26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质 同步教学课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 教学重点：掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的解析式. 教学难点：探索二次函数y=ax2的性质及图象特征. 1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念. 2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的解析式. 3.经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,体会数形结合的思想与方法. 学习目标 学习重点 2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤？ 图象法、列表法、解析法 ①列表 ②描点 ③连线 回顾 1.函数有几种表示方式？图象法有什么特点？ 图象法更直观 课堂引入 探究新知 问题 用描点法画出 y=x2 的图象. 1.列表. x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … y=x2 … … 9 4 1 1 0 4 9 2.描点. 3.连线. y=x2 思考：这个图象像什么形状？ 探究新知 可以看出，二次函数 y=x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . y=x2 y=x2 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 顶点 对称轴 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 从二次函数y=x2的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. y=x2 思考：你还能从图象中看出什么？ 左侧 右侧 减小 增大 用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 (1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； (2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； (3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. 例题解析 例1 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x2，y=2x2 的图象. x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 解：分别列表，再画出它们的图象. y=x2 y=2x2 思考：函数  的图象与函数  的图象（图中的虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？ 共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点 是函数图象的最低点. 不同点：开口大小不同，函数 的图象开口最大，函数 的图象开口最小. y=x2 y=2x2 思考：利用信息技术工具画二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象，改变  的值，函数 y=ax2 的图象也发生了改变. 随着 a 的变化，二次函数 y=ax2 的图象有什么变化？ a的值越大，图象的开口越小. 一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. y=x2 y=2x2 探究 回顾上面研究二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数 y=ax2 (a<0) 的图象和性质吗？ 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=﹣x2， y=﹣x2 ，y=﹣2x2的图象. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 思考：观察这些抛物线有什么共同点和不同点？ 共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是函数图象的最高点. 不同点：开口大小不同，函数 y=的图象开口最大，函数y=﹣2 的图象开口最小. 一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 知识巩固 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置、开 口方向 对称性 顶点、最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 越大，开口越小. 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0. 顶点坐标是（0，0）. 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 二次函数 y=ax2 的图象和性质 例题解析 例2 已知抛物线 ，回答下列问题： 抛物线  开口向______，对称轴是____，顶点坐标是______； 当  时， 随  的增大而______，当  时， 随  的增大而______； 对于任意的  值，总有函数值  ___ 0，当  ___ 时， 有最_____值，是____. 下 减小 y轴 (0,0) 增大 ≤ 0 大 0 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着  的增大，y 的变化情况. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 当 x<0 时（y 随 x 的变化） 当 x>0 时（y 随 x 的变化） y=4x2 向上 y 轴 原点 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 解： y=−4x2 向下 y 轴 原点 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 y=​x2 向上 y 轴 原点 y随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 y=−​x2 向下 y 轴 原点 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 课堂检测 2.已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是( ) 分析：因为b＜0，所以直线y=ax+b与y轴的交点在y轴的负半轴，因此B，D错误； 选项A，C中，抛物线y=ax2都是开口向下，得到a＜0， 所以直线y=ax+b是下降的.因此选项C正确. C 3. 已知y＝(m＋1)是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式. 解：依题意，得 由②，得m1=-2，m2=1； 由①，得m＞-1. ∴m＝1. 此时，二次函数的解析式为y＝2x2. 二次函数y=ax2的图象和性质 画法 性质 描点法 抛物线 图象 轴对称图形 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 归纳小结 必做题：教科书P35 第 1、2题 选做题：教科书P61 第3（1）题． 课后作业 大美数学 今天我们探究了二次函数y=ax2尽显数学之美：数形结合让解析式与抛物线相互印证，图像轴对称藏着均衡和谐.由参数a分类辨析开口变化，万千曲线归为一式，体现多样统一.亦含人生哲思：心态如a，正负决定格局高低，坚守本心方能找到人生顶点. Lavf57.25.100 $