北京市海淀区七年级数学上学期跨学科实践作业（人教版七年级上册第一章）

（同步教学）数轴上的距离智慧 ——用绝对值几何意义为校园服务点选址（跨学科实践作业） 一、作品基础信息 课题名称 数轴上的距离智慧——用绝对值几何意义为校园服务点选址 学科 数学（融合校园生活、班级管理） 年级 初一 对应章节 人教版七年级上册《有理数》——绝对值的几何意义 设计者 蒋皖皖  北京海淀外国语实验学校 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 新课标要求数学教学立足真实情境，引导学生用数学眼光观察现实、用数学方法解决问题。绝对值是《有理数》一章中的重要概念，也是初中数形结合的起点。|a|表示数轴上点a到原点的距离，|a−b|表示点a与点b之间的距离。学生往往只会去绝对值符号、算出结果，对“绝对值表示距离”缺少直观体会。把校园选址问题引入作业，能让学生在测量、画图、计算、比较中理解绝对值的几何意义。 作业重点：在数轴上用绝对值表示两点间距离，通过枚举、画图找到使总距离最小的点。 作业难点：从具体例子中归纳点的个数奇偶对最优位置的影响，体会数学模型的现实意义。 2. 学情分析 初一学生刚学完有理数和绝对值，会计算|−3|这类题目，但对“绝对值是距离”的几何直观还比较薄弱。他们形象思维强，愿意动手测量、讨论，适合用数轴画图、实地调查的方式开展探究。 3. 设计意图 本作业来自校园真实问题：学校要在一条直道（如教学楼连廊、走廊或校车站线）上设快递取件点或直饮水点，几栋楼或几个班级的同学每天都要经过。设在哪里，能让大家走的总路程最短、更公平？用“数轴+绝对值距离”就能研究。学生实地量出各点位置，标在数轴上，用|x−a|表示距离，通过枚举比较总距离，在动手测量与计算中理解绝对值的几何意义，体会数学能帮助我们在生活中做出更公平、合理的选择。 三、作业目标 · 能在数轴上用绝对值表示两点间距离，正确计算|x−a|。 · 能通过枚举与画图，找到使总距离之和最小的位置。 · 经历“实地测量—建立数轴—计算—比较—归纳”的过程，发展几何直观和应用意识。 · 体会集体生活中的公平与最优，学会用数据和数学做判断。 四、作业内容与目标对应表 题号 任务 对应目标 必做 三个班级选址，计算总距离，找最优点 目标1、2 选做（中等） 五个班级选址，归纳奇偶规律 目标2、3 选做（培优） 人数不同的加权选址+小短文 目标3、4 五、作业评价 本作业为开放性实践任务，没有唯一标准答案。学生测量的位置数据可以有合理误差，只要数轴建立正确、距离计算规范、比较过程清楚、归纳能贴合数据，即可判为合格；能主动讨论公平性、提出自己判断的，可评为优秀。 评价时可关注： · 数轴是否画得规范，单位、方向、原点是否清楚； · 能否用绝对值正确表示各班到饮水点的距离； · 总距离计算是否准确，比较过程是否有条理； · 能否从三个点、五个点的例子中归纳出一般规律； · 短文能否把“距离”“权重”“公平”联系起来，表达自己的看法。 六、试题详情 情境材料 （原创）学校准备在初一教学楼的一条直走廊上设一个公共直饮水点。走廊上依次分布着三个班级：1班在走廊“0米”处，2班在“20米”处，3班在“50米”处（把走廊看成一条数轴，单位：米）。这个直饮水点设在哪里，能让三个班同学每天接水走的总路程最短？ 1.【必做】 （1）把三个班级的位置画在数轴上。 （2） 设饮水点在数轴上的位置为x米，用绝对值分别表示三个班同学到饮水点的距离。 （3） 分别试算饮水点设在0米、20米、50米时的总路程，说一说设在哪个班级处最合适。 2.【选做（中等）】 如果走廊上一共有五个班级，位置分别在0、10、25、40、60米处： （1） 先猜一猜饮水点设在哪里最合理，再用总距离计算验证。 （2） 比较“三个点”和“五个点”的结论，你发现：当班级数是奇数个时，最优点在哪里？当班级数是偶数个时，又在哪里？可以多试几个例子。 3.【选做（培优）】 实际情况中，每个班人数并不一样多，人数多的班应该“权重”更大。假设五个班人数分别是30、30、40、30、30，位置仍为0、10、25、40、60米。 （1） 想一想：此时“总路程”怎样表示才更合理？（提示：距离要乘上人数） （2） 用新的算法再找一次最优点，和“只看位置”的结果一样吗？ （3） 写一段200—300字的小短文：从“绝对值表示距离”出发，谈谈数学怎样帮助我们在集体生活中做出“既公平又合理”的选择。 七、答案与解析 提示：本实践探究作业为开放性任务，没有唯一标准答案。学生调研的数据可以存在合理差异，只要模型搭建逻辑通顺、计算过程规范、分析贴合现实，均可判定为合格完成任务。 1.【必做答案示例】 三个位置为0、20、50。总路程=|x−0|+|x−20|+|x−50|。 设在0米：总距离=0+20+50=70米； 设在20米：总距离=20+0+30=50米； 设在50米：总距离=50+30+0=80米。 所以设在20米处的2班最合适，总路程最短。 解析：|x−a|表示两点之间的距离。三个点时，设在中间那个点，左右两边的人都不至于走得太远。 2.【选做（中等）答案示例】 五个位置为0、10、25、40、60。总距离=|x|+|x−10|+|x−25|+|x−40|+|x−60|。试算可知，设在25米处总距离最短。 规律：奇数个点时，最优点在正中间那一个点；偶数个点时，设在中间两个点之间（包括这两个点）都可以，总距离相同。 解析：这其实已经接近数轴上“中位数”的想法。初一不要求记术语，但学生通过枚举自己发现规律，能培养归纳能力。 3.【选做（培优）答案示例】 （1）加权总路程=30|x|+30|x−10|+40|x−25|+30|x−40|+30|x−60|。 （2）新的最优点仍是25米处。计算如下： x=0：30×0+30×10+40×25+30×40+30×60=4300； x=10：30×10+30×0+40×15+30×30+30×50=3300； x=25：30×25+30×15+40×0+30×15+30×35=2700； x=40：30×40+30×30+40×15+30×0+30×20=3300； x=60：30×60+30×50+40×35+30×20+30×0=5300。 所以25米处总加权路程最短。25米处人数最多（40人），权重把最优位置“拉”到了这里。若各班人数不同，最优点不一定只是位置上的中点，还要看人数多少。 （3）短文示例（约260字）： 绝对值在数轴上表示距离。|x−a|就是点x到点a有多远。给直饮水点选址时，把每个班到饮水点的距离加起来，总距离越小，大家走的路就越少。如果每个班人数一样，可以只看位置；但人数不一样时，就不能只看距离，还要把距离乘上人数。人数多的班，影响更大，他们的方便应该被更多地考虑。这样算出来的“总路程”，其实是全体同学走路代价的总和。最优点不一定在正中间，而可能在人数最多的班附近。数学帮我们把“公平”变成可以计算、可以比较的东西：不是只让某一个人最近，也不是简单取中间，而是让集体整体付出的代价尽量小。这样的选择更有依据，也更容易让大家信服。 解析：本题从纯几何距离走向带权重的现实模型，考查模型优化能力，也自然融入集体利益、公平合理的价值引导。学生言之有理即可。 设计者：蒋皖皖 北京海淀外国语实验学校 初一数学教师 1 学科网（北京）股份有限公司 $