专题01 勾股定理相关拓展提升题（5种类型40道）2026-2027学年北师大版八年级数学上册高频考题专项训练 （重庆专用）

专题01 勾股定理相关拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 勾股定理相关折叠问题】 1 【类型2 勾股定理相关最值问题】 8 【类型3 勾股定理相关综合题】 18 【类型4 勾股定理相关动点问题】 29 【类型5 弦图相关几何求解】 37 【类型1 勾股定理相关折叠问题】 1．如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 2．如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据折叠的性质，设，则，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：连接， 设，则， 由折叠知，， 在中，，， ，则， ， 则的长是． 3．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 4．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 5．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 6．如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】先证明为直角三角形，且，由折叠的性质可得，，则，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵把沿折叠，使落在直线上， ∴，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 7．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得 ，利用折叠的性质得，设，则，再利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 8．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出，由勾股定理可得，设，由折叠得，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理建立方程求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 【类型2 勾股定理相关最值问题】 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 10．如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，先求出，根据三角形面积公式求出，得出点P到直线的距离为1，说明点P在直线上，根据轴对称可得：，，，从而得出，根据两点之间线段最短，得出当C、P、在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，如图所示： ∵在等腰直角三角形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即点P到直线的距离为1， ∵，且过点P， ∴点P在直线上， 根据轴对称可得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当C、P、在同一直线上时，最小，即最小， ∴当点P在点处时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：， ∴最小值为． 11．如图，已知四边形的面积是，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据的面积和四边形总面积求出的面积，进而确定点所在的直线轨迹；利用轴对称性质（将军饮马模型）将转化为两点间距离求解最小值． 【详解】解： 连接， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 设点到的距离为， ∴，即， 解得： ， ∴ 点在平行于且距离为的直线上 ， ∵ ， ∴ 点与点位于异侧，即直线在远离的一侧 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时取得最小值，最小值为的长， ∵为等腰直角三角形， ∴点到的距离为，且到的垂线平分 ， ∴ 点到直线的距离为 ， ∴，且平分，即 ， 过点作交的延长线于点 ， 在中， ， ∴ ， ∴ ， 在中， ， 的最小值为 ， 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，轴对称的知识，解题的关键是利用轴对称性质（将军饮马模型）将转化为两点间距离求解最小值，勾股定理的运用，进行解答，即可． 12．如图，，点是内的定点，且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1.5 【答案】A 【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在线段上时，的周长最小，再依据勾股定理，即可得到周长的最小值． 【详解】如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ． 的周长的最小值， 即周长的最小值是． 【点睛】最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 13．如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 14．如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接，作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解． 【详解】解：在上取点，使，连接，作于点， 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点H重合时，的最小值为的长， ， ， ， ， ， ， 则的最小值为． 15．在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点，若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，在上截取，由垂直平分，则，，证明，所以，从而证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，即的长，设，则，由勾股定理求出，则，最后通过等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，，在上截取， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，即的长，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴的值最小为． 16．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点B作，且使，点F与点A在的两侧，连接， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点F，E，A共线时，为最小，最小值是， 的最小值是 故选：B． 【类型3 勾股定理相关综合题】 17．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的正确性即可． 【详解】解： ，， ， 在与中， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在中，， ，故③正确； ， ， ， ， 在中，， ， ，故④正确； 由题干条件无法证明出， 综上所述，其中正确的有①③④，共3个． 故选C． 18．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作    ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 19．如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，则，平分，再根据三角形周长公式可得的周长，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：∵在纸片中，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，平分， ∴的周长， 故①②④正确； 根据现有条件无法证明， ∴正确的只有①②④， 故选：C． 20．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积逐项分析判断即可求解． 【详解】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故③④正确 故选：A． 21．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（    ） ①；②；③；④        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由和都是等腰直角三角形，可证，根据得证.①正确；由全等得，，，于是，可证，从而．故②正确；中，，于是；④正确；由的顶点A在的斜边上，得，从而，故③错误． 【详解】解∵和都是等腰直角三角形， ∴, ，. ∴. ∴.①正确； ∴，，． ∴； ∵， ∴． ∵， ∴．故②正确； 中， 而 ∴；④正确； ∵的顶点A在的斜边上， ∴． 而 ∴，故③错误． 故选：C 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短；由全等三角形得到线段相等，角相等是解题的关键． 22．如图点E在的边DB上，点A在内部，，，．结出下列结论：①；②；③；④．其中不正确的结论有（    ）个    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】证明，根据全等三角形的性质即可判断①②③，根据全等三角形的性质结合勾股定理即可判断④． 【详解】， ， ， ， ，①正确； ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，②正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ，④正确， 不正确的有0个． 故选：D． 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形判定定理是解题的关键． 23．如图，点P是等边内部一点，连接，且，现将绕点A顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意知旋转角，可得是等边三角形；由知，可得与不全等；由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，有；推出，，再根据三角形内角和定理可得；进而可得正确答案． 【详解】解：由题意知旋转角， ∴是等边三角形，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴与不全等，故②错误； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 24．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，下列结论正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，，，，则可证明，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到，加上，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等腰直角三角形的性质得出，，则，得出③正确；由③得是直角三角形，由勾股定理得出④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，所以①正确； ∵，即， 而， ∴，所以②正确； 由①可知 ∴， 则 由①得，， ∴，， ∴，所以③正确 由③可知是直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确； 故选D． 【类型4 勾股定理相关动点问题】 25．数学思想·分类讨论已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长________． （2）当为直角三角形时，t的值________． 【答案】 2或 【分析】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． （1）在中，利用勾股定理求解即可得； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）在中，，由勾股定理得， 故答案为：； （2）由题意知：． ①当时，如图1， ， 点P与点C重合，， ∴； ②当时，如图2， ，，． 在中，， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或， 故答案为：2或． 26．如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒．在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为秒． （1）线段____． （2）当点时，_____． 【答案】 /10厘米 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）根据勾股定理，即可求解； （2）设，则，在中，由勾股定理可求出x的值，可得到点Q在上，即可求解； 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， ∴， 故答案为： 27．如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点 D 运动的时间为，当是直角三角形时，t的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论．分两种情况讨论即可． 【详解】解：， ， 当时，则点与点重合， ； 当时，则， ， ， ， ； 综上，当t为或10时，是直角三角形． 故答案为：或． 28．如图，已知长方形中，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．若为直角三角形，t的值是_____． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理计算，再分、两种情况，根据勾股定理计算．本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解： ，，四边形是长方形 ∴ ∵， ， 在中，； 当时，， 则（秒， 当时，，即， 解得，， 当或时，为直角三角形． 故答案为：或 29．如图，在中，，，，动点从点出发在线段上以的速度向行进（点可与点重合）．则当运动时间______时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，当为直角三角形，分和两种情况，求出的长度，即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 当，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，即点与点重合，此时，， ∴； ∴或， 故答案为：或． 30．如图，已知在中，于点D，，，，动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．当t的值是_____秒，是等腰三角形． 【答案】5或6或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，分类讨论是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ 时： ∵， ∴ ∵ ∴， 解得：； 时： ∵ ∴， 解得：； 时： ∵， 又 ∴ 解得： 故答案为：5或6或 31．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒的速度沿运动．设点运动的时间是秒，那么当________秒，的面积等于．    【答案】或或 【分析】分当点在线段上运动时，当点在线段上运动且在点的左边时，当点在线段上运动且在点的右边时，三种情况讨论，根据的面积等于，计算点的运动路程，求出的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 当点在线段上运动时， ∵的面积等于12， ∴， ∴（秒）； 当点在线段上运动且在点的左边时， ， ∴点的运动路程， ∴（秒）； 当点在线段上运动且在点的右边时， ， ∴点的运动路程， ∴（秒）． 故答案为∶或或． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式的运用、勾股定理等，根据点的运动位置分类讨论是解题的关键． 32．如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP2＝________cm时，△BAP为直角三角形． 【答案】2或8 【分析】由于直角顶点不能确定，故应分∠APB=90°与∠BAP=90°两种情况进行分类讨论． 【详解】解：①当∠APB＝90°时， ∵∠B＝45°，AB＝2cm， ∴， ∴， ∴； ②当∠BAP＝90°时， ∵∠B＝45°，AB＝2cm， ∴AB＝AP2＝2， ∴． 故本题答案为：2或8． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 【类型5 弦图相关几何求解】 33．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 34．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【答案】B 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 35．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 36．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 37．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 38．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 39．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，则中间小正方形的面积是（   ） A．144 B．49 C．64 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的勾股定理的证明，理解图示中四个全等直角三角形的边的关系与小正方形边的关系是解题的关键． 由四个全等的直角三角形可知，已知，则在直角三角形中可求出的长度，即小正方形的边长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，，且， ， ， ∴，即小正方形的边长是7， ∴小正方形的面积为， 故选：B． 40．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积． 【详解】解：， ， 设， 则， ， ， 根据题意可知： ，， ， ， ， 阴影部分的面积之和为： ． 故选：B． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理相关拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 勾股定理相关折叠问题】 1 【类型2 勾股定理相关最值问题】 3 【类型3 勾股定理相关综合题】 5 【类型4 勾股定理相关动点问题】 8 【类型5 弦图相关几何求解】 10 【类型1 勾股定理相关折叠问题】 1．如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 2．如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 6．如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 7．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【类型2 勾股定理相关最值问题】 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 10．如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知四边形的面积是，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，，点是内的定点，且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1.5 13．如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 14．如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 15．在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点，若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 16．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【类型3 勾股定理相关综合题】 17．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 21．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（    ） ①；②；③；④        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图点E在的边DB上，点A在内部，，，．结出下列结论：①；②；③；④．其中不正确的结论有（    ）个    A．3 B．2 C．1 D．0 23．如图，点P是等边内部一点，连接，且，现将绕点A顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，下列结论正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型4 勾股定理相关动点问题】 25．数学思想·分类讨论已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长________． （2）当为直角三角形时，t的值________． 26．如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒．在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为秒． （1）线段____． （2）当点时，_____． 27．如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点 D 运动的时间为，当是直角三角形时，t的值为___________． 28．如图，已知长方形中，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．若为直角三角形，t的值是_____． 29．如图，在中，，，，动点从点出发在线段上以的速度向行进（点可与点重合）．则当运动时间______时，为直角三角形． 30．如图，已知在中，于点D，，，，动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．当t的值是_____秒，是等腰三角形． 31．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒的速度沿运动．设点运动的时间是秒，那么当________秒，的面积等于．    32．如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP2＝________cm时，△BAP为直角三角形． 【类型5 弦图相关几何求解】 33．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 34．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 35．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 36．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 37．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 38．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 39．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，则中间小正方形的面积是（   ） A．144 B．49 C．64 D．25 40．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．5 C． D．10 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $