第4章第4节相似三角形的判定综合练习题2026-2027学年浙教版数学九年级上册（浙江地区适用）

**基本信息** 聚焦相似三角形判定，覆盖概念辨析、图形识别、动态综合及证明应用，形成从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-4|考查相似判定条件及反例|从定义到判定定理的概念生成| |图形识别|选择2、5-9、填空12、15|含平行四边形、格点图等复杂图形|几何直观下的相似三角形识别| |动态综合|填空16、17、选择10|结合动点、正方形综合条件|从静态到动态的应用拓展| |证明应用|解答18-24|涉及相似证明及比例线段计算|推理能力与模型意识的综合运用|

浙教版数学九年级上册第4章第4节相似三角形的 判定综合练习题（浙江地区适用） 一、选择题 1.下列图形中，一定是相似图形的是（    ）。 A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．任意两个三角形 D．两个等腰直角三角形 2.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（    ）。 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3.有一个内角等于的两个等腰三角形（    ）。 A．相似 B．全等 C．既不相似也不全等 D．无法确定 4.下列说法中，两个三角形不相似的是（     ）。 A．一个三角形的两个角分别是40°和80°；另一个三角形的两个角分别是60°和80° B．一个三角形的三边长分别是4cm、6cm、8cm；另一个三角形的三边长分别是12cm、18cm、21cm C．一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3cm和7.5cm，夹角是40° D．各有一个角是120°的两个等腰三角形 5.如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（　 　）。 A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm 6.如图，在2×3的方格中，画有格点（阴影部分），与相似的是（　 　）。 A. B． C． D． 7.如图，的BC边上有两点D、E，且是正三角形，则下列条件不一定能使与相似的是（     ）。 A． B． C． D． 8.如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（     ）。 A. B． C． D． 9.如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A、B、C、D也是小正方形的顶点，那么与相似的是（    ）。 A．以点P、Q、A为顶点的三角形 B．以点P、Q、B为顶点的三角形 C．以点P、Q、C为顶点的三角形 D．以点P、Q、D为顶点的三角形 10.如图，在正方形中，的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE、AF于点M、N点，下列说法： ①∠EAF=45°； ②连接MG、NG，则为直角三角形； ③； ④若BE=2，FD=3，则MN的长为。 其中正确结论的个数是（ ）。 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11.如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________。 12.如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）。 13.如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是_________。 14.在和中，如果，，，，，那么______时，与相似。 15.如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有__________对。 16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____。 17.如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上。以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤。其中结论正确的是：______。(填序号) 三、解答题 18.如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使。求证：。 19.如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，。试判断AB与CD的位置关系，并说明理由。 20.在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F。求证：。 21.如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C。 （1）求证：； （2）若AE=2，∠BAE=30°，求AB的长。 22.如图，点，在线段上，是等边三角形，，，。 （1）求证：△ACP~△PDB； （2）求的度数。 23.如图，，，于点，于点。 （1）求证：； （2）已知，，求的长。 24.如图，在正方形中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD。 （1）求证：； （2）与相似吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版数学九年级上册第4章第4节相似三角形的 判定综合练习题（浙江地区适用） 一、选择题 1.下列图形中，一定是相似图形的是（    ）。 A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．任意两个三角形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键。 根据相似三角形的判定方法，分析各选项即可。 【详解】解：A.假设两个直角三角形其中一个它的两锐角分别为30度和60度，另一个两锐角分别为20度和70度，那它们不相似； B.可设两个等腰三角形的三个角分别为80度、50度、50度，70度、55度、55度，显然角度不相等，那么它们也不相似； C.任意两个三角形，形状和大小差异大，无法保证相似； D.不管三角形的边长是多少，等腰直角三角形的三个内角都是90度、45度、45度，所以两个等腰直角三角形一定相似； 故选：D。 2.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（    ）。 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求解。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有4对； 故选C。 3.有一个内角等于的两个等腰三角形（    ）。 A．相似 B．全等 C．既不相似也不全等 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出一个内角等于的等腰三角形的另外两个角，根据相似三角形的判定和全等三角形的判定方法进行判断即可。 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴一个内角等于的等腰三角形中，角一定是顶角， ∴另外两个角为， ∴有一个内角等于的两个等腰三角形中一定有两个角相等， ∵两个等腰三角形的边不一定相等， ∴这两个等腰三角形一定相似，但不一定全等，故A正确， 故选：A。 4.下列说法中，两个三角形不相似的是（     ）。 A．一个三角形的两个角分别是40°和80°；另一个三角形的两个角分别是60°和80° B．一个三角形的三边长分别是4cm、6cm、8cm；另一个三角形的三边长分别是12cm、18cm、21cm C．一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3cm和7.5cm，夹角是40° D．各有一个角是120°的两个等腰三角形 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定定理，逐一分析各选项是否满足相似条件。 【详解】选项A：第一个三角形的三个角为40°、80°、60°（第三个角由内角和计算得出），第二个三角形的三个角为60°、80°、40°,根据两角分别相等的两个三角形相似，故相似； 选项B：第一个三角形三边为4cm、6cm、8cm，第二个为12cm、18cm、21cm，计算对应边比例：因为三边不成比例，故不相似； 选项C：第一个三角形两边2cm、5cm，夹角40°；第二个三角形两边3cm、7.5cm，夹角40°，两边比例,根据两边成比例且夹角相等，故相似； 选项D：等腰三角形顶角为120°时，底角均为30°；若底角为120°，则顶角无法成立.因此两个等腰三角形必为顶角120°，底角30°，根据两角分别相等的两个三角形相似，故相似； 故选：B。 5.如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（　 　）。 A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定和性质计算求值即可； 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∵△ABO和△CDO的高之比为， ∴＝， 又∵AB＝36cm， ∴CD＝16cm， 故选： A。 6.如图，在2×3的方格中，画有格点（阴影部分），与相似的是（　 　）。 A. B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断。 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3；C、D选项中的两直角边的比为； 故选：A。 7.如图，的BC边上有两点D、E，且是正三角形，则下列条件不一定能使与相似的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是正三角形，所以，，再根据相似三角形的判定方法逐项分析即可。 【详解】解：∵是正三角形， ∴， ∴， 选项A，当时，， ∵， ∴， ∴， 选项C，由， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 选项D，由，， ∴， ∵， ∴， 选项B条件不足以证明与，故选：B。 8.如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（     ）。 A. B． C． D． 【答案】C 【分析】A．只有一对对应角相等，条件不够；B．用比例是确定三角形，竖向确定三角形△ACD与△ABC，横向确定三角形△ABC与△CBD，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似；C.把等积变比例式，且夹角相等，能推出这两个三角形相似；D．用比例确定三角形，竖向确定三角形△ADC与△BCD，横向确定三角形△ADC与△ACB，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似。 【详解】解：A．，不能判定的两个三角形相似，不符合题意； B．竖向确定三角形△ACD与△ABC，夹角与∠B不一定相等，横向确定三角形△ABC与△CBD，夹角∠A与∠DCB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意； C．由变形得，，由∠BAC=∠CAD，则， 可以根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定，符合题意； D．竖向确定三角形△ADC与△BCD，夹角与∠DCB不一定相等，横向确定三角形△ADC与△ACB，夹角∠ADC与∠ACB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意； 故选择：。 9.如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A、B、C、D也是小正方形的顶点，那么与相似的是（    ）。 A．以点P、Q、A为顶点的三角形 B．以点P、Q、B为顶点的三角形 C．以点P、Q、C为顶点的三角形 D．以点P、Q、D为顶点的三角形 【答案】B 【分析】根据图形结合勾股定理求出各三角形的三条边长，再根据如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似逐项判断即可。 【详解】解：由图可知，，； A．在中，，， ∴为等腰三角形，而不是等腰三角形， ∴与不相似，不符合题意； B．在中，，，， ∵，，， ∴， ∴，符合题意； C．在中，，，， ∵，，， ∴， ∴与不相似，不符合题意； D．在中，，，， ∵，，， ∴， ∴与不相似，不符合题意； 故选B。 10.如图，在正方形中，的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE、AF于点M、N点，下列说法： ①∠EAF=45°； ②连接MG、NG，则为直角三角形； ③； ④若BE=2，FD=3，则MN的长为。 其中正确结论的个数是（ ）。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④。 【详解】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， 。 由旋转知：，， ， ， ； 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ，， ， ， 解得， ，故④正确； 故选：A。 二、填空题 11.如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________。 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可。 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴。 12.如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）。 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键。 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解。 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）。 13.如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是_________。 【答案】 【分析】根据DE∥BC，可得 ，从而得到,即可求解。 【详解】解：∵DE∥BC， ， ∴， ∴， ∵，DE＝1， ∴， 故答案为：。 14.在和中，如果，，，，，那么______时，与相似。 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定。两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可。 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或。 15.如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有__________对。 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键。 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对，故答案为：。 16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____。 【答案】 【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解。 【详解】解：如图， ∵BP＝5，BC＝4， ∴CP＝1， ∵PQ⊥AP， ∴∠APQ＝90°＝∠ABC， ∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ， ∴∠BAP＝∠BPQ， 又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°， ∴△ABP∽△PCQ， ∴， ∴ ∴CQ＝ ， 故答案为：。 17.如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上。以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤。其中结论正确的是：______。(填序号) 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，相似三角形的判定；延长至点，使，通过证明，，然后结合全等三角形的性质判断①②；当时，根据角平分线的性质可得，即可判断③ ；根据，，即可得出结论④；根据正方形的性质以及已知条件可得，结合对顶角相等，即可证明。 【详解】解：如图，延长至点，使， 正方形中，，， ， ，， 又， ， ， ， ， ，， ，故①正确； ；故②正确； ∵， ∴， 当时， 又， ， 故③不一定正确； ，， 的周长 ， 故④正确； 四边形是正方形，是对角线， ， ， ， 又， ， 故⑤正确； 故答案为：①②④⑤。 三、解答题 18.如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使。求证：。 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证。 【详解】证明：∵， ∴， 在中，， 又，， ∴， ∴。 19.如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，。试判断AB与CD的位置关系，并说明理由。 【答案】。理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明。 【详解】解：，理由如下： 由题意得， ， ， ， ， 故答案为：。 20.在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F。求证：。 【答案】见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题。 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴。 21.如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C。 （1）求证：； （2）若AE=2，∠BAE=30°，求AB的长。 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2） 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键。 （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得。 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：。 22.如图，点，在线段上，是等边三角形，，，。 （1）求证：△ACP~△PDB； （2）求的度数。 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键。 （1）由为等边三角形，则、，进而得到，再说明，然后根据两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似即可证明结论； （2）根据相似三角形对应角相等得到，再说明，然后根据角的和差即可解答。 【详解】（1）证明：如图：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴△ACP~△PDB； （2）解：∵△ACP~△PDB， ∴， ∵是等边三角形， ∴∠CPD=∠CDP = 60°， ∴， ∴， ∴。 23.如图，，，于点，于点。 （1）求证：； （2）已知，，求的长。 【答案】（1）见解析； （2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余。 （1）根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长。 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， 。 24.如图，在正方形中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD。 （1）求证：； （2）与相似吗？为什么？ 【答案】（1）见解析 （2）相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论。 【详解】（1）解：∵正方形， ∴,， ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴； （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $