单元(一)集合与常用逻辑用语-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（湖南专版）

单元（一）集合与常用逻辑用语 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x∈Z-x2+2x十3>0}，B={yy=sinx,x∈R},则A∩B A.[0,1] B.{0,1} C.(-1,1] D.{-1,0} 2.命题“3x∈R,乙≥0”的否定是 A.3x∈R<0 B.3x∈R,x(x-1)<0或x=1 C.Hx∈R,x(x-1)<0 D.Vx∈R,x(x-1)<0或x=1 3.设全集U={x∈N一4<x≤4}，集合A={0,1,2,3},则CuA的子集个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图，全集U={(xy)|x∈R,y∈R},集合A={(x,y)|x2+y2≤1，x∈Z,y∈Z}, B={(x,y)川y=x十1}，则图中阴影部分表示的集合为 A.{(1,0),(0,0),(0,1)} U B.{(-1,0),(0,0),(0,1)} C.{(-1,0),(0,0),(0,-1)} D.{(1,0),(0,0),(0,-1)} 5已知a≠0，则c=ad”是x)-号为荷数"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若全集U=AUB={0,1,2,3,4),集合A∩(CwB)={1,2},(CA)U(CB)= {0,1,2,4},则集合A= A.{1,2} B.{0,1,2,4} C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3} 7.某校有三个科创社团：机器人社团、编程社团、航模社团，该校高二(1)班共有46名同 学，每名同学至少参加一个社团，其中有25人参加了机器人社团，有22人参加了编 程社团，有24人参加了航模社团，有12人同时参加了机器人社团与编程社团，有9 人同时参加了机器人社团和航模社团，有8人同时参加了编程社团和航模社团，则三 个社团都参加的学生数为 A.2 B.4 C.6 D.10 8.已知k为正数，记力：关于x的不等式组x+2S0, 仅有一个整数解，则 2x2+(1-2k)x-k<0 力的一个充要条件是 A.3<k<4 B.3<k≤4 C.4<k≤5 D.2<k≤4 第1页（共4页) 数学 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法中正确的是 A.⑦二⑦ B.某校高一年级数学成绩优秀的学生可以构成一个集合 C.集合M={1,3,4}与N={4,3,1}表示相同的集合 D.方程(x一1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}》 10.设集合M={xx=6k+1,k∈Z},N={xx=6k十4，k∈Z},P={x|x=3k-2,k∈ Z},则下列说法中正确的是 A.M-N=P B.MUN=P C.M∩N= D.CpM=N 11.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家狄利克雷(Dirichlet),他是最早 倡导严格化方法的数学家之一.狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数： D。:为九理数以下给出四个关于狄利克街函数的命题，其中正确的有一 A.Vx∈R,D(x)=D(-x) B.YrEQ,D(r-x)=D(r+x) C.3x∈R,D(D(x))≠1 D.3z,yER,D(x+y)=D(x)+D(y) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.用描述法表示图中的阴影部分（含边界）可以是 2 -2024x 13.已知集合A={x|(a一1)x2-3x十1=0，a∈R},若集合A中至多有一个元素，则a 的取值范围是 14.已知不等武x+9)>1的解集为A,函数f八)=，g()=22-,若y∈ A,3x2∈A,使得f()=g(x2),则实数t的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知命题p:Hx∈R,a-2026x2-1≤0，命题q:3x∈R,x2十ax=a-3. (1)若p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p与q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围. ·二 第2页（共4页） AN 16.(本小题满分15分) 已知集合A=女名≤2≤4，B=x-(+3)x十3<0. (1)求集合A,并写出当x∈Z时集合A的真子集的个数； (2)若B∩(CRA)=B,求实数k的取值范围. 17.(本小题满分15分) 设集合A={xx2-8x+12=0},B={xx2+2(a+1)x十a2-13=0}. (1)若A∩B={2},求a的值及集合A,B; (2)若(CRA)∩B=⑦，求实数a的取值范围. 第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知集合A={x-1≤x+1≤6}，B={xx2-3mx+n≤0}. (1)若A=B,求实数m,n的值； (2)若n=2m2十m-1. (1)设p:x∈A,q:x∈B,若q为p的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (ⅱ)集合B中所有元素的最大值、最小值分别为△ABC的两边AB,AC的长，且 BC=8,试写出满足△ABC为等腰三角形的实数m的集合. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2十ax十b. (1)设a∈(0,2)，Hx∈R,都有f(x)≥2x+a,求b的取值范围； (2)当x∈[-1,1]时，f(x)的最大值为M,求证：M≥b+1: (3)若a∈(0，号)，求证：对于任意的x∈[-1,1]，f(x)<1的充要条件是4-1≤ b≤-a. 数学·一 第4页（共4页） >》ANAN ·数学· 单元（一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ N V ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 交集运算 √ 易 0.80 2 选择题 5 存在量词命题的否定 √ 易 0.78 3 补集运算，求集合的子 选择题 5 集个数 L 易 0.72 4 选择题 5 Venn图的应用 的 0.65 选择题 充分必要性的判断 分 0.60 由集合的混合运算结 6 选择题 5 中 0.55 果确定集合 7 选择题 集合的实际应用 8 0.45 8 选择题 5 充要条件的探求 √ 难 0.28 9 选择题 6 集合元素的三大特性 易 0.74 集合相等、集合运算的 10 选择题 6 L 分 0.55 综合 含有量词的命题的综 11 选择题 6 √ 中 0.40 合（文化题） 12 填空题 描述法表示集合 易 0.78 由集合中元素的个数 13 填空题 5 求参 分 0.60 14 填空题 5 函数与量词的综合 中 0.35 含有量词的命题的 15 解答题 13 综合 L 分 0.65 求真子集个数，由无限 16 解答题 15 √ 书 0.60 集间的运算求参 17 解答题 15 有限集间的运算求参 分 0.50 集合、充分性与必要性 18 解答题 17 中 0.45 的综合 19 充分、必要条件与不等 解答题 17 中 0.35 式恒成立的综合 ·%1 ·数学· 参考答案及解析 昏考答条及解析 一、选择题 即(2x十1)(x一k)0,因为k>0,所以不等式 1.B【解析】A={x∈Z-1<x<3}={0,1,2},由B ={yy=sinx,x∈R},可得B=[-1,1],则A∩B (2x+1)(x-)<0的解集为(-)小，结合题 {0,1}.故选B. 意，此时原不等式组的解集为[3，k),且仅有一个整数 2,D【解析】命题的否定：变量词，即3改为H,再否结 解，所以3<k≤4.故p的一个充要条件是3<k≤4. 故选B. 论，因为，哥≥0的香定是x(x-1)<0或x=1,所以 二、选择题 命题的否定为：Hx∈R,x(x-1)<0或x=1.故 9.AC【解析】AC显然成立，对于B,成绩优秀没有明 选D. 确的标准，故B错误：对于D,集合中的元素具有互异 3.C【解析】由题得U={x∈N-4<x≤4}= 性，故方程(x一1)(x一2)=0的所有解的集合应表 {0,1,2,3,4},则CA={4},所以CA的子集个数 示为1,2}，故D错误.故选AC. 为2.故选C. 10.BCD【解析】由题意可得M={x6k十1，k∈Z》= 4.D【解析】集合A=(x,y)x2+y≤1，x∈Z,y∈ (,-11,-5,1,7,13,19,…},N={xx=6k+4, Z}={(1,0),(0,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}, k∈Z}={…,-14,-8,-2,4,10,16,22,…},P= B={(xy)y=x+1}表示的是直线y=x十1上的 {x|x=3k-2,k∈Z}=…,-14,-11,-8,-5, 点的集合，且(0,1)，（一1,0）两点在该直线上，故图 -2,1,4,7,10,13,16,19,22,…,因此MP,V 中阴影部分表示的集合为A∩(uB)= P,MUN=P,故A错误，B正确，D正确，且M∩N {(1,0),(0,0),(0,-1)}.故选D. =⑦，故C正确.故选BCD. 6.C【解析】设了)=名=m,则x十d- 11.ABD【解析】对于A,当x为有理数时，一x为有 理数，则D(一x)=D(x)=1,当x为无理数时， m(ax十b),即x(am-c)十mb-d=0,则有 一x为无理数，则D(-x)=D(x)=0,故Hx∈R, {mb-d=0>ad=bc,所以必要条件满足：因为ac≠ am-c=0 D(x)=D(一x),故A正确；对于B,Hr∈Q,当x 是有理数时，r一x,r十x是有理数，则D(一x)= D(r十x)=1,当x是无理数时，r一x,r十x是无理 0c=ad.所以合-兰f)- 数，则D(r一x)=D(x十x)=0,故B正确：对于C, ax+b a(x+） 若自变量x是有理数，则D(D(x))=D(1)=1,若 a 自变量x是无理数，则D(D(x))=D(0)=1,故C =合为常数，所以充分条件满足.故选C 错误；对于D,当x=√2是无理数，y=√3是无理数， 6.D【解析】因为全集U=AUB={0,1,2,3,4},所 则x十y=2十√5是无理数，则D(x十y)=0,D(x) 以元素均属于A或B,又(CuA)U(CB)= 十D(y)=0+0=0,满足D(x十y)=D(x)十D(y), m(A∩B)={0,1,2,4},所以A∩B={3},又A∩ 故D正确.故选ABD. (CB)={1,2〉，即元素1,2属于A但不属于B,所 三、填空题 以A=〈1,2,3}.故选D. 12.{(x,y)0≤x≤4,0≤y≤2}【解析】由图知0≤x 7.B【解析】设集合A=〈参加机器人社团的学生}， ≤4,0≤y≤2，所以由集合的描述法可 集合B={参加编程社团的学生}，集合C={参加航 知{(x,y)0≤x≤4,0≤y≤2}. 模社团的学生，则card(A)=25,card(B)=22, 18.au[+） 【解析】当a=1时，方程可化为 card(C)=24,card(A∩B)=12,card(A∩C)=9, card(B∩C)=8,设三项都参加的有x人，即 -3x十1=0，解得x=子，故成立：当a≠1时，4=9 card(A∩B∩C)=x,card(AUBUC)=46,所以由 card(AUBUC)=card (A)+card (B)++card (C)- -4(a-1)<0,解得。≥是，综上所述，a的取值范围 card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩ B∩C),即46=25十22+24-12-9-8+x,解得x= 是au[坚+o) 4.故选B. 14.(-1,十∞)【解析】由1g(x十9)>1，得x十9> &.B【解折】由20，即(x一3)x+2)≥0x子 10,解得x>1,即A=(1,十∞).当x>1时，f(x)= -2),解得x<-2或x≥3.由2x2十(1-2k)x-k<0, 少1--1++1> x-1 x-1 ·2 AN ·数学· 2V-10·马+1=3，当且仅当x-1= ①当B=必时，则关于x的方程x2十2(a+1)x十a x-1 一13=0没有实数根， 即x=2时等号成立，所以f(x)在A上的值域为 则△=4(a十1)2-4(a2-13)=8(a十7)<0，解得a [3,十o∞).g(x)=2x3-t为(1，十o∞)上的增函数， <-7, 所以g(x)在A上的值域为(2-t,十oo),若Vx∈ 故当a<-7时，B=⑦二A满足题意； (9分) A,]x2∈A使得f(x)=g(x2),则[3，十o∞)日 ②当B≠⑦，即a≥-7时， (2-t,十o∞)，所以2一t<3,解得t>一1，即实数t 若集合B中只有一个元素，则△=8(a十7)=0， 的取值范围为（一1，十∞）. 即当a=-7时，B={x|x2-12.x十36=0}={6}， 四、解答题 B二A,满足题意： (11分) 15.解：(1)p:3x∈R,a-2026x2-1>0, 若集合B中有两个元素，则△=8(a十7)>0， 若7p为真命题，则a>(2026.x2十1)m=1, 即当a>-7时，要使B二A,则B=A={2,6》, 所以实数a的取值范围为(1，十o). (5分) 所以2和6是方程x2十2(a十1)x十a2-13=0的 (2)命题q:3x∈R,x2十ax十3-a=0, 两根， 若q为真命题， 则△=a2-4(3-a)≥0，即a2+4a-12≥0， 则由韦达定理得？6一2(a+1) 12×6=a2-13 解得a≥2或a≤-6. (8分) 解得a=-5,满足条件a>-7. 当p真g假时，只需(a≤1 综上，实数a的取值范围为{-5}U(-∞，-7]. -6<a<2 (15分) 解得-6<a≤1； (10分) 18.解：(1)由题可得A={x-2≤x≤5}， 6或/a>1 若A=B,则一2和5是方程x2-3mx十n=0的 当力假9真时，只需从≤6或2 两根， 解得a≥2. (12分) 由韦达定理可得3m=一2+5 {n=-2×5 (3分) 综上所述，实数a的取值范围为(-6,1]U [2,+∞). (13分) 解得m=1,n=-10. (4分) 16.解：1)由日=2<2<2=4，解得-3<x<2, (2)因为n=2m2+m-1, 所以x2-3m.x十n≤0曰x2-3m.x十2m2十m-1≤0 所以A={x-3≤x≤2}. (3分) 台[x-(2m-1)][x-(m十1)]≤0. (5分) 当x∈Z时，A={-3,-2,-1,0,1,2}, (1)若q为p的充分不必要条件，则集合B是集合 共6个元素，真子集有26-1=63个. (6分) A的真子集， (2)由(1)得A={x-3≤x≤2}， 当2m-1<m十1， 所以CRA={xx<-3或x>2}. (8分) 即m<2时，B={x2m-1≤x≤m十1}， x2-(k十3)x十3k=(x-3)(x-k)<0, 所以/2m-1≥-2 1m+1≤5 ,显然不能同时取等号， 当k=3时，B=⑦，满足B∩(CkA)=B. (10分) 当<3时，B={xk<x<3}, 解得一号<m<4,所以-<m<2 (7分) 要使B∩(CRA)=B,则需k≥2，所以2≤k<3. 当2m-1>m十1， (12分) 当k>3时，B={x3<x<k},满足B∩(CRA)= 即m>2时，B={xm十1≤x≤2m-1}, B (14分) 所以/m+1S-2 综上所述，实数k的取值范围是[2，十∞)，(15分) {2m-1≤5，显然不能同时取等号， 解得-3≤m≤3，所以2<m≤3： (9分) 17.解：(1)A={x|x2-8x+12=0}={2,6}, 当2m一1=m十1，即m=2时，B=〈3}，满足题意. B={x|x2+2(a+1)x+a2-13=0}. (10分) 因为A∩B=〈2}，所以2∈B, 则22+2(a十1)·2十a2-13=0, 综上，实数m的取值范围为[-号，3] (11分) 即a2+4a-5=0,解得a=1或-5. (2分) (i)由(i)知，当m<2时， 验证：当a=1时，B={xx2十4x-12=0}={-6, B={x2m-1≤x≤m十1}， 2}, 此时AB=m十1，AC=2m-1, 则A∩B={2},满足题意： (3分) 因为△ABC为等腰三角形，所以AB=BC或AC 当a=-5时，B={x|x2-8x+12=0}={2,6}, =BC; 则A∩B=〈2,6}，不满足题意. 当AB=BC时，m十1=8，得m=7,不满足m<2; 综上可知，若A∩B={2},则a=1,此时A= 9 {2,6},B={-6,2} (6分) 当AC=BC时，2m-1=8,得m=之不满足m<2。 (2)若(CRA)∩B=,则B二A,又A={2,6}, (13分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 当m>2时，B={xm十1≤x≤2m-1}, (2)因为x∈[-1,1]时，f(x)的最大值为M, 此时AB=2m-1,AC=m十1， 因为△ABC为等腰三角形，所以AB=BC或AC 所以(-ID≤M且fI)≤M,即-a十b区M 11+a+b≤M' =BC, (7分) 当AB=BC时，2m-1=8,得m=号>2. 两式相加得2+2b≤2M, 所以不等式M≥b十1成立 (10分) 此时AC-号<AB,符合题意： 3因为0a<号所以-子<-号<0， 2 当AC=BC时，m十1=8，得m=7>2,此时AB=13 >AC,符合题意. (15分) 所以函数f)图象的对称轴x=一号∈[一1，小， 当m=2时，B=3},不满足题意. (16分) 综上满足条件的实数m的集合为号，7小.17分 所以函数f(x)在[-1，-台）上是减函数，在 19.解：(1)Hx∈R,都有f(x)≥2x十a, (-号1上是增函数， (12分) 即不等式f(x)一2x一a≥0对Hx∈R恒成立， 记F(x)=x2十(a-2)x十b-a, 因此函数fx)的最小值为/(-号）=b-,最大 则F)的最小值F(222）=-子(a-2)+6-a 值为f(1)=1十a十b, (14分) 4 而不等式|f(x)≤1，即-1≤f(x)≤1， ≥0， (3分) 它的充要条件是-1<1十a十b≤1且-1≤6- 即b>1+对任意的a∈(0，号)恒成立， ≤1， 而此时1 号<号所以6≥号 所以号-1<b<-a,命题得证 (17分) 所以6的取值范围是[长十∞）】 (5分) ·4