湖南省衡阳市衡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

衡阳县第三中学2025年高二上学期第一次月考 数学试卷 本卷共4页，满分150分；考试时间：120分钟；命题人：屈灿 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的选项涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，定义域为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 往一个边长为2的正方体框架（6个面镂空只保留棱，棱的粗细忽略不计）内吹起一个气球（假设气球为球形），则该气球的最大体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数a，b满足，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. A为直线：上一点，直线经过点且与垂直，点B在上移动，则AB的最短距离为（ ） A. B. C. 1 D. 0 7. 如图所示的正方体中，点M为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，点M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点，则Q到平面MND的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有两项或者三项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例给分，有选错的得0分． 9. 正实数a，b满足，则的取值可能为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 10. 某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ） A. 甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B. 乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C. 丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D. 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 11. 用一个平面去截正方体，所得截面图形不可能是（ ）． A. 直角三角形 B. 直角梯形 C. 正六边形 D. 正五边形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若两平面的法向量，夹角的余弦值为，则两个平面的夹角为______． 13. 如图，在中，且D点满足，，则______． 14. 如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 17. 平面内两条直线：；：． （1）若，求m的取值范围； （2）证明：无论m取何值，直线都恒过一个定点． 18. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，同一组中数据用该组区间中间值作代表值． （1）60分以下的成绩视为不及格，求不及格的考生人数； （2）求该组数据的众数和第一四分位数； （3）在本次测试分数为，的考生中，使用分层随机抽样的办法从中抽取5人，再从这5人中随机挑选3人，求恰好有一名学生分数在区间的概率． 19. 如图，在三棱台中，平面平面，，． （1）证明； （2）求直线DF与平面DBC夹角的正弦值． 衡阳县第三中学2025年高二上学期第一次月考 数学试卷 本卷共4页，满分150分；考试时间：120分钟；命题人：屈灿 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的选项涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有两项或者三项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例给分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）1 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）证明: ， 令，解得， 所以无论m取何值，直线都恒过一个定点. 【18题答案】 【答案】（1） （2）众数为；第一四分位数为 （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明： 过点作⊥于点，连接， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，所以， 又，所以， 又，在中， 由余弦定理得， 故，由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 又三棱台中，，所以； （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $