河南省新乡市部分校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

@ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x2-2x<0),B={x|1og2x≥0)，则A∩B= A.{x|0<x≤1)》 B.{x|0<x<1} C.(xl0<x<2} D.{x|1≤x<2} 19π 2.sin 一3 的值为 A得 B.、 2 c D- 3.已知复数z满足z千1=1-（其中i为虚数单位），侧则|2一21= A.√2 B.2 C.√/10 D.10 2π 4.函数f(x)=2sin0x+兮o>0)在-个周期内的图象如图所示，则u一 5π 12 12 -2 A号 C.2 D.4 5.已知函数f(x)=1n+ 1 十1十2，则 十 A.f(1一x)+2是奇函数 B.f(-x一1)+2是奇函数 C.f(x一1)一2是奇函数 D.f(x十1)一2是奇函数 ②高三数学第1页（共4页） 6.已知tana=5,且a∈(r,2x,则sin号 12 A 2√13 B、 2√/13 C.3V13 D.-33 13 13 13 13 7.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若存在x。使得f(xo)=f'(xo),则称x0是函数y= f(x)的一个“T类点”，则下列函数中，不存在“T类点”的是 A.f(x)=cos x+1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x+1 D.f(x)=In x 8若直线l与曲线f(x)=ae*(a>l),g（x)=e十a都相切，则直线l斜率的最小值为 A.1 B.e C.e2 D.2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之1，之2均不为0，则 A.之1一22=21一22 B.|z1-z2|=|z1-z2] C.z1·之2=21·之2 D.z1·x2=z1·之2 10.若正实数a,b满足a十b=1,则 A+号的最小值是8 B.√a+√b的最大值是2 C.(1+a)1+6)的最大值是 Da+26的最小值是 ln(x+1)+ax,x>0, 11.已知函数f(x)= 其中a∈R,则下列说法正确的有 sinx+ax,x≤0， A.存在实数a使得f(x)为R上的奇函数 B.若f(x)为增函数，则实数a的取值范围为[1，十o) C.对于任意实数a,f(x)的图象上都存在关于原点对称的点 D,若a<一1，则方程f(x)=t有三个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知0<a<<A<,若c0s(a-)= 5,c0s2a=10 10,则a+g= 13.不等式2x十21-x>a的解集为R,则实数a的取值范围是 7 14.已知函数f(x)= a2+4a>0,a≠1)，x>2, 有最大值，则实数a的最大值是 x,x≤2 ②高三数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=2sin(ux十p)u>0,0<9<)的图象过点(0，厄)，且f(x) 在(0，x)内存在最大值，但不存在最小值. (1)求9的值； (2)求w的取值范围； (3)若u∈Z,求函数g(红)=f(x)fz-军图象的对称中心. 16.(15分)已知函数f(x)=lnx+ax-1(a∈R), (1)若a<0,判断函数f(x)的单调性； (2)若a=-1,对任意x∈[1,2]，都有f(x)+1≥b成立，求实数b的最大值. 17.(15分)已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+a(a∈R). (I)若关于x的不等式f(x)>0的解集是空集，求实数a的取值范围； (2)当a<0时，解关于x的不等式f(x)≤x十2+a. ②高三数学第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f(x)=ax一ax"(a>0且a≠1，x>0,n∈N). (1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的值； (2)讨论函数f(x)的零点个数， 19.17分)已知函数fx)=tanx-az,a∈R,z∈0，) (1)当a=4时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)十2sinx>0,求实数a的取值范围； (3)证明：sinz·tanx>x,x∈0，受 ②高三数学第4页（共4页）④ 高三数学参考答案及评分意见 1.D【解析】由题意，得集合A={x|0<x<2},B={xlx≥1}，所以A∩B={x|1≤x<2).故选D. 2.B 【解标1n(-1g）-sn(）-sm6x+）-sn吾=-放选B 3C【解析】由年1=1-i,得2=(1-i0z+1-i,所以z=1-4.)CD-1-1-i.所以g一2= i·(-i)-1 -1-i-2i=-1-3i,所以z-2i=√（-1)2+(-3)2=√/10.故选C. 4C【解析抽函数了)的图象知，函数/)的最小正周期T=2[登-()】x因为w>0,所以T-否- r,解得w=2.故选C. C【解桥因为fz)=1n十十2，所以f)的定义域为xx>0或2<-2》 令g(x)=f(1-x)十2，则其定义域为(-∞，1)U(3,十∞)，不关于原点对称，故g(x)=f(1-x)十2不是奇函 数，故A错误 令g(x)=f(-x一1)+2，则其定义域为(-∞，-1)U(1,十∞)，关于原点对称.g(x)=f(-x一1)十2= -+4,因为g-0tge)-lh+4+in上+4-h++n要 "x+1x x+1 x 8=8≠0，所以不满足g(-x)=一g(x),所以g(x)=f(一x一1)十2不是奇函数，故B错误. 令g(x)=f(x-1)=2,其定义域为(-∞，-1DUL,+c∞)，关于原点对称.g(c)=f(x-1)-2=ln 士g)a+=h-=-h}}86e)满足奇高数性质，所以ge)=f2 1)一2是奇函数，故C正确. 令g(x)=f(x十1)-2，其定义域为(-∞，-3)U(-1,十∞)，不关于原点对称，故g(x)=f(x+1)-一2不是奇 函数，故D错误.故选C. 6A【解析】因为1ag=号<0，且a∈(，2，所以u∈（管，2，所以受∈（语，所以sin号>0 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，则点P(5,一12)是其终边上一点. 因为0P=18,所以csa=是所以号一g0-是，所以名-循-2放选A 7.C【解析】对于A,因为f(x)=cosx+1,x∈R,所以f'(x)=-sinx.由f(xo)=f'(xo),得cosx。+1= -sinx0,所以sin xo十cos zo=-1.当xo=2kπ+π，k∈Z时，sin xo=0,cos Jo=-1,所以sin xo十cos zo= -1;当z,=2kx+3,k∈Z时，sin。=-1,c0sx。=0,所以sin十cosx。=-1.所以方程sin十c0sx。 一1有解，即函数f(x)=cosx+1存在“T类点”. 对于B,因为f(x)=x2+x,x∈R,所以f'(x)=2x十1.由f(xo)=f'(xo),得x6+xo=2x。+1,所以x6一x。- 1=0.因为△=（一1）2-4×1×(-1)>0，所以方程x?-x。-1=0有两个不相等的实根，即函数f(x)=x2+x 有两个“T类点”， ②高三数学答案第1页（共8页） 对于C,因为f(x)=2e+1,x∈R,所以f'(x)=2rln2.由f(xo)=f'(xo),得2xo+1=2xoln2,所以2xo= 1 1 1 1-n21n2因为2>0,1n2-<0,所以方程2=n2一无解，即函数f(x)=2+1无“T类点”， 对于D.因为fe)=hx>0,所以f)立由，)=f'),得1n,去设ge)=lnx是> 0,则g(x)在(0，+∞)上连续且单调递增.因为g)=-1,g(e)=1二。>0，所以g(z)只在(1，)内有一个罗 点，即函数f(x)=lnx只有一个“T类点”，且位于区间(1，e)内.故选C. 8.B【解析】设直线l与曲线f(x)=ae(a>l)切于点(x1,ae1),与曲线g(x)=e十a切于点(x2,e2十a).求 导得f'(x)=ae',g'(x)=e,所以公切线的斜率k=ae1=e,整理得e2-1=a,所以x2一x1=lna①. 曲线y=f(x)的切线方程为y一ae1=(x一x1),即y=kx十(1一x1),曲线y=g(x)的切线方程为y一 (e2十a)=k(x-x2),即y=kx十k(1-x2)十a,所以k(1-x1)=k(1-x2)十a,得k(x2-x1)=a②. 由@，得na=a所以A=品aa>1D.记a)=品aa>10,求号得a)=品n20)令'a)=0,解得 a=e.所以当l<a<e时，k'(a)<0,k(a)单调递减；当a>e时，k'(a)>0,k(a)单调递增.所以当a=e时，k(a) 取最小值，即直线1斜率的最小值为ne=c故选B. 9.ABD【解析】设x1=a十bi,x2=c+di,a,b,c,d∈R,则a2+b2≠0，c2十d≠0. 因为z1-2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)-(b-d)i, z1-z2=a一bi-(c-di)=(a-c)-(b-d)i,所以z1-之2=1-22，故A正确. 因为|之1-之2|=|(a-c)+(b-d)i|=√a-c)2+(b-d)产，z1-x2=|(a-c)+(d-b)i|= √/(a-c)2+(d-b),所以|z1一之2|=z1-之2，故B正确. 因为z1·z2=(a+bi)·(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i,z1·z2=(a-bi)·(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i, 所以之1·之2=之1·之2不一定成立，故C错误. 因为x1·x2|=√(ac+bd)2+(bc-ad),|x1·x2|=√(ac+bd)2+(ad-bc)z, 所以|之1·之2=z1·之2|，故D正确.故选ABD. 00折对于A+号-(+8》a+o)-10-名+号10+2径·号-1s,当且仅当号-号8 (时取等号，所以。+}的最小值是16，放A错误 对于B,由a十6≤？得a+6≤2，当且仅当a=h三时取等号，所以a+6的最大值是 2 √2，故B正确； 对于C,(1+a)(1+b)≤ (1+a)+(1+b)]2 r2+(a+b)= 2 2 ，当且仅当1十a=1+6,即a=6=名时取等 号，所以1+a)1+6)的最大值是}，放C正确， ②高三数学答案第2页（共8页） 对于Da+0=1+20=6-26+1=6-)广+号， 当b=号时，a+26取得最小值号，枚D错误故选BC. ln(x+1)+ax,x>0, 11.BC【解析】因为f(x)= 所以f(π)+f(-π)=ln(π+l)+aπ+[sin(-π)+ sinx十ax,x≤0， a(-π)]=ln(π十1)≠0，所以f(π)≠一f(-π)，故函数f(x)不为奇函数，故A错误. 当x≤0时，f(x)=sinx十ax,所以f'(x)=cosx十a. 若f(x)为增函数，则f'(x)=cosx十a≥0恒成立，所以-1十a≥0，解得a≥1； 当>0时，f()=ia(x+1十a,所以f)=ta. 若fx)为增函数，则了)十a≥0恒成立，所以0叶a≥0解得a≥0， 综上，a≥1.当a≥1时，f(0)=0,当x>0时，f(x)=ln(x十1)十ax>0,满足f(x)为增函数，所以实数a的取 值范围为[1，十∞)，故B正确. 当x>0时，令g(x)=f(x)+f(-x)=ln(x+l)+ax+sin(-x)+a(-x)=ln(x+1)-sinx. 因为g()-1n（2十1-1<0，g()=ln(x+1)>0,所以函数gx)在0，+∞)内存在零点，即方程f)= 一f(一x)在(0，十∞)内有根，所以对任意实数a,f(x)的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确. 当x≤0时，f(x)=sinx十a.x,所以f'(x)=cosx十a.若a<-l,则f'(x)=cosx十a<1-1=0恒成立，所以 函数f(x)在（一∞，0]上单调递减，则f(x)≥f(0)=0.因为当x→一∞时，f(x)→+∞，所以函数f(x)在 (一∞，0]上的值域为[0，十∞). 当>0时，1)=lnx+1+a,所以f()=+a若a<-1,则f()=1+a<1-1=0恒成 立，所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递减.因为当x→0时，f(x)→0，当x→十∞时，f(x)→一∞，所以函数 f(x)在(0，十∞)上的值域为(-∞，0. 综上，函数f(x)在定义域R上单调递减，且值域为R,所以方程f(x)=t有且仅有1个实数根，故D错误.故 选BC. 12要【解折1迪0a<营<9Kae-)-2a=得--K0,0<2a<受音<a+g<经 10 所以如a=sml2a-a一]-如a6g》asne》-36×号×(-2}-要 10 又因为经<a十8<，所以a十8-3西 4 13.(-∞，22)【解析】由题意，得对任意x∈R,不等式2+2->a恒成立.：2>0，∴2+21-：=2：+ 2x ②高三数学答案第3页（共8页） 2,当且仅当2x-品，即z号时取等号，所以a<22,即实数a的取信范图是(-e,22. 1 14.2 2+7a>0a≠1e>2, 【解析】因为f(x)= x,x≤2， 所以当x≤2时，f(x)=x在（一∞，2）上单调递增，函数f(x)的最大值为2； 7 当x>2时，f(x)=a+4 若a>1,则f(x)在(2，十6)上单调递增，且f(x)>1+子>2，所以函数f(x)不存在最大值 若0<a<1,则了x)在(，十∞)上单调道减，且子<f(x)<a2+子。 因为函数f(x)有最大值，所以。+子≤2，解得0<a<号，所以实数a的最大值是2 15.解：(1)因为f(x)=2sin(wx十p),f(0)=√2， 所以m二一是 …2分 因为0<9<2，所以9- π 0000小…00*0**……4……0…*……。 (2)由1)得，f(x)=2 sin+ 由0<x<,a>0,得<ar+ 4<ωπ十 …5分 因为f(x)在(0，π)内存在最大值，但不存在最小值， 所以由正弦函数的图象，得<@x十< 4≤2· …………………7分 解得子<o≤ 5 所以正数w的取值范围为 15 4’4 …8分 (3)由w∈Z,及(2)得w=1,则fx)=2sim(z+) …9分 所以g)=f)f(e-）=4sne+）sm=4inzn+经 -22(sinx+in）)-2（g2z+7n2x） =p(sin2x-cos2x)+E=2sin2x-餐）+z. …11分 令2x-=元，k∈Z,解得x= 2 8k∈Z, …12分 所以函数8u)图象的对称中心为（经+营&∈么… …13分 ②高三数学答案第4页（共8页） 16.解：(1)因为f(x)=lnx+ax一1，x>0,… …1分 +a=az十1 所以f'(z)=1 …2分 令f'(x)=0,解得x=- a· …3分 因为a<0,所以当0<<-时，f(x)>0,f(x)单调递增；…4分 当x>-1时，f(x)<0,f(x)单调递减.…5分 所以fx)在区问6，一)上单调遥增，在区间（一日十上单润递减.…6分 (2)若a=一1，则f(x)=lnx一x一1.…7分 令g(x)=f(x)+ 1 -1, x 1)2 3 x一2 <0, ……9分 x2 所以g(x)在区间[1,2]上单调递减.… …11分 因为对任意x∈[1,2]，都有f(x)+≥6成立， 所以b≤g（x）min,x∈[1,2].…l3分 所以6≤ge)m=g2)=ln2-2+名-1=lh2-8 听以实数6的最大值为n2号……………………………15分 17.解：(1)当a=0时，f(x)=-x,解f(x)>0,得x<0,解集不是空集，故舍去.… …2分 当a≠0时，要使f(x)=ax2+(a-l)x+a>0的解集为空集，必须满足函数f(x)的图象开口向下且与x轴 最多有一个交点，…4分 即a<0,△=(a-1)2-4a2≤0，即△=-3a2-2a十1≤0，解得a≤-1.…6分 综上，实数a的取值范围是（一∞，一1].…7分 (2)由题意，得f(x)≤a十2十x,即f(x)-a-2-x≤0，整理得ax2+(a-2)x-2≤0，即(ax-2)(x十1)≤0. ……9分 因为a<0,所以(-2盈)x+1≥0， 当-1<号即a<-2时，不等式的解架为(-0，一1U[名+ …12分 a =之，即a三-2时，不等式的解集为R)……………………………… 当-1心名，即-2a<0时，不等式的解集为，名]U[-1,十ao.…14分 ②高三数学答案第5页（共8页） 综上，当a<-2时，不等式的解集为(-∞，-1U[名，十：当a=-2时，不等式的解集为k: 当-2a<0时，不等式的解集为(-，]U[-1,十. …15分 18.解：(1)因为f(x)=ax-a.x”,所以f(x)≥0恒成立，即a'≥a.x"恒成立， 两边取自然对数，得xlna≥lna十+nlnx, 所以xlna一nlnx-lna≥0恒成立.…2分 令g(x)=xlna-nlnx-lna,则g(x)≥0恒成立. 求导，得g'(x)=lna- x 因为n∈N,所以g'(x)在(0，十∞)上单调递增.…3分 当0<a<1时，lna-”<0在(0，十)上恒成立，即g'(x)<0在(0，十∞)上恒成立， 所以g(x)在(0，十0∞)上单调递减.…4分 因为g(1)=lna-nln1-lna=0, 所以当x∈(1，十o∞)时，g(x)<0,不符合题意.…5分 当a>1时，令g'(x)=0,解得x=na 则当xe(0,a时，g)0,当x∈(a+时gu)>0, 故g)在0a上单调通，在(a十上单调通指， …7分 因为g1)-0,所以要使得g)2≥0恒成立，必有。-1， 獬得a=e即实数a的值为e,…… …8分 (2)由(1)知，函数f(x)的零点个数等价于函数g(x)=xlna一nlnx一lna的零点个数. 由(1)知，当0<a<1时，g(x)在(0，十∞)上单调递减， 且g(1)=0,所以f(x)的零点个数为1.… …11分 当a≥1时，g)在0，a)上单满递减，在(a+ 上单调递增 若a=e”,有且仅有g(1)=0,故f(x)的零点个数为1.… 12分 若1<a<e,则a>1,由g)=0,得(a)0 又当x+时，g)十，故存在x(a十网使得gx)=0 此时g(x)有两个零点1和x1,故f(x)的零点个数为2.…14分 ②高三数学答案第6页（共8页） 若>e,则0。<1，由g)=0,科&(a0, 又当0时，ge)十e,故存在x0:a使得gx,）=0, 此时g(x)有两个零点x2和1，即f(x)的零点个数为2.…16分 综上，当0<a<1或a=e“时，函数f(x)的零点个数为1； 当a>1且a≠e”时，函数f(x)的零点个数为2.…17分 19.(1)解：当a=4时，f(x)=tanx-4x= cosx 则f'(x)=1 -4.………1分 cos2x 令f'(x)=0,得cos2x=4 1 因为x(0,),所以c0x=安解得x=子。 ……2分 当0<号时om>2则<，即f)0, 所以fx)在0，上单调递减.… …3分 当<<营时os<号则e74:即f'0， 1 所以f)在（行，上单调递增.…4分 所以函数x)的单调递减区间为0，)，单调递增区间为（行） ……5分 ②)解：因为/x)=an-axx∈o,》: 所以f(x)十2sinx>0,即tanx-a.x十2sinx>0.…6分 设g)=an-ax+2sinx,e[0,}则g)- 1 c097a十2c0S℃…7分 若a>3,则g'(0)=3-a<0, 故存在x,∈0，）使得Vz0,xg)<0, 所以g(x)在(0，xo)上单调递减， 所以Hx∈(0，x),总有g(x)<g(0)=0,矛盾. 所以a≤3.…9分 当a≤3时，tanx-a.x+2sinx≥tanx-3x+2sinx. h(tn +2in) 则h'(x)=1 cos2x --3+2cos z. ②高三数学答案第7页（共8页） 令m(x)=h'(x),则m'(x)=2sin”-2sinz=2sinz cosx 所以m()即'(x)在0，)上单调递境. 所以h'(x)≥h'(0)=0,… …11分 所以h(x)在0，)上单调递增， 所以当x∈0,2)时，h(x)>h(0)=0,即tanx-3x+2sinx>0, 所以tanx一ax十2sinx>0,即原不等式成立. 综上，实数a的取值范围是（一∞，3].… …12分 (3)证明：令a)=ingtan-,x∈（0，》 则n'(x)=2 sin xcos xtan x+tan2x-3x2=2sin2x十tanx-3x2.… …13分 由(2)知，当a=3时，tanx+2sinx>3x,所以tan2x>(3x-2sinx)2. n'(x)=2sin2x+tan2x-3x2>2sin2x+(3x-2sin x)2-3x2 =6sin2x-12xsin x+6x2=6(sin x-x)2>0. 所以n)在〔0,2上单调递增。 … …15分 因为当x=0时，smx·tamz-=0,所以当x∈(0，）时，ax)>0, 即sin'x·tanx>x3,x∈（0,2 π …17分 ②高三数学答案第8页（共8页）