精品解析：山东淄博市张店区实验中学2026-2027学年九年级上学期9月20日数学阶段学习成果展示

张店区实验中学初四9月20日数学阶段学习成果展示 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 在中，，，那么等于（    ）． A. B. C. D. 2. 如图，已知，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（） A. 在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍 B. 若为锐角，，则 C. D. 三角形的三边长为，则 4. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点B，C分别在地面和墙面上，且边，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下表是综合实践小组填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量河内小岛B到河边公路的距离 测量目标 示意图 相关数据 米 则小岛B到公路的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A. B. C. D. 8. 如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 9. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出杆长处的点离地面的高度，又量得杆底与坝脚的距离，则石坝的坡度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 10. 魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端A离墙根的垂直距离米，则梯子顶端B距地面的垂直高度的值为______米． 12. 如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，则鱼竿转过的角度是__________． 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．则四边形ABCD的面积为_________． 14. 如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则___________． 15. 中，，是边上的高，，则_____． 三、解答题（共5小题） 16. 如图，在中，，，，求的长． 17. 小星利用测角仪测量古建筑的高度．如图，古建筑前有一座高为3米的斜坡（米），在斜坡顶端处测得古建筑顶部的仰角为，沿斜坡走5米到达斜坡底部处（米），此时测得古建筑的仰角为于点在同一条直线上，涉及到的所有点在同一平面内，设的高度为米．（参考数据：．） （1）直接写出的长为__________，的长为__________（用含的代数式表示）； （2）求古建筑的高度． 18. 如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，A处有一个测速仪，铁路有关部门规定路段限速已知B、C在上，，， （1）测速仪测得火车从点B行驶至点C用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； （2）若上有一点D，且，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角的度数． 19. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 20. 为解决和规范私家车的停车问题，政府在生活区域中便利的地方画定了停车位．小兮通过查询资料发现：停车位的排列方式分为三种：平行式、倾斜式和垂直式．如图1平行式车位长，宽；如图2，倾斜式车位斜长，两斜线的垂直距离应保持的标准，倾斜角度为，，；如图3，垂直式车位标准为，宽．不考虑车位边线宽度的情况下， （1）一个倾斜式停车位的面积为______； （2）在长度为的道路一侧划停车位，最多可以划几个倾斜角为的倾斜式停车位． （3）现有一新建小区需要规划停车位，已知道路全长，宽，为方便出入，除停车位外，中间留给车辆相向行驶的道路宽度至少为．请问如何规划，能使停车位尽可能多，且不影响车辆运行．（保留小数点后一位） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张店区实验中学初四9月20日数学阶段学习成果展示 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 在中，，，那么等于（    ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 2. 如图，已知，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角函数的应用：过点A作轴于B，设，利用求出，再根据勾股定理求出即可得到点A的坐标． 【详解】过点A作轴于B，设． ∵点在第二象限， ∴点A的坐标是． 故选：B． 3. 下列说法中，正确的是（） A. 在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍 B. 若为锐角，，则 C. D. 三角形的三边长为，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角函数的定义和性质逐项判断正误． 【详解】解：A∶在中，锐角A的两边都扩大3倍，但是邻边与斜边的比值，∴比值不变，故A错误． B∶， 设对边，邻边， 则斜边， ∴，故B正确． C∶，两者不相等，C错误． D∶不一定是直角三角形，不一定等于，D错误． 故选： 4. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 5. 如图，在中，，点B，C分别在地面和墙面上，且边，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先解直角得到，再证明，最后解即可 【详解】解：在，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A 6. 下表是综合实践小组填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量河内小岛B到河边公路的距离 测量目标 示意图 相关数据 米 则小岛B到公路的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解题关键． 作于点E，作，在上，则，设，表示，，再进一步求解即可． 【详解】解：作于点E，在上取点F，使得，则， 设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴小岛B到公路的距离为：（米）. 故选：B 7. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 8. 如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线． 取格点G，使，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点G，使， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 9. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出杆长处的点离地面的高度，又量得杆底与坝脚的距离，则石坝的坡度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先过作于，根据，可得，进而得出，根据勾股定理可得的长，根据和的长可得石坝的坡度． 【详解】解：如图，过作于，则， ，即， 解得， 中，， 又， ， 石坝的坡度为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是锐角∠CBF，坡度实际∠CBF的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 10. 魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正切函数等；由正方形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，由可判定，由全等三角形的性质得，由正切函数的定义，即可求解；掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形，和都是正方形， ，，，，， ， ， ， 设，则， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端A离墙根的垂直距离米，则梯子顶端B距地面的垂直高度的值为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，米， ， （米， 故答案为：． 12. 如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，则鱼竿转过的角度是__________． 【答案】15° 【解析】 【详解】分析:根据图示可得:在Rt△ABC中,由勾股定理可得:,可得AB=BC,所以∠CAB=45°, Rt△AB’C’中,由勾股定理可得:,可得AB’=AC’,根据在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半可得, ∠AC’B’=30°,继而可得∠C’AB‘=60°,即∠C’AC=15°. 详解: 在Rt△ABC中,由勾股定理可得: , 所以AB=BC, 所以∠CAB=45°, 在Rt△AB’C’中,由勾股定理可得:, 所以AB’=AC’, 根据在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半可得, ∠AC’B’=30°, 所以∠C’AB‘=60°, ∠C’AC=60°-45°=15°,故答案为:15°. 点睛:本题主要考查特殊角度直角三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握特殊直角三角形的性质. 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．则四边形ABCD的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长AD、BC，交于点F，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得CF、AF，再求得△ABF和△DCF的面积，即可求解． 【详解】解：延长AD、BC，交于点F， ∵∠ADC＝120°， ∴∠CDF＝60°， ∵BC⊥CD， ∴∠DCF＝90°， ∴∠F＝30°， ∴DF＝2CD＝6， ∴CF＝ ， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∴BF＝2AB＝10， ∴AF＝， ∴S四边形ABCD＝S△ABF﹣S△CDF＝AB•AF﹣CD•CF＝×5×15﹣×3×9＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 14. 如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形性质得出，设，，利用勾股定理建立方程求出的值，再结合求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， 设， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、三角形外角性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 15. 中，，是边上的高，，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，分当点D在上时，当点D在延长线上时，两种情况先利用勾股定理求出，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可根据求出答案． 【详解】解：如图1所示，当点D在边上时， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当点D在延长线上时， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（共5小题） 16. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】作于点D，如图，根据正弦的定义求出，再根据正切的定义求出，然后利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作于点D，如图， 则在直角三角形中，∵，， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 17. 小星利用测角仪测量古建筑的高度．如图，古建筑前有一座高为3米的斜坡（米），在斜坡顶端处测得古建筑顶部的仰角为，沿斜坡走5米到达斜坡底部处（米），此时测得古建筑的仰角为于点在同一条直线上，涉及到的所有点在同一平面内，设的高度为米．（参考数据：．） （1）直接写出的长为__________，的长为__________（用含的代数式表示）； （2）求古建筑的高度． 【答案】（1）4米；米 （2）古建筑的高度为24米 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得米，再证明是等腰直角三角形，可得米，从而可得米； （2）过点的水平线交于点，则四边形为矩形，得，在中得，求出即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中， 根据勾股定理得：； 在中， ， ∴， 米； 【小问2详解】 解：过点的水平线交于点， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 古建筑的高度为24米． 18. 如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，A处有一个测速仪，铁路有关部门规定路段限速已知B、C在上，，， （1）测速仪测得火车从点B行驶至点C用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； （2）若上有一点D，且，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角的度数． 【答案】（1） 该火车超速，理由如下： 火车限速为，则每秒限速为， 过A作于E， ，， ， ， 在中，， ， ， 则该火车速度为， ， 该火车超速了； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程 （1）过A作于E，根据三角函数得出，进而解答即可； 作于F，根据直角三角形的三角函数解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于F， 由知，中，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 19. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 【答案】（1）47° （2）3.3米 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可； （2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可． 【小问1详解】 解：，， ， 答：的度数是． 【小问2详解】 解：在Rt△ABC中，， ∴． 同理，在Rt△ADC中，有． ∵， ∴． ∴， ∴（米）． 答：表AC的长是3.3米． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决． 20. 为解决和规范私家车的停车问题，政府在生活区域中便利的地方画定了停车位．小兮通过查询资料发现：停车位的排列方式分为三种：平行式、倾斜式和垂直式．如图1平行式车位长，宽；如图2，倾斜式车位斜长，两斜线的垂直距离应保持的标准，倾斜角度为，，；如图3，垂直式车位标准为，宽．不考虑车位边线宽度的情况下， （1）一个倾斜式停车位的面积为______； （2）在长度为的道路一侧划停车位，最多可以划几个倾斜角为的倾斜式停车位． （3）现有一新建小区需要规划停车位，已知道路全长，宽，为方便出入，除停车位外，中间留给车辆相向行驶的道路宽度至少为．请问如何规划，能使停车位尽可能多，且不影响车辆运行．（保留小数点后一位） 【答案】（1） （2）个 （3）倾斜角为的倾斜．可以规划个车位． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的除法运算，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平行四边形的面积公式求解即可； （2）根据勾股定理求出每个车位的水平宽度，用道路总长除以每个车位的水平宽度，即可求解； （3）分别求出三种排列方式可规划的车位数，即可求解． 【小问1详解】 解：倾斜式车位斜长，两斜线的垂直距离为，每个车位都是平行四边形， 一个倾斜式停车位的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，作于点，则， ，， ， 由勾股定理得：， ，，， ， 由勾股定理得：，即， ， 最多可以划车位（个）； 【小问3详解】 道路全长，宽，为方便出入，除停车位外，中间留给车辆相向行驶的道路宽度至少为， 可用于规划停车位的宽度为， 平行式规划： 平行式车位长，宽， 一列可规划（个）， 总的可规划车位：（个）； 倾斜式规划∶ ①当倾斜角为时，由（2）可知，，规划车位只能单列，总的可规划车位：（个）； ②当倾斜角为，即时，，则，， ， 规划车位只能单列， 由勾股定理可得：，即， ， ， 规划车位只能单列，总的可规划车位：（个）； ③当倾斜角为，即时，则，， ∵，规划车位可以双列， ， 总的可规划车位：（个）； 垂直式规划： 垂直式车位标准为，宽，道路全长，可用于规划停车位的宽度为， 总的可规划车位：（个），但是中间不能留路，故不符合题意； 综上所述，使停车位尽可能多，且不影响车辆运行，车位应规划为倾斜角为的倾斜．可以规划个车位． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $