单元(三)函数的概念及其性质-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（湖南专版）

单元（三）函数的概念及其性质 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合A=y=2x-7,B==中则AnB A.「0,27 B.(0,17 C.[1,2] D.(0,1) 2.已知f(x+1)=x+2√元-1，则f(x) A.x2-2(x≥1)B.x2-2 C.x2(x≥1) D.x2 3.如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍 之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36，若设禽舍宽为xm,则所 建造的禽舍总面积的最大值为 A.96m2 B.108m C.124m D.136m 4.已知函数y=f(4x)的定义域为[-，1]，则函数g(x)=f2的定义域为 √x-1 A.(1,4) B.(1,4] C.(1,2)U(2,4]D.(2,4) -x2-ax,x≤2 5.已知函数f(x)=a+16x =,x>2 满足对定义域内任意实数x1≠x2,都有 f(x2)一f)>0成立，则实数a的取值范围是 x2-x1 A.[-8,-4] B.[-4,-2] C.（-∞，-4] D.(-∞，-8] 6.已知a为实数，p:3x∈(0，十oo),ax2-x十1<0；q:f(x)=x2-2ax在(0，十co)上 单调递增，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知定义在R上的奇函数g(x)在(0，十∞)上单调递增，且g(一3)=0，则满足 (x一2)g(x)≥0的x的取值范围是 A.[-3,0]U[2,3] B.(-∞，-3]U[0,2]U[3,+∞) C.[-3,2]U[3,+o∞) D.(-∞，-3]U[0,3]U{2} 8.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点（1,0)对称，且对任意x∈R,都有 f(4一2x)=f(2x),则 A.f(0)=1 B.f(x+2)=f(x) C.函数f(x)为奇函数 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=0 第1页（共4页） 数学 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是 A.f(x)=x,g(x)=418 B.f(x)=√-x,g(x)=-x√-x C.f(r)-lg(3-c)-lg(r+1).g()- D.f)=x2+1,g(x)=- Γx2-1 10.关于x的不等式a.x一b>0的解集为{x|x>1},关于x的不等式ax2一bx+c>0的 解集为{xx<一1或x>t}.则下列说法正确的是 A.t=2 B.cx2+bx+a<0的解集为 <-或x>1 x Ccx+x+a<0的解集为<< D.若不等式ar-x十a<0对yr∈[1,2]恒成立，则a的取值范用为(-0，号) 11.十八世纪，被称为“数学王子”的高斯提出了函数y=[x],其意义是对于任意的x∈ R,[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2，[一2.3]=一3，[4]=4，人们更习惯 称之为“取整函数”.现在令f(x)=x一[x],下列说法正确的是 A.f(2025.12)=0.12 B.当-1≤x<0时，f(x)=x+1 C.f(x+1)=f(x)+1 D.不等式4[x]-12[x]+5<0的解集为{x1≤x<3 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若函数f(x)=ax"+1(a∈Z,n∈N)满足以下三个条件：①f(x)在R上单调递减； ②f(-x)+f(x)=2;③f(-1)<4.则a的一个取值为 13.设p:|x|<1;q:ax2+(a-1)x-1<0(a≥0).若p是g的充分条件，则实数a的取 值范围是 14.已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量x(单位：台)与 还需投入成本C(x)(单位：万元)的关系式为：C(x)= 2x2+80x,0<x≤40， 201x十3600-2100，x>40,由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元， 且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为g(x)(单位：万 元)，则g(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数关系式为 ;2025 年公司的最大利润为 万元.（利润=销售额一成本）（本题第一空2分，第二 空3分) 三 第2页（共4页） AN 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 函数f(.x)= 2是定义在R上的商雨数，且了付》昌 (1)求a,b的值； (2)当x∈[分4]时，若及-1<x,且2>，求及的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知a十b=2. (1)求a2+b的最小值； (2)证明：2a十2>2a+2-6. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2十2x. (1)求函数f(x)在(0，+∞)上的解析式； (2)在给定的坐标系内画出函数f(x)的图象（不需列出表格），并写出函数f(x)的 单调递增区间； (3)若关于x的方程f(x)=m一2有4个不同实数解，求实数m的取值范围. -2-10 1234 第3页（共4页） 数学 18.(本小题满分17分) 已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)十g(x)=2x+1. (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)设函数9(x)=[f(x)]2-3g(x)(x≥4）)片 (i)求o(x)的值域； (iⅱ)若0<k<2,且不等式P(kx+4)≥o(2-k)x2+2)对任意x∈R恒成立，求k 的最小值. 19.(本小题满分17分) 定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)一fy)=f(),且当x∈(-1,0)时， f(x)<0. 求证：(1)f(x)是奇函数； (2)f(x)在(-1,1)上是增函数； (3)f信)+（品）+f债)+…+f(+3mT)合》其中n∈N 目 第4页（共4页) ANAN ·数学· 单元（三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 集合运算 V 易 0.80 2 选择题 5 求函数解析式 / 易 0.78 3 选择题 5 函数最值的实际应用 / 易 0.72 4 选择题 5 抽象函数的定义域 中 0.65 5 选择题 由函数单调性求参 分 0.55 6 选择题 5 充分必要条件 分 0.45 由函数奇偶性、单调性 选择题 5 / 中 0.40 解不等式 8 选择题 5 同构法解决函数问题 难 0.28 9 选择题 6 同一函数的判断 多 0.72 10 选择题 6 不等式的性质 中 0.60 11 选择题 6 函数的新定义问题 的 0.40 与函数性质有关的开 12 填空题 5 0.71 放题 易 13 填空题 5 由充分必要性求参 分 0.45 14 填空题 5 分段函数的实际应用 中 0.35 由函数奇偶性求参，分 15 解答题 13 离参数法解决不等式 √ 易 0.72 恒成立问题 利用基本不等式证明 16 解答题 15 / 0.60 不等式 书 由函数的奇偶性求解 析式，函数图象画法， 17 解答题 15 / 分 0.50 利用图象研究方程解 的个数 利用方程思想求解析 18 解答题 17 难 0.30 式，函数性质的综合 ·11 ·数学· 参考答案及解析 抽象函数的奇偶性与 19 解答题 17 难 0.25 单调性的应用 香考答案及解析 一、选择题 调递增，g(-3)=0,所以g(x)在（一∞，0）上单调 1,D【解析】A={xy=√2x-x}={x2x-x≥ 递增，g(3)=0,则(x-2)g(x)≥0等价于 0}=《x|0≤x≤2}，因为3>0，则3十1>1，可得 /x-2≥0 。成{<)。·T以2 3+∈(0,1)，因此B=(y0<y<1},所以A∩B 1 x≥3或-3≤≤0或 x≤-3或0≤x≤3解得x≥3或0≤x≤2或x≤ x<2 =(0,1).故选D 2.A【解析】由题意知f(√(+1)=（√(+1）-2，令 -3,所以x的取值范围是(-∞，-3]U[0,2]U[3, t=√x十1，因为W+1≥1，故t≥1，则可得f(t)=f 十o∞).故选B. -2(t≥1)，故f(x)=x2-2(x≥1).故选A. 8.D【解析】对于A,因为函数f(x)是定义在上的 3.B【解析】设禽舍宽为xm,由题意，若把材料全部 函数，其图象关于点(1,0)对称，则F(x)十 用完，则禽舍的总长为(36-3.x)m,0<x<12,设所 f(2-x)=0,可得f(4-x)=-f(x-2),由 建造的禽舍总面积为ym,则y=(36-3.x)·x= f(4-2x)=f(2x),可得f(4-x)=f(x),则有 -3.x2+36x=-3(x-6)2十108，所以当所建造的禽 f(x)=-f(x-2),则f(x+2)=-f(x),故 舍宽为6m时，总面积最大为108m.故选B. f(x十4)=-f(x+2)=f(x),即4为函数∫(x)的 4.B【解析】由函数y=f(4x)的定义域为[-号，1]， 一个周期，又由f(4-x)=f(x)可得f(0)=f(4), 由f(4-x)=-f(x-2),可得f(0)=-f(2),这些 条件均无法确定f(0)=1,∫(0)可以是任意满足 得y=f(x)的定义域为[-2,4].所以 1-2≤2-x≤4 x-1>0 f(0)=-f(2)=f(4)的值，故f(0)=1没有依据， →1x4.故选B. 故A错误；对于B,由A知f(x十2)=一f(x),假设 5.A【解析】因为函数f(x)对定义域内任意实数x f(x十2)=f(x),则f(x)=0恒成立，而题设没有 ≠，都有x）二f2>0,所以函数f(x)在定 这个条件，故B错误：对于C,由f(4-x)=∫(x)可 x2-x1 得f(-x)=∫(4十x)=(x),故f(x)为偶函数， 义域上单调递增，当x≤2时，函数f(x)=一x-ax 假设∫(x)为奇函数，则∫(x)=0恒成立，而题设没 为开口向下，对称轴为x=一2x乙-万一号的抛 有这个条件，故C错误；对于D,由函数f(x)的图象 关于点(1,0)对称可知f(x)十f(2-x)=0,令x=1 物线，此时若函数在（一，2]上单调递增，则一号≥ 得2f(1)=0,即f(1)=0,又由A知，f(x十2)= -f(x),可得f(1)十f(3)=0,f(2)十f(4)=0,且 2,当心2时，函数f(x)=a16z=16+,若函数 4为函数f(x)的一个周期，故f(1)十f(2)十f(3) 十…十∫(2025)=f(1)=0,故D正确.故选D. 在(2，十∞)上单调递增，则a<0,根据分段函数的单 二、选择题 2 fa≤-4 9.B【解析】因为f(x)的定义域为R,g(x)的定义 调性可得a<0 了a<0,解得-8 域为(0，十∞)，所以f(x)与g(x)不是同一个函 -22-2a≤a+16×2 (a≥-8 数，A错误；f(x)与g(x)的定义域均为（一o,0], 2 且g(x)=-x·√一x=V一x,所以f(x)与 ≤a≤-4.故选A. g(x)是同一个函数，B正确；因为f(x)与g(x)的 6.B【解析】由p知，a<=-是 定义域均为(-1,3)，且f(x)=1g(3-x) -(任-合)'+十在(0，十∞)上有解，所以a<。 g(x+1)=g青所以f(x)与g(云)是同一个函 数，C正确；因为f(x)的定义域为R,g(x)的定义域 因为f(x)=x2-2ax的对称轴方程为x=a,由q 为{x|x≠±1}，所以∫(x)与g(x)不是同一个函 .1 1 知，a≤0，因为a<4不能推出a≤0，a≤0→a< 数，D错误.故选BC. l0.AB【解析】由不等式a.x一b>0的解集为{xx> 所以p是q的必要不充分条件.故选B. 7.B【解析】因为g(x)是奇函数，且在(0，十∞)上单 1},知a>0,且么=1，即a=b>0,对于A,由y= ·12· AN ·数学· -:十女的对称轴=会号，且-11是a 3600 ）十1800，所以g(x)= x bx十=0的两根，所以十（一1）=合-1，得1=2。 -2x2+120x-300,0<x≤40 -(x+3600)+1800,x>40 若0<x≤40， 且台=一2，故A正确：对于BC,由A知云=一2， g(x)=-2(x-30)2+1500,当x=30时，g(x)mx 即c=-2a,所以不等式cx2十bx十a<0变为-2a.x2 十ax十a<0,又a>0,所以2x2-x-1>0,解得x< =1500万元：若x>40,g(x)=-（x+3600)+ 或>1，故B正确，C错误；对于D,令f(x)= 1 180≤-2√.360 +1800=-120+1800= ax2-x十a,由于ax2-x十a<0对Hx∈[1,2]恒成 立，且f(x)=a.x2-x十a表示开口向上的抛物线， 1680,当且仅当x=3600,即x=60时，g(x) 所以0)=a二0解得a<号又a>0,所以 1680万元，由于1680>1500，故该产品的年产量为 1f(2)=5a-2<01 60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680 0<a<号，放D错误，故选AB, 万元. 四、解答题 11.ABD【解析】对于A,:f(x)=x-[x], .f(2025.12)=2025.12-[2025.12] 15.解：(1)因为函数f(x)=+b是定义在R上的奇 1+x2 2025.12-2025=0.12,故A正确；对于B,当-1 函数， ≤x<0时，[x]=-1,∴.f(x)=x-[x]=x+1, 所以f(-x)=-f(x), 故B正确；对于C,f(x十1)=(x十1)-[x十1]， 即ax+b=ar二b,解得b=0, :[x+1]=[x]+1,.f(x+1)=(x+1) 1+x2 1十x [x]-1=x-[x],f(x)=x-[x], 此时)= (3分) f(x十1)=f(x),故C错误；对于D,:4[x]2 12[x]十5<0，.(2[x]-5)(2[x]-1)<0, 又()是 <[<号[]=1,2，当[=1时1≤ 1 x<2;当[x]=2时，2≤x<3,综上可知1≤x<3, 故D正确.故选ABD. ), 1+() 行，解得a=1, 三、填空题 综上，a=1,b=0. (6分) 12.-2(或-1，填一个即可)【解析】由f(-x)+ f(x)=2,得n为正奇数，又f(x)在R上单调递 (2)由(1)知，f(x)=1十x 减，所以a<0,又f(-1)=-a十1<4，解得a> 当x>0时，f(x)= 1 -3,所以-3<a<0,又a∈Z,所以a=-2或-1. 13.[0,1]【解析】由p:|x|<1可得-1<x<1,由 a.x2+(a-1)x-1<0(a≥0)可得 由对勾函数的单调性可知，f(x)在[子1]上单调 (ax-1)(x十1)<0，当a=0时，解得x>-1,符 递增，在[1,4]上单调递减， 合题意：当a>0时，解得-1<<石，若力是q的 且f)=是，f(号)=号，4)=f(号) 充分条件，可知(x-1<x<1)二x-1<x< 所以f(x)在[号，4]上的值域为[品]： }所以≥1，即0<a≤1，-1<<19 (10分) 若k-1<f(x),且2k>f(x), {女-1<<}成立，综上，口的取值范围 则k-1<f(x)in,且2k>f(x)max, 是[0,1] k-1<7 (-2.x2十120.x-300,0<x≤40 即 2>司 解得子<←器 14.g(x)= {-(+309)+180,>40 1680 【解析】当0<x≤40时，g(x)=200x-(2x2十80x) 所以长的取值范图为（子得）】 (13分) -300=-2.x2+120x-300;当x>40时，g(x) 16.解：(1)由a十b=2,可得(a+b)2=4, 200.x- (201x+3600-2100）-300=-（x十 即a2+b2+2ab=4, 所以a2十b2=4-2ab, ·13· ·数学· 参考答案及解析 因为a≤()-1. 设函数h(x)=2-2"(x≥)， 当且仅当a=b=1时，等号成立， 易得h(x)为增函数， 所以4-2ab≥4-2×1=2， 即a2十b2的最小值为2. (6分) 所以h(x)≥h(于)=号， (2)令a=1十t,b=1-t(其中t为实数)， 因此可得2“十2=2+十2-t=2×2+2X2t 令1=2-2“，则e[受，十∞) =2(2十2-‘)： 设函数x(a)=f-3十4（≥是）， 2-0十26=2-1+9十2-1-0 =2×2+21×2=号(2+2) (12分) 因为x()=-31十4=(-号)广+子≥子， 又因为2>0,2>0， 所以g(x)的值域为[子，十∞)， (9分) 所以2+2>0， ()由(1)可得，当0<k<2时，k十4>， 因此2(2+2)>2(2+2)， 即2十20>2“十26， (15分) (2-x+2>, 17.解：(1)当x>0时，-x<0, 则f(-x)=(-x)2十2(-x)=x2-2x, 则=h(kx十4)>h(子)=多 因为(x)是定义在R上的偶函数， 4=h(2-k)x2+2)>h(什)=多， 所以f(-x)=f(x)=x2-2x,x>0. (5分) (2)f(x)的图象如图所示. 因为k(x)在[子，十)上单调递增，()在 以 [多，+o∞)上单调递增， 由复合函数单调性可得g(x)在[子，十∞)上单调 递增， 2 所以(kx1十4)≥9((2-k)x2十2)等价于kx1十4 ≥(2-k)x2+2, (14分) 令m=x2≥0，所以km2-(2-k)m十2≥0对任意m ∈「0，十∞)恒成立， 由图象可得，f(x)的单调递增区间为（一1,0）和(1， 因为函数T(m)=km一(2-k)m十2的图象开口 十∞). (10分) (3)由图象可得f(1)=f(-1)=-1, 向上，且对称轴为直线m20, 因为关于x的方程f(x)=m一2有4个不同的解， 所以△=(2-k)2-8k≤0， 所以y=f(x)与y=m一2的图象有4个不同的 即k2-12k+4≤0， 交点， 解得6-4√2≤k≤6十4√2， 则-1<-2<0，解得1<m<2, 因为0<k<2, 所以实数m的取值范围是(1,2). (15分) 所以6-4√2≤k<2, 18.解：(1)根据题意可得f(-x)=f(x),g(-x)= 即k的最小值为6-4√2. (17分) -g(x) 19.解：(1)函数f(x)的定义域为(-1,1)，关于原点 对于f(x)十g(x)=2r+1①， 对称， 以-x代替x得，f(-x)十g(-x)=21+1, 所以f(x)-g(x)=21+1②， 因为函数f(x)清足f(x)-f)=f(二兴)， 由①十②得2f(x)=21r+1+21+1 令x=y=0,可得f(0)-f(0)=f(0), =2·2+2·2-1x, 所以f(0)=0, 解得f(x)=2r十2； 令x=0,可得-f(y)=f(-y), 由①一②得2g(x)=2u+1-2-1+1 即f(-y)=-f(y), =2·2-2·2x, 所以函数f(x)是(-1,1)上的奇函数. (4分) 解得g(x)=21u-21u (5分) (2)设-1<x1<x2<1, (2)(i)由题意得(x)=(2十2)2-3(2-2u) =(2-2“)2-3(2-2)十4(x>子)片 则))=（产》： 因为x1-x2十(1-x1x2)=(1十x1)(1-x2)>0, ·14 AN ·数学· 所以0>x1-x2>-(1-x1x2), 所以-1<2会<0， [()-(传)月+“+[f(点) 又当x∈(-1,0)时，f(x)<0, f(】=(}）-(): (14分) 所以f)-f)=f(妥)0. 因为x∈(-1,0)时，f(x)<0,且函数f(x)在 (-1,1)上是奇函数， 即f(x1)<f(x2), 所以当x∈(0,1)时，f(x)>0, 所以函数f(x)在(-1,1)上是增函数.(10分) 8h于f(n）=f(a》是) 1 又因为0<2<1(aeN)” 11 所以f(十2)>0 -f n十1n十2 =f(h)-f(n) 所以（合）-（是）<（号）： 所以f号)+f(品)+（品）++f(+3n） 故（号）+r(分)+（品）十…+(+3币) =[(2)-(号)]+[（号）-(]+ <(号)月 (17分) ·15