26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，课堂导入通过回顾一次函数图象、画函数图象的列表描点连线步骤及图象研究工具，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以描点法实践为核心，引导学生绘制y=x²等图象并观察归纳性质，体现数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识），用表格系统总结性质、典例分析强化数学语言（模型意识）。结构化小结助学生知识系统化，丰富实例提升教师教学效率。

M A T H E M A T I C S y = ax² + bx + c (General Form) 用函数读世界 用图象写未来 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 把万物的变化，压缩成一个等式。 —— 笛卡尔 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 1 第二十六章 二次函数 26.2.1　二次函数y=ax²的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 3 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 4 1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.（难点） 学习目标 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 6 (1)一次函数的图象是什么？ (2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？ (3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 一条直线 列表——描点——连线 主要工具是函数的图象 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 7 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 8 二次函数y=ax2的图象 1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象. 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 9 4 1 0 1 9 4 例1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． 2. 描点：根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点（x,y） 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫作抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫作抛物线的顶点. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 议一议 x o y=x2 y 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 练一练：画出函数y=-x2的图象. y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. o x y y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 议一议 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 1、顶点都在原点; 3、当a>0时，开口向上；图象有最低点； 当a<0时，开口向下；图象有最高点． 二次函数y=ax2 的图象性质： 2、图象关于y轴对称; 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 交流讨论 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？ 2 (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) （a＞0） 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x的增大而增大； 当x＜0时，y随x的增大而减小. 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？ （a＜0） 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x的增大而减小； 当x＜0时，y随x的增大而增大. 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象． 例2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 思考1：二次函数 的开口大小与a的大小有什么关系？ 当a>0时，a越大，开口越小. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 练一练：在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 思考2 二次函数 的开口大小与a的大小有什么关系？ 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置、开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大 y O x y O x 知识要点 在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ;顶点是抛物线的最 点 . 2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ; 顶点是抛物线的最 点. 1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 4.函数y=－0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ，顶点是 . 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 例3 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式. 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 解①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. m2+m 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 27 如图， 四个二次函数的图象分别对应① y=ax2；② y=bx2；③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称. (1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系. 例4 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 解：(1)由抛物线的开口方向，知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 30 1 (3分) 填空题 抛物线y＝－3x2的顶点坐标是________，对称轴是________， 开口向________，图象有最________点． 答案 答案：(0，0)；y轴(或直线x＝0)；下；高 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 2 (3分) 填空题 二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________． 答案 答案：k＞－1 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 3 (3分) 填空题 已知抛物线y＝－ 1 4 x2，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为________． 答案 答案：y1＜y2 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 4 (3分) 选择题 若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)， 则该图象必经过点（　） A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2) 答案 答案：A 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 5 (8分) 解答题 已知函数y＝(m－3)xm²－3m－2是关于x的二次函数，若其图象开口向下， 求函数的关系式． 答案 解：∵函数图象开口向下，∴m－3<0，解得m<3. ∵y＝(m－3)xm²－3m－2是关于x的二次函数， ∴m2－3m－2＝2，即m2－3m－4＝0， 解得m1＝4(舍去)，m2＝－1. ∴y＝－4x2. 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 36 二次函数y=ax2的图象和性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿函数与变化之间的探索，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 二次函数y=ax²的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²的图象和性质 38 $