∠EDC, :△1BD≌ECD(SMS) ∠DEC=∠DAB=45°CE=AB=4√2 .∠AEC=∠AED+∠DEC=90°， .Sc =1 0xcE-4-16 7.综合与探究： B B P E M D 图1 图2 第19页共109页 (1问题情景：如图1，AB∥CD,连接AD,BC交于点O,AO=3,BO=4,CO=8,则D0= (2)拓展延伸：如图2，在矩形ABCD中，AD=6,AB=8,动点P从点B出发，沿射线AB运动，动点Q 从点D出发，在线段DC上运动，连接P9,交AC于点M,交BC于点N.当DO=BP=2时，求线段 MN的长. MN (3)延伸探究：在(2)的条件下，P,Q在运动的过程中始终保持BP=DQ,此时QN是否为定值？若为定 值，求出该定值；若不为定值，请说明理由。 【答案】(1)6 15 2)4 MN (3)是定值， N为定值； 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： (1)根据AB∥CD,可得△AOB∽aDOC,再由相似三角形的性质解答即可： (2)证明△MPWn△C0M,△PRNCN,可得QM-QP,eN=QP,即可求解 3 8 PM AP PN PB (3)设BP=x.由(2)可知，QMC9,NC,从而得 OM-OP QN-OP 16 进而 得到Mw=QN-QM-86QP,即可求解. 16 【详解】(1)解：：AB∥CD, .△AOBADOC. AO BO .D0C0 ,A0=3,B0=4,C0=8, 34 D08, .D0=6: 故答案为：6 第20页共109页 (2)解：如图，连接BD, B P E M :四边形ABCD为矩形， ·.AB∥DC,CD=AB=8,∠ADC=90,AC=BD, AD=6, BD=AC=AD+CD-10 .△APM∽△CQM,△PBN∽△QCN, PM AP PN PB .OM CO'ON OC' PM 10 PN 2 OM6.ON6 ..OMOP ONOP 41 :BP=OD,BP∥D9. ∴四边形BDQP是平行四边形， .OP=BD=AC=10 ：MN=ON-OM=3oP=15 3 8 4 (3)解：是定值. 设BP=x」 PM AP PN PB 由(2)可知， OM CO ON OC PM 8+x PN x ·QM8-x,QN8-x’ MOP ON-P 第21页共109页 :MN-ON-QM-8-QP-8-OP-8-OP 8 16 16 8-x0P1 MN_16 、ON。。'OP2 MN :0N为定值2 8.如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在边AB,AD上，且∠ECF=45°，CF的延长线交 BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF,GH. B H A G 备用图 (1)填空：∠AHC∠ACG;(填“>”或“<”或“=”） (2)线段AC,AG,AH什么关系？请说明理由： (3)设AE=m, ①△AGH的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值. ②使△CGH是等腰三角形的m值为_· 【答案】(1)= (2) 结论：AC2=AG·AH 理由：，∠AHC=∠ACG,∠CAH=∠CAG=135°， .△AHC∽△ACG AH AC AC AG .AC2=AG·AH 6 3)①不变化，A4GH的面积s为定值，这个定值是16：②m的值为2或3或8-4V2 【分析】此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识， 第22页共109页 (1)根据正方形的性质可得∠DAC=45°，利用外角的性质和已知条件即可求出∠AHC=∠ACG: (2)利用有两组对应角相等的两个三角形相似证明△AHCn△ACG即可； (3)①根据(2)得出的结论即可得到△AGH的面积S不变： ②根据△CGH是等腰三角形分类讨论：当GC=GH时，先证△AHG≌△BGC,即可求出AG=BC=4, BC BE 1 AH=BG=8,再利用平行可得：AHAE2,再利用BE与AE的和为4即可求出m:当CH=HG时， 原理同上：当CG=CH时，先证∠ECB=∠DCF=22.5°，在BC上取一点M,使得BM=BE,可证 CM=BM,设BM=BE=x,则CM=BM=2x,再利用勾股定理即可求出*，再利用BE与BA 的和为 4即可求出m. 【详解】(1)，四边形ABCD是正方形， AB=CB=CD=DA=4,∠D=∠DAB=90°，∠DAC=∠BAC=45°， :1C=V4+42=4V2 :∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ECF=∠ACH+∠ACG=45°， ∴.∠AHC=∠ACG 故答案为=， (2)略 (3)①△AGH的面积不变， 理由：：Sm-4H4G=4C2=42=16 2 2 ∴△AGH的面积为16 ②如图1中，当GC=GH时， 图1 ·.∠ECF=45° ∴.∠CGH=90° 第23页共109页 ∴.∠CGB+∠AGH=90° :∠AHG+∠AGH=90° ∴.∠CGB=∠AHG 在△BGC和△AHG中 I∠CGB=∠AHG ∠CBG=∠GAH=90° GC=GH .ABGC≌aAHG 可得AG=BC=4,AH=BG=8. :BC∥AH, BC_BE_1 ·AHAE2' E-24B-8 8 3 3· 如图2中，当CH=HG时， B E H DE G 图2 .∠ECF=45° ∴.∠CHG=90° ∴.∠CHD+∠AHG=90° .∠AHG+∠AGH=90° ∴.∠CHD=∠AGH 在△DCH和△AHG中 I∠CHD=∠AGH ∠HIDC=∠GAH=90° CH=GH 第24页共109页 ∴.△DCH≌aAHG, AH=DC=4. ,BC∥AH, BE BC 心E附1， ∴AE=BE=2. 如图3中，当CG=CH时， M B H G 图3 由(2)中△AHC∽a△ACG, AH AC-HC=1. AC AG CG ∴AH=AC :∠ACH=∠AHC=∠CAD=2.50 2 .∠ECB=22.5° 在BC上取一点M,使得BM=BE, .∠BME=∠BEM=45°， '∠BME=∠MCE+∠MEC, .∠MCE=∠MEC=22.5°， :CM=BM,设BM=BE=x,则CM=BM=2x, :x+V2x=4 解得：x=45-。 E=4-4N2-=8-42 第25页共109页 8 综上所述，满足条件的m的值为3或2或8-4V2· 【类型2相似相关动点最值问题】 9.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90,AC=6,BC=8,E是线段AB上的一点，点D是线段BC上的 一个动点，沿AD折叠△ACD,点C与C'重合，连接BC'; (1)当BE为何值时，△AEC'∽△AC'B? 2在（①）的条件下，若点F是BC上的一点，且所=2，求BC+PC的录小值 3 【答案】()BE=32 2,21) AE AC' 【分析】(1)由线段的数量关系可得AC=AB,可得结论： (2由相似=角形的性质可得BC+PC-(GC+FC),则当点E:点C,点r三点共线时。 5 3 EC+FC有最水价。即BC+C有技小值，由相似三角形的性项和匆股定理可求BG的长，圆可求解. 【详解】(1)解：沿AD折叠△ACD,点C与C'重合， ..AC=AC=6, ∠C=90°，AC=6,BC=8, .AB=VAC2+BC2=V6+82=10 ∠CAE=∠BAC, .若△AEC'∽△ACB 第26页共109页 AE AC' 则须AC=AB, 4E=4C”_6218 AB105, BE=AB-AE=10-18_32 55, 放当BE=32 时，△AEC'n△AC'B: (2)解：△AEC'∽aAC"B」 EC'AE AC'6 3 BC=AC=AB-10-5 :.BC=5EC 3 :.BC+5FC=5(EC+FC). 3 3 :当点E,CF三点共线时，EC+AC有成小值，即BC+C有最小痘，如图，过点g作B别⊥BRC 3 于H, 由(1)得：∠C=90,4C=6,AB=10,BC=8,BE=32 :∠ACB=∠EHB=90°，∠ABC=∠EBH ∴△ABC∽△EBH, BE BH EH AB BC AC· 第27页共109页 32 即5=BH_EH 1086 BH=128 EH= 96 251 25, BF=2, .HF BH-BF= 12 25 -2=78 5 ∴.EF=VEH+HF2 96)2 78 2 6√17 25 25 5, :BC+FC的最小值=写x) 5.617 =2√17 3 10.问题背景 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，ADI‖BC,AB=12,BC=9,AD=4,点E是射线BC上的动 点，以AE为直角腰在AE右侧作四边形AEFG,且四边形ABCD∽四边形AEFG.连接FC. 观察感知 (1)如图，当AE∥CD时，EF交CD于点M,求CM的长. G M E (2)探究发现 设BE=x,△ECF的面积为S,求S关于x的函数关系式. (3)问题拓展 如图，连接DF,点E在运动过程中，求线段DF的最小值. 第28页共109页 20 【答案】(1) 3x+2 -x(0<x<9) (jS= 8 (x>9) 8 63 (3)5 【分析】(1)根据题意，由平行四边形的判定得到四边形ADCE为平行四边形，根据相似多边形的性质， 结合勾股定理得到AE=13,再证明△ABE∽△EMC即可求解； AE 4 (2)根据多边形相似得到EF=3,如1,2图，过点F作FH⊥BC交射线BC于点H,证明 小BGB得到F-寻，分类时论：当点卫在线段RC上时：当点在C廷长线上时：结合面制的 计算即可求解； (3)如图，过点F作FH⊥BC交射线BC于点H,延长AD交直线FH于点K,结合(2)的计算得到 BE AB AE 4 EE配设BB=m5则9，F阳子m,Km+g,2:K=3 K=2m,在BIDKE中由股定理得到DF关于m的函数值，再根据二次函数，三次根式的计算 可求解 【详解】(1)解：AD/BC,AEIICD,∠BAD=90° ∴.四边形ADCE为平行四边形，∠ABC=∠BAD=90°， .EC=AD=4, :四边形ABCD∽四边形AEFG, ∴.∠CME=∠AEF=∠ABC=90°， 第29页共109页 .BE=BC-EC=9-4=5, .,Rt△ABE,AE2=AB2+BE=122+52=132 中， .AE=13 :∠AEF=∠ABC=90°. ∴.∠BAE+∠AEB=180°-∠ABC=90°，∠MEC+∠AEB=180°-∠AEF=90°， .∠BAE=∠MEC, :∠ABE=∠EMC=90°， ∴.AABE∽AEMC AE BE 135 ECMC,即4CM, CM=20 13· (2)解：~四边形ABCD∽四边形AEFG, AB BC AE EF AE AB 12 4 EF BC9=3, 如1,2图，过点F作FH⊥BC交射线BC于点H, G D D A M E C CE 图1 图2 、.∠FHE=∠ABC=90° 由题可知∠AEF=∠ABC=90° ∴.∠BAE+∠AEB=90°.∠FEH+∠AEB=90° .∠BAE=∠FEH, .△ABE∽△EHF, BE AE 4 HFEF3· BE=x, 第30页共109页 ∴.HF 4, 分类讨论： ①如1图，当点E在线段BC上时(0≤x≤9)，EC=BC-BE=9-x, 当x=0时，即点E与点B重合，点F与射线BC上，即点E,C,F共线，此时△ECF不存在，当x=9时， 即点E与点C重合，△ECF不存在， .0<x<9. 4 +8x: ②如2图，当点E在BC延长线上时(x>9),EC=BE-BC=x-9, -1 2 88 3x+2 x(0<x<9) S= 8 综上所述，S与x的函数关系式为： 8 (x>9) (3)解：如图，过点F作FH⊥BC交射线BC于点H,延长AD交直线FH于点K, G 四边形 为矩形， M B E C H ABHK AE4 由(2)可知：△ABE∽△EHF,EF3, BE AB AE 4 HFEHEF3 设BE=m, m、12 AE 4 HF EH EF3 3 ..EH=9.FH=m 4 .AK BH BE+EH=m+9.HK=AB=12, 第31页共109页 DK=AK-AD=9+m-4=5+m FK=HK-FH=12-3 2564)2 3969 在R△DKF中， DF-DK+FK-1 5m2-8m+169= V16 m-25 25 25 >0 16 当ms 64 25时， DF有最小值， 256464 2 3969 396963 ∴.最小值为16 (2525 25 25 5, 3 :线段DF的最小值为5 11.在矩形ABCD中，AB=10,AD=17,E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE,把△ABE沿直 线AE折叠，使点B落在点P处， D D F M B B------- B------- E ① ② ③ (I)【初步感知】如图①，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC, (2)【深入探究】如图②，点N在线段AD上，AW=4.在点E的移动过程中，当点P在矩形内部，且 △PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长. (3)【拓展运用】如图③，点M在线段CD上，CM=4,在点E的移动过程中，求PM的最小值 【答案】(1)证明：连接EF, B E ·矩形ABCD 第32页共109页 ∠B=∠C=90° 由折叠性质得△ABE≌△APE, ∴.∠APE=∠B=90°，EP=EB :E是BC中点， ∴EB=EC,即EP=EC 又EF为公共边，∠EPF=∠C=90°， ∴.RtAEPF≌RtAECF(HL) :.FP=FC (2)5 8)513-10 【分析】(1)连接EF,因为折叠性质可得AB=AP,BE=PE,∠APE=∠B=90°，所以 ∠EPF=∠C=9O°：结合E是BC中点得PE=CE,再利用HL证明RtAEPFS≌RtAECF即可. (2)由折叠得AP=AB=10,因为△PDN以DN为斜边的直角三角形，所以∠DPN=90°：过点P作 PG⊥AD于点G,延长GP交BC于点H,先证明△NPGAPDG,得到PG2=NG·DG,在RtAAPG中， 根据勾股定理列出三边关系，进而与前面的关系联合可求出AG,PG的长，再证得△AGP∽△PHE,列出 AG AP PHPE即可求出BE的长度. (3)因为折叠后AP=AB=10,所以点P的轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆弧；求PM最小值，只 需计算A到M的距离，减去半径AP的长度即可. 【详解】(1)略 (2)解：AD=17,AW=4, .DN=AD-AN=13 :△PDN是以DN为斜边的直角三角形， ∴∠DPN=90° 过点P作PG⊥AD于点G,延长GP交BC于点H, 第33页共109页 G B----- E H AB⊥BCAB⊥AD ∴四边形ABHG是矩形， ∴.PH⊥BC,GH=AB=I0,即∠AGP=∠PGD=∠PHE=90°. :∠DPN=90° ∴.∠NPG+∠DPG=90° 又∠DPG+∠PDG=90°」 ∴∠NPG=∠PDG △NPGAPDG, NG PG PG DG ..PG2=NG.DG, 设AG=x,PG=y, 在RtAAPG中，AP=AB=10. .x2+y2=100 ①， NG=AG-AN=x-4,DG=17-x. f代入PG2=NG-DG,得=(x-417-@. 将①代入②，消去'和”得10=21x-68,解得=8， 代入得y=6,即AG=8,PG=6,PH=GH-PG=4 ∠APE=90° ∴.∠APG+∠EPH=90°， 又∠APG+∠PAG=90°. .∠PAG=∠EPH, 又∠AGP=∠PHE=90°， ∴.△AGP∽△PHE. 第34页共109页 AG AP PH PE 8_10 设BE=PE=m,代入得4m,解得m=5: ·BE的长为5 (3)解：由折叠性质可知，无论E如何移动，都有AP=AB=10,即点P到定点A的距离恒为10，因此 点P的轨迹是以A为圆心、半径r=10的圆弧（矩形内部）. .CM=4,CD=AB=10」 ∴.DM=CD-CM=6 连接AM,在RtAADM中，∠ADM=90°，AD=17, M B AM=VAD2+DM2=V172+6=5V13 圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，因此PM的最小值为 AM-AP=5V13-10 12.如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=8,点E,点F分别为AB,AD边上的动点，且满足 AFEBAFGC G E E B (1)连接EG,求证：△FEGPAFBC: SAFEG 1 (2)若AB=2BE,在点F的运动过程中满足SF2,求证：此时点F为AD边的中点： (3)如图2，若AE=BE,连接BG,求BG的最小值. 【答案】(1)证明：，△FEBAFGC, FB FE ·.FCFG,∠EFB=∠GFC, ∴.∠EFB+∠BFG=∠GFC+∠BFG,即∠EFG=∠BFC, 第35页共109页 ∴，△FEGOAFBC: (2)证明：设AF=x, AE=2BE,AB=12, ..AF=8. 在RtAAEF中，EF2=x2+82, 在RtAABF中，BF2=x2+122, ”AFEGAFBC'S,2 (EFY 1 BF=2, x2+821 ·+12=2,即2(x+82）=x2+12, 解得=4与-4 (舍去)， 、>.1F=A三21○ 点F为AD边的中点： ()BG 6N2-2 的最小值为 FB FE 【分析】(1)由AFEBPAFGC,得到FC-FG,∠EFB=∠GFC,推出∠EFG=∠BFC,即可证明 △FEGr△FBC: (2)设AF=x,利用勾股定理求得EF2=x2+82,BF2=x2+12,根据相似三角形的性质得到 人BF)“之，再列式计算可得到4=4)4 2 D,即可证明点F为AD边的中点： (3)在矩形内部找一点O,过点E作AB的垂线E0,使EO=6,连接OB,OG,如图，通过计算得到 点G在以点O为圆心，2为半径的圆上运动，当点G在线段BO上时，BG取得最小值，据此计算即可得到 BG 6V2-2 的最小值为 第36页共109页 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：AE=BE,AB=12, AE=BE=)AB=6】 在矩形内部找一点O,过点E作AB的垂线E0,使E0=6,连接OB,OG,如图， D G B 设F=x,同理， EF=x2+62 BF=x2+122 ,矩形ABCD, ∴AD∥BC, .∠AFB=∠FBC, .△FEG∽aFBC, EG EF BCBF,∠FEG=∠FBC, EG=8EF8+6 BFVx2+122,∠AFB=∠FEG, :∠AFB=∠AFE+∠EFB, ∴.∠AFB-∠AFE=∠EFB, :OEI‖AF 、.∠AFE=∠OEF, .∠OEG=∠EFB, 作EN⊥BF于点N, 5.wr-2 BFx EN-BExAF 2 EN=- 6x x+122, 第37页共109页 2 、.FN=VEF2-EN= (x2+62） 6x x2+72 Vx2+122 Vx2+144, 作OM⊥EG交EG延长线于点M, :∠OEM=∠EFN,∠OME=∠ENF=90°， ∴aOEM∽aEFN, OM EM OE 6 ·.EN=FN EF EF, EN=- 6x x+12, .OM=EN.6=_6x6 36.x F+12"F+6+12×+6, EM=x2+72 6 6x2+432 √x2+144Vx2+62Vx2+144Vx2+62, BG-8V Vx2+122, EG=_ 8(x2+62) 8x2+288 2+122Vx2+6x+122.√x+6, MG-EM-EG 6x2+432 8x2+288 2x2-144 VX+144Vx2+6Vx2+122V2+62Vx2+122V2+6, …0G2=0M2+GM2= 36.x 2x2-144 4x+180x2+5184） =4 x4+180x2+5184 “0G=2(负值已舍)， ∴点G到定点O的距离始终为2，即点G在以点O为圆心，2为半径的圆上运动， 第38页共109页 ∴当点G在线段BO上时，BG取得最小值， .BE=OE=6. .0B=62 BG 6√2-2 ∴的最小值为 13.纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性.A4纸是我们常见的矩形打印纸，将A4纸ABCD沿 垂直AD的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕EF两侧的两个小矩形称为A5纸，它们与原来的矩形相 似，以其中一个为例，可记为矩形EABF∽矩形ABCD;将A5纸类似的对折，得到与之相似的A6纸， A4纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感。 D D D F 图1 图2 图3 (1)如图1，设AD=2a,则A4纸的宽AB= (用a表示)；连接BE,过点E作EG⊥BE交CD于 点G,则DG=」 (用a表示)： (2)如图2，在(1)的条件下，再次折叠纸片，使点B落在AD上的点E处，折痕为MN,连接AC.请写 出并证明线段MN与AC的关系： (3)如图3，AD=2a,若点E为边AD上的一动点，沿BE折叠纸片，使点A落在P处，连接PD,CP,求 V2DP+CP的最小值， -a 【答案】(1)V2a,2“: MNI‖AC4MN=3AC (2) AB=2a AE=a 证明：，矩 EABF,由()得 ∠EAB=∠B=∠AEF=∠AFB=∠EFC=90°AB=EF=√2aAE=BF=a ,矩形ABCD, ∴BC=AD=2a, 第39页共109页 :△MBN沿MN折叠得AMEN,点B落在AD上的点E处， ∴.BM=ME,BN=NE,∠B=∠MEN=90° :在RtAME 中， ∠EAB=90°AE=aBM=ME=AB-AM=√2a-AM 根据勾股定理，MB=AB2+AM2,即(N2a-AM)=d2+AM2 整理得： a(a-2V2AM)=0 a≠0 .a-2V2AM=0,解得： AM= 49 BM ME =312 4 a, :∠MEN=∠AEF,即∠AEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF, ∴.∠AEM=∠FEN, ,在△AEM和△FEN中， ∠EAB=∠MEN I∠AEM=∠FEN, ∴.△AEM∽aFEN, 3V2 “二怨甲”解得：NE-。 EF NE 2a NE 3W2」 .BM a 3.BN2" =4“=3, 2a3 AB 2a 4 BC 2a 4 BM BN :AB BC' ,在△MBN和△ABC中， BM BN AB BC ∠B=∠B '.△MBN∽△ABC, 第40页共109页 3 MN_BN-24-3 ∠BMN=∠BAC' AC BC 2a 4 .MNI‖AC,4MN=3AC: (3)V6a 【分析】(1)先根据对折的性质结合题意求出AE的值，根据矩形推出BC=AD=2a,∠A=∠D=90°，再 根据矩形EABF∽矩形ABCD,求出AB的值，然后结合EG⊥BE,证明△ABE∽△DEG,最后运用相似 的性质求解即可： (2)先结合矩形的性质和折叠的性质求出AM的长度和证明△AEM∽aFEN,运用相似的性质求出 BN、NE的值，再根据线段成比例和共角证明△MBN∽△ABC,运用相似的性质即可求证： 3)取BC的中点，连接PO,证明△CBPPB0,求得CP=V2PO,当D、Re=点共线时， DP+PO 取得最小值，最小值为D的长，即5DP+CP取得最小值，最小值为 2DO ,据此求解即可 【详解】(1)，对折，AD=2a, .AE-ED-AD-d, 2 矩形ABCD, ∴BC=AD=2a,∠A=∠D=90°， :矩形EABF∽矩形ABCD, ABAE ·BCAB,即AB-=AEBC, AB-a:2a=a ,EG⊥BE, ∴∠AEB+∠DEG=90°， ,∠AEB+∠ABE=90°， .∠DEG=∠ABE, ,在△ABE和△DEG中， 第41页共109页 ∠A=∠D ∠DEG=∠ABE, ∴.△ABE∽△DEG, AB AE 2a a :EDDG,即aDG,解 DG- 20 (2)略 (3)如图，取BC的中点，连接PO, E D B Q AD=2a, AB=2a ∴.由(1)得 '△ABE沿BE折叠得△PBE, BP-4B-Va ·矩形ABCD, BC=AD=2aCD=AB=V2a∠BCD=90° ..BO=OC=a BC-2a=Bpa= BP 2a,BO a BC BP :BP BO' ∠CBP=∠PBQ, .△CBPOAPBO 第42页共109页 CP BC ∴F0P=5,即r=2r0 DP+CP-D(DP+P) 、当DPQ三点共线时，DP+P№取得最小值，最小值为DO的长， 即5DP+CP取得最小值，最小值为 2DO R1aDCQ∠DCB=90°CD=V2aCp=a ,在 中 二根据勾股定理， Dg=VDC2+Cg2=√3a 2DP+CP 2DO=V6a 的最小值为 14.在矩形ABCD中，AB=10,AD=17,E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE,把△ABE沿直 线AE折叠，使点B落在点P处 D A D 【初步感知】 B 图1 图2 (1)如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,连接EF, ①求证：△EPF≌△ECF;②求△ADF的面积： 【深入探究】 (2)如图2，点M在线段CD上，CM=4,点E在移动过程中，直接写出PM的最小值： 【拓展运用】 (3)如图2，点N在线段AD上，AN=4.点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边 的直角三角形时，求BE的长 【答案】(1)①证明：如图①， 第43页共109页 E 图① 由折叠的性质，得∠APE=∠B=90°，PE=BE,AP=AB=10, .∠EPF=90°， :四边形ABCD为矩形， ∴.∠C=90° E为BC的中点， .BE=EC, ∴.PE=EC 在Rt△EPF和RtAECF中， .EP=EC.EF=EF, :.RtAEPF≌RtAECF(H,L) 1887 ②80 2,5B-10 (3)5 【分析】(I)①由折叠的性质结合矩形的性质，即可求证：②根据全到三角形的性质可得FP=FC,设 111 DF=x,则FP=FC=10-x,利用勾股定理求出x= 40,即可求解： (2)根据题意得点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上.连接AM,当点P在线段AM上时，PM 有最小值.根据勾股定理求出AM,即可求解： (3)过点P作PH⊥AD于H,交BC于点G,证明△PHN∽aDHP,可得HP2=HNHD,设HN=x, HD=13-x,根据勾股定理得到关于x的方程，可得到HP=6,AH=8.HG=AB=10,PG=4 BG=AH=8.设BE=m,则PE=m,GE=8-m.在Rt△PGE中，根据勾股定理求出m=5,即可求 解。 即BE的长为5， 第44页共109页 【详解】(1)①略： ②：RtAEPF≌Rt△ECF ..FP=FC 设DF=x,则FP=FC=10-x. 在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2, .(10+10-x)}=172+x2 解得x1 40 aDr的面积DF.AD-×0x17=187 240 80: (2)解：，AP=AB=10,点E在移动过程中，AP=10不变. ∴点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上. 连接AM, D M E C 当点P在线段AM上时，PM有最小值. ,AD=17,AB=CD=10,CM=4, .DM=6 :AM=VAD2+DM2=V17+6=V325=513 :PM的最小值为M-AP=5B-10 (3)解：过点P作PH⊥AD于H,交BC于点G, A N H D 3 112 B 第45页共109页 .∠NPD=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠3=90°. ∴∠3=∠2 :∠PHN=∠DHP, .△PHN∽ADHP, HP HN HD HP ∴.HP2=HN-HD, AN=4,AD=17, .DN=13 设HN=x,HD=13-x, 、AH=x+4HP2=x13-x) :AB=10 .AP=AB=10, .HP2=AP2-AH2, 、HP2=102-(x+4)2 x(13-x)=102-(x+4)2 解得x=4, .HP=6,AH=8.HG=AB=10,PG=4.BG=AH=8. 设BE=m,则PE=m,GE=8-m. 在Rt△PGE中，PE2=EG+PG, m2=(8-m)2+42 解得，m=5, 即BE的长为5. 15.【综合与实践】如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD, 以CD,为直角边在CD,的右侧构造Rt△CDE,∠DCE=90°，连接BE, 第46页共109页 B 图1 图2 图3 【特例感知】 (1)如图1，若CA=CB,CD=CE,BE与AD之间的位置关系是一，数量关系是-： 【类比迁移】 C5-?k(k+),猫想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猫想： (2)如图2，若CDCA 【拓展应用】 (3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF.四边形CDFE的对角线DE与CF交于点 M,如图3.已知AC=4,设AD=x,四边形CDFE的面积为y,求y与x的函数表达式，并求出y的最小 值 【答案】(1)AD=BE,ADLBE BE=kAD,AD⊥BE (2) ,证明如下： ,∠ACB=∠DCE=90° .∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE, CE_CB=k(k+1). 又：CDCA ∴△ACDABCE, BE_CB=k, .AD CA,∠CBE=∠A' .BE kAD. 又，∠A+∠ABC=90°， .∠CBE+∠ABC=90°， .∠ABE=90°，即AD⊥BE 第47页共109页 w与x的函数表达式。)=-42x+160≤x≤4W),其最小值为8 【分析】(1)证 △1CD2△BCE(SAS),得到MD=BE,∠CBE=∠A=45 ,再证明 ∠ABE=∠CBE+∠ABC=9O°，即AD⊥BE: (2)先证明△ACD∽aBCE,再根据相似三角形的性质即可解答： （3)在④)的条件下，AC=BC=4,B=VAC+BC=45,AD=BE,ADLBE,即可得到 AD=BE=x BD=42-x DE2=BD2+BE2=2x2-82x+32 再由对称证明四边形 DFE 是正方形， 最后根据少=Sm号DE求解折式和最小值回可。 【详解】(1)解：：∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE. ∴、∠A=∠ABC=45°，∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE, △ACD≌△BCE(SAS) ·.AD=BE,∠CBE=∠A=45°， .∠ABE=∠CBE+∠ABC=90°，即AD⊥BE, ∴.BE与AD之间的位置关系是AD⊥BE,数量关系是AD=BE;, (2)略 (3)解：在(1)的条件下，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°， AC=4, :.AC-BC=4.AB-AC+BC=4 由(1)可得AD=BE,AD⊥BE, ..AD=x, AD=BE-*BD-4B-AD=42-x .DE2=BD2+BE2=(4V2-x+x2=2x2-8N2x+32 点F与点C关于DE对称， ∴.DE垂直平分CF, 第48页共109页 、CE=EF,CD=DF, .CD=CE ..CD=DF=EF=CE, :∠DCE=90°， ∴四边形CDFE是正方形， =SDE2=-42x+16=(-2+8, 0sx54 当-22 时， y=S1E方形cDr 有最小值，其最小值为8. 16.已知正方形ABCD的边长为6. E D P B B F C 图1 图2 (1)如图1，若E、F分别为AD、AB上的动点，BE与CF相交于点P,且AE=BF. ①求证：△ABE≌aBCF: ②连接DP,当∠CDP最大时，求CF的长. 2如图2，若B为AD的中点，P为BE上的动点，P为BC上一点，V为C印上一点，且满足CF=B即， 2 ∠CNF=∠EBC,求BN的最小值. 【答案】(1)①证明：：四边形ABCD是正方形， .∠BAE=∠CBF=90°，AB=BC. 在△ABE和△BCF中， AB=BC ∠BAE=∠CBF AE=BF 第49页共109页 △ABE≌ABCF(SAS) ②36 3√69-3√5 (2)4 【分析】(1)①根据正方形的性质得到∠BAE=∠CBF=90°，AB=BC,再利用SAS证明△ABE≌aBCF 即可：②根据全等的性质得到∠ABE=∠BCF,进而推出∠BPC=90°，则点P在以BC为直径的圆上运动； 以BC为直径作⊙G,连接PG、DG,当DP与⊙G相切时，∠CDP最大，此时∠DPG=9O°，根据正方形 的性质得到BC=AD=6,∠DCG=90,AD∥BC,证明R RtADPG≌RtADCG(HL),得到DP=DC,再 证明四边形DGBE是平行四边形，得到DE=BG=3,BF=AE=AD-DE=3,最后在Rt△BCF中利用勾 股定理即可求解； (2)连接CE,延长FN交CE于点G,过点G作KG⊥CE交CD于点K,以KC为直径作OO,连接BO NO ,根据E方形的性质证明△MBE2,DCE(S4S),则BE=CE,得到∠EBC=∠ECB,再证明 CG CF 1 ANEC2ACEGNBEC,得到BC=BP2,则CG=)BC=3,通过证明AGCK-ADCE,求出GKs3 2 2 CK=GK2+CG2 2,再证明C,N,G,K四点共圆，得到 ON-OK=35 4,利用勾股定理求出 B0=VBC2+0C2=3V69 4,最后利用两点之间线段最短的性质即可求出BN的最小值. 【详解】(1)解：①略： ②由①得，△ABE≌aBCF, .∠ABE=∠BCF, ∴.∠ABE+∠CBP=∠BCF+∠CBP. 即∠CBF=∠BCF+∠CBP=90°， 第50页共109页 .∠BPC=90°， ∴点P在以BC为直径的圆上运动： 如图1，以BC为直径作⊙G,连接PG、DG, E D G 图1 当DP与OG相切时，∠CDP最大，此时∠DPG=90°， ,正方形ABCD的边长为6， .BC=AD=6,∠DCG=90°，AD∥BC, ·∠DPG=∠DCG=900, BG=1BC-3. 2 又PG=CG,DG=DG .RIADPG≌RIADCG(HL) .DP=DC, 又.PG=CG, ·.DG是PC的垂直平分线， .DG⊥PC, ,∠BPC=90°，即BE⊥PC, .DG∥BE, 又：DE∥BG, ∴.四边形DGBE是平行四边形， .'DE=BG=3. .'BF=AE AD-DE=6-3=3. :CF=VBF2+BC=3+6=35 (2)解：如图2，连接CE,延长FN交CE于点G,过点G作KG⊥CE交CD于点K,以KC为直径作 ⊙0，连接BO、NO 第51页共109页 E D B 图2 则∠KGC=90°， ∴点G在⊙0上， ,正方形ABCD的边长为6， AB=BC=CD=AD=6,∠BCD=∠D=∠A=90° E为AD的中点 AE=DE=AD=3 2 △ABE≌ADCE(SAS) .BE=CE. .∠EBC=∠ECB, :∠CNF=∠EBC, ∴.∠CNF=∠ECB, 又，∠NFC=∠CFG. ∴.ANFCOACFG ,∠CNF=∠EBC,∠NCF=∠BCP, 、△NFC∽aBPC, ∴.aCFG∽aBPC, CG CF 1 ·BCBP2, :∠GCK=∠DCE,∠KGC=∠D=90°， ..AGCKADCE GK CG GK 3 ·DECD,即3=6， 第52页共109页 :GK=3 2 cK-GKCG35 , &0C=0k-ck-35 2 4, .∠ECB=90°-∠GCK=∠CKG,∠CNF=∠ECB, ∴∠CNF=∠CKG ,∠CNF+∠CNG=180°， .∠CKG+∠CNG=180°， “.C,N,G,K四点共圆， 点N在△CGK的外接圆上，即点N在⊙O上， 0W=0k=35 4 ）3 中，B0=VBC2+OC 35 3√69 =,62+ Rt△BOC 4 4 :BN+ON≥BO ÷BN≥B0-ON=3N69-3V5 43 3√69-35 :当B,N,O三点共线时，BN有最小值4， 3v69-3V5 ∴，BN的最小值为 4 【类型3探究数量关系】 17.己知在△ABC中，AB=AC=8,BC=4,点P是边AC上的一个动点，∠APD=∠ABC,AD∥BC,连 接DC. 第53页共109页 图1 图2 图3 (1)如图1，如果DC∥AB,求AP的长： (2)如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E,设AP=x,AE=y,求y关于x的函数解析式，并写出 它的定义域： (3)如图3，如果直线DC与边BA的反向延长线交于点F,连接BP,当△CPD与△CBF相似时，试判断线 段BP与线段CF的数量关系，并说明你的理由 【答案】(1)2 8x (2)y= 2-x,它的定义域是0<x<2 BBP=CF,理： 2 :∠APD=∠ABC, .∴.∠DPC=∠FBC, :∠PCD是△ACF的一个外角， ∴∠PCD>∠F, 由aCPD与△CBF相似，则∠PCD=∠BCF 过点B作BEI‖AC交CF于点E, 第54页共109页 B E 图3 .∠BEC=∠ACD ∴.∠BEC=∠BCF, ·.BE=BC=4 BE∥AC, BE BF ·ACAF, 4 BF 8BF+8 .BF=8, ..BF=AB=8, .B是AF中点. .ADI BC. .∠BCF=∠ADC, .∠PCD=∠ADC, ∴AD=AC=8 由(1)知△DPA∽△ABC, AP AD BC AC, .AP8 48 .AP=4 :P是AC中点 .BP是△ACF的中位线， :.BP= 第55页共109页 AP AD 【分析】(1)先证明ADP4A4BC,得出比例式BC=AC,即可求解； AP AD AD AE (2)由(1)得出BC=AC,AD=2AP,再由AD‖BC,得出BC=BE,即可得出函数解析式： (3)过点B作BE‖AC交CF于点B,根据平行线分线段成比例及相似三角形的性质说明BP是△ACF的 中位线即可 【详解】(1)解：ADI‖BC,DC∥AB, 四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC=4 ADI BC, .∠DAP=∠ACB, ∠APD=∠ABC, ADPASAABC, AP AD BC AC AP 4 .48 .∴.AP=2 AP AD (2)解：由(1)得BCAC, AP=x,AE=y .x AD …48 .AD=2x, .ADI BC, ∴.△EADAEBC. AD AE BC-BE· 2x=y 4y+8 第56页共109页 .2y=y+8x ..2y-xy=8x .(2-x)y=8x 8x ∴.y= 2-x' x>0,y>0 .0<x<2. (3)略. 18.如图，等边三角形ABC,点D为边AC上一动点，连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到 线段DE,连接BE交直线AC于点F. A D H G B B 图1 图2 图3 )如图1，若FDE=45°BF=3 ,求4的长度， (2)如图2，当B,4,E三点共线时，连接CE,点G为BD中点，连接AG,过点G作GH⊥CE于点H,请猜 想AG,EH的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接AE,点D在边AC上运动时，点P为线段AB上一点，点O为线段BD上一点，连接 CP,CO AP=BO AE CO+CP CE AB=6 AE CO+CP ，当以及 均最小时，连接，若 ,直接写出当以及 均最小时对应△CPE的面积. 【答案】3-5 第57页共109页 2H-4G 证明：连接CG,延长CG至点Q使得G0=CG,连接B0,如图2， E 点G为中点， G 图2 BD ..BG=DG 在△CDG和△OBG中， CG=0G ∠CGD=∠QGB DG=BG ∴.ACDG≌△QBG(SAS) ∴.∠QBG=∠CDG,BQ=CD :将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE, .BD=DE,∠BDE=120° .B,A,E 三点共线， ∠DBE=∠DEB-080-120）=30°， 4 BD-ZARC=∠CBD手0 .AB=BC. ∴.BD⊥AC,AD=CD ·BD垂直平分AC, ∴.CG=AG,∠CDB=90°，AD=CD ∴.∠QBD=∠CDG=90° 第58页共109页 .∠CBQ=∠CBD+∠QBD=120°. .∠BAC=60° .∠CAE=180°-∠BAC=120°， .∠CAE=∠CBQ, .∠AED=30° ∴.∠ADE=180°-120°-30°=30°， .∴.∠ADE=∠AED. :AD=AE, ∴.BQ=CD=AD=AE ∴.△CBQ≌ACAE(SAS) ∴.CE=CQ=2CG,∠ACE=∠BCQ ∴.∠ACE+∠ACQ=∠BCQ+∠ACQ=∠BCA=60°. .∠GCE=60°， GH⊥CE, .∠CGH=30°， CH-CG-G EH=CE-CH=2CG-1 2CG-3 54-9W5 3)2· 【分析】(1)过点F作FH⊥BC于点H,根据旋转的性质及等边三角形的性质在RtABFH和RtACFH中， 解直角三角形，再利用线段的和差关系进行求解即可： (2)连接CG,延长CG至点Q使得G0=CG,连接B吧，证明△CDG≌△QBG,旋转，结合等边对等角， 求出∠DBE=∠DEB=080-120)-30,三线合一得到BD垂直平分AC,进而得到AG=CG,证明 △CBQ≌aCAB,得到CE=2CG,ACGH为含30°角的直角三角形，进而求出CH=2CG,线段的和差关 第59页共109页 系求出H-Cc-4 2 (3)延长CA至点F,使AF=AC,证明△BAF∽aDBE,从而推出△FBE∽aABD,得到点E在直线EF上 运动，垂线段最短，得到AE⊥EF时AE最短，得到此时B,4,E三点共线，结合(2)中结论得到AE=3, 将AB绕点A旋转30°，得到AH,连接PH,CH,证明△BCQ≌△AHP,得到CO+CP=IHP+CP≥CH, 进而得到当C,P,H三点共线时，CQ+CP有最小值，求出AP的长，进而确定△CPE的位置，利用面积公 式进行计算即可。 【详解】(1)解：过点F作FH⊥BC于点H, F 将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 图1 BD 120° DE .∠BDE=120°，BD=DE, ∠FDE=45°， .∠BDA=120°-∠FDE=75°，∠DBE=∠DEB=30°， :△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=∠C=60,AB=AC=BC, .∠CBD=∠FDB-∠C=15°， :.∠FBH=∠DBE+∠DBC=45°， 在aBH中，FH=m=2aF=3 2 在RLACFH中，∠C=60°，FH=3, ∴.∠CFH=30° ∴.CF=2CHFH=V3CH=3 第60页共109页 .CH=3,CF=25 ..BC=AC=3+3 ..AF=AC-CF=3-3 (2)略 (3)解：延长CA至点F,使AF=AC,则AF=AB,∠BAF=120° 图3 .∠ABF=∠AFB=30° ∴.∠ABF=∠DBE=30°，∠BAF=∠BDE=120°， :△BAFSADBE, BD BE .AB BF, BD AB .BE BF, :∠FBE=∠ABD=30°+∠EBA, :△FBEAABD, ∠BFE=∠BAD=60°， ∴.∠AFE=∠BFE-∠AFB=30°， ·点E在直线EF上运动， .当AE⊥EF时，AE最小， 此时∠FAE=60°， .∠BAF+∠FAE=180°， B,A,E 当1最小时，点， 三点共线， 第61页共109页 由(2)可知，此时D为4C中点，MB=AD)4C=3,∠CB02ABC=30°， 如图4，将AB绕点A旋转30°，得到AH,连接PH,CH, 则AH=AB=BC=AC,∠PAH=30°=∠CBO,∠CAH=∠BAC+∠BAH=90°， M D 为等腰直角三角形， 图4 ∴.△AHC ∠H=45°， 又BO=AP, ∴.△BCO≌△AHP(SAS) ∴.CQ=HP ∴CQ+CP=HP+CP≥CH, C,P,H CO+CP 三点共线时， 有最小值， 过点P作PM⊥AH, :∠H=45°，∠BAH=30°， :PM=HM,AP=2PM, .AM=3PM .AH MH+AM=PM+3PM=6 .PM=3V3-3 .AP=6N3-6 如图5，当AE以及CQ+CP均最小时，P,E位置如图， PE=AE+PA=6V3-3 则 第62页共109页 图5 过点c作Cw⊥AB:则4W=B=3,GN=NaC-N-3N5, 2 S.s=)PB.CN=54-95 2 2 19.探究不同情境，解决下面问题： D A 图1 图2 图3 呵题发现：如图，在RAARC中，BAC=P,光点p是C上一动点不与点B重合 ∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,填空： PB ①cD-: ②∠ACD的度数为_· 2拓展探究：如图)，在R△4BC中，∠B4C=90P,AC=k,点p是边BC上一动点（不与点B重合） ∠PAD=9O°，∠APD=∠B,连接CD,请判断PB与CD之间的数量关系以及∠ACD与∠B的数量关系，并 说明理由 3 (3)解决问题：如图°，在 C中，∠B=45°，AB=4V2BC=4+24 AB BC 是边上一动点（不与点 B重合)，∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长. 【答案】(1)①1，②45°： 第63页共109页 PB (2)CD =k,∠ACD=∠B,理由如下： :∠BAC=∠PAD=90°，∠APD=∠B, ∴.△ABCAAPD AB AP ·Ac=AD =k :∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°， .∠BAP=∠CAD △ABPD△ACD. PB AB ·∠ACD=∠B·CDAC =k ,321 (3)2或2 BAP≌ACAD(SAS) 【分析】(1)证明 ,由全等三角形的性质即可得出结果： AB AP (2)先证明△ABCAAPD,得出AC=AD =k,再证明∠BAP=∠CAD:得出ABPAACD,由相似三 角形的性质即可得出结果； (3)过点A作AH⊥BC于点H,分两种情况：当点P在BH上时，当点P在BH的延长线上时，分别结 合相似三角形的性质计算即可得出结果。 B=1 【详解】(1)解：①：∠BAC=90°，AC, .AB=AC, .∠B=45°， .∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°， ∴.AP=AD,∠PAD-∠CAP=∠BAC-∠CAP,即∠BAP=∠CAD, 在△BAP和△CAD中， AB=AC ∠BAP=∠CAD AP=AD △BAP≌aCAD(SAS) 第64页共109页 .PB=CD,∠ACD=∠B=45°， PB=1 CD ②由①可得∠ACD=∠B=45°： (2)略： (3)解：过点A作AH⊥BC于点H,当点P在BH上时，如图： H A 图3 ∠B=45°， ∴，△ABH为等腰直角三角形， :AB=4V2, ·H=BH=2 AB=4, :BC=4+2W14 .CH=2W14, :.AC-VCI+AI=62 PH=PP-AH=3 .PB=BH-PH=1, ,∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B, .△ABC△APD」 AB AC AB AP APAD,即ACAD, :∠PAD=∠BAC,即∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD, ∴∠BAP=∠CAD ∴.△ABPn△ACD. 第65页共109页 AB PB :AC CD' 421 ∴.62CD, :CD=3 2 当点P在BH的延长线上时，如图： C H B 图4 ∠B=45°， ∴，△ABH为等腰直角三角形， .AB=4v2, ·h=BH= AB=4, 2 :BC=4+214 .CH=214, AC-VCH+A=6 PH-PR-A-3 .PB=BH+PH=7. ,∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B, ∴△ABCAAPD, AB AP ..AC AD' ,∠PAD=∠BAC,即∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD, ∴.∠BAP=∠CAD .△ABPP△ACD, 第66页共109页 AB PB :AC CD' 4v27 .62CD, CD=21 2 321 综上所述， CD的长为2或2： 20.【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质. 己知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=10,点D是BC边上的动点（不与点B,C 重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE,CE，DE与AC交于点F. 图1 图2 图3 (1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由. (2)【深入探究】如图2，当点D运动到CD=4时，求EF的长. B)【拓展延弹1如图3.点为D延长线上一点，月满足MC-,当C-(:>时，求架的 MD 值（用含k的式子表示）， 【答案】(1)CE=BD,理由如下： 由旋转得∠DAE=90°，AD=AE .∠BAC=90° ∴.∠DAE=∠BAC ∴.∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD ∴.∠CAE=∠BAD .AB=AC :△MBD2aACE(SMS) ..CE=BD 第67页共109页 2g丽 1 3)k-1 ABD≌△ACE(SAS) 【分析】(1)证明 即可得证： (2)先由勾股定理求解DE,然后根据等腰直角三角形求解AE,AB，再证明△AEF∽△ABD得到 EFAE BDAB即可： DM DCDC 1 DMDM 1 (3)证明aMCD∽aMEC即可得到CM=CE=BDk,则FM=CMk,从而得解. 【详解】(1)略 (2)解：BC=10,CD=4, ∴BD=BC-CD=6, B=AC,∠BAC=90 .∠B=∠ACB=45° .AABD≌AACE .CE=BD=6,∠ACE=∠B=45°， .∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° DE-DC2+CE+6-23 在RIAADE中，AD=AE, :DE=VAD2+AE=V2AD∠AED=∠ADE=45 04-号0e- 2×213=V26, 同理可求4B=4C=2C-点x10=5万 2 2 :∠AEF=∠B=45°，∠EAF=∠BAD=90°-∠DAF ∴.△AEFP△ABD 第68页共109页 EF AE ·BDAB EF 26 .65√2 解得EF=63 5 (3)解：由(1)可得，△ABD≌△ACE ∴.∠ECA=∠B=45° ..MC=MF, .∠MCF=∠MFC ∴.∠FCD+∠MCD=∠ECF+∠FEC '∠DCF=∠ECF=45° ∴.∠MCD=∠MEC .'∠M=∠M ∴.△MCD∽aMEC DM DC DC ∴.CM CE BD BD DC =k(k>) DM DCDC 1 CM CE BD k ..CM=FM DMDM 1 ·FM CM k -DM_1 .FDk-1· 21.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是射线AB上的一个动点，连接DE 第69页共109页 D D C D O 的 EB 图1 图2 图3 【模型建立】 (1)如图1，当点E在线段AB上时，将射线DE绕点D逆时针旋转60°与BC相交于点F,连接EF,用等式 写出线段BE,BF,AD的数量关系，并说明理由： 【模型应用】 (2)如图2，当点E在AB的延长线上时，将射线DE绕点D逆时针旋转60°与BC的延长线相交于点F,连接 EF,用等式写出线段BE,BF,AD的数量关系，并说明理由： 【模型迁移】 (3)如图3，O为对角线AC的中点，连接OE,将射线OE绕点O逆时针旋转60°与直线BC相交于点F,连 接EF,用等式写出线段BE,BF,AD的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)AD=BE+BF,理由如下： 如图，连接BD 0 E ,四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴，△ABD是等边三角形， 、.∠ADB=∠ABD=∠DBC=60°，AD=AB=DB ,射线DE绕点D逆时针旋转60°与BC相交于点F, ∴.∠ADB=∠EDF=60° ∴.∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF=6O° ∴.∠ADE=∠BDF, .△ADE≌aBDF(ASA). 第70页共109页 .AE=BF, ∴AB=AE+EB=BF+BE,即AD=BF+BE: (2AD=BF-BE,理由如下： 如图，连接BD D C ,四边形ABCD是菱形，∠A=60° .AD=BC,∠A=∠BCD=60°，△ABD,aBCD是等边三角形， ·.DB=DC,∠ABD=∠BDC=60° ,射线DE绕点D逆时针旋转60°与BC的延长线相交于点F, ∴.∠BDC=∠EDF=60°. .∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF, ∴∠BDE=∠CDF. .'∠DBE=180°-∠DBA=120°，∠DCF=180°-∠BCD=120° .∠DBE=∠DCF, ·.ADBE≌aDCF(ASA). ∴BE=CF, BC+CF=BF,AD=BC. ∴.AD+BE=BF, :AD=BF-BE: B)解：当点E在线段AB上，点F在线段BC上时， AD=2(BE+BF) 当点E在线段AB上，点F在线段 CB的延长线上时， AD=2(BE-BF) 当点E在线段AB的延长线上时， AD=2(BF-BE) 理由如下： 如图，当点E在线段AB上，点F在线段BC上时， 连接BD,过点O作OG∥DA交AB于点G, 第71页共109页 D 0 :四边形ABCD为菱形，∠BAD=6O°，△ABD是等边三角形， ∴∠OBA=60°，AD=AB, .OG∥DA, ∠OGB=∠DAB=60°， .∠OGB=∠OBA=60°， :AOGB是等边三角形， .∠G0B=60°，OG=OB. ,射线OE绕点O逆时针旋转60°与直线BC相交于点F, 同(1)可得△GOE≌aBOF(ASA), ∴.GE=BF ∴.BE+BF=BE+GE=BG」 又O为AC的中点，OG∥DA, ∴.△OGA∽△CBA, AG AO 1 ·ABAC2' .G为AB的中点， .'AB=2GB. AD=AB=2(BE+BF ②如图，当点B在线段AB上，点F在线段CB的延长线上时，连接BD,过点O作OG∥DA交AB于点 G, 第72页共109页 D 'G 同理得△GOE≌aBOF(ASA). ..GE=BF, ∴.BE=EG+GB=GB+BF, ..GB=BE-BF, 由①可得AD=2GB, AD=2(BE-BF ③如图，当点E在线段AB的延长线上时，连接BD,过点O作OG∥DA交AB于点G, F D 、O G B E 同理可证aGOE≌aBOF(ASA), ∴.GE=BF .BE=EG-GB=BF-GB, ∴.GB=BF-BE 由①可得AD=2GB AD=2(BF-BE) 【分析】(1)连接BD,根据菱形的性质及等边三角形的判定得出△ABD是等边三角形，再由旋转的性质 确定∠ADB=∠EDF=6O°，得出∠ADE=∠BDF,结合全等三角形的判定和性质得出 △ADE≌△BDF(ASA),即可得出结果； (2)连接BD,根据菱形的性质及等边三角形的判定得出△ABD,△BCD是等边三角形，再由旋转的性质确 第73页共109页 定∠BDC=∠EDF=6O°，得出∠BDE=∠CDF,结合全等三角形的判定和性质得出aDBE≌aDCF(ASA), 即可得出结果： (3)由于点E,F的位置不确定，需分点E在线段AB上，点F在线段BC上；点E在线段AB上，点F在 线段CB的延长线上；点E在线段AB的延长线上三种情况讨论. 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 22.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是斜边AB上的动点（不与点A,B重合），E是直线 BC上的动点（不与点B,C重合），连接DE,将DE绕点D顺时针旋转90°至DG,连接EG,BG B G 图1 图2 图3 (L)如图1，若D为AB的中点，连接CD,点E在BC的延长线上，用等式写出线段BD,BG,BE的数量关系， 并说明理由； (2)如图2，若D不是AB的中点，点E在BC边上，用等式写出线段BD,BG,BE的数量关系，并说明理由 BF.GF 3)在(2)的条件下，如图3，作点D关于BG的对称点R连接 ,6,已知F=5,BE=2,求D 的长。 【答案】(1)BE=BG+√2BD,理由如下： 等腰Rt△ACB, ∴.∠A=∠ABC=45° :D是等腰Rt△ACB斜边AB的中点， ∴.CD⊥AB,即∠CDB=90° ∴△CDB为等腰直角三角形，CD=DB 由旋转得，∠EDG=90° .∠CDB-∠CDG=∠EDG-∠CDG」 第74页共109页 ∴.∠EDC=∠GDB. 由旋转得，ED=DG △EDC≌AGDB(SAS) ∴.EC=BG .BE BC+EC ∴.BE=BC+BG .BC=DB2 +DC2=BD ∴.BE=BG+V2BD: (2)2BD-BG+BE 理由如下： 如图，过点D作DH⊥AB交BC的延长线于点H, H .'∠ABC=45° ∴，△DHB是等腰直角三角形， .HD=BD,∠H=45°， .∠HDB=∠EDG=90° ∴.∠HDE=∠BDG ED=DG △HDE≌ABDG(SAS) ∴.HE=BG,∠H=∠DBG=45° BG+BE=HE+BE=HB=V2BD∠EBG=∠ABC+∠DBG=9O° 第75页共109页 2BD=BG+BE (3)BD=3V2 EDC≌△GDB(SAS 【分析】(1)先证明 ,则EC=BG,由勾股定理可得BC=ND+DC=V5BD,再 由线段和差结合等量代换证明即可： (2)过点D作DH⊥AB交BC HDE≌△BDG(SAS) 的延长线于点H,证明 再由全等三角形的性质结合 线段和差证明即可： (3)连接EF,过点E作EH⊥FB交FB的延长线于点H,可得四边形DGFE是正方形，可证明B,E,F,G 四点共圆，再证明△EGB∽aEFH,即可由相似三角形的性质结合(2)的结论求解。 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如解图，连接EF,过点E作EH⊥FB交FB的延长线于点H, B G ·DE=DG ∴由对称可得，DG=FG,DE=FE .DG=FG=DE=FE .四边形DGFE是菱形， .'∠EDG=90° ∴.四边形DGFE是正方形， ∴∠GEF=45° 由(2)可知，∠GBE=90° ,∠GFE=90°， 第76页共109页 ·B,E,F,G四点共圆， ∴.∠FBG=∠GEF=45°，∠EGB=∠EFB, ∴.∠EBF=90°+45°=135° ∴.∠EBH=45o 在等腰Rt△EBH中，BE=2, H=BH=2 则 :H那=BH+BF=V2+V2=2N2 ,∠GBE=∠H=90°，∠EGB=∠EFB, .△EGBAEFH, EB EH 1 BG HF2 ,BE=2, .BG=4, 2BD=BG+BE 由(2)中结论，得 &V2BD=4+2 BD=3V2 23.四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一动点（不与A,B重合），点F是射线BC上一动点（不与 B,C重合)，连接DE B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E,F分别是AB,BC的中点时，连接AF,写出AF和DE的数量关系，并说明理由： (2)如图2，当点E,F分别是边AB,BC上任意一点时，过点F作FG⊥DE交DE于点O,交AD于点G, 第77页共109页 写出DE和GF的数量关系，并说明理由； 3)如图3，平移图2中的线段GF,使点G与点D重合，点F在BC的延长线上，连接EF,取EF的中点 P,连接PC,写出BE和CP的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)AF=DE,理由如下 ,四边形ABCD是正方形， AD=AB=BC,∠DAB=∠ABC=90°， ,点E,F分别是AB,BC的中点， 片AE=)AB,BF=BC, 2 2 ∴.AE=BF, 在△ADE,ABAF中， AD=AB ∠DAE=∠ABF AE=BE △ADE≌ABAF(SAS) ..AF=DE; (2)DE=GF,理由如下， 如图，过点A作AH∥FG交BC于点H, G A D 0 H F 图2 :四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC, AG∥HF, :四边形AHFG是平行四边形， .'AH=FG. ,FG⊥DE,AH∥FG, 第78页共109页 .AH⊥DE, ·∠BAH+∠AED=90° ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAE=∠ABH=90, .∠BAH+∠AHB=90°， .∠AED=∠BHA, △AED≌ABHA(AAS) .AH DE, .DE=GF: (3)EB=PC ,理由如下， 如图，连接DP, D(G M 图3 由(2)可得DE=DF,DE⊥DF ∴aDEF是等腰直角三角形，则∠DFP=45 P是EF的中点， ∴DP⊥EF,则∠DPF=90° :四边形ABCD是正方形， .DC⊥BC, ∴.∠DCF=∠DCB=90°， ∴.∠DPF=∠DCF=90° 、D,P,C,F四点共圆， .∴∠DCP=∠DFP=45o ∴.∠PCF=∠DCP+∠DCF=45°+90°=135° 在BC上取点M,使得BM=BE, 第79页共109页 “.△BEM是等腰直角三角形 ∠BME=45°EM=V2EB .∠EMC=180°-∠EMB=135o ∴.∠EMC=∠PCF ∴.EM∥PC ∴.△FPC∽AFEM PC PF 1 ·EMEF2 ∴.EM=2PC 2Pc-B 即EB=V2PC ADE≌ABAF(SAS) 【分析】(1)根据正方形的性质，结合已知条件，证明 ，根据全等三角形的性质， 即可得出结论； (2)过点A作AH∥FG交BC于点H,则四边形AFG是平行四边形，则AH=FG,再证明 △AED≌ABHA(AAS ,根据全等三角形的性质得出4H=DE,等量代换得出DE=GF,即可得出结论： (3)连接DP,证明D,P,C,F四点共圆，得出∠DCP=∠DFP=45°，在BC上取点M,使得BM=BE, ∠BME=45°EM=V2E 得出 ,进而证明∠EMC=PCT,证明△FPCFEM得出EM=2PC,即可 得出结论 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 24.综合与实践 在数学活动课上，王老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动.以下是学习小组的探究过程， 请你参与活动并解答所提出的问题： 第80页共109页 图1 图2 (1)【观察猜想】 如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是对角线BD上一动点，连接 AE,将EA绕点E顺时针旋转60°得到EF,连接AF,DF,则F,D,C三点同一直线上（填 “在”或“不在”)，DF,DE,AD之间的数量关系是一一 (2)【积极思考】 若菱形的边长为6，EF和AD交于G点，求线段GD的最大值： (3)【类比探究】 如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一 动点，且BE>DE,连接AE,将EA绕点E顺时针旋转9O°得到EF,连接AC,AF,DF,AC与BD 交于点O.写出DF,DE,AD之间的数量关系，并就图2的情形说明理由. 【答案】(1)在；AD=DF+DE 3 212 (3)AD=DF+2DE ,理由见解析 【分析】(1)先证明△AEF是等边三角形，得出∠EAF=6O°，AE=AF,再证明△ABD是等边三角形得 出AD=BD,∠ABD=60°，最后证 BME≌DAF(SAS)得出∠ADF=∠ABD=60,DF=BE,即可得出 结果； (2)设BE=x,则ED=6-x,证明△ABE∽aEDG,由相似三角形的性质计算即可得出结果： (3)由正方形的性质可得，v201=V20D=D 由旋转的性质可得△1B 是等腰直角三角形， ∠EAF=45°V2AE=AF △DAEADAF ,证明 ,由相似三角形的性质即可得出结果. 【详解】(1)解：~将EA绕点E顺时针旋转60°得到EF, 第81页共109页 .EA=EF,∠AEF=60°， :△AEF是等边三角形. .∠EAF=60°，AE=AF 又在菱形ABCD中，∠BAD=60°， ∴.∠BAE=∠DAF AB=AD ABIICD △ABD为等边三角形， .AD=BD,∠ABD=60° ∴.△BAE≌△DAF(SAS) .∠ADF=∠ABD=6O°，DF=BE .AD=BD=BE+DE=DF+DE 又：∠ADC=180°-60°=120°. ∴.∠ADC+∠ADF=120°+60°=180°. 三点F,D,C在同一直线上. (2)解：设BE=x,则ED=6-x, :∠AEF=60°，∠ABD=60°， ∴.∠AED=∠AEF+∠GED=∠ABD+∠BAE. .∠GED=∠BAE 又：∠ABD=∠ADB=60°， ∴.△ABE∽△EDG. BE GD AB ED .x GD 66-x, 6D-君2+6=若x-+3 1∠0 0<3<6,6 :线段GD的最大值为2 (3)解：：四边形ABCD为正方形， 第82页共109页 ∴.∠OAD=45°V20A=V20D=AD :将EA绕点E顺时针旋转90°，得到EF, △AEF ∠EAF=45°V2AE=AF 是等腰直角三角形， OA AD ∴.∠OAE=∠DAF,AEAF, ∴.△OAE∽△DAF OE OA 1 “FD AD2, ..FD=20E ∴AD=√2OD=V2(OE+ED)=√2OE+√2ED=FD+√2DE 【类型4相似相关动点存在性问题】 25.如图，平面直角坐标系中，四边形0ABC为矩形，点A,B的坐标分别为 3,0)(3,4) 动点M从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段BC向终 点C运动，过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连接MP,设运动时间为t秒 N←B O→M A (1)求直线AC的解析式. (2)用含t的代数式表示P的坐标（直接写出答案）. (3)是否存在t的值，使以P,A,M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请 说明理由. 4 【答案】)y=3+4 第83页共109页 a3- 327 (3)存在，1= 2或34： 【分析】(1)先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式： 4 (2)通过证明△MPG∽△ACO:可得PG=,即可求解： (3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解， 【详解】(1)解：：四边形OABC为矩形， .AO∥BC,OC∥AB :点1，B的坐标分别为B0)）,(3,4) C(0,4) 点 设直线AC的解析式为：y=a+b, 0=3k+b 由题意可得： b=4, 4 k= 解得： 3 b=4 4 直线4C的解析式为：y=3x+4: (2)延长NP,交OA于点G,可得出PG⊥OA, N←B P O→MGAx ,动点运动t秒后， .BN=OM=t, 第84页共109页 .CN=3-t, 3,0)(0,4) :点A,C的坐标分别为 0A=3,0C=4, :4C=V0fP+0C=5 :PG∥OC. .△APG∽△ACO PG AG AP OC OA AC' PG 1 AP 43=5, 5 则PG=1,AP= 4 3 3 P点的坐标为 3-4 4 (3)当∠AMP=∠AOC=90°时，且∠CA0=∠PAM,则△APM∽△ACO, AM AP .AO AC' 31-3 35 3 1=2, 当∠APM=∠AOC=90°时，且∠CAO=∠PAM,则△APM∽△AOC, AP AM AO AC, 5 5=3 27 .is 34 327 综上所述：1=2或34 第85页共109页 形O4BC在平面直角坐标系中，已知A0,3,C(4,0),双曲线y>0与 BC分别交于点D,B,且DE=0 3· E (1)求k的值 (2)点P是线段OC上的一个动点，连接AP,PE,是否存在点P,使得∠APE=90°，若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)4 (2)存在， (L0)或B,0 【分有】根边形oc是.具40).c0,设D信.分. 根据两点间距离 公用到心-信-哥号，束5-4k=0.面0时：双线=与4B BC没有交点，舍去，得到k=4: OA OP (2)设P(n,0),则OP=n,CP=OC-OP=4-n,证明。AOPAPCE,得到CPCE,据此列出方程， 求解即可. 【详解】(1)解：，四边形OABC是矩形， :.ABLy轴，BC⊥x轴， 40,3)C(40) ∴点D的纵坐标为3，点E的横坐标为4， 第86页共109页 :点D,g在双曲线y=(k>0)上， 设. -传0-9 整理，得k2-24k+80=0, 1=4k2=20 解得 40,3)C(40) ∴，在矩形OABC中，AB=OC=4,BC=AO=3. E(4,5) :AD20、 AB 3 EC=5>BC, 20 双曲线y=x与4B,BC没有交点， .k=20不合题意，舍去， ∴.k=4 (2解：设P0),则OP=n,CP=0C-0P=4-n, :∠APE=90° ∴.∠APO+∠CPE=90° :∠APO+∠OAP=180°-∠AOP=90°， ∴.∠OAP=∠CPE ,∠AOP=∠PCE=90°， .△AOP∽△PCE :04op CpCE,即4-ni h=1n2=3 解得， 第87页共109页 h=1n2=3 经检验， 均是分式方程的解. ·存在使得∠APE=90° 的点P,其坐标为 1,0)(3,0) 或 27.如图，己知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AD=1cm,AB=BC=4cm,动点P从点A出发， 沿AB方向匀速运动，速度为4cm/s；同时，动点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为5cm/s, QE⊥BC于点E. 设运动时间为 s(0<t<1) ,解答下列问题： D B E (1)当t为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与△CQE相似？ (2)是否存在某一时刻t,使PQ将四边形ABCD分成面积相等的两部分？若存在，求出1的值；若不存在， 请说明理由； (3)是否存在某一时刻t,使DP⊥PE?若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由. 31 【答案】(1为16或3 (2)不存在；理由如下： OE/IDF aCQE∽aCDF DF OE4 ·CDCg5' .co=5tem .OE =4tcm 由勾股定理得 CE=CO2-OE2 =3tcm 若PO将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则四边形PBCQ的面积为梯形面积的一半， :Sw形Bn=)(1+4)×4=10(cm2）. 第88页共109页 ·.S网边形a0=2S梯形1cm=5Cm PB=AB-AP=(4-41)cm,BE BC-CE=(4-3t)cm S网边形P8Q=S梯形PB0+ScQE=5Cm2 即2（4+4-4)04-3)+x31×4H=5. 整理得22-2t+1=0, △=(-2)}-4×2x1=-4<0 .方程无实数根， ∴，不存在某一时刻，使PQ将四边形ABCD分成面积相等的两部分： 19+V105.19-V105 t= 3)存在：32或32 OE 【分析】(1)过点D作DF⊥BC于点F,则易得四边形ABFD是矩形，再由勾股定理求得CD,求得CE 的值，再分两种情况考虑相似即可： (2)若P№将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则四边形PBC9的面积为梯形面积的一半，用含t的 代数式表示出四边形PBCQ的面积，解关于t的方程，根据t的值是否存在即可作出判断： (3)证明△APD∽△BEP,利用比例式建立方程即可求解. 【详解】(1)解：如图，过点D作DF L BC于点F, 则∠BAD=∠ABC=∠DFB=90°， ∴.四边形ABFD是矩形， .'BF=AD=Icm,DF=AB=4cm. ∴.CF=BC-BF=3cm., 在RtADFC中，CD=VDF+CF=5cm :OE⊥BC,DF⊥BC, ..QEIIDF 第89页共109页 ∴aCQE∽aCDF DF OE 4 .CFCE3· AD QE 4 若△APDAECO,则AP=CE3, AP=4tcm,AD=Icm, 14 .4t3 3 解得=16： A D F E C AP OE 4 若△ADPAECO,则ADCE3, 4t4 .13 1 解得=3： 3 综上，当：为16或3时，以A,D:P为顶点的三角形与aCQE相似： (2)解：不存在；理由略： (3)解：存在： 当DP⊥PE时，∠DPA+∠EPB=90°， :∠DPA+∠PDA=90°， ∠EPB=∠PDA, ∠A=∠B=90°， .△APDSABEP, AP AD BE PB' 第90页共109页 4t 1 .4-3t4-4t 整理得1612-191+4=0， 解得4=19+V105 19-105 32 ，2= 32 :当1=19+i0s5s就19-105 32心s或32s时，DP1PE 28.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,点D是AC的中点，点P为AB边上的动点，设 AP=t(1>0) ,过点P作PH LAC于点H,连接DP并延长至点E,使得PE=PD,作点E关于AB的对 称点F,连接FH、DF B (1)AB=-: (2)求证：DF∥AB: (3)连接PF, 者DH=4D,求线段pF的长： (4)在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以DFH为顶点的三角形是等腰三角形？若存在， 请直接写出所有符合条件的的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)10 (2)见解析 5 3 1326 4)1=2或1= 5或1= 7 【分析】(1)利用勾股定理即可求解： (2)由对称的性质推出EM=FM,结合PE=PD,得到PM为△DEF的中位线，即可证明： PH AH 先说明PH儿C,得到CAC,求出PH=,利用勾股定理求出PD即可解决问题 第91页共109页 (4)分三种情况进行讨论：①当DH=DF时：②当FD=FH时；③当DH=DF时：用t表示PM、DF, 根据DF=2PM列出方程，即可求得t的值， 【详解】(1)解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8, 根据勾股定理，得4B=VAC2+BC2=V82+6=10 (2)证明：如图所示，标记AB与EF相交于点M, B ,点E关于AB的对称点为点F, .'EM=FM, .PE=PD, ∴，PM为△DEF的中位线， .PM∥DF, DF∥AB: (③)解：由题意，得AD=DC=4,DH=)4D, ∴.AH=DH=2, ,PH⊥AD, .PA=PD. .∠AHP=∠C=90°， .PH∥BC, .△APH∽△ABC, PH AH PH 2 BC=AC,即6-8， .PH=3 2, PD-AP+P 3 5 22 2 第92页共109页 :点E关于AB的对称点为点F, .'PF=PE. PE=PD, ·PF=PD= 2； B (4)解：设直线EF与AD交于点N, .DF∥AB,PH∥BC .∠BAC=∠FDA,∠AHP=∠C=∠DFE=90°， .△AHPAACB∽△DFN, .BC:AC:AB=HP:AH:AP=NF:DF:DN=3:4:5, 如图，当DH=DF时， D B AP=t, 4-号H=.Dm=DF=4-含N-4-含5-N4-DN1-,4w--) 5, :Pm=H-AM1--)-专， ,PF=PD,PM∥DF,EM=FM, ∴.DF=2PM, 第93页共109页 4-=传 t=2: 如图，当FD=FH时， E B DH=4- 5 4 88, N=4-5-t,PM=AP-AM=1-4 十-= 8888, =2-10, DF=2PM. 所-片。 如图，当DH=DF时， E M 4 ..DF DH=4- :DN-DF=5-1. 4 第94页共109页 ÷N-4+DN=9-14M-号N= 364 2N=5, .PM AM-AP=36_9 55, DF =2PM, 4僧别 新行= 综上所述，符合条什的，值：12成日戏-约。 13 29.如图，在正方形ABCD中，AB=6,延长AB到E,使AE=8,动点M从点C出发沿CD方向以每秒 1个单位长度的速度向点D运动，同时动点H从点E出发沿EA方向，以每秒2个单位长度的速度向点A匀 速运动，过点M作MO‖CB,过点H作HN⊥DE,连接HO,设运动时间为t秒，当其中一个点到达终点 后即都停止运动！(0<1<4)， D M C A B (1)当H0川ED时，求t的值： (2)连接DH,设四边形DHOM的面积为S.求S与t之间的函数关系式： (3)当点H在∠DMO的角平分线上时，求t的值： (4)连接HM,是否存在某一时刻t,使HM与D0O互相垂直？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由. 42 【答案】()1=13： as--lm+60<1<0, .8 B)1=3: 团华在，使M当DO亚荆套直，（一 第95页共109页 【分析1(1)延长M0交4B于点F,由正方形的性质，结合勾服定理，可得 ,BD=62 ,证明四边形 BCMF BO=2t 是矩形，由等腰直角三角形的性质，结合勾股定理，可得 BE=14 BH =14-2t ,可得 BH BO 由HOED,可得BEBD,即可得的值： (2)延长M0交AB于点F,由(1)得OF=BF=1,根据运动过程可得EH=2I,可得FH=14-31,代 入图形之间的面积关系，计算化简即可： (3)连接AC、HM,则AC⊥BD,即AC⊥D0,由角平分线的定义，结合等角对等边，可得 MD=MO,由等腰三角形的性质，可得HM⊥DO,四边形ACMH是平行四边形，可得AH=CM,即可 得t的值： (4)由(3)可知，当点H在∠DMO的角平分线上时，HM上DO,即可求解。 【详解】(1)解：延长MO交AB于点F, D M C N HA F B ,四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=BC=DC=6,∠DAB=∠C=∠FBC=90°， :.∠ABD=∠ADB=45°，BD=VAD2+AB2=V6+6=6N2 ..MOll CB ∴.∠FMC=180°-∠C=90° :四边形BCMF是矩形， ∠OFB=90°，BF=CM=t, ∴∠FB0=∠FOB=45°， ∴OF=BF=t, :B0=VP+P=2: .AE=8,EH=2t, .BE=AB+AE=6+8=14,BH=6+8-2t=14-21, 第96页共109页 ..HOl ED. BH BO BE BD' 14-21√21 .1462, 42 解得1=13· (2)解：延长MO交AB于点F,连接HD, D MC w 0 E 由(1)得OF=BF=1,∠OFB=90°，OF⊥BH,BE=14,EH=2L, ∴.FH=14-3t, 当点E与点A重合时，则21=8， 1=4, 0<1<4, ∴点H在EA上运动， :S=aav=及w+SEm一Smm-Sr-SEa S-AEAD+AD-EHAD-FHOF-BF-C. ,∠DAE=180°-∠DAB=90°，AE=8,AD=BC=6, :S=28x6+6-x6x21-04-30-6a--10+60, 2 s与之间的画数关系武为S-子-19+600<1利。 (3)解：连接AC、HM,则AC⊥BD,即AC⊥DO, D 0 B 第97页共109页 :点H在∠DMO的角平分线上， 、∠DMH=∠OMH, ,∠CDB=∠CBD=45°， ·.∠MOD=∠CBD=45°， .∠MD0=∠MOD=45°、 .MD=MO, HM⊥DO. ..HMI AC. ..AH IICM, :四边形ACMH是平行四边形， .AH=CM, ∴8-21=t, 8 解得=3· (4)解：存在某一时刻(，使HM与D0互相垂直， 由(3)可知，当点H在∠DMO的角平分线上时，HM⊥DO, 8 此时1=3： 8 ∴存在某一时刻t,使HM与DO互相垂直，t的值为3： 30.已知：线段EF和矩形ABCD如图①摆放（点E与点B重合），点F在边BC上，EF=lcm, AB=6cm,BC=8cm.如图②，EF从图O的位置出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；动点P同时从 点A出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s.连接PD,PE,DF,AC分别与PD,DF相交于点M, (s)0<1≤3.5 N,设运动时间为 )·解答下列问题： D D B(E)F B→>EF 图① 图② (1)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？ 第98页共109页 2)设四边形PEFD S(cm2) 的面积为 ,求S与t的关系式： (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t,使∠ADF=∠BEP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理 由； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻t,使四边形PEFD的面积最小？若存在，求出t的值，并求出此时 线段MW的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)当t=2时，△PBE为等腰三角形 2S=1-4+27 4=1.5 (3)存在， ④存在，当：=2时，四边形PEFD的面积最小.MN- 22 【分析】(1)根据△PBE为等腰三角形，∠B=90°，得到PB=BE,代入列方程计算即可； (2)根据四边形PEFD的面积 S=S矩形MBCD-SAADP-SPaE-SArC 列式计算即可： (3)先证明△EBP△FCD,得到PB·FC=CD·BE,代入列方程求解即可： =f-+27=-2+23,当=2时，四边形PEFD的面积最小.由 △AMP∽△CMD (4)根据 ,得到 AP AN CDNC,则AC=4AM,由△CNF∽△4ND,得到 CN=34,cv-品4C,由勾酸定理得，AC-10:即可求出N 11 【详解】(1)解：由题意得PA=t,PB=AB-PA=6-t,BE=2t, ,△PBE为等腰三角形，∠B=90°， ∴.PB=BE ∴6-t=2t, 解得=2， 当t=2时，△PBE为等腰三角形： (2)解：由题意得PA=1,PB=AB-PA=6-t,BE=2I,CF=BC-BE-EF=8-1-2I=7-21, 四边形pEFD的面积为S=Sum-S4m-S-3e=6x8-分X8-分×21x6-)-×67-2刘 2 第99页共109页 =2-41+27: (3)解：AD‖BC .∠ADF=∠DFC, 、.∠BEP=∠DFC, 可证△EBP∽△FCD, PB BE ·CDFC, PB·FC=CDBE, 6×2t=(6-t0(7-21). 4=1.562=14 解得： (舍去)， 存在某一时刻=15 ,使∠ADF=∠BBP S=2-41+27=(t-2)2+23 (4)解： ∴当t=2时，四边形PEFD的面积最小，此时AP=1,BF=4, .API DC. ∴.△AMP∽△CMD, AP AM 1 CD MC 3' ∴.MC=3AM,AC=4AM, ADIFC. .'△CNF∽△AND, CF CN 3 AD NA 8' .8CN=3NA, N=3 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=10, MN=10-25-3x10= 105 11 22, 当1=2时，四边形PEFD的面积最小，此时N= 22 第100页共109页 专题15 相似相关几何动点问题分类训练 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 相似相关动点定值问题】 1 【类型2 相似相关动点最值问题】 4 【类型3 探究数量关系】 8 【类型4 相似相关动点存在性问题】 12 【类型1 相似相关动点定值问题】 1．如图，四边形是矩形，点P是对角线上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 2．如图，是正方形两个外角的平分线，点M、N分别是平分线上的点，且始终满足． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若正方形的边长为2，随着点M在上运动，点N在上也随之运动， ①小明认为为定值，为定角，请问你是否同意小明的观点，如果同意，求出定值和定角，如果不同意，请说明理由； ②以为边构成的三角形面积为 ． 3．如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连接交于点，平分交于点． (1)当点恰好为的中点时，求证：； (2)若，． ①求菱形的面积；②求证：；③求的值． (3)若，当的大小发生变化时（）．在上找一点．使为定值，说明理由并求出的值． 4．综合与探究 【问题情境】 综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动 【实践操作】 如图1，将等腰绕正方形的顶点逆时针方向旋转，其中，，连接，点为的中点，连接，，，得到 【应用探究】 (1)勤奋组：如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由； (2)善思组：如图3，当点恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【深入探究】 (3)创新小组发现：若连接，在旋转的过程中为定值，请你直接写出的值__________． 5．（1）初步探究： 如图1，为等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接，若，，求的面积． （2）深入探究： 如图2，矩形为一个艺术演艺规划区域，，．在矩形内部或边上，作如下规划：点B为入口，点E为中点，点F在边上，为演员化妆区，，点P在上，，点Q在上，等边为表演舞台，和为观看区域．请问观看区域和面积之和是否为定值？如是，说明理由并求出定值；如不是，说明理由． 6．（1）如图，已知和均为直角三角形， 【发现问题】①如图1，连接，若，则的长为______． 【探索问题】②如图2，若，求的长． 【解决问题】（2）如图3，在凸四边形中，，过作，交延长线于点．那么的面积是否定值若为定值，请求出这个值，请求出这个值；若不是，请说明理由． 7．综合与探究： (1)问题情景：如图1，，连接交于点O，，，，则________． (2)拓展延伸：如图2，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N．当时，求线段的长． (3)延伸探究：在（2）的条件下，P，Q在运动的过程中始终保持，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 8．如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，． (1)填空： ；(填“”或“”或“”) (2)线段，，什么关系？请说明理由； (3)设， ①的面积有变化吗？如果变化，请求出与的函数关系式；如果不变化，请求出定值． ②使是等腰三角形的值为 ． 【类型2 相似相关动点最值问题】 9．如图，已知中，，，，是线段上的一点，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接； (1)当为何值时，？ (2)在（1）的条件下，若点是上的一点，且，求的最小值． 10．问题背景 如图，在四边形中，，，，，，点E是射线上的动点，以为直角腰在右侧作四边形，且四边形四边形．连接． 观察感知 (1)如图，当时，交于点M，求的长． (2)探究发现 设，的面积为S，求S关于x的函数关系式． (3)问题拓展 如图，连接，点E在运动过程中，求线段的最小值． 11．在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． (1)【初步感知】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． (2)【深入探究】如图②，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部，且是以为斜边的直角三角形时，求的长． (3)【拓展运用】如图③，点M在线段上，，在点E的移动过程中，求的最小值________． 12．如图，在矩形中，，，点，点分别为，边上的动点，且满足． (1)连接 ，求证： ； (2)若，在点的运动过程中满足，求证：此时点为边的中点； (3)如图2，若，连接，求的最小值． 13．纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． (1)如图，设，则纸的宽________（用表示）；连接，过点作交于点，则________（用表示）； (2)如图，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； (3)如图，，若点为边上的一动点，沿折叠纸片，使点落在处，连接，，求的最小值． 14．在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】 (1)如图1，当E为的中点时，延长交于点F，连接， ①求证：；②求的面积； 【深入探究】 (2)如图2，点M在线段上，，点E在移动过程中，直接写出的最小值； 【拓展运用】 (3)如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 15．【综合与实践】如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接． 【特例感知】 (1)如图1，若，，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 【类比迁移】 (2)如图2，若，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 (3)在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接．四边形的对角线与交于点M，如图3．已知，设，四边形的面积为y，求y与x的函数表达式，并求出y的最小值． 16．已知正方形的边长为6． (1)如图1，若E、F分别为、上的动点，与相交于点P，且． ①求证：； ②连接，当最大时，求的长． (2)如图2，若E为的中点，P为上的动点，F为上一点，N为上一点，且满足，，求的最小值． 【类型3 探究数量关系】 17．已知在中，，点P是边上的一个动点，，连接． (1)如图1，如果，求的长； (2)如图2，如果直线与边的延长线交于点E，设，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如图3，如果直线与边的反向延长线交于点F，连接，当与相似时，试判断线段与线段的数量关系，并说明你的理由． 18．如图，等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交直线于点F． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，当三点共线时，连接，点G为中点，连接，过点G作于点H，请猜想的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，点D在边上运动时，点P为线段上一点，点Q为线段上一点，连接，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积． 19．探究不同情境，解决下面问题： (1)问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空： ① ； ②的度数为 ． (2)拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 20．【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F．         (1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 21．如图，在菱形中，，E是射线上的一个动点，连接．    【模型建立】 (1)如图1，当点E在线段上时，将射线绕点D逆时针旋转与相交于点F，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 (2)如图2，当点E在的延长线上时，将射线绕点D逆时针旋转与的延长线相交于点F，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 (3)如图3，O为对角线的中点，连接，将射线绕点O逆时针旋转与直线相交于点F，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 22．在中，，，D是斜边上的动点（不与点A，B重合），E是直线上的动点（不与点B，C重合），连接，将绕点D顺时针旋转至，连接． (1)如图1，若D为的中点，连接，点E在的延长线上，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若D不是的中点，点E在边上，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图3，作点D关于的对称点F，连接，已知，，求的长． 23．四边形是正方形，点是边上一动点（不与，重合），点是射线上一动点（不与，重合），连接． (1)如图1，当点，分别是，的中点时，连接，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点，分别是边，上任意一点时，过点作交于点，交于点，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，平移图中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 24．综合与实践 在数学活动课上，王老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： (1)【观察猜想】 如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，则，，三点_____同一直线上（填“在”或“不在”），，，之间的数量关系是_____； (2)【积极思考】 若菱形的边长为6，和交于点，求线段的最大值； (3)【类比探究】 如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，与交于点．写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由． 【类型4 相似相关动点存在性问题】 25．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，矩形在平面直角坐标系中，已知，，双曲线与矩形两边，分别交于点D，E，且． (1)求的值． (2)点是线段上的一个动点，连接，，是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，已知四边形中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)是否存在某一时刻，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 28．如图，在中，，，，点是的中点，点为边上的动点，设，过点作于点，连接并延长至点，使得，作点关于的对称点，连接、． (1)_____； (2)求证：； (3)连接，若，求线段的长； (4)在点的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 29．如图，在正方形中，，延长到，使，动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点运动，同时动点从点出发沿方向，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，过点作，过点作，连接，设运动时间为秒，当其中一个点到达终点后即都停止运动！（）． (1)当时，求的值； (2)连接，设四边形的面积为．求与之间的函数关系式； (3)当点在的角平分线上时，求t的值； (4)连接，是否存在某一时刻，使与互相垂直？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 30．已知：线段和矩形如图①摆放（点E与点B重合），点F在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点P同时从点A出发，沿方向运动，速度为．连接，，，分别与，相交于点M，N，设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的关系式； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积最小？若存在，求出t的值，并求出此时线段的长；若不存在，请说明理由． 31．在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 32．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作的垂线，垂足为是的中点，连接．设运动的时间为． (1)当点运动时，求的长； (2)设四边形的面积为，求与之间的关系式； (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $