单元(五)函数的图象、函数与方程、函数的应用-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（B 冀鄂黑吉辽蒙宁青陕赣豫晋甘黔皖滇鲁粤专版）

单元（五）函数的图象、函数与方程、函数的应用 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.“3a∈R,a2026>0且a2027<0”的否定是 A.]a∈R,a2o26≤0或a2027≥0 B.Ha∈R,a2026<0或a2027>0 C./a∈R,a2026≤0或a2027≥0 D./a∈R,a2026≤0且a2027≥0 x-2,x≥0， 2.函数f(x)= 9 的零点个数为 ,x<0 A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数f(x)=x3一x一1的零点所在的大致区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0)》 C.(0,1) D.(1,2) 4.用二分法求方程的近似解时，求得f(x)=x3十2x一9的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 f(x) -6 3 -2.625 -0.14 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程x3十2x一9=0的近似解可取 A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9 5.已知函数f(x)=log(x2一2a.x+1)在（一∞，一2]上是减函数，则实数a的取值范围是 B[-,+∞） c(-,-)】 D(-,-] 6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过 程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1十1%)35看作是每天的“进步”率都是1%， 一年后是1.01365≈37.7834；而把(1-1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈ 0.0255,这样，一年后的进步值”是退步值”的站0测≈1481倍那么当进步“的值是“退步“的 值的16倍，大约经过的天数为（四舍五人保留整数，参考数据：lg101≈2.0043,1g99≈1.9956， 1g2≈0.3010) A.62 B.104 C.107 D.138 7.已知函数f(x)=x3+x-1,g(x)=3+x-1,h(x)=log3x+x-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c 的大小关系为 A.b>c>a B.b>a>c C.cba D.c>a>b 第1页（共4页） 数学 8.若x1是f(x)=2x十2r-5的零点，x2是g(x)=2x十21og2(x一1)一5的零点，则x1十x2的值为 A号 B.3 c D.4 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f(x)(i=1,2,3)关于时间x (x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x一1，f2(x)=x,f3(x)=log2(x十1)，则下列结论正确 的是 A.当x>1时，乙在最前面 B.当x>1时，甲在最前面 C.当0<x<1时，丙在最前面 D.当0<x<1时，甲在最后面 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在（一∞，0）上单调递减，则函数y f(|x+1)+1的图象可能是 B 2,x<1 11.已知函数f(x) 3-,x≥18(x)=f(f(x)一a的零点个数为m,a为实数，则下列结论正 确的有 A.当a=2时，m=2 B.当1<a<2时，m=3 C.g(x)在(0,1)上单调递增 D.g(x)在(1,2)上单调递增 班级 姓名 分数 题号 1 5 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= ①f(x)=2x;②f(x)恰有两个零点；③f(3)≥0. 13.已知正数a,b满足1g(3a+4b)=lga十lgb,则3a十4b的最小值为 14.分贝数dB由声音强度I(单位：W/m)与基准声强I。(通常取10-12W/m,是人耳能听到的最弱 声音)的比值共同决定：dB=10×1g乙.一场演唱会的声音强度1.是基准声强1，的10倍，而普 通交谈时的声音分贝约为60B.记普通交谈时的声音强度为1，则g元 ·五 第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=x2-(m十2)x+1. (1)若关于x的方程(x)=0的一个实数根大于1，一个实数根小于1，求实数m的取值范围； (2)若函数f(x)在x∈[2,2]上有两个相异的零点，求实数m的取值范围。 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=a(合)”+6 (1)若f(x)的图象过原点，且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交，求∫(x)的解析式并写 出其单调性（写出即可，不用证明）； 1 (2)若a=1.b=0,g(x)=f0-f(x),且2g(2)+mg()≥0对于任意的[0,3]恒成立， 求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年因该设 备额外产生收益50万元，该设备前x年的维修、保养等费用共(2x2十10，x)万元.设使用x年后 该设备的盈利额为y万元（设备的盈利额=因设备额外产生的收益一设备的购进成本一设备维 修保养费)，其中x∈N (1)写出y关于x的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利； (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由， 第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现： 工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分十每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分 f(x)(单位：分)与每天生产时长x(单位：小时)的函数关系近似满足f(x)= 2x5, 0x8 -171十908<≤24而生产效率评分g)(单位：分)与每天生产时长x(单位：小 时)的部分数据如下表所示： x 3 4 6 o g(z) 25 34 41 46 49 50 49 6 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分 (1)求m的值； (2)给出三个函数模型：①g(x)=a.x+b;②g(x)=a.x2十bx十c;③g(x)=只-b.根据上表中的 数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率评分g(x)与每天生产时长x(单 位：小时)的变化关系，并求出该函数解析式； (3)设该工厂的生产水平评分为F(x),求当x为何值时F(x)取得最大值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)-g(x)=2e. (1)求(x)-g2(x)的值； (2)设函数(x)=f(x十1)十(x十1)n(二+1，证明：曲线y=h(x)是轴对称图形： (3)当x∈[0，ln2],若函数m(x)=入[f(2x)+5]+g(x)一3有且只有一个零点，求实数入的取 值范围. 数学·五 第4页（共4页） 回B ·数学· 单元（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 含有一个量词的命题 1 选择题 别 0.80 的否定 2 选择题 5 判断函数零点的个数 易 0.78 3 选择题 5 判断零点所在区间 易 0.76 4 选择题 5 二分法 易 0.72 选择题 由函数单调性求参 务 0.65 指数型函数的实际 6 选择题 5 应用 中 0.55 7 选择题 5 比较函数零点的大小 √ 分 0.40 8 选择题 5 函数零点之和问题 难 0.28 9 选择题 6 函数增长快慢的比较 中 0.65 10 选择题 6 函数图象的识别 / 农 0.50 11 选择题 6 嵌套函数零点问题 难 0.25 12 填空题 5 与零点有关的举例题 易 0.73 13 填空题 5 对数运算 中 0.55 14 填空题 5 对数函数的实际应用 中 0.45 15 解答题 13 二次函数的零点分布 易 0.72 16 解答题 15 指数函数的性质 中 0.60 17 解答题 15 函数的实际应用 中 0.50 拟合函数模型的实际 18 解答题 17 务 0.45 应用 19 解答题 17 由函数的零点求参 难 0.28 ·19· ·数学· 参考答案及解析 昏考答条及解析 一、选择题 1.C【解析】变量词：]变V,否结论：a2o26>0且a22 y=)/ /y=f(x) <0变为a2026≤0或a27≥0.故选C. 2.B【解析】令∫(x)=0,易求得x=2或-3.故选B. y=f5) 3.D【解析】因为f(-2)=(-2)3-(-2)-1= -7<0,f(-1)=(-1)3-(-1)-1=-1<0, f(0)=03-0-1=-1<0,f(1)=13-1-1=-1 <0,f(2)=23-2-1=5>0,所以函数f(x)=x3 x-1的零点所在的大致区间是(1,2).故选D. 当x>1时，f1(x)>f(x)>f(x),即甲在最前 4.C【解析】由表格可得，函数f(x)=x3十2x一9的 面，丙在最后面，A错B对：当0<x<1时，f(x)> 零点在区间(1.75,1.8125)内，且1.8125-1.75= f2(x)>f(x),即甲在最后面，丙在最前面，CD都 0.0625<0.1,结合选项可知，方程x3十2x一9=0的 对.故选BCD. 近似解可取1,8.故选C. 10,AC【解析】令g(x)=f(|x+1|)+1,其中x∈ 5.A【解析】由题意，y=logx在(0，十∞)上单调递 R,则g(-1-x)=f(|-1-x十1|)+1 增，则函数y=x2一2ax十1在(-oo,一2]上单调递 f(x)十1，g(-1+x)=f(|-1十x十1|)+1= f(x)+1,则g(-1-x)=g(-1十x),故g(x) (-2)2-2a·(-2)+1>0 =f(|x+1|)+1的图象关于直线x=一1对称， 减，可得 -2a 2X1≥2 ,即 排除B选项，因为∫(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x)在（一∞，0）上单调递减，故f(x)在 a>子，解得a>-号故选A 5 (0,十∞)上单调递减，故当x>一1时，x十1>0，此 a≥-2 时g(x)=f(x十1)十1，故g(x)在(-1，+o∞)上 6,D【解析】设经过x天“进步值”是“退步值”的16 单调递减，排除D选项.故选AC. 1.01)=16,故 11.AD【解析】函数f(x)的图象如图所示， 倍，则16×0.99=1.01，即 0.99 y个 g(6:9)厂=g16,故x= 1g16 y=f(x) 1g101-lg99 2.0043-1.9956≈138，故大约经过138天.故选D. 4×0.3010 7.D【解析】因为g(x)=3十x-1是R上的增函数， 且g(0)=0,则可得b=0,又h(x)=logx十x-1是 0 (0,十∞)上的增函数，且h(1)=0,则可得c=1.因为 函数f(x)在R上是增函数，f(0)=-1<0,f(1)=1 >0,由零点存在定理可知，f(x)有唯一的零点a∈ 当a=2时，由f(f(x))=2可得f(x)=1,当x (0,1),故得c>a>b.故选D. 1时，由f(x)=2=1可得x=0:当x≥1时，由 8.C【解析】根据题意，可得2x1+21=5,2x2+ f(x)=3-x=1,可得x=2.综上所述，当a=2时， m=2,A对；对于B选项，当a∈(1,2)时，令f(x) 210g:(x2-1)=5①，所以21=5-2x1,x1= =t,则f(t)=a有两解t1、t2,且t1∈(0,1)，t∈ log2(5-2x1),即2x1=21og2(5-2x1),令2x1=7 (1,2),如图， 2t,代入上式得7-2t=21og2(2t-2)=2十 2log2(t-1),所以5-2t=21og2(t1),即2t十 2log2(t-1)=5,而y=2t十2log2(t-1)在 y=f(x) (1,十∞)上为增函数，故与①式比较得t=x2,于是 y=a 2a=1-2即4十=子故选C 二、选择题 9.BCD【解析】作出函数f(x)(i=1,2,3)的图象， 如图所示， ·20· B ·数学· 方程f(x)=t1有两解，方程f(x)=t2有两解，故 减，在(0，十∞)上单调递增，-2<0， 当1<a<2时，m=4,B错；令t=f(x),则g(x) .y=f(x)在(-∞，0)上单调递减，在 f(t),当x∈(0,1)时，t=f(x)=2∈(1,2)，函 (0,十∞)上单调递增 (6分) 数f(x)在(0,1)上单调递增，函数f(t)在 (2)若a=1,b=0,则f(x)= (1,2)上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数 g(x)在(0,1)上单调递减，C错；当x∈(1,2)时，t g(x)-f(x) 1 f(x)=2 (), (7分) =f(x)=3-x∈(1,2)，函数f(x)在(1,2)上单 调递减，函数f(t)在(1,2)上单调递减，由复合函 ·2g(2)+mg()=2(211-2） 数的单调性可知，函数g(x)在(1,2)上单调递增， D对.故选AD. m(211-)片 三、填空题 12.x2-9(答案不唯一)【解析】若f(x)=x2-9,则 当[0,3]时，即为2(22-是）+m(2-）≥ f(x)=2x,满足性质①；令f(x)=x2-9=0,解 0,即m(22-1)≥-(21-1). (10分) 得x=士3，则函数f(x)恰有两个零点，满足性质 .22-1>0, ②：而f(3)=0,满足性质③.故f(x)=x2-9满 ∴.m≥-(2十1)对于t∈[0,3]恒成立. (13分) 足题意. t∈[0,3]， 13.48【解析】由题意，lg(3a十4b)=lga十lgb= .-(1+22)∈[-65，-2]， 1g(a6)>0,6>0,则3a十6=a6,即号+告=1 .m≥-2. ∴.m的取值范围是[-2，十∞). (15分) 所以3a十46=(8a+4的（受+台）-号+地+24 17.解：(1)由题意得使用x年后：y=50x-72一 (2x2+10x)=-2x2+40x-72,x∈N. √2·西+24=48，当且仅当光-1，即a ≥2N61 令y>0,即-2x2十40x-72>0, a a 即2x2-40x+72<0,解得2<x<18, 8,b=6时等号成立，则3a十4b的最小值为48. 因为x∈N“,所以3≤x≤17， 14,3【解析】由题可得60=10×1g无台lg无 即从第3年开始，该设备开始盈利. (5分) 10,且六=10，则=10的1 101=103,1g (2)方案①：平均盈利额为义=-2x+40-72 lg103=3. =-(2x+)+40≤-2V2·+40=-2× 四、解答题 12+40=16, 15解：0油愿意得9》100好释m心0 当且仅当2x= 华，即=6时等号成立 此时判别式△=(m十2)2-4=m2+4m>0, 所以第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格 故m的取值范围为(0，十o∞). (6分) 处理该设备，共盈利16×6+52=148万元.(10分) △=(m+2)2-4>0 方案②：盈利额为y=-2x2十40x一72，当x=10 时，盈利额达到最大值，为128万元， (2)由题意得 所以第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处 1(3)子-m+2)+1>≥0 理该设备，共盈利128十20=148万元， (14分) f(2)=4-2(m+2)十1≥0 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新 更快，更有利于提高生产效率， (11分) 所以方案①更合理， (15分) 解得0<m≤立 18.解：(1)由题意知，f(9)=8, 放m的取值范国为(0，号] (13分) 即9-17×9一g十90=8，解得m=10.4分） 16.解：(1)该函数图象过原点，且无限接近直线y=2 (2)由表可知，函数g(x)先增后减， 但又不与该直线相交， 则只有模型g(x)=ax2十bx十c符合， .a十b=0且b=2, 由表可知，g(7)=49,g(8)=50,g(9)=49, ∴.a=-2, (3分) (49a+7b+c=49 fa=-1 f(x)=-2(2)+2 则64a十8b十c=50,解得b=16, (81a+9b+c=49 c=-14 :y=(号)是减函数，t=x在(-∞，0)上单调递 所以g(x)=-x2十16x-14(x>0) (10分) (3)F(x)=f(x)十g(x) ·21· ·数学· 参考答案及解析 2-5-x2+16.x-14,0<x≤8 =xlnx+1」 9+768<≤24 、 x-j=p(x), 所以p(x)是偶函数. (8分) 函数g(x)=-x2十16x-14的对称轴为x=8, 因为f(x)是偶函数，所以h(x-1)是偶函数， 故函数g(x)=-x十16x-14在(0,8]上单调 所以函数h(x一1)的图象关于y轴对称， 递增， 所以函数y=h(x)的图象关于直线x=-1对称， 又函数y=2-5在定义域上单调递增， 所以曲线y=h(x)是轴对称图形. (10分) 所以函数F(x)在(0,8]上单调递增， (3)由(1)知，f(x)=e+e,g(x)=ex-e, 则当x∈(0,8]时，F(x)mx=F(8)=58,(13分) 因为函数(x)=λ[f(2x)+5]十g(x)-3有且只 当8<x≤24时，F(x)=-x 100+76 有一个零点， x+1 所以方程λ[f(2x)十5]+g(x)-3=0在 100 =-(x+1)+」 +77, [0,ln2]上有且只有一个实数根 即方程λ(e2x十e2x十5)十(ex-e)-3=0在 因为x+1+9≥2√中1)· 100 =20, [0,ln2]上有且只有一个实数根. x+1 令t=e-ex+3,则e2x+e2x十5=t2-6t+16, 当且仅当x十1= ，即x=9时取等号，(15分) 100 因为t=e-ex十3单调递增， 97 所以F(x)= (x+1)+100 x+1 77≤-20十77 所以当x∈[0，ln2]时，te[3,立小 所以问题转化为方程λ= e-e-x十3 =57, e+e2w+5t2-6t+16 即当8<x≤24时，F(x)mx=F(9)=57. 有且只有一个实数根， 又F(8)>F(9), 所以，当x=8时F(x)取得最大值58. (17分) 即片=1+9-6在[3，号] 有且只有一个实数 19.解：(1)由f(x)-g(x)=2e,得f(-x)-g(-x) 根 (14分) =2ex,① 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 因为函数(0=什 一6在[3,4]上单调递减，在 则f(x)十g(x)=2e,② 联立①②，解得f(x)=e十e,g(x)=e一e2. (4,号]上单调道增， fP(x)-g2(x)=[f(x)-g(x)]·[f(x)+g(x)] 又n(3)= ，n(4)=2,n(号)=，且n(3)> 7 =2e·2ex=4. (4分) 2ax-1D=)+h(号+1). (号) 即h(x-1)=f(a)+ln. x-11 设)=h号其定义域为(-e,-1DU1. 所以A=或号<<器 十0∞). 所以实数入的取值范围是{侵}U[号，器) 由于(-)=（一0n-h (17分) ·22·