专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，湖北专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．BCD 2．【答案】 【分析】 根据指数幂的运算性质计算可得. 【详解】 . 故答案为： 3．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）（2）根据指数运算直接化简可得. 【详解】 （1），又， ； （2） . 4．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）由指数的运算即可计算出结果； （2）将条件等式两边同时平方得到的值，再两边同时平方即可求出的值，代入代数式即可求得结果； （3）对条件等式各项同除，化简得到关于的二次方程，然后解二次方程求得的值. 【详解】 （1）原式； （2）原方程两边同时平方得：，解得， 方程两边再平方得：，解得， 所以. （3）由可得，即， 又，令，则， 解得，即. 考点02 指数函数 1．D 2．B 3．D 4．【答案】 【分析】 把给定不等式恒等变形，构造函数并求出函数的最小值，再列出不等式求解作答. 【详解】 不等式，函数在上单调递减， 当时，，依题意，，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 5．【答案】 【分析】 根据指数函数的定义求解. 【详解】 因为函数（是自变量）是指数函数， 所以且，解得且. 故答案为： 考点03 对数 1．CD 2．【答案】20 【分析】 根据指数运算和对数运算的运算性质计算出正确答案. 【详解】 =20. 故答案为：20 3．【答案】2 【分析】 利用对数运算性质计算可得结果. 【详解】 易知. 故答案为：2 4．【答案】 【分析】 利用指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】 由题可得：， 故答案为： 考点04 对数函数 1．C 2．D 3．【答案】（1）A=[ -1,8] ,B= [-3,5 ]；（2） 【分析】（1）解指数不等式可得集合A，根据对数函数的单调性可得集合B；（2）将集合间的包含关系转化为不等式组求解可得所求范围． 【详解】（1）不等式即为， 所以， 解得， 所以． 因为对数函数 在上单调递增， 所以， 即， 所以． （2）由（1）得． ①当时，满足，此时， 解得． ② 当时，由得 ，解得， 综上． 所以实数的取值范围是． 【点睛】（1）集合的运算常与不等式的解法结合在一起考查，体现知识间的综合． （2）根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴将其转化为不等式（组）求解，解题时一定要注意不等式中的等号是否能成立，解题的关键是正确理解集合包含关系的定义． 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．D 3．A 4．A 5．AC 6．【答案】（1）3.82（分钟／千米），.     （2） .     （3）3.11分钟／千米.      【分析】 （1）根据配速定义直接代入公式计算可得； （2）利用给定解析式代入列方程组，即可解得结果； （3）由（2）中的解析式构造不等关系，解指数不等式并利用参考数据计算即可. (1) 小问详解： 由题意，黄雪梅的平均配速为（分钟／千米） 时速为千米／时，配速. (2) 小问详解： 因为， 代入数值可得 ， 解得 . (3) 小问详解： 由（2）得. 令，则有， 可得， 所以.因此， 即配速的最小值为3.11分钟／千米. 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于根据提供函数模型代入对应数值，求出函数解析式，再构造不等关系解决实际问题进行实际应用. 7．【答案】（1），；     （2）     （3）销售单价为元时，日利润的最大值元      【分析】 （1）设出一次函数关系，利用选定系数法求出解析式，并求出自变量的范围. （2）利用给定关系，结合（1）的结论分段求解. （3）结合二次函数性质分段求出最大值，再比较大小即得. (1) 小问详解： 依题意，设，由及， 得 ，解得，则， 显然也满足， 因此，由，得，解得， 所以所求函数关系式为，. (2) 小问详解： 由（1）知，， 由，得，， 由，得，， 所以所求函数关系式为 . (3) 小问详解： 当时，，当且仅当时取等号； 当时，在上单调递减，则当时，， 而，因此当，即时，， 所以当销售单价为元时，日利润的最大值元. 8．【答案】（1）     （2）当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元      【分析】 （1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）利用二次函数和对勾函数的性质，分类讨论和时的最大年利润，即可求出最后答案. (1) 小问详解： 由题意知，当时，，所以a=300. 当时，； 当时，. 所以 ； (2) 小问详解： 当时，，所以当x=25时，W有最大值，最大值为5990； 当时，， 当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为5990<8990， 所以当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 9．【答案】（1）     （2）6     （3）      【分析】 （1）分离常数，根据函数单调性确定值域即可； （2）化简得，当时，取得最小值； （3）令，则，即 ，再分析单调性列出不等式即可． (1) 小问详解： ， 在上单调递增，且，， 所以函数的值域为； (2) 小问详解： ，， 所以当，即时，取得最小值， 时，一天中6时污水污染指数最低； (3) 小问详解： ， 令，则， ， ， 则在上单调递减，在上单调递增， 又该厂每天的污水污染指数不超过3， ，解得， ∴调节参数的范围为． 10．【答案】（1）最小值为88千万元，此时     （2），，（千万元）     （3）（千万元）      【分析】 （1）由给定函数模型，利用基本不等式求解即可； （2）由给定函数直接求解定义域；由函数的单调性求最值即可； （3）由月利润=月收入-月成本，再令，分别求出，，，即可； (1) 小问详解： ， 当且仅当，即时取到等号， 即的最小值为88千万元，此时； (2) 小问详解： 由，可知定义域为，， ，，， 由函数单调性可知：在，上单调递增， 当时，（千万元）； (3) 小问详解： ， ，，． 令， ，，，， （千万元），此时． 11．【答案】 【分析】 先画出的图象，再利用换元法结合图象得到五个解的对称关系，进而得到结果. 【详解】 解：作出的图象如下图所示 设，由图象知， 当时，方程有三个根， 当或者时，方程有两个根 则方程等价于 则方程有5个不同的解，，，，等价于方程有两个根和或 由图象可得，五个根，，，，中，有四个根关于关于直线对称，还有一个根为 所以 【点睛】 关键点睛：求复合函数的零点时，关键在于利用数形结合找到内层函数和外层函数根之间的关系，进而求解. 12．【答案】（1） ；     （2）当年产量为50（百台）时，最大年利润为350万元．      【分析】 （1）分和讨论即可； （2）当时，利用二次函数性质即可求出最值，当时，利用基本不等式即可求出最值. (1) 小问详解： 当时，， 当时，. 所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为： . (2) 小问详解： 当时，， 故（百台）时，取得最大值为284万元； 当时， ， 当且仅当时取等号，故当（百台）时，取最大值为350万元：由于， 故当年产量为50（百台）时，最大年利润为350万元． 13．【答案】（1）小时     （2）      【分析】 （1）根据题意可知一次喷洒个单位的消毒剂后，其浓度为 .令求解即可； （2）由题知从第一次喷洒起，经小时后，其浓度，化简后利用基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 因为一次喷洒个单位的消毒剂， 所以浓度 . 则当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故， 综上，. 故若一次喷洒个单位消毒的消毒剂，则有效消毒时间可达小时. (2) 小问详解： 设从第一次喷洒起，经小时后， 浓度， 因为，，所以由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，有最小值为. 令，解得. 又，所以， 所以的最小值为. 14．【答案】（1）是“类函数”     （2）     （3）      【分析】 （1）由，得：，解得的值，可得结论； （2）若是定义在上的“类函数”，则存在实数满足，即方程在上有解，进而可得实数的最小值； （3）若 为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足，进而可得实数的取值范围． (1) 小问详解： 函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足，则， 解得或1，所以是“类函数”； (2) 小问详解： 因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上递增，在上递减， 所以当或时，取最小值； (3) 小问详解： 由对恒成立，得， 因为若 为其定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足 ①当时，， 所以，所以， 因为函数是增函数，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数是减函数，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 15．【答案】（1） 和     （2）      （3），证明如下： 依题意，有两个不相等的实数根、， 所以，， ， 其中，而， 故，所以当时，      【分析】 （1）根据所给定义得到方程，解得即可； （2）依题意可得有两个不相等的实数根、，根据求出的范围，再由韦达定理得到，换元，结合二次函数的性质计算可得； （3）依题意有两个不相等的实数根、，列出韦达定理，即可作差得到，即可判断. (1) 小问详解： 由题意知，即，则， 解得，， 所以不动点为和 (2) 小问详解： 依题意，有两个不相等的实数根、， 即方程有两个不相等的实数根、， 所以，解得或， 且，， 所以 ， 因为令，则或， 函数，对称轴为， 当时，y随的增大而减小，若，则； 当时，y随的增大而增大，若，则， 故，所以的取值范围为. (3) 小问详解： 略 16．【答案】（1）；     （2） 填表如下： 函数的图象如下： 1 2 4 5 6 0 0 1    由图可知，函数的单调递增区间为：； 单调递减区间为：.     （3）      【分析】 （1）根据题设条件，构造方程组，求解即得函数的解析式和的值； （2）根据函数解析式代值计算填表，描点画图，再由图表述函数的单调区间即可； （3）设，由有6个实数解等价于方程有两个实根，借助于函数图象分类考虑，列出不等式组，求解即得参数范围. (1) 小问详解： 因，用替代，得， 联立两方程，解得， 则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，由有6个实数解，由图知，需使有两个实根，不妨设， 且满足① 或② 或③ 或④ . 由① 可得： ，解得； 由② 可得： ，解得； 由③ 可得： ，解得； 由④ 可得： ，解得. 故实数的取值范围为. 17．【答案】 【分析】 由题意确定的定义域为，可得有两个不等实数根，结合二次函数的零点的分布列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】 由题意知的定义域为， 且在定义域上单调递增， 又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根， 即有两个不等实数根， 设两根为，且， 令， 则 ，即 ， 解得， 故实数m的取值范围为， 故答案为： 18．【答案】（1）；     （2） 当，则，又， 所以， 令，则，可得， 故或， 显然、都不在区间内， 故在上无零点；     （3）.      【分析】 （1）根据新定义求函数值即可； （2）由题意，则，进而有，应用方程法判断零点的个数即可； （3）根据阶缩放函数成立的条件建立条件关系即可求出结论． (1) 小问详解： 由题设； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题设，，且， 当，且，，使，所以， 即，故，则，， 当时，的取值范围是， 当时，，且， 则，所以， 所以在上的取值范围. 19．【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）利用换元法，借助二次函数求出值域. （2）根据给定条件，转化为求出函数在指定区间上的最小值即可. （3）求出函数的单调区间，再分类讨论并结合一元二次方程实根分布求解. (1) 小问详解： 令，则，于是， 而函数在上单调递减，在上单调递增，，的值域为. (2) 小问详解： 当时，，当时，设， 在上递增，则， 因对，，使得成立，可得， 故实数的取值范围是. (3) 小问详解： 函数在上递减，在上递增， 设是一个优美区间，则或， 当时，有 ，则方程，即有两个不等的非负根， 设方程两根分别为，由，得， 又由 ，得，因此； 当时，有 ，则 ，两式相减得，因，则 于是 ，则方程，即有两个不等的非正根， 由，解得，又 ，可得，因此， 综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】 方法点睛：本题主要考查函数的值域，函数不等式恒成立和函数新定义问题，属于难题. (1)对于函数值域问题，换元法是常用技巧，将复杂函数转化为熟悉的二次函数，再利用二次函数性质求解. (2)解决函数不等式恒成立或存在性问题，关键是转化为函数最值比较问题. (3)对于函数 “优美区间” 这类新定义问题，先分析函数单调性，再根据定义建立方程或方程组，结合一元二次方程知识求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. 若，，则 D.  【答案】BCD 【分析】 选项A，直接写出全称量词命题的否定即可，根据充分不必要条件判断即可得出B选项，利用基本不等式结合一元二次不等式的解即可判断C，利用根式的性质判断选项D即可. 【详解】 对于A，命题“”的否定是“”， 故选项A不正确， 对于B，当时，所以充分性成立， 反之取， 则，但是不满足， 故必要性不成立， 所以“”是“”成立的充分不必要条件，故B选项正确； 对于C，因为，所以， 令，所以有， 解得：或（舍去）， 即，当且仅当 ， 即时等号成立，故C选项正确， 对于D，由，故D选项正确， 故选：BCD. 2．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数幂的运算性质计算可得. 【详解】 . 故答案为： 3．（25-26学年高一上·湖北沙中学·期中）（1）已知，求的值； （2）计算：； 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）（2）根据指数运算直接化简可得. 【详解】 （1），又， ； （2） . 4．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）由指数的运算即可计算出结果； （2）将条件等式两边同时平方得到的值，再两边同时平方即可求出的值，代入代数式即可求得结果； （3）对条件等式各项同除，化简得到关于的二次方程，然后解二次方程求得的值. 【详解】 （1）原式； （2）原方程两边同时平方得：，解得， 方程两边再平方得：，解得， 所以. （3）由可得，即， 又，令，则， 解得，即. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）幂函数在上单调递增，则过定点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】利用已知条件得到求出的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可. 【详解】 由题意得： 或， 又函数在上单调递增， 则， 则， 当时， ， 则过定点. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）已知，函数与的图象如图所示，则（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】B 【分析】 分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 【详解】 解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 3．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可 【详解】 由函数（其中）的图象可得， 所以，所以排除BC， 因为，所以为增函数，所以排除A， 故选：D 4．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把给定不等式恒等变形，构造函数并求出函数的最小值，再列出不等式求解作答. 【详解】 不等式，函数在上单调递减， 当时，，依题意，，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 5．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据指数函数的定义求解. 【详解】 因为函数（是自变量）是指数函数， 所以且，解得且. 故答案为： 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）（多选）下列运算法则正确的是（       ） A.  B.  C. （且） D.  【答案】CD 【分析】 取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，若，则无意义，A选项错误； 对于B选项，若，，则无意义，B选项错误； 对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确； 对于D选项，当，、时，，D选项正确. 故选：CD. 2．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）计算=　　　　　　　　　　　　　. 【答案】20 【分析】 根据指数运算和对数运算的运算性质计算出正确答案. 【详解】 =20. 故答案为：20 3．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）求值：　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用对数运算性质计算可得结果. 【详解】 易知. 故答案为：2 4．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）计算：　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】 由题可得：， 故答案为： 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】 根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解. 【详解】 因为，等价于即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答. 【详解】 由或. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又函数在上单调递增，所以. 即的取值范围为：. 故选：D 3．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）已知集合． （1）求集合； （2）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1）A=[ -1,8] ,B= [-3,5 ]；（2） 【分析】（1）解指数不等式可得集合A，根据对数函数的单调性可得集合B；（2）将集合间的包含关系转化为不等式组求解可得所求范围． 【详解】（1）不等式即为， 所以， 解得， 所以． 因为对数函数 在上单调递增， 所以， 即， 所以． （2）由（1）得． ①当时，满足，此时， 解得． ② 当时，由得 ，解得， 综上． 所以实数的取值范围是． 【点睛】（1）集合的运算常与不等式的解法结合在一起考查，体现知识间的综合． （2）根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴将其转化为不等式（组）求解，解题时一定要注意不等式中的等号是否能成立，解题的关键是正确理解集合包含关系的定义． 考点05 函数的应用（二） 1．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，则公司获得的最大利润为（       ） A. 万元 B. 万元 C. 6万元 D. 5万元 【答案】B 【分析】 先根据已知条件，求出两种产品的利润与的关系，再利用配方法求总利润的最大值. 【详解】 依题意可设，， 由图1，代入，得，  由图2，代入，得，， 故， ; 设B产品投入x万元，则A产品投入万元，设企业利润为y万元， 可得， ， 当，即时， . 因此当A产品投入16万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为万元． 故选：B 2．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）若函数 的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为 ，又， 所以函数 的图象上存在关于原点对称的点等价于与在上有交点， 即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立，所以. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求得传令兵所走的时间，进而求得，可求路程. 【详解】 当传令兵回到排尾时所用时间为， 由题意，则，解得， 因为全队正好前进了，即，所以传令兵回到排尾时所走的路程为. 故选：A. 4．（25-26学年高一上·湖北黄冈浠水县第一中学·期中）已知函数 ，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出函数 的图象,设,结合函数的图象性质,易得,,进而可求出答案. 【详解】 作出函数 的图象,如下图. 当时,的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为,最小值为;当时,为直线的一部分. 设,,由图象可知,, 令,解得,则,且, 则,即. 故选:A. 【点睛】 本题考查方程的根与分段函数的性质,利用一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键,属于中档题. 5．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）（多选）定义符号函数 ，设 ，则下列说法中正确的是（       ） A. 是奇函数 B. 函数的最小值为0 C. 方程有解 D. 是上单调递增函数 【答案】AC 【分析】 画出 和 的图象，结合图象可判断ACD， 对于B，当时，得，即可判断最小值. 【详解】 对于A：由 函数图象可知，是奇函数，正确， 对于B，当时，， 当时，，故B错误； 对于C，由 ，可知当时，函数具有周期性，周期为1， 画出函数图象如下： 当与有交点，即方程有解，C正确， 对于D，，由的图象向上平移一个单位， 由图象可知在不具有单调性，所以在不具有单调性，故D错误； 故选：AC 6．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时. 长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快. （1）计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式； （2）经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值； （3）业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字） （参考数值：，） 【答案】（1）3.82（分钟／千米），.     （2） .     （3）3.11分钟／千米.      【分析】 （1）根据配速定义直接代入公式计算可得； （2）利用给定解析式代入列方程组，即可解得结果； （3）由（2）中的解析式构造不等关系，解指数不等式并利用参考数据计算即可. (1) 小问详解： 由题意，黄雪梅的平均配速为（分钟／千米） 时速为千米／时，配速. (2) 小问详解： 因为， 代入数值可得 ， 解得 . (3) 小问详解： 由（2）得. 令，则有， 可得， 所以.因此， 即配速的最小值为3.11分钟／千米. 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于根据提供函数模型代入对应数值，求出函数解析式，再构造不等关系解决实际问题进行实际应用. 7．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）某公司发明一种带自动过滤功能的茶杯给商家销售．已知该产品的成本为每件40元，公司规定销售单价不低于成本且不高于100元．经统计知，销售单价（元）与日销售量（件）满足一次函数关系，对应关系如下表所示： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该公司为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的运输补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设商家销售该产品的日利润为（元）． （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求与之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，日利润最大？并求日利润的最大值． 【答案】（1），；     （2）     （3）销售单价为元时，日利润的最大值元      【分析】 （1）设出一次函数关系，利用选定系数法求出解析式，并求出自变量的范围. （2）利用给定关系，结合（1）的结论分段求解. （3）结合二次函数性质分段求出最大值，再比较大小即得. (1) 小问详解： 依题意，设，由及， 得 ，解得，则， 显然也满足， 因此，由，得，解得， 所以所求函数关系式为，. (2) 小问详解： 由（1）知，， 由，得，， 由，得，， 所以所求函数关系式为 . (3) 小问详解： 当时，，当且仅当时取等号； 当时，在上单调递减，则当时，， 而，因此当，即时，， 所以当销售单价为元时，日利润的最大值元. 8．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）某企业计划生产某款空调，预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且 ，经测算，当生产5千台空调时需另投入资金万元.现每台空调售价为8000元，且当年内生产的空调当年全部销售完. （1）求该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； （2）当产量为多少千台时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少万元？（注：利润销售额-成本） 【答案】（1）     （2）当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元      【分析】 （1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）利用二次函数和对勾函数的性质，分类讨论和时的最大年利润，即可求出最后答案. (1) 小问详解： 由题意知，当时，，所以a=300. 当时，； 当时，. 所以 ； (2) 小问详解： 当时，，所以当x=25时，W有最大值，最大值为5990； 当时，， 当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为5990<8990， 所以当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 9．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈，环境治理刻不容缓.某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，其中为污水治理调节参数，且. （1）求函数的值域； （2）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； （3）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？ 【答案】（1）     （2）6     （3）      【分析】 （1）分离常数，根据函数单调性确定值域即可； （2）化简得，当时，取得最小值； （3）令，则，即 ，再分析单调性列出不等式即可． (1) 小问详解： ， 在上单调递增，且，， 所以函数的值域为； (2) 小问详解： ，， 所以当，即时，取得最小值， 时，一天中6时污水污染指数最低； (3) 小问详解： ， 令，则， ， ， 则在上单调递减，在上单调递增， 又该厂每天的污水污染指数不超过3， ，解得， ∴调节参数的范围为． 10．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为．现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台（，）这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）．求： （1）月收入函数的最小值及此时的值； （2）月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）； （3）生产台这种特殊设备的月利润的最小值（月利润=月收入-月成本）． 【答案】（1）最小值为88千万元，此时     （2），，（千万元）     （3）（千万元）      【分析】 （1）由给定函数模型，利用基本不等式求解即可； （2）由给定函数直接求解定义域；由函数的单调性求最值即可； （3）由月利润=月收入-月成本，再令，分别求出，，，即可； (1) 小问详解： ， 当且仅当，即时取到等号， 即的最小值为88千万元，此时； (2) 小问详解： 由，可知定义域为，， ，，， 由函数单调性可知：在，上单调递增， 当时，（千万元）； (3) 小问详解： ， ，，． 令， ，，，， （千万元），此时． 11．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）设定义域为的函数 ，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则　　　　　　 【答案】 【分析】 先画出的图象，再利用换元法结合图象得到五个解的对称关系，进而得到结果. 【详解】 解：作出的图象如下图所示 设，由图象知， 当时，方程有三个根， 当或者时，方程有两个根 则方程等价于 则方程有5个不同的解，，，，等价于方程有两个根和或 由图象可得，五个根，，，，中，有四个根关于关于直线对称，还有一个根为 所以 【点睛】 关键点睛：求复合函数的零点时，关键在于利用数形结合找到内层函数和外层函数根之间的关系，进而求解. 12．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投入成本万元，且 ，每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【答案】（1） ；     （2）当年产量为50（百台）时，最大年利润为350万元．      【分析】 （1）分和讨论即可； （2）当时，利用二次函数性质即可求出最值，当时，利用基本不等式即可求出最值. (1) 小问详解： 当时，， 当时，. 所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为： . (2) 小问详解： 当时，， 故（百台）时，取得最大值为284万元； 当时， ， 当且仅当时取等号，故当（百台）时，取最大值为350万元：由于， 故当年产量为50（百台）时，最大年利润为350万元． 13．（25-26学年高一上·湖北沙中学·期中）年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. （1）一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ （2）若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．（精确到，参考数据：取） 【答案】（1）小时     （2）      【分析】 （1）根据题意可知一次喷洒个单位的消毒剂后，其浓度为 .令求解即可； （2）由题知从第一次喷洒起，经小时后，其浓度，化简后利用基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 因为一次喷洒个单位的消毒剂， 所以浓度 . 则当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故， 综上，. 故若一次喷洒个单位消毒的消毒剂，则有效消毒时间可达小时. (2) 小问详解： 设从第一次喷洒起，经小时后， 浓度， 因为，，所以由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，有最小值为. 令，解得. 又，所以， 所以的最小值为. 14．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”. （2）设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若 为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】（1）是“类函数”     （2）     （3）      【分析】 （1）由，得：，解得的值，可得结论； （2）若是定义在上的“类函数”，则存在实数满足，即方程在上有解，进而可得实数的最小值； （3）若 为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足，进而可得实数的取值范围． (1) 小问详解： 函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足，则， 解得或1，所以是“类函数”； (2) 小问详解： 因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上递增，在上递减， 所以当或时，取最小值； (3) 小问详解： 由对恒成立，得， 因为若 为其定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足 ①当时，， 所以，所以， 因为函数是增函数，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数是减函数，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 15．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围； （3）若函数有两个不相等的不动点、，且，设，判断并证明与的大小关系. 【答案】（1） 和     （2）      （3），证明如下： 依题意，有两个不相等的实数根、， 所以，， ， 其中，而， 故，所以当时，      【分析】 （1）根据所给定义得到方程，解得即可； （2）依题意可得有两个不相等的实数根、，根据求出的范围，再由韦达定理得到，换元，结合二次函数的性质计算可得； （3）依题意有两个不相等的实数根、，列出韦达定理，即可作差得到，即可判断. (1) 小问详解： 由题意知，即，则， 解得，， 所以不动点为和 (2) 小问详解： 依题意，有两个不相等的实数根、， 即方程有两个不相等的实数根、， 所以，解得或， 且，， 所以 ， 因为令，则或， 函数，对称轴为， 当时，y随的增大而减小，若，则； 当时，y随的增大而增大，若，则， 故，所以的取值范围为. (3) 小问详解： 略 16．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知函数满足，函数 . （1）求的解析式，及的值； （2）填写下列表格，画出的图象，并写出其单调区间； 1 2 4 5 6    （3）若，若有6个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2） 填表如下： 函数的图象如下： 1 2 4 5 6 0 0 1    由图可知，函数的单调递增区间为：； 单调递减区间为：.     （3）      【分析】 （1）根据题设条件，构造方程组，求解即得函数的解析式和的值； （2）根据函数解析式代值计算填表，描点画图，再由图表述函数的单调区间即可； （3）设，由有6个实数解等价于方程有两个实根，借助于函数图象分类考虑，列出不等式组，求解即得参数范围. (1) 小问详解： 因，用替代，得， 联立两方程，解得， 则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，由有6个实数解，由图知，需使有两个实根，不妨设， 且满足① 或② 或③ 或④ . 由① 可得： ，解得； 由② 可得： ，解得； 由③ 可得： ，解得； 由④ 可得： ，解得. 故实数的取值范围为. 17．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意确定的定义域为，可得有两个不等实数根，结合二次函数的零点的分布列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】 由题意知的定义域为， 且在定义域上单调递增， 又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根， 即有两个不等实数根， 设两根为，且， 令， 则 ，即 ， 解得， 故实数m的取值范围为， 故答案为： 18．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）函数的定义域为，若对于任意的，都有，成立，则称为阶伸缩函数. （1）若函数为2阶伸缩函数，且当时，，求； （2）若函数为3阶伸缩函数，且当时，求证：函数在上无零点； （3）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围. 【答案】（1）；     （2） 当，则，又， 所以， 令，则，可得， 故或， 显然、都不在区间内， 故在上无零点；     （3）.      【分析】 （1）根据新定义求函数值即可； （2）由题意，则，进而有，应用方程法判断零点的个数即可； （3）根据阶缩放函数成立的条件建立条件关系即可求出结论． (1) 小问详解： 由题设； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题设，，且， 当，且，，使，所以， 即，故，则，， 当时，的取值范围是， 当时，，且， 则，所以， 所以在上的取值范围. 19．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）利用换元法，借助二次函数求出值域. （2）根据给定条件，转化为求出函数在指定区间上的最小值即可. （3）求出函数的单调区间，再分类讨论并结合一元二次方程实根分布求解. (1) 小问详解： 令，则，于是， 而函数在上单调递减，在上单调递增，，的值域为. (2) 小问详解： 当时，，当时，设， 在上递增，则， 因对，，使得成立，可得， 故实数的取值范围是. (3) 小问详解： 函数在上递减，在上递增， 设是一个优美区间，则或， 当时，有 ，则方程，即有两个不等的非负根， 设方程两根分别为，由，得， 又由 ，得，因此； 当时，有 ，则 ，两式相减得，因，则 于是 ，则方程，即有两个不等的非正根， 由，解得，又 ，可得，因此， 综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】 方法点睛：本题主要考查函数的值域，函数不等式恒成立和函数新定义问题，属于难题. (1)对于函数值域问题，换元法是常用技巧，将复杂函数转化为熟悉的二次函数，再利用二次函数性质求解. (2)解决函数不等式恒成立或存在性问题，关键是转化为函数最值比较问题. (3)对于函数 “优美区间” 这类新定义问题，先分析函数单调性，再根据定义建立方程或方程组，结合一元二次方程知识求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. 若，，则 D.  2．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年高一上·湖北沙中学·期中）（1）已知，求的值； （2）计算：； 4．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）幂函数在上单调递增，则过定点（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）已知，函数与的图象如图所示，则（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  3．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是　　　　　　　　　　 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）（多选）下列运算法则正确的是（       ） A.  B.  C. （且） D.  2．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）计算=　　　　　　　　　　　　　. 3．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）求值：　　　　　　　　　　　　　　. 4．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）计算：　　　　　　　　　　. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）已知集合． （1）求集合； （2）若，，求实数的取值范围． 考点05 函数的应用（二） 1．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，则公司获得的最大利润为（       ） A. 万元 B. 万元 C. 6万元 D. 5万元 2．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）若函数 的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖北黄冈浠水县第一中学·期中）已知函数 ，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）（多选）定义符号函数 ，设 ，则下列说法中正确的是（       ） A. 是奇函数 B. 函数的最小值为0 C. 方程有解 D. 是上单调递增函数 6．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时. 长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快. （1）计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式； （2）经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值； （3）业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字） （参考数值：，） 7．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）某公司发明一种带自动过滤功能的茶杯给商家销售．已知该产品的成本为每件40元，公司规定销售单价不低于成本且不高于100元．经统计知，销售单价（元）与日销售量（件）满足一次函数关系，对应关系如下表所示： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该公司为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的运输补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设商家销售该产品的日利润为（元）． （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求与之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，日利润最大？并求日利润的最大值． 8．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）某企业计划生产某款空调，预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且 ，经测算，当生产5千台空调时需另投入资金万元.现每台空调售价为8000元，且当年内生产的空调当年全部销售完. （1）求该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； （2）当产量为多少千台时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少万元？（注：利润销售额-成本） 9．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈，环境治理刻不容缓.某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，其中为污水治理调节参数，且. （1）求函数的值域； （2）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； （3）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？ 10．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为．现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台（，）这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）．求： （1）月收入函数的最小值及此时的值； （2）月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）； （3）生产台这种特殊设备的月利润的最小值（月利润=月收入-月成本）． 11．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）设定义域为的函数 ，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则　　　　　　 12．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投入成本万元，且 ，每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 13．（25-26学年高一上·湖北沙中学·期中）年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. （1）一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ （2）若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．（精确到，参考数据：取） 14．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”. （2）设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若 为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 15．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围； （3）若函数有两个不相等的不动点、，且，设，判断并证明与的大小关系. 16．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知函数满足，函数 . （1）求的解析式，及的值； （2）填写下列表格，画出的图象，并写出其单调区间； 1 2 4 5 6    （3）若，若有6个实数解，求实数的取值范围. 1 2 4 5 6 0 0 1 17．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为　　　　　　. 18．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）函数的定义域为，若对于任意的，都有，成立，则称为阶伸缩函数. （1）若函数为2阶伸缩函数，且当时，，求； （2）若函数为3阶伸缩函数，且当时，求证：函数在上无零点； （3）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围. 19．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $