单元(一)集合与常用逻辑用语-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（B 冀鄂黑吉辽蒙宁青陕赣豫晋甘黔皖滇鲁粤专版）

单元（一）集合与常用逻辑用语 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合A={x∈Z-x2+2x+3>0},B={yy=sinx,x∈R},则A∩B= A.[0,1] B.{0,1} C.(-1,1] D.{-1,0》 2.命题“3x∈R,x2-2x>1”的否定是 A.3x∈R,x2-2.x≤1 B.3x∈R,x2-2x<1 C.Hx∈R,x2-2x≤1 D.Hx∈R,x2-2x>1 3.设全集U={x∈N-4<x≤4}，集合A={0,1,2,3},则CuA的子集个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图，全集U={(xy)x∈R,y∈R},集合A={(x,y)x2+y2≤1，x∈Z,y∈Z},B= {(x,y)y=x十1}，则图中阴影部分表示的集合为 A.{(1,0),(0,0),(0,1)} U B.{(-1,0),(0,0),(0,1)} B C.{(-1,0),(0,0),(0,-1)} D.{(1,0),(0,0),(0,-1)} 5.“样本数据2，a,10,12的平均数为8”是“1og。10>1”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.若全集U={-1,2,4,5,8},集合Cw(A∩B)={2,5,8},则A可能为 A.{4} B.{-1,8} C.{-1,2,4} D.{4,5,8} 7.某校有三个科创社团：机器人社团、编程社团、航模社团，该校高二(1)班共有46名同学，每名同学 至少参加一个社团，其中有25人参加了机器人社团，有22人参加了编程社团，有24人参加了航 模社团，有12人同时参加了机器人社团与编程社团，有9人同时参加了机器人社团和航模社团， 有8人同时参加了编程社团和航模社团，则三个社团都参加的学生数为 A.2 B.4 C.6 D.10 8.记p:当a>1时，关于x的不等式x2一(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解，则p的充要条件是 A.1Ka<号 B.1<a≤号 C.<a52 D.ia<2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法中正确的是 A.必三0 B.某校高一年级数学成绩优秀的学生可以构成一个集合 C.集合M={1,3,4}与V={4,3,1}表示相同的集合 D.方程(x一1)2(x一2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2} 第1页（共4页） 数学· 10.设集合M={xx=6k+1,k∈Z},N={xx=6k十4，k∈Z},P={xx=3k-2,k∈Z},则下列 说法中正确的是 A.M=N-P B.MUN=P C.M∩N=d D.CpM=N 11.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家狄利克雷(Dirichlet),他是最早倡导严格化 方法的数学家之一.狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：D(x)={ ,x为有理数·以 0,x为无理数. 下给出四个关于狄利克雷函数的命题，其中正确的有 A.Hx∈R,D(x)=D(-x) B.VrEQ,D(r-x)=D(r+x) C.]x∈R,D(D(x))≠1 D.3x,yER,D(z+y)=D(x)+D(y) 班级 姓名 分数 题号 2 5 6 7 8 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.用描述法表示图中的阴影部分（含边界）可以是 2024 13.已知集合A={x(a一1)x2一3x+1=0,a∈R},若集合A中恰有一个元素，则a的取值集 合是 14.已知函数f(x)=++1,g()=2xr-t,集合A=(0,+∞)，若VG∈A,月，∈A,使得 f(x1)=g(x2),则实数t的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 已知命题p:Hx∈R,a-2026x2-1≤0，命题q:3x∈R,x2+a.x=a-3. (1)若p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p与g有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围. 第2页（共4页） >回 16.(本小题满分15分) 已知集合A={xx(x-2)>0},B={xa≤x≤3-2a}. (1)若AUB=R,求实数a的取值范围； (2)若B二C.A,求实数a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 已知集合A={xx2+2(a-1)x十a2-1=0},B={x|x2-4x=0}. (1)若C={x|m.x+2=0},且C二B,求实数m的值： (2)若(AUB)三B,求实数a的取值范围. 第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) x-1≤2， 已知命题p:实数x满足x2一4ax十3a2<0,命题q:实数x满足 10. (1)若q为真命题，求实数x的取值范围； (2)当a>0时，满足命题p的条件记为集合P,满足命题q的条件记为集合Q,若P∩Q=,求 实数a的取值范围； (3)若g是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 在△ABC和△A'B'C'中. (1)设：AB=A'B′，AC=A'C',∠B=∠B',设q:△ABC≌△A'B'C',判断p是q的什么条件； (2)你能再写出一些△ABC≌△A'BC‘的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,证明：“△ABC是等边三角形”的充要条件是 “a2+b2+c2=ab+bc+ac”. 数学·一 第4页（共4页） 回B ·数学· 单元（一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ⅢN ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 交集运算 易 0.80 2 选择题 5 存在量词命题的否定 √ 易 0.78 补集运算，求集合的子 3 选择题 5 易 0.72 集个数 4 选择题 5 Venn图的应用 的 0.65 选择题 充分必要性的判断 务 0.60 由集合的混合运算结 6 选择题 5 中 0.55 果确定集合 7 选择题 集合的实际应用 8 0.45 8 选择题 5 充要条件的探求 √ 难 0.28 9 选择题 6 集合元素的三大特性 易 0.74 集合相等、集合运算的 10 选择题 6 综合 L 分 0.55 含有量词的命题的综 11 选择题 6 L √ 中 0.40 合（文化题） 12 填空题 5 描述法表示集合 易 0.78 由集合中元素的个数 13 填空题 5 分 0.60 求参 14 填空题 5 函数与量词的综合 中 0.35 含有量词的命题的 15 解答题 13 综合 L 公 0.65 由无限集间的运算 16 解答题 15 0.60 求参 分 由有限集间的运算 17 解答题 15 求参 L L 中 0.50 集合、充分性与必要性 18 解答题 17 的 0.45 的综合 19 解答题 17 充分、必要条件的综合 中 0.35 ·%1 ·数学· 参考答案及解析 昏考答条及解析 一、选择题 式x2一(2a十1)x十2a<0恰有两个整数解，则32a 1.B【解析】A={x∈Z-1<x<3〉={0,12}，由B <4,解得多<a≤2，所以p的充要条件是号<a<2。 ={yy=sinx,x∈R,可得B=[-1,1],则A∩B ={0,1}.故选B. 故选C. 2.C【解析】根据全称量词命题与存在量词命题的关 二、选择题 系，可得命题“x∈R,x2-2x>1”的否定是“Hx∈ 9.AC【解析】AC显然成立，对于B,成绩优秀没有明 R,x2-2x≤1”.故选C. 确的标准，故B错误：对于D,集合中的元素具有互异 3.C【解析】由题得U={x∈N-4<x≤4}= 性，故方程(x一1)2(x一2)=0的所有解的集合应表 {0,1,2,3,4},则CA={4},所以CA的子集个数 示为{1,2}，故D错误.故选AC. 为2.故选C. 10.BCD【解析】由题意可得M={x|6k十1，k∈Z}= 4.D【解析】集合A={x,ylx2十y2≤1，x∈Z,y∈Z}= {…,-11,-5,1,7,13,19,…},N={xx=6k十4，k ∈Z}={…,-14,-8,-2,4,10,16,22,…},P= {(1,0),(0,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)},B= {(x,y)y=x十1}表示的是直线y=x十1上的点的集 {xx=3k-2,k∈Z}={…,-14,-11,-8,-5, -2,1,4,7,10,13,16,19,22,…7,因此M≤P,N 合，且(0,1)，(-1,0)两点在该直线上，故图中阴影部 P,MUN=P,故A错误，B正确，D正确，且M∩N 分表示的集合为A∩(B)={(1,0),(0,0), (0,-1).故选D. =,故C正确.故选BCD. 5.B【解析】由样本数据2，a,10,12的平均数为8，得 11.ABD【解析】对于A,当x为有理数时，一x为有 理数，则D(一x)=D(x)=1,当x为无理数时， 2+a十10+12=8，解得a=8,当a=8时，log.10= 4 一x为无理数，则D(-x)=D(x)=0,故Hx∈R, log810>1;由log10>1,知必有a>1成立，不等式 D(x)=D(一x),故A正确；对于B,Hr∈Q,当x log.10>1台log.10>1og.a,因此1<a<10,所以“样 是有理数时，r一x,r十x是有理数，则D(r一x)= 本数据2，a,10,12的平均数为8”是“1og.10>1”的充 D(r十x)=1,当x是无理数时，r-x,r十x是无理 分不必要条件.故选B. 数，则D(r一x)=D(r十x)=0,故B正确；对于C, 6.C【解析】因为全集U=〈-1,2,4,5,8}，集合Cm(A 若自变量x是有理数，则D(D(x))=D(1)=1,若 ∩B)={2,5,8},所以A∩B={-1,4》,所以-1,4 自变量x是无理数，则D(D(x))=D(0)=1,故C ∈A,只有选项C的集合{一1,2,4}符合条件.故 错误；对于D,当x=√2是无理数，y=√是无理数， 选C. 则x十y=√2十√5是无理数，则D(x十y)=0,D(x) 7.B【解析】设集合A={参加机器人社团的学生}， 十D(y)=0十0=0，满足D(x十y)=D(x)十D(y), 集合B={参加编程社团的学生}，集合C={参加航 故D正确.故选ABD. 模社团的学生}，则card(A)=25,card(B)=22, 三、填空题 card(C)=24,card(A∩B)=12,card(A∩C)=9, 12.{(x,y)0≤x≤4,0≤y≤2}【解析】由图知0≤x card(B∩C)=8,设三项都参加的有x人，即card(A ≤4,0≤y≤2，所以由集合的描述法可 ∩B∩C)=x,card(AUBUC)=46,所以由card(AU 知{(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤2}. BUC)=card (A)+card (B)+card(C)-card(An 【解析】当a=1时，方程可化为-3.x十1 B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C), 1.1,} 即46=25十22+24-12-9-8+x,解得x=4.故 =0,解得x=子，故成立：当a≠1时，4=9 选B. 8.C【解析】令x2-(2a十1)x十2a=0,解得x=1或 4(a-1)=0,解得a=只.综上，a的取值集合 x=2a.当a>1时，2a>2,所以不等式x2-(2a十1)x +2a<0的解集为{x1<xr<2a,要使关于x的不等 是{1，} ·2 B ·数学· 14.(-3,十∞)【解析】当x>0时，f(x)=x+x+1 17.解：(1)由题得B={x|x2-4x=0}=(0,4}, x (1分) =+22W ,1 十1=3，当且仅当x= 1 因为C={x|mx十2=0}，C二B, x 若m=0,则C={x|2=0}=⑦，满足要求；(3分) 即x=1时等号成立，所以f(x)在A上的值域为 若C={0},则0·m十2=0无解，不符合要求： [3,十∞).g(x)=2x3-t为(0，十o∞)上的增函数， (5分) 所以g(x)在A上的值域为(-t,十o∞)，若Hx1∈ A,3x∈A使得f(x1)=g(x),则[3，十o∞)S 若C=《4},则4m十2=0，解得m=- 2 (-t,十∞)，所以一t<3,解得t>一3，即实数t的 取值范围为（一3，十∞）. 综上，实数m的值为0或-子 (7分) 四、解答题 (2)由(AUB)≤B,可得A二B (8分) 15.解：(1)7p:3x∈R,a-2026.x2-1>0, 又B={0,4}, 若7p为真命题，则a>(2026x2十1)m=1, 若A=0,则△=4(a-1)2-4(a-1)<0,解得a 所以实数a的取值范围为(1，十∞). (5分) >1,满足要求： (10分) (2)命题q:了x∈R,x2十ax十3-a=0, 若A≠必，当△=0时，a=1,此时A={xx2=0}= 若q为真命题， {0}二B,满足要求； (11分) 则△=a2-4(3-a)≥0，即a2十4a-12≥0， 当△>0时，a<1,要想满足A三B,需满足A=B 解得a≥2或a≤-6. (8分) ={0,4}, 即0,4是方程x2十2(a-1)x十a2-1=0的两 当p真q假时，只需 /a1 -6<a<21 个根， 解得-6<a≤1； (10分) 当p假q真时，只需 /a>1 或 /a>1 由韦达定理可得0十4=-2(a-1) 0X4=a2-1 a-6 a≥2' 解得a=-1. (14分) 解得a≥2. (12分) 综上，实数a的取值范围为{-1}U[1,十∞). 综上所述，实数a的取值范围为(-6,1]U (15分) [2,十o∞). (13分) 18.解：(1)由|x-1≤2得-2≤x-1≤2，解得-1≤x 16.解：(1)由题得A={xx(x-2)>0}={x|x<0 ≤3， 或x>2}, 又B={x|a≤x≤3-2a},AUB=R, 由学0，解得《-3或>2。 (3分) (3-2a≥a 所以q为真命题时，2<x≤3. 所以a≤0 (4分) 即实数x的取值范围为(2,3] (4分) 3-2a≥2 (2)由不等式x2-4ax+3a2<0,得(x-a)(x-3a) 解得a≤0， 0, 所以实数a的取值范围是（一oo,0]. (6分) 因为a>0,则a<3a, (2)因为A={x|x<0或x>2}, 所以解得a<x<3a,即P={xa<x<3a,(6分) 所以CRA={x|0≤x≤2}， (8分) 命题q为真时，2<x≤3，即Q={x2<x≤3. 又BC CRA, (7分) 当B=时，3-2a<a,解得a>1: (10分) 若P∩Q=财，则3a≤2或a≥3， 当B≠⑦时，3-2a≥a,即a≤1， 结合a>0,可得0<a≤号或u≥3， 3 (a≥0 要使B二CRA,则3-2a≤2， 即实数a的取值范用为(0，号]U[3,十) a<1 (9分) 解得≤a≤1. (14分) (3)满足命题p的条件记为集合P,满足命题q的条 件记为集合Q,且Q={x2<x≤3}， 综上，实数a的取值范围为，十○) (15分) 若q是p的充分不必要条件， ·3· ·数学· 参考答案及解析 则Q是P的真子集， (11分) ②SAAx=SAABC, 由不等式x2-4a.x十3a<0,得(x-a)(x-3a)<0, 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两 当a>0时，由(2)知P={xa<r<3a, 个三角形图形不确定，不一定全等， 因为Q是P的真子集， 因此“S△Ax=S△AaC”是“△ABC≌△A'B'C”的必 /a2 要不充分条件， (9分) 所以 ,解得1<a≤2； (14分) 3a> ③AB=A'B',∠C=∠C', 当a=0时，P=,不满足题意： (15分) 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等， 当a0时，a>3a, 而一组对应边及其对角相等的两个三角形不确定， 所以P={x3a<x<a},不满足题意， (16分) 不一定全等， 综上，实数a的取值范围为(1,2]. (17分) 因此“AB=A'B',∠C=∠C”是“△ABC≌ 19.解：(1)由△ABC≌△A'B'C',得AB=A'B′，AC= △A'B'C”的必要不充分条件 (11分) A'C',∠B=∠B',即q→， (3)必要性：若△ABC为等边三角形，即a=b=c, 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全 显然a2十b+c2=3a2,ab十bc十ac=3a2, 等，知p不能推出q, 因此a2+b2+c2=ab十bc十ac. (13分) 所以p是q的必要不充分条件. (5分) 充分性：若a2+b2十c2=ab十bc十ac, (2)△ABC≌△A'B'C'的必要不充分条件有（答案不 则2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b- 唯一，符合题意即可)： c)2十(a-c)2=0, ①∠A=∠A',∠B=∠B, 于是(a-b)2=0,(b-c)2=0,(a-c)2=0, 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应 即a=b=c,因此△ABC是等边三角形. 角相等的两个三角形相似，不一定全等， 所以“△ABC是等边三角形”的充要条件是“a十b 因此“∠A=∠A',∠B=∠B”是“△ABC≌ +c2=ab+bc+ac”. (17分) △AB'C”的必要不充分条件. (7分) ·4