单元(五)函数的图象、函数与方程、函数的应用-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（A 冀鄂黑吉辽蒙宁青陕赣豫晋甘黔皖滇鲁粤专版）

单元（五）函数的图象、函数与方程、函数的应用 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.“]a∈R,a2026>0且a221<0”的否定是 A.]a∈R,a2026≤0或a2027≥0 B.Va∈R,a2026<0或a2o27>0 C./a∈R,a2026≤0或a2027≥0 D.Ha∈R,a2026≤0且a2027≥0 x-2,x≥0， 2.函数f(x)= /x9 的零点个数为 x0 A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数x)=log:+1D-十2的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1)》 B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 4.用二分法求函数f(x)=1nx十2x一6在(2,3)上的零点近似值，若精确度要求为0.1，则需重复相 同步骤的次数至少为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.若函数f(x)=|(ax一1)x|在区间(0，十∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(-∞，0] B.(-∞，0)》 C.[0,+∞) D.(0,+c∞) 6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过 程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1十1%)35看作是每天的“进步”率都是1%， 一年后是1.01365≈37.7834；而把(1一1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈ 0.0255,这样，一年后的“进步值”是“退步值”的01 .99≈1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的 值的16倍，大约经过的天数为（四舍五人保留整数，参考数据：lg101≈2.0043,1g99≈1.9956， 1g2≈0.3010) A.62 B.104 C.107 D.138 7.已知实数a,b,c满足1.5a十a=log1.2b十b=sinc十c,则下列关系不可能成立的是 A.a<b< B.a=b<c C.b<a=o D.b<a<c 第1页（共4页） 8.两数/x)=。与函数8()一当的图象所有交点的横坐标之和为 A.-In 2 B.In 2 C.0 D.1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f(x)(i=1,2,3)关于时间x (x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x一1，f2(x)=x,f(x)=log2(x十1)，则下列结论正确 的是 A.当x>1时，乙在最前面 B.当x>1时，甲在最前面 C.当0<x<1时，丙在最前面 D.当0<x<1时，甲在最后面 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在（一∞，0）上单调递减，则函数y f(x+1)+1的图象可能是 B. D 1.已知函数f(x)=厂x+4红，x>0 函数g(x)=f(f(x))一m,则下列结论正确的是 ln(-x+1)+3,x≤0 A.若m=0,则g(x)有1个零点 B.若m=3,则g(x)有6个零点 C.若g(x)有5个零点，则m的取值范围为(0,3) D.g(x)一定有零点 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= ①f(x)=2x;②f(x)恰有两个零点；③f(3)≥0. 13.已知正数a,b满足1g(3a十4b)=lga+1gb,则3a+4b的最小值为 14.在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y(单位：dB(分贝))定义为y= 101g二，其中I为声场中某点的声强度，其单位为w/m2(瓦/平方米)，1。=100W/m为基准 值.则声强级为70dB时的声强度Io是声强级为50dB时的声强度I5o的 倍. 数学·五 第2页（共4页) 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知方程x2-2m.x十m+2=0,求m为何值时： (1)方程有一个正根一个负根； (2)方程两根均大于1； (3)方程在(1,4)上有两个不等的实数根. 16.(本小题满分15分) 已知两数f)=a(合)” +b. (1)若f(x)的图象过原点，且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交，求(x)的解析式并写 出其单调性（写出即可，不用证明）； (2)若a=1,6=0,g()=)-f(x),且2g(21)+mg(0)≥0对于任意的∈[0,3]恒成立， 求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 某公司为了提高生产效率，决定投人72万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年因该设 备额外产生收益50万元，该设备前x年的维修、保养等费用共(2x2十10x)万元.设使用x年后 该设备的盈利额为y万元（设备的盈利额=因设备额外产生的收益一设备的购进成本一设备维 修保养费)，其中x∈N. (1)写出y关于x的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利； (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备. 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由， 第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现： 工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分十每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分 f(x)(单位：分)与每天生产时长x(单位：小时)的函数关系近似满足f(x)= 2x5, 0<x≤8 -171十90,8<≤24面生产效率评分g()(单位：分)与每天生产时长x(单位：小 时)的部分数据如下表所示： x 4 6 10 g(z) 25 34 41 46 49 50 49 6 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分 (1)求m的值； (2)给出三个函数模型：①g(x)=a.x+b;②g(x)=a.x2十bx十c;③g(x)=只-b.根据上表中的 数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率评分g(x)与每天生产时长x(单 位：小时)的变化关系，并求出该函数解析式； (3)设该工厂的生产水平评分为F(x),求当x为何值时F(x)取得最大值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=log。(a+1)-bx(a>0且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)=a(a>0且a≠ 1). (1)求b的值： (2)若函数k(x)=f()-a有零点，求a的取值范围： (3)在(2)的条件下，若Hx1∈(0，十∞)，3x2∈R,使得g(2x1)+(m-1)g(x1)-f(2x2)>0成 立，求实数m的取值范围. 数学·五 第4页（共4页) >回·数学· 单元（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 含有一个量词的命题 1 选择题 别 0.80 的否定 2 选择题 5 判断函数零点的个数 易 0.78 3 选择题 5 判断零点所在区间 易 0.76 4 选择题 5 二分法 易 0.72 选择题 由函数单调性求参 务 0.65 指数型函数的实际 6 选择题 5 应用 中 0.55 7 选择题 5 比较函数零点的大小 分 0.40 8 选择题 5 函数零点之和问题 难 0.28 9 选择题 6 函数增长快慢的比较 中 0.65 10 选择题 6 函数图象的识别 / 农 0.50 11 选择题 6 嵌套函数零点问题 难 0.25 12 填空题 5 与零点有关的举例题 易 0.73 13 填空题 5 对数运算 中 0.55 14 填空题 5 对数函数的实际应用 中 0.45 15 解答题 13 二次函数的零点分布 易 0.72 16 解答题 15 指数函数的性质 中 0.60 17 解答题 15 函数的实际应用 中 0.50 拟合函数模型的实际 18 解答题 17 务 0.45 应用 19 解答题 17 由函数的零点求参 难 0.28 ·23· ·数学· 参考答案及解析 昏考答条及解析 一、选择题 1.C【解析】变量词：]变V,否结论：a2o6>0且a2o27 y=1.5x y=l0g12x <0变为a2026≤0或a2027≥0.故选C 2.B【解析】令∫(x)=0,易求得x=2或-3.故选B. 3.C【解折】函数f代)=lg:(u+1)-的定义被 16 为-1，+)，函数y=1g:+1y=-2在 (一1，+∞)上都单调递增，则函数f(x)在 211 （-1,+0)上单调递增，而f0)=-之<0，f(1)= 当直线y=一x十k为l1时，a<b<c:当直线y=-x 号>0，所以两数x)烤点所在的一个区间是(0,1D. 十k为l2或l1时，a=b<c:当直线y=一x十k为la 时，ba<c;当直线y=一x十k为l;时，a<b=c:当 故选C. 直线y=一x十k为l:时，a<c<b:当直线y=一x十k 4.B【解析】原始区间长度为3一2=1，第一次，区间长 为移动到l:左端的直线时，始终有a<b,c<b.综上 度减半，为0.5>0.1，第二次，区间长度减半，为0.25 所述，a<b<c,a=b<c,b<a<c都有可能成立，而b >0.1,第三次，区间长度减半，为0.125>0.1，第四 <a=c不可能成立，故选C. 次，区间长度减半，为0.0625<0.1，故至少需要重复 四次.故选B. 8.C 【解坛、.)=1=x-1=1十二1， x-1--1 5.A【解析】f(x)=|(ax-1)x|=|a.x2-x|,当a =0时，f(x)=|一x|=|x在(0，十∞)上单调递 :函数g(x)的图象由y=二的图象向右平移1个单 增，满足题意；当a>0时，令g(x)=ax-x,其对称 位，再向上平移1个单位得到的，根据反比例函数的 性质可知g(x)在（一∞，1）和(1，十∞)上单调递 轴为x=品零点为x=0和x=,函数f() 减，又f(x)=e在R上单调递增，故在同一平面直 角坐标系下画出函数f(x)=e与函数g(x)= 1g(x)川在区向(0，品)上单调递增，在区间 号的图象，如图所示. (会，占)上单调递减，在区向（日，十）上单调递 ly=f(x) 增，不合题意；当a<0,x∈(0，十o∞)时，因为ax-1 <0,所以(ax-1)x<0,所以f(x)=-ax2十x= y=g(x) -a(x-)广'+，所以函数f(x)在(0，十o)上 单调递增，满足题意.综上，实数a的取值范围是 (-∞，0].故选A. 011 6.D【解析】设经过x天“进步值”是“退步值”的16 倍，则16×09=1.0，即(9)=16，故 ®（后：8了=g16,故= 1g16 1g101-lg99 由图可知：函数)=e与函数g(x)=告的图 象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为 4×0.3010 2.0043-1.9956≈138，故大约经过138天.故选D. 1,则是方程-号的解，若1是方程 7.C【解析】依题意，令1.5“十a=log1.2b十b=sinc十c =k,则1.5=-a十k,log1.2b=-b十k,sinc=-c十 =当的解，即e1片又碧十品 e*=x+1 k,则a,b,c可分别视为函数y=1.5,y=log.2x,y= sinx的图象与直线y=一x十k交点的横坐标，在同 吉-e4一4也是方程心=号的解 1 一坐标系中画出函数y=1.5,y=logL2x,y=sinx -x1,则x1十x2=x十(-x1)=0.故选C. 和y=一x十k的图象，如图， ·24· ·数学· 二、选择题 f(x)=t有2解，当t∈(3,4)时，f(x)=t有3 9.BCD【解析】作出函数(x)(i=1,2,3)的图象， 解.所以g(x)有5个零点；当m=0时，f(t)=0只 如图所示， 有1解t=4,(x)=4有2解，所以g(x)有2个零 点：当m0时，f(t)=m只有1解，且t>4,此时 y=)/ y=5(x) f(x)=t只有1解，所以g(x)只有1个零点.综 上，当m∈(-o∞，0)U(4,十∞)时，g(x)有1个零 y-f(x) 点；当m=0时，g(x)有2个零点；当m=4时，g(x) 有3个零点：当m∈(0,3)U(3,4)时，g(x)有5个 零点；当m=3时，g(x)有6个零点.故B,D正确.故 选BD. 三、填空题 当x>1时，f(x)>f2(x)>f(x),即甲在最前 12.x2-9(答案不唯一)【解析】若f(x)=x2一9，则 面，丙在最后面，A错B对：当0<x<1时，f3(x)> ∫'(x)=2x,满足性质①；令∫(x)=x2-9=0,解 f2(x)>fi(x),即甲在最后面，丙在最前面，CD都 得x=士3，则函数∫(x)恰有两个零点，满足性质 对.故选BCD. ②；而f(3)=0,满足性质③.故∫(x)=x2-9满 10.AC【解析】令g(x)=f(|x十1|)十1，其中x∈ 足题意」 R,则g(-1-x)=f(|-1-x十1|)十1 13.48 【解析】由题意，lg(3a十4b)=lga十lgb= f(x)+1,g(-1十x)=f(|-1+x十1|)+1 lg(ab),a>0,6>0,则3a十4h=a0,即子+吾=1， f(x)十1，则g(-1-x)=g(-1十x),故g(x) =f(|x十1|)十1的图象关于直线x=-1对称， 所以3a+46(3a+46(各+兰)=器+18+24 排除B选项，因为f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x)在(-∞，0)上单调递减，故f(x)在 受·画+24=8，当且仅当2-12.即a= ≥2Nb (0,十∞)上单调递减，故当x>-1时，x十1>0，此 8,b=6时等号成立，则3a十4b的最小值为48. 时g(x)=f(x十1)+1，故g(x)在(-1，十∞)上 单调递减，排除D选项，故选AC. 14.100 【解析】由题意得y=10lg。=10W/m, 11.BD【解析】令f(x)=4,解得x=1-e或2；令 f(x)=3,解得x=0或1或3.根据函数图象的平 当声强级为70aB时，70=101g会→1g2=7→2 移变换，画出f(x)的简图，如图所示 =10,∴.10=107I0;当声强级为50dB时，50 10g先>lg会=5→是=10,1w=101号 y=f(x) 1016二100 =1010 四、解答题 15.解：(1)设函数∫(x)=x2-2m.x十m十2， 易知该函数的图象开口向上，对称轴为x=m, 要使方程有一个正根一个负根，需使函数的图象和 1-e 0 x轴的正负半轴各有一个交点，如图， y 令g(x)=0,则f(f(x))=m.令f(x)=t,则 f(t)=m.当m>4时，∫(t)=m只有1解，且t<1 -e,此时∫(x)=t只有1解，所以g(x)只有1个 零点：当m=4时，f(t)=4有2解，即t=1-e或2. f(x)=1-e有1解；f(x)=2有2解.所以g(x) 有3个零点；当m∈(3,4)时，f(t)=m有3解i, t2,t,ti∈(1-e,0),t2∈(1,2)，t∈(2,3).当i ∈(1一e,0)时，f(x)=t只有1解；当t2∈ (1,2)时，f(x)=t有2解；当t∈(2,3)时， 需使f(0)=m十2<0，解得m<-2, (4分) f(x)=t有2解.所以g(x)有5个零点；当m=3 故m的取值范围为（一∞，一2）. 时，f(t)=3有3解，即t=0或1或3.∫(x)=0只 (2)要使方程的两根均大于1，如图， 有1解；f(x)=1有2解；f(x)=3有3解.所以 g(x)有6个零点；当m∈(0,3)时，f(t)=m有2 解t,t,t∈(0,1)，t∈(3,4).当t∈(0,1)时， ·25· ·数学· 参考答案及解析 即2x2-40x十72<0，解得2<x<18, 因为x∈N,所以3≤x≤17， 即从第3年开始，该设备开始盈利. (5分) (2)方案①：平均盈利额为义=一2x十40-72 0124 =-(2+)+40≤-2V2r…平 +40=-2× ix=m 12+40=16, 1△=4m2-4(m十2)≥0 当且仅当2x= 华，即x=6时等号成立。 需使m>1 ,解得2≤m<3, f1)=-m+3>0 所以第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格 故m的取值范围为[2,3). (8分) 处理该设备，共盈利16×6十52=148万元.(10分) (3)因为f(1)=3-m,f(4)=18-7m, 方案②：盈利额为y=-2x2十40x-72,当x=10 若方程在(1,4)上有两个不等实根， 时，盈利额达到最大值，为128万元， △=4m2-4(m十2)>0 所以第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处 理该设备，共盈利128十20=148万元， (14分) 需使 1<m<4 f(1)=3-m>0 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新 f(4)=18-7m>0 更快，更有利于提高生产效率， 所以方案①更合理 (15分) 解得2<m<9. 18.解：(1)由题意知，f(9)=8, 故m的取值范围为(2，)】 17 (13分) 即9-17×9-g十90=8，解得m=10.(4分） 16.解：(1)该函数图象过原点，且无限接近直线y=2 (2)由表可知，函数g(x)先增后减， 但又不与该直线相交， 则只有模型g(x)=ax2十bx十c符合， .a十b=0且b=2, 由表可知，g(7)=49,g(8)=50,g(9)=49, .a=-2, (3分) 49a+7b+c=49 a=-1 则64a十8b+c=50,解得b=16, ∴.f(x)= 2() +2, (81a+9b十c=49 c=-14 “y=(号)是减函数，=x在(-∞，0)上单调递 所以g(x)=-x2十16x-14(x>0). (10分) (3)F(x)=f(x)十g(x) 减，在(0，十∞)上单调递增，一2<0， 2-5-x2+16x-14,0<x≤8 .y=f(x)在(-∞，0)上单调递减，在 100 (0,十∞)上单调递增 (6分) -x-x+76,8<x≤24， (2)若a=1,b=0,则f(x)= 函数g(x)=-x2十16x-14的对称轴为x=8, 故函数g(x)=-x2十16.x-14在(0,8]上单调 g(x)=fx)-f(x)=2 () (7分) 递增， 又函数y=25在定义域上单调递增， 2g(2t)+mg(t)=2（221- 1 所以函数F(x)在(0,8]上单调递增， 22 则当x∈(0,8]时，F(x)mmx=F(8)=58,(13分) m(21-) 当8<x≤24时，F(x)=-x 100. x+1 +76 当[0,3]时，即为2(2-品)十m(2-)≥ x+10+1007 x+1 77， 0,即m(2-1)≥-(21-1). (10分) .224-1>0, 因为x十1十 100 =20 x+1 .m≥-(2+1)对于t∈[0,3]恒成立.(13分) 当且仅当x十1= ,即x=9时取等号，15分) 100 t∈[0,3]， ∴.-(1十22)∈[-65，-2]， .m≥-2. 所以F(x)=一 (.x+1)+1007 十77≤-20十77 x+1 .m的取值范围是[一2，十o∞). (15分) =57, 17.解：(1)由题意得使用x年后：y=50x-72一 即当8<x≤24时，F(x)mx=F(9)=57。 (2x2+10x)=-2x2十40x-72,x∈N“. 又F(8)>F(9), 令y>0,即-2x2+40x-72>0, 所以，当x=8时F(x)取得最大值58. (17分) ·26· A ·数学· 19.解：(1)f(x)为偶函数， .a的取值范围是(1，十∞). (10分) .Hx∈R,有f(-x)=fx), (3)当x2∈R时，f(2x2)=log。(a22+1)-x2 log。(ax十1)十bx=log.(a十1)-bx对Hx∈R =log.( 恒成立。 +1）=log.(a十a), ∴.log.(a+1)-log.(a+1)=2bx对Hx∈R恒 由(2)知a>1,a?十a2≥2，当且仅当x2=0时取 成立 等号， ∴.x=2bx,x∈R恒成立， ∴.f(2x2)的最小值是log.2. 6宁 由题意，Hx1∈(0，十∞)，]x2∈R,使得g(2x1)十 (5分) (m-1)g(x1)-f(2x2)>0成立， (2)若函数h(x)=f(x）)一x-a有零点， 1 即Hx1∈(0，+o∞)，a2十(m-1)a21>log.2 成立， 即log.(a十1)-x=a有解， m>log2-a+1对V∈(0，十o)恒成立， 即og.(a+1)-loga=alg.(（1+)=a a"l 有解. 设仁a1,则t>1,则m>log2-t+1对t>1恒成 t 令px)=lg(1+）): 立， (14分) 则函数y=p(xr)图象与直线y=a有交点。 设函数k(t)=1og2-t什1(t>1), t 当0<a<1时， 1+>1,p(x)=log(1+)<0, 易知函数y= og2和函数y=-t在1，十∞)上都 t 是减函数， log(1+）=a无解。 (8分) ÷k(t)=1og2-t+1(>1)在1，+0)上是减 t 当a>1时， 函数， 1+2>1px)=le(1+)>0, 则k()=log2-4+1<1og2-1+1=1og.2, t 由log(1+）=a有解，可知a>0, .m≥log.2. 即m的取值范围是[log.2,十o∞). (17分) a>1, ·27·