第1章二次函数 尖子生测评卷 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 浙教版九年级上数学二次函数尖子生测评卷，聚焦函数性质与综合应用，适配单元复习，通过多情境问题发展数学抽象、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数顶点、对称轴、图像性质、零点|多结论辨析，考查推理意识| |填空题|6/24|函数平移、新定义（闭函数）、非零交点|结合创新情境，发展抽象能力| |解答题|8/96|动态几何、跨学科（盖碗建模）、新定义（T型点）|梯度分布，从性质应用到综合建模，体现数学语言表达|

浙教版2026-2027学年九年级上数学第1章二次函数 尖子生测评卷 考试时间：150分钟 满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．点是抛物线的顶点，点在抛物线上其中下列结论： 当点轴上时，在直线上；当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是当点在原点时，过点的直线与抛物线交于两点，则． 其中正确的结论有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示的是二次函数（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）.下列结论： ①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c-n）；④若点P（t，y1），都在抛物线上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程的两根之和为C.其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3.有下列结论： ①； ②； ③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根； ⑤若点A(， )， B(， )， C(， ) 在抛物线上， 且， 当时， 则n的取值范围为. 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 7．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（　　） ①； ②函数的最小值为； ③若关于 x 的方程无实数根，则； ④代数式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 关于x的方程 0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3<x4)，则下列关系式一定正确的是(　　) A． B． C． D． 10．对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使为等腰直角三角形且， 则称抛物线G为点P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线的T型点，则n的取值范围是（　　） A． B． C． D．n ≥ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．已知二次函数，其中a为实数，对称轴为直线，将二次函数的图象向上平移6个单位，当时，函数有最小值为12，则m的值为　 　． 12．对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当−1≤x≤1 时，−1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x，y=−x 均是“闭函数”. 已知 y = ax2+ bx + c(a≠0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)，则 a 的取值范围是　 　. 13．若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P（x0－3，x02－16），则符合条件点P有且仅有　 　个． 14．已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是　 　．（只填写序号） 15．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有　 　（填序号） 16．已知顶点为A的抛物线与顶点为C的抛物线交于，，则四边形的周长为　 　． 三、解答题（本题有8小题，共96分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 （1）求该抛物线的对称轴(用含m的式子表示). （2）无论m取任何实数，抛物线都经过一个定点，求该定点的坐标. （3）已知点A(-3，0)和B(5，0)，若线段AB 与抛物线只有一个交点，求m的取值范围. 18．已知抛物线（a为常数）经过点（-1，0）. （1）求a的值. （2）过点A（0，m）（其中m<3）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若AC=2AB，求m的值. （3）设直线l与抛物线交于点P（t-1，y），Q（t，y2），若直线l上方的抛物线（包含点P，Q）上，函数值的最大值大于2，求t的取值范围. 19．如图1，二次函数的图象经过点A（2，n）.如图2，将二次函数y1的图象记为H1，将图象H1绕点A旋转180°得到的图象记为H2，将图象H1和H2组合成的图象记为H. （1）求n的值. （2）求图象H2对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. （3）点P，Q是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m，4-|m|. ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值. ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写出m的取值范围. 20．如图，直线与抛物线（a≠0）相交于点A和点B（4，m）.抛物线与轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）.点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥轴于点P，交抛物线于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线，把△CEF沿直线翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值. 21．【情境导入】 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分。九（1）班同学在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习： 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度ED=5.3cm，CE=0.3cm，碗口宽AB=6cm，茶盖的最高点D离AB的距离DO=1cm，碗体ACB呈抛物线状（碗体厚度不计）； 【任务探究】 （1）任务一：如图2，以碗口宽AB的中点为原点O，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线DC为y轴，建立平面直角坐标系，则C点的坐标为（ ▲ ， ▲ ），A点的坐标（ ▲ ， ▲ ），并求碗体ACB的抛物线解析式； （2）任务二：如图2，若圆弧线ADB是圆的一部分，且圆心M在y轴的负半轴上，求该圆的半径和圆心M的坐标； （3）任务三：如图3，把盖碗中的茶水喝掉一部分后，发现水面由AB处下降了1.5cm至线段PQ处，求此时水面PQ的宽度。 22．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-5，0). （1）求点C的坐标； （2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 23．已知，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3a（a≠0），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． （1）抛物线的对称轴为　 　（用含有a的式子表示）； （2）若当﹣1＜x＜2时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； （3）如图1，当a＝1时，点E（m，n）为第四象限的抛物线上一点，过点E作EF∥x轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接BC，过点E作EH∥y轴，交BC于点H，以EF，EH为邻边构造矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为时，求m的值； ②以EF所在直线为对称轴将抛物线位于EF下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 24．我们约定：对于二次函数 ，其顶点坐标为 P(h，k).若该函数图象上存在一个不同于顶点的点Q(x0，y0)，满足2(x0-h)=y0-k，则称点Q为该函数的“对称点”，并称|x0-h|为“对称距”. （1）已知二次函数 判断点(3，4)是否为它的“对称点”，并说明理由. （2）已知二次函数 的图象经过原点，点 Q(x0，y0)是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值. （3）在(2)的条件下，当am≤x≤-m+5时，求y的取值范围. 浙教版2026-2027学年九年级上数学第1章二次函数 尖子生测评卷 解析版 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．点是抛物线的顶点，点在抛物线上其中下列结论： 当点轴上时，在直线上；当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是当点在原点时，过点的直线与抛物线交于两点，则． 其中正确的结论有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】【解答】 y=-x2+2（a-1）x-（a2-1）=-[x-（a-1）]2-2a+2， ∴P坐标为（a-1，-2a+2）， ①若P在x轴上，则-2a+2=0， ∴ a=1， 故①正确； ②-2a+2=-2(a-1)， ∴P点在直线y=-2x上 故②错误； ③∵A（-1，m），B（t，m）， ∴ 解得t=2a-1， 将A（-1，m）代入抛物线 得m=2-2a-a2， ∴m+2t=2-2a-a2+2（2a-1）=-a2+2a=-（a-1）2+1≤1， 当a=1时，m+2t=1， 故③错误； ④∵P所在直线为y=-2x， 将y=m代入y=-2x得，m=-2x， 解得 ∵当点P所在直线与线段AB没有交点时， ∴x＜-1或x＞2a-1，∴ 整理得，a（a+2）＜0或a（a-2）＞0， ∴a＞2，故④正确； ⑤∵点P在原点， ∴a-1=0，-2a+2=0，∴a=1，∴抛物线为y=-x2， 当过C 的直线是x=0时，不符合题意， 则可设过C 的直线为 与抛物线方程联立得， 整理得，4x2+4kx-1=0， 此时△＞0，则此方程有两个不同根， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴x1+x2=-k，x1x2= ∴ ∴ ∴ ∴ 同理可得，CN= ∴ 故⑤正确； 故答案为：B. 2．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则，当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与，则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 3．如图所示的是二次函数（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）.下列结论： ①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c-n）；④若点P（t，y1），都在抛物线上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程的两根之和为C.其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】【解答】解：由图象可得，函数开口朝下，与y轴交于正半轴 ∴a<0，c>0 ∵顶点坐标为（1，n） ∴，即b=-2a>0 ∴abc<0，①错误 ∵抛物线与x轴正半轴交于点B（m，0），（3＜m＜4） 当x=3时，y=9a+3b+c>0 ∵b=-2a ∴9a-6a+c>0，即3a+c>0，②错误 ∵抛物线的顶点坐标为（1，n） ∴，即 ∴b2＝4ac-4an=4a（c-n），③正确 由题意可得，抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，函数值越大 ∵点P（t，y1）带对称轴的距离为|t-1|，点到对称轴的距离为|3-t-1|=|2-t| ∵ ∵ ∴2t-3<0 ∴ ∴|t-1|<|2-t| ∴y1＞y2，④正确 由题意可得，点A(0，c)，点B(m，0) ∴OA=c，OB=m 当OA=OB时，m=c ∴B(c，0) 将点B坐标代入，得：ac2+bc+c=0 ∵c=m≠0 ∴ac+b+1=0 ∴b+1=-ac 设方程的两根分别为 ∴，⑤正确 故答案为：B 4．抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：①抛物线，，为常数，经过，两点， 一元二次方程的根为：，，则结论①正确； ②抛物线的对称轴为直线， 当时的函数值与的函数值相等， ， 当，随的增大而减小， ， ，②结论错误； ③当时，，则抛物线顶点的纵坐标为：，且， 将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线解析式为： ，由二次函数图象特征可知，的图象位于轴下方，顶点恰好在轴上，即恒成立， 对于任意实数总有，即，③正确； ④将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线解析式为，函数对应的一元二次方程， 若方程的根为整数，则其根只能是，或，或，对应的值只有三个，则结论④错误． 综上，结论正确的有①③． 故选：． 5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3.有下列结论： ①； ②； ③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根； ⑤若点A(， )， B(， )， C(， ) 在抛物线上， 且， 当时， 则n的取值范围为. 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个． 故答案为：C . 6．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 【答案】D 【解析】【解答】解：点，在函数，为常数）的图象上， ，． 当时， A、若， ． ． ． ． ，故A错误，故本选项不符合题意； B、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故B错误，故本选项不符合题意； 当时， C、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故C错误，故本选项不符合题意； D、若， ． ． ． ． ，故D正确，故本选项符合题意． 故答案为：D． 7．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ， ，则①不正确； ， ，则②正确； 将点代入抛物线得，则③正确； 当时，，即，则④正确； 抛物线与轴交于点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当或时，，则⑤正确． 正确的有个． 故答案为：D． 8．如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（　　） ①； ②函数的最小值为； ③若关于 x 的方程无实数根，则； ④代数式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】【解答】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 则①②③④正确， 故选：D． 9．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 关于x的方程 0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3<x4)，则下列关系式一定正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵是的两个不相等的零点 即是的两个不相等的实数根 ∴ ∵ 解得 ∵方程有两个不相等的非零实数根 ∴ ∵ 解得 ∴＞0 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 而由题意知 解得 当时，，； 当时，，； 当m=-2时，无意义； 当时，， ∴取值范围不确定， 故选：C． 10．对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使为等腰直角三角形且， 则称抛物线G为点P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线的T型点，则n的取值范围是（　　） A． B． C． D．n ≥ 【答案】C 【解析】【解答】如图，∵是抛物线的T型点， ∴， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为：，代入得： ， 解得， ∴解析式为， ∴抛物线必与直线有交点， 故有实数根，即有实数根， ， 解得， 故选C 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．已知二次函数，其中a为实数，对称轴为直线，将二次函数的图象向上平移6个单位，当时，函数有最小值为12，则m的值为　 　． 【答案】7或 【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 将二次函数的图象向上平移6个单位，得， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，，此时y有最小值3， 当时，由解得，， ∵当时，函数有最小值为12， ∴或， 解得或． 故答案为：7或． 12．对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当−1≤x≤1 时，−1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x，y=−x 均是“闭函数”. 已知 y = ax2+ bx + c(a≠0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)，则 a 的取值范围是　 　. 【答案】 或 【解析】【解答】解：∵y = ax2+ bx + c(a≠0)经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1) ∴a+b+c=-1，a-b+c=1 ∴a+c=0，b=-1 则抛物线为：y = ax2+ bx –a ∴对称轴为x= 如图， ①当a＜0时，抛物线开口向下，且x= ＜0，如图可知，当 ≤-1时符合题意，所以 ；当-1＜ ＜0时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去； ②当a＞0时，抛物线的开口向上，且x= ＞0，由图可知 ≥1时符合题意，∴0＜a≤ ；当0＜ ＜1时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去. 综上所述，a的取值范围是： 或 . 故答案为： 或 . 13．若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P（x0－3，x02－16），则符合条件点P有且仅有　 　个． 【答案】2 【解析】【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线 总不经过点 当-4=0时，=4，此时点P在抛物线y=a的图象上，不符合题意， 当-4≠0时，根据等式的性质可得(+4)≠a(-1) ∴要满足题意则有=-4或=1， ∴点P的坐标为(-7，0)或(-2，-15) 故答案为：2. 14．已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是　 　．（只填写序号） 【答案】①③④ 【解析】【解答】解：根据题意，可得二次函数图象如图： ①由图象可得， ∴， 故①正确． ②把 代入 得， ∴， ∴， 由图象可得，对称轴在x=和y轴之间， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②错误． ③∵函数，且， ∴函数有最小值， ∴， 故③正确． ④∵的图象经过点， ∴，即， 令，则，设它的两个根为，， ∵， ∴， ∵， ∴在中存在一个实数，使得， 故④正确． 故答案为①③④． 15．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有　 　（填序号） 【答案】①④⑤ 【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，，． ∴． ∴．故①符合题意． ∵点是函数图象上一点，对称轴是直线， ∴二次函数图象经过点． ∵二次函数图象开口方向向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵函数图象上一点， ∴．故②不符合题意． ∵，二次函数图象对称轴是直线， ∴设二次函数解析式为． 把点坐标代入二次函数解析式得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意． ∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线， ∴二次函数图象过点． 把点和代入二次函数解析式中得 用a来表示b和c得 ∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），∴． ∴．∴．故④符合题意． ∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线， ∴二次函数在时取得最大值． ∴当时，，即． ∴． ∵，∴． ∴． ∴．故⑤符合题意． 故①④⑤符合题意． 故答案为：①④⑤． 16．已知顶点为A的抛物线与顶点为C的抛物线交于，，则四边形的周长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，分别连接AB、BC、CD、DA、BD、AC，设AC交BD于点P. ，在抛物线上， 抛物线的对称轴是， ，即： 同理： A、C两点关于直线BD对称 四边形ABCD是菱形 菱形ABCD的周长 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共96分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 （1）求该抛物线的对称轴(用含m的式子表示). （2）无论m取任何实数，抛物线都经过一个定点，求该定点的坐标. （3）已知点A(-3，0)和B(5，0)，若线段AB 与抛物线只有一个交点，求m的取值范围. 【答案】（1）解：在抛物线中，a=1，b=-2m， 所以对称轴为直线 （2）解：将抛物线变形为y=x2-1-2m（x-1）， 令， 解得. ∴无论m取任何数，抛物线都过定点(1，0) （3）解：令y=0，则，对其进行因式分解可得， 则或， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点为（1，0）和（2m-1，0）. ∵点A（-3，0）和B（5，0），线段AB在x轴上，且-3≤x≤5. ∵抛物线过定点（1，0）， ∴要使得线段AB与抛物线只有一个交点，则另一个交点（2m-1，0）不能在线段AB上， 或者该方程只有一个根，即m=1， 即2m-1＜-3或2m-1＞5， 解得m＜-1或m＞3. 所以m的取值范围为m=1，m＜-1或m＞3 18．已知抛物线（a为常数）经过点（-1，0）. （1）求a的值. （2）过点A（0，m）（其中m<3）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若AC=2AB，求m的值. （3）设直线l与抛物线交于点P（t-1，y），Q（t，y2），若直线l上方的抛物线（包含点P，Q）上，函数值的最大值大于2，求t的取值范围. 【答案】（1）解：将点(-1，0)代入y=-x2+ax+3， 得：0=-(-1)2+a×(-1)+3 0=-1-a+3 ​​​​​​​ （2）解：由(1)得抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，对称轴为直线x=1， 设B(xB，m)， C(xC，m)， xB<xC， ∵直线BC//x轴 ∴点B，C关于直线x=1对称，即，得xC=2-xB ∵A(0，m)， ∴AB=|xB|=-xB(B在y轴左侧)，AC=|xC|=xC(C在y轴右侧) ∵AC=2AB ∴xC=-2xB 联立xC=2-xB和xC=-2xB，得：-2xB=2-xB ∴xB=-2 当x=-2时， ∴y=-(-2)2+2×(-2)+3=-4-4+3=-5 ∴ （3）解：抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为x=1，开口向下， 直线l上方的抛物线部分对应的自变量x的范围是[t-1，t] ①当t≤1时，区间在对称轴左侧，函数单调递增，最大值在x=t处取得 -t2+2t+3>2 t2-2t-1<0 解得 结合t≤1，得 ②当1<t<2时，区间包含对称轴x=1，最大值为顶点纵坐标4， 4>2恒成立，故1<t<2符合题意， ③当t≥2时，区间在对称轴右侧，函数单调递减，最大值在x=t-1处取得 -(t-1)2+2(t-1)+3>2 令u=t-1，则-u2+2u+1>0，解得 即，得 结合t≥2，得 综上所述，t的取值范围为 答：t的取值范围是 19．如图1，二次函数的图象经过点A（2，n）.如图2，将二次函数y1的图象记为H1，将图象H1绕点A旋转180°得到的图象记为H2，将图象H1和H2组合成的图象记为H. （1）求n的值. （2）求图象H2对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. （3）点P，Q是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m，4-|m|. ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值. ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写出m的取值范围. 【答案】（1）解：把代入，得； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 将图象绕点A旋转得到的图象记为， 由（1）知： 则的顶点坐标为， ∴的解析式为； （3）①m=-2或m=6； ②或或m＞3 【解析】【解答】（3）解：①当时，则点的横坐标为， ∵两点的纵坐标相同， ∴两点关于的对称轴对称，即关于轴对称， ∴， ∴； 当时，则点的横坐标为， ∵，且两点的纵坐标相同， ∴点关于点对称，且的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴和2关于轴对称， ∴， ∴； 综上：或； ②当时，则点的横坐标为， 当时，即，解得或（舍去）， ∴当，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，即，解得或， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，则点坐标为， 当时，则，解得或（舍去）； ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，则：，解得或（舍去）， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 综上：或或时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6． 故答案为：或或. 20．如图，直线与抛物线（a≠0）相交于点A和点B（4，m）.抛物线与轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）.点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥轴于点P，交抛物线于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线，把△CEF沿直线翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值. 【答案】（1）解：∵直线过点B（4，m）， ∴m=4+2=6 ∴B（4，6）， ∵抛物线（a≠0）过点A和点B（4，6） ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：存在点F，使△FAC为直角三角形。 设F（n，n+2） ∵FC∥y轴 ∴C ∵直线与x轴的交点为M（-2，0），与y轴交点为N（0，2）， ∴OM=ON=2， ∴∠ONM=45° ∵FC∥y轴 ∴∠AFC=∠ONM=45° 若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论： （i）若点A为直角顶点，即∠FAC=90°，过点A作AD⊥FC于点D， 在Rt△FAC中 ∵∠AFC=45° ∴AF=AC ∴DF=DC ∴AD=FC ∵n= 化简得： 解得：（与A重合舍去） ∴F（3，5） （ii）若点C为直角顶点，即∠FCA=90°，则AC∥x轴 在Rt△FAC中 ∵∠AFC=45° ∴AC=CF ∴n=（n+2）- 化简得： 解得：（舍去） ∴F（，） 综上所述：存在点F（3，5）或（，），使△FAC为直角三角形。 （3）最大值为 最小值为 【解析】【解答】解：（3）解：设F（c，c+2） ∵FC∥y轴 ∴C 在Rt△FEC中 ∵∠AFC=45° ∴EF=EC ∴当CF最大时，△FEC的周长最大 ∵CF=（c+2）- ∵-2<0， ∴当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为 折叠过程中，KQ的最大值为 KQ的最小值为 21．【情境导入】 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分。九（1）班同学在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习： 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度ED=5.3cm，CE=0.3cm，碗口宽AB=6cm，茶盖的最高点D离AB的距离DO=1cm，碗体ACB呈抛物线状（碗体厚度不计）； 【任务探究】 （1）任务一：如图2，以碗口宽AB的中点为原点O，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线DC为y轴，建立平面直角坐标系，则C点的坐标为（ ▲ ， ▲ ），A点的坐标（ ▲ ， ▲ ），并求碗体ACB的抛物线解析式； （2）任务二：如图2，若圆弧线ADB是圆的一部分，且圆心M在y轴的负半轴上，求该圆的半径和圆心M的坐标； （3）任务三：如图3，把盖碗中的茶水喝掉一部分后，发现水面由AB处下降了1.5cm至线段PQ处，求此时水面PQ的宽度。 【答案】（1）解：C（0，-4），A（-3，0）。 设代入A（-3，0），C（0，-4）。 解得：a= ∴ （2）解：设圆心M（0，m），半径R。利用MA=MD。 解得m=-4，半径R=5。 圆心M（0，-4）。 （3）解：水面下降1.5cm时，y=-1.5。 代入抛物线： 解得： 宽度 【解析】【解答】解：（1）∵ ED=5.3cm，CE=0.3cm， DO=1cm， ∴OC=ED-CE-OD=5.3-0.3-1=4， ∴点C的坐标为：（0，-4）； ∵ AB=6cm， ∴OA=OB=， ∴A点的坐标为：（-3，0）。 故答案为：C（0，-4），A（-3，0）； 22．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-5，0). （1）求点C的坐标； （2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）解：∵点A(-5，0)在抛物线 的图象上， ∴c=5， ∴点C的坐标为(0，5)； （2）解：过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图： ∵A(-5，0)， C(0，5) ∴OA=OC， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠CAO=45°， ∵PF⊥x轴， ∴△PHE是等腰直角三角形， ∴当PH最大时， PE最大， 设直线AC解析式为y= kx+5， 将A(-5，0)代入得0=5k+5， ∴k=1， ∴直线AC解析式为y=x+5， 设 则H(m，m+5)， 所以 ∵a=-1<0， ∴当 时，PH最大为 ∴此时PE最大为 即点P到直线AC的距离值最大； （3）解：点M的坐标为： (-3，8)或(3， - 16)或(-7，-16). 【解析】【解答】（3）存在. ∴抛物线的对称轴为直线x=-2， 设点N的坐标为(-2，m)，点M的坐标为 分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图， ∵A (-5， 0) ， C (0， 5) ， 即x-(-2)=0-(-5) 解得， x=3. ∴点 M的坐标为(3， - 16) ②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图， 方法同①可得， x=-7， ∴点 M的坐标为(-7， -16) ； ③当AC为对角线时，如图， ∵A (-5， 0) ， C (0， 5) ， ∴线段AC的中点H的坐标为 即 解得， x=-3． ∴点 M的坐标为(-3， 8) 综上，点M的坐标为： (-3，8)或(3， - 16)或(-7，-16). 故答案为：(-3，8)或(3， - 16)或(-7，-16). 23．已知，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3a（a≠0），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． （1）抛物线的对称轴为　 　（用含有a的式子表示）； （2）若当﹣1＜x＜2时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； （3）如图1，当a＝1时，点E（m，n）为第四象限的抛物线上一点，过点E作EF∥x轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接BC，过点E作EH∥y轴，交BC于点H，以EF，EH为邻边构造矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为时，求m的值； ②以EF所在直线为对称轴将抛物线位于EF下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）x=a （2）解：若a<0， ∵当-1<x<2时，函数值y随着x的增大而减小， ∴a≤-1； 若a>0， ∵当-1<x<2时，函数值y随着x的增大而减小， ∴a≥2； 综上所述，a的取值范围为a≤-1或a≥2 （3）解：当a=1时， 当x=0时，y=-3， 当y=0时， 解得： ∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）， ∵点E（m，n）为第四象限的抛物线上一点， ∴0<m<3， ∵EF∥x轴， ∴F（2-m，n）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，则 解得： ∴直线BC的解析式为y=x-3， ∴H（m，m-3）； ①当1<m<3时，如图1， EF=m-（2-m）=2m-2，EH=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m， ∵矩形EFGH的周长为 解得：（舍去）或 当0<m<1时，如图2， EF=（2-m）-m=2-2m， 解得 综上，或 ②-2≤n≤-1.5 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （3）②如图， 求出抛物线的顶点坐标，然后得到 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴-2≤n≤-1.5. 故答案为：-2≤n≤-1.5. 24．我们约定：对于二次函数 ，其顶点坐标为 P(h，k).若该函数图象上存在一个不同于顶点的点Q(x0，y0)，满足2(x0-h)=y0-k，则称点Q为该函数的“对称点”，并称|x0-h|为“对称距”. （1）已知二次函数 判断点(3，4)是否为它的“对称点”，并说明理由. （2）已知二次函数 的图象经过原点，点 Q(x0，y0)是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值. （3）在(2)的条件下，当am≤x≤-m+5时，求y的取值范围. 【答案】（1）解：点(3，4)不是二次函数 的“对称点”，理由如下： ∵二次函数 的顶点坐标为(1，2)， ∴2(x0-h)=2×(3-1)=4，y0-k=4-2=2， ∴2(x0-h)≠y0-k，故点(3，4)不是二次函数 的“对称点” （2）解： ∴顶点坐标为(m，m-4). ∵函数G的图象经过原点， 由题意可知： ∵函数的“对称距”为4，即 或-4. 当x0-m=4时， 将 代入 得 解得 m=2 或-4(舍去)； 当x0-m=-4时， 将 代入 得 ∴无实数解. 综上，m=2； （3）解：由(2)可知： ∵am≤x≤-m+5， ∴1≤x≤3. ∵对称轴为直线 ∴当x=2时，y有最小值，最小值为 当x=1或3时，y有最大值，最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $