单元(四)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（B 冀鄂黑吉辽蒙宁青陕赣豫晋甘黔皖滇鲁粤专版）

单元（四）幂函数、指数函数与对数函数 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合A={xy=(2-x)},B={xy=lg(4-x)},则(CRA)∩B= A.{x2≤x<4} B.{x2<x<4} C.{x|x<4} D.{xx<4且x≠2} 2.不等式言≤0的解架为 A.{x|1≤x<2或3≤x<4} B.{x|1≤x≤2或3≤x≤4} C.{x1<x<2或3<x<4} D.{x|x≤1或2<x≤3或x>4} 3.已知a立十a立=3，则a2十a2= A.7 B.42 C.47 D.49 4.如图所示是函数y=x”(m、n∈N*且互质)的图象，则 A.m,n是奇数且<1 n B.m是偶数，n是奇数，且”<1 C.m是偶数，n是奇数，且m>1 D.m,n是偶数，且>1 7L 5.若a=20260.2,b=1og0.22026,c=0.22026,则 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 6.已知a>0且a≠1，则函数y=ax与函数y=log(一x)的图象可能是 4 A. B. C D 7.近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月…，中国航天硕果累累，令国人倍感 自豪。这些航天器的发射都遵循“理想速度方程”：=ln从其中是理想速度（单位：m/s), 是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：/s),M是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位： kg),m是火箭自身的质量（单位：kg).小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火 箭，得到批准后，她们利用某民用燃料，燃烧时产生的喷气速度为50m/s,火箭自身的质量为 4kg,火箭起飞时燃料的质量为5kg,在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭 的理想速度大约为(ln2≈0.7，ln3≈1.1) A.40 m/s B.36 m/s C.50 m/s D.20 m/s 第1页（共4页） 数学 8.对于正数xy,若「e+ln(xy)+y-1=e,则xy A B.1 C.√e D.e 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数中图象恒过定点(1,2)的有 A.y=x+1(a为常数) B.y=a-1+2(a>0且a≠1) C.y=loga(2.x-1)+2(a>0且a≠1) D.y=a.x一a十2(a为非零常数) 10.设正数a,b满足3a+b=3,则下列结论正确的有 A.0<a<1 C.ab1 D.27a+3≥6√3 4 1.双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双血正弦函数sihx=“,和 2 双曲余弦函数0hre生一，则下列说法正确的是 A.双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 B.cosh2x+sinh2x-1 C函数y=的值域为(-1,1) cosh x D.Yxo>0,sinhsinh o)>sinh zo 班级 姓名 分数 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2十a,则f(一3)= 13.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投人x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 y=x“(a为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投人广告费用为3万元时，药品利润为27万 元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 14.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可推 广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x十a)一b 为奇函数.则函数f(x)=x3一6x2图象的对称中心坐标为 .（参考公式：(a十b)3=a3+ 3a2b+3ab2+b3) 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 已知函数f(x)=x2十a.x+3. (若函数y的定义城为R,求实数a的取值范围： (2)已知命题p:3x∈(1,2]，f(x)<0为假命题，求实数a的取值范围. ·四 第2页（共4页） 16.(本小题满分15分) 1计(2g学)+2×(-006)-(0). (2)计算(1g5)2+1g2×1g50+lg0.01+1og23×log94; (3)已知2=6.=24，求1g6十2a6的值. 17.(本小题满分15分) 已知幂函数f(x)=(m2一m一1)xm是R上的偶函数，将函数y=f(x)的图象先向右平移2个单 位长度，再向下平移1个单位长度得到y=g(x)的图象 (1)求函数y=g(x)的解析式，并求函数y=2)的值域； (2)设a∈R,解关于x的不等式g(x)>a.x一4a十3. 第3页（共4页) 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=2x十a·2. (1)若f(x)为偶函数，求a的值； (2)已知a>0,f(x)的最小值为4，求a的值； (3)若关于x的方程f(x)=0有解，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数fx)=1g中(a>0a≠1)是奇函数 (1)求实数k的值，并判断函数f(x)在(1，十∞)上的单调性（不需要证明）； (2)当x∈(p,a-2)时，函数f(x)的值域是(1，十∞)，求实数a与p的值； (3)当a≥6时，设函数g(x)=一a.x2十8(.x-1)a)一5，若存在实数λ，使得不等式-5≤g(x)≤ 5对任意的x∈(1，入]恒成立，求入的最大值p(a) 数学·四 第4页（共4页) 回B ·数学· 单元（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 函数的定义域，集合 1 选择题 别 0.80 运算 2 选择题 5 解高次不等式 易 0.72 3 选择题 5 条件求值 务 0.68 4 选择题 5 幂函数的图象 务 0.65 选择题 比较指、对数大小 分 0.55 指数型、对数型函数图 6 选择题 5 中 0.45 象的识别 7 选择题 对数函数的实际应用 为 0.40 8 选择题 5 同构法的应用 难 0.28 9 选择题 6 函数图象过定点 易 0.72 10 选择题 6 基本不等式的应用 中 0.50 与指数函数有关的新 11 选择题 6 难 0.28 定义题 由函数的奇偶性求函 12 填空题 5 数值 多 0.72 13 填空题 5 幂函数的实际应用 √ 为 0.45 14 填空题 5 中心对称的应用 中 0.35 15 解答题 13 二次函数的性质 √ 竹 0.65 16 解答题 15 指数、对数的运算 √ 中 0.50 17 解答题 15 幂函数性质的综合 / 中 0.45 指数型函数性质的 18 解答题 17 难 0.28 综合 对数函数、二次函数性 19 解答题 17 难 0.25 质的综合 ·15· ·数学· 参考答案及解析 香考答条及解析 一、选择题 十lnx-1在(0，十oo)上为增函数，由e+nx 1.B【解析】因为A={xx≤2}，B={x|x<4},所 以(CRA)∩B={x2<x<4},故选B. L=cs+In y 1 2A【得折】由华-<0，得告号 可得()=f()所以x (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)≤0 号即y=1放选 0,所以 x-2≠0 ,如图， 二、选择题 、x一4≠0 9.ACD【解析】对于A,1“十1=1十1=2，所以y=x“ +1(a为常数)恒过定点(1,2)，A正确；对于B,a-1 =a°=1，所以y=a-1十2(a>0且a≠1)不过(1,2)， 12 3 4 故B错误；对于C,log。(2×1-1)=log1=0,所以y 所以不等式的解集为{x|1≤x<2或3≤x<4,故 =log.(2x-1)+2(a>0且a≠1)恒过定点(1,2)，C 选A. 正确；对于D,因为y=ax-a十2=a(x-1)十2，所 3.C【解析】(a立十a立)2=a十a1十2=9，∴a十al 以当x=1时，y=2,故恒过定点(1,2)，D正确.故 =7,∴.(a十a1)2=a2十a2十2=49，∴.a2+a2= 选ACD. 47.故选C 10.ABD【解析】对于A,正数a,b满足3a+b=3,显 4.B【解析】由图象可知y=x”为偶函数，且在 然3a<3,a<1,故A正确：对于B,各十方 (0,十∞)上单调递增，故∈(0,1)且m为偶数， 合3ao)(日+)=吉[10+3（台号）]小≥ 又、n∈N“且互质，故n是奇数.故选B. 5.C【解析】因为y=2026在R上单调递增，所以a 号(10+6)>4，故B正确：对于C,3a+b=3≥ =202602>2026°=1；因为y=log0.2x在 (0,十∞)上单调递减，所以b=log.22026<1og0.21 2V35,ab长，当且仅当3a=6=号时取等号， =0;又因为y=0.2x在R上单调递减，所以0<c= 0.22o26<0.20=1.综上，a>c>b.故选C. 故C错误；对于D,27“十3=3十3≥2√3a+b= 6,D【解析】当a>1时，y=ar在R上单调递减且恒 2√3=6B,当且仅当3a=6=号时取等号，赦D 过(0,1)，y=log(一x)在(-∞，0)上单调递减且恒 正确.故选ABD. 过(-1,0)，B不符合，D符合，当0<a<1时，y= a在R上单调递增且恒过(0,1)，y=log.(一x)在 1.ACD【解析】对于A,sinh=e,e二，定义域为 2 (一∞，0)上单调递增且恒过(-1,0)，A、C不符合 故选D. R,sinh(-x)=c-c=_g-e- 2 2 =-sinh x,所 7,A【解析】由题意可得w=50,m=4,M=4十5=9， 所以该试验火箭的理想速度为v=,lnM=5On9 以nhx为奇函数，ox=E二，定义域为R。 m 4 cosh(-x)=+e=cosh,所以cosh为偶函 2 =501n(号)°=10ln号=10(n3-1n2)≈10× 数，故A正确；对于B,cosh2r十sinh'x= (1.1-0.7)=40(m/s).故选A. 8.B【解析】由[e+1n(x）十1了=e可得时 ()+()= e2 +e-2r+2e*Xe++e+e2r-2e*Xe+ =e+lnx+lny+y-交 1 4 e2x十e y,即c十nx-上=e2十n子-子，构造函数 2 一≠1，故B错误；对于C,y=hr cosh a x y 2 y 名-号1R因为0所 fx)=e+lhx-子，因为函数y=ey=lnxy 以e+1>1,所以片∈0,1)是∈ 一2 -1在(0，十0)上均为增函数，故函数f(x)=e (-2.0)所以y=1-2∈(-11)，放C正 ·16· ·数学· 确；对于D,易知y=sinh x在R上单调递增，设 (3)2=6,6=24, f(x)=sinh-x0 (x)=ee-1= 故a=l0g26,b=log:24, 2 g+e-2,因为e十e>2,所以f(x) 则ab=1og,6·1ogs24-=1og:6.loe24=1og:24 1og26 2 =log2 4+log2 6=2+log2 6, 十e一2>0，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 2 所以log236 +2ab=-2log:6+2ab 所以f(x)>f(0)=0,即sinh x>x,所以Hxo>0, =-210g26十2×(2+log26)=4. (15分) sinh(sinh xo)>sinh xo,故D正确.故选ACD. 17.解：(1)因为f(x)=(m-m-1)xm是R上的幂 三、填空题 函数， 12.一7【解析】由于f(x)是定义在上的奇函数， 所以m2一m一1=1，解得m=2或m=一1， 则f(0)=0,由于当x≥0时，f(x)=2+a,则f(0) 又f(x)是偶函数， =2°十a=0,则a=-1,所以f(-3)=-f(3)= 所以m=2, -(2-1)=-7. 所以f(x)=x2, 13.125【解析】因为投入广告费用为3万元时，药品 所以g(x)=(x-2)2-1. (5分) 利润为27万元，所以27=3“→a=3,即y=x3,当今 因为g(x)=(x-2)2-1的值域为[-1，十∞)， 年投入广告费用5万元时，预计今年药品利润为5 函数y=2在[-1，十∞)上单调递增， =125万元. 14.(2,-16)【解析】根据题意，设f(x)=x-6x 所以y=2的值玻为[宁，十o): (7分) 图象的对称中心为(a,b),则由函数y=f(x十a)一b (2)由(1)知g(x)>ax-4a十3， 为奇函数可得f(-x十a)-b=-f(x十a)十b,变形 即x2-(4十a)x+4a>0, 可得f(-x十a)十f(x十a)=2b,即(-x十a)3 可化为(x-4)(x-a)>0, (10分) 6(-x十a)2十(x十a)3-6(x十a)2=2b,整理可得 a<4时，解得x>4或x<a; (6a-12)x2+2a3 -12a2=2b,所以 a=4时，解得x≠4； a>4时，解得x>a或x<4. (13分) 2a-12a=26解得a=2,b=-16,所以其对称中 6a-12=0 综上，若a<4,则不等式的解集为(-o∞，a)U(4,十∞)； 心为(2，-16) 若a=4,则不等式解集为(-∞，4)U(4,十o∞)； 四、解答题 若a>4,则不等式的解集为(-∞，4)U(a,十∞). 1 (15分) 15.解：1)若函数yf的定义城为R, 18.解：(1)易知f(x)的定义域为R 则对任意的x∈R,x2十ax十3≠0， 因为f(x)为偶函数， 由于函数f(x)=x2十a.x十3的图象为开口向上的 所以f(-x)=f(x), 抛物线， 即22十a·2=2十a·2x, 故只需要△=a2-12<0, (4分) 则a(2一2r)=2r-2x对任意x∈R恒成立， 解得-2√3<a<2√5， 所以a=1, (5分) (2)因为a>0, 所以实数a的取值范围是（-2√5,2√3). (6分) 所以a·2-x>0. (2)命题p:3x∈(1,2]，f(x)<0为假命题， 则Hx∈(1,2]，f(x)≥0为真命题， f(x)=2十a·2≥2√2r·a·2F=2Va, ≥(-x-）xe1,2], (10分) 当且仅当x=10ga时，等号成立。 因为f(x)的最小值为4， 而-2<-2=-26, 所以2√a=4,解得a=4. (10分) (3)关于x的方程∫(x)=0有解， 当且仅当x=时等号成立， 即关于x的方程2十a·2x=0有解， 因此实数a的取值范围是[-2√3，十oo). (13分) 等价于关于x的方程a=一(2r)2=一4r有解. 16.解：原式=1+子×()宁-（受） 因为-40，所以a<0. 故a的取值范围是（一∞，0）. (17分) (4分) 19.解：(1)由已知条件得f(-x)十f(x)=0对定义域 中的x均成立， （2因为16e3X16%4=是×张号=1. 1+k虹=0， 所以og.二+og— 所以原式=(1g5)2+(lg10-lg5)(lg10十lg5) -2+1=(1g5)2十1-(1g5)2-2+1=0.(9分) 将- ·17· ·数学· 参考答案及解析 整理得x2一1=x2一1对定义域中的x均成立， (3)由题可得g(x)=-ax2十8(x-1)a)-5 即(2-1)x2=0,所以k2=1, 当k=一1时，f(x)无意义，故舍去， =ar+8x+3=-a(e-)广+8+e。 a 当k=1时，f(x)为奇函数， 故k=1. (3分) 则函数g(x)的对称轴为x=4 a 所以Kx)=-tog.]og.(1+名）， 因为a≥6， 当>1时y=1十吕在1，十∞)上单调道诚， 所以=台≤号<1， 故函数g(x)在x∈(1，λ]上单调递减， 则f(x)在(1，十oo)上单调递减， 要使得x∈(1，λ]时-5≤g(x)≤5恒成立， 当0Ka<1时，y=1十名在1，十∞)上单调递 则-5≤g(a)≤g(x)<g(1)≤5， 由g(1)=-a+11≤5，得a≥6： 减，则f(x)在(1，十o∞)上单调递增 (5分) 又g(a)≥-5，即-aλ2+8入十3≥-5， (2h1得)=1oe号， 所以aλ2-8入-8≤0， 故函数f(x)的定义域为(-∞，-1)U(1,十∞)， 即--8e0, a ①若p<a-2≤-1，则0<a<1, (14分) 所以函数f(.x)在区间(p,a一2)上为增函数， 所u()s a 要使f(x)的值域为(1，十∞)， 1+卫=1 则og号 a-Wa十1 无解； (7分) (a-2=-1 16+8(a≥6). 所以ga)√+哥 ②若1≤p<a-2,则a>3, 又因为λ>1， 所以函数f(x)在区间(p,a一2)上为减函数， 要使f(x)的值域为(1，十∞)， 故会+√四+吾>1解得a<16, p=1 og.&二1解得a=2+3,p=1, 则 故e(a)=1+√+S(6≤a<I6. =aa十a (17分) a-3 综上，a=2十√5，p=1. (10分) ·18