第二十九章 圆 单元卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章 圆（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、已知A、B为⊙0上的两点，若⊙0的半径为3，则AB的长不可能是() A.1 B.3 C.5 D.7 【答案】D 【详解】解：A、B为⊙0上的两，点，若⊙0的半径为3， .0<AB≤2r=6 ∴D不符合题意 2、下列圆中既有圆心角又有圆周角的是() A D 【答案】B 【详解】解：A.图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B.图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C.图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D,图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 3、小赵不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻 璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是() ① ③ ④ A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 1 【答案】B 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段孤，即可确定圆心和半 径. 所以小赵带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块， 4、下列说法错误的是（) A.过直线上两点和直线外一，点，可以确定一个圆 B.任意一个圆都有无数个内接三角形 C.任意一个三角形都有无数个外接圆 D.同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 【答案】C 【详解】解：A、不在同一直线上的三个，点确定一个圆，故说法正确； B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确； C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误； D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确. 5、如图，已知AB为⊙0的直径，点C为圆上的一点，且AC所对的圆心角度数是BC所对的圆心角 1 度数的3，则BC所对的圆心角度数为() A.100° B.120° C.135° D.150° 【答案】C 【详解】解：：AB为⊙0的直径， .∠AOC+∠BOC=180° -2 :AC所对的圆心角度数是BC所对的圆心角度数的3， :.∠AOC=5∠BOC 3 .·.B0c=3×1809=1359 ∴.BC所对的圆心角度数为135° 6、图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图AB是⊙O的一部分，D是AB的中 ,点，连接OD，,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,则⊙0的半径 OA 图1 图2 A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm 【答案】A 【详解】解：AB是⊙0的一部分，D是AB的中，点，AB=24cm, OD⊥AB AC=BC=】AB=12cm 2 设⊙0的半径OA为R(cm),则OC=OD-CD=(R-8)cm. 在RtAOAC中， :∠OCA=90° ..0A2=AC2+0C2 .R2=122+(R-8)2 .R=13 即⊙0的半径OA为13cm, 7、如图是6×4的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB,在网格中画出 以AB为直径的半圆，圆心为，点O,,点C是格点且在半圆上，连接BC,则图中阴影部分的面积是 () C 5π-10 5π+10 A.5π-10 B.4π-10 C. 4 D 6 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接CO, 以 C :小正方形的边长为2,0C=0B=V4+22=25,BC=V22+6=210 ∴.0C2+0B2=BC2 ·.∠COB=90°=∠AOC 图中阴影部分的面积是 um-sm005j-5=5-10 8、用反证法证明命题“已知：在△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°”时，应假设() A.∠B>90° B.∠B≥90° C.∠B≤90° D.∠B≠90° 【答案】B 【详解】解：根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，送行作答即 可.第一步应先假设∠B≥90°； 9、△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【答案】B 【详解】解：当△ABC的外心在△ABC的内部时，则△ABC是锐角三角形； 当△ABC的外心在△ABC的外部时，则△ABC是钝角三角形； 当△ABC的外心在△ABC的一边时，则△ABC是直角三角形，且这边是斜边. 10、如图，AB是O0的直径，C、D是⊙0上的，点，且OC∥BD,AB分别与BC,OC相交于点E、 F,有下列结论：①BC平分∠ABD;②∠AOC=∠AEC;③AF=DF;④BD=2OF.正确结论的序 号有(). A.①②③④B.②③④ C.①③④ D.①②③ B 【答案】C 【详解】解：①AB是⊙0的直径， 、.∠ADB=90°， .AD⊥BD, OC∥BD, .∠OCB=∠DBC,OC⊥AD, ...OC=OB, .∠OCB=∠OBC, .∠OBC=∠DBC, .BC平分∠ABD,故①正确； :在△OBC中，∠AOC是外角，∠A0C=LC+∠ABC=2LABC, 在△ABE中，∠AEC是外角，∠AEC=∠A+∠ABC, 又，OC⊥AD,OA=OB —5 .OC不可能是AB的垂直平分线， AE≠BE, .∠A≠∠ABC .∠AOC≠∠AEC,故②不正确； AB是⊙O的直径， .∠ADB=90° .AD⊥BD, .:OC∥BD ∴.∠AFO=90° 点0为圆心， AF=DF,故③正确； AF =DF, 点0为AB中点， .OF是△ABD的中位线， .BD=2OF,故④正确； 综上可知：其中一定成立的有①③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形.若∠BCD=124°，则∠A的度数为 ●0 B 【答案】56 【详解】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠A+∠BCD=180°， —6 ∴.∠A=180°-∠BCD=180°-124° =56° 故答案为：56° 12、在半径为10的⊙0中，弦AB=12,弦CD=16,且AB∥CD,则AB与CD之间的距离是一· 【答案】2或14 【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①， 图① 过，点O作OF⊥AB,垂足为F,交CD于点E,连接OA,OC, .·AB∥CD, .OE⊥CD, AB=12,CD=16, .CE=8,AF=6, ·0A=0C=10, .由勾股定理得：E0=V102-82=6,OF=V102-6=8, ..EF=OF-OE=2; ②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图， D 过点O作OE⊥CD于点E,反向延长OE交AB于点F,连接OAOC, 同理E0=V102-82-6,0F=V102-62-8, 7 EF=OF+OE=14 所以AB与CD之间的距离是2或14. 故答案为：2或14 13、联想三角形外心的既念，我们可引入如下既念： 定义：到三角形的两个顶，点距离相等的，点，叫做此三角形的准外心 举例：如图，若PA=PB,则点P为△ABC的准外心 探究：已知Rt△ABC中，∠A=90°，BC=5,AB=3,准外心P在AC边上，则PA的长为 7 【答案】2或8 【详解】解：∠A=90°，BC=5,AB=3, 根据勾股定理，可得：AC=VBC2-AB2=V52-32=4, 准外心P在AC上， .·PA=PC或PB=PC, ①当PA=PC时，如图， B 设PA=x, 则PC=AC-PA=4-x, 即x=4-x, 解得：x=2; 8 ②当PB=PC,如图， B 设PA=x, 则PC=AC-PA=4-x, 此时△ABP也是直角三角形， BP=VAB2+AP2=3+x29+x2 即V9+x2=4-x, 7 X= 解得： 8; 7 故答案为：2或8 14、如图，用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与 轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为cm.(结果保留π)》 【答案】10π 【详解】解：由题意：重物上升的高度为半径为12cm,圆心角为150°的孤长， 150rx12=10元 180 (cm); 故答案为：10π. 15、如图，折扇的骨柄长为30m,扇面宽度为、18cm,折扇张开的角度为120°，则折扇扇面的面积 为cm(结果保留π）. —9 B 30cm D-18cm 【答案】252π 【详解】解：OA=OB=30cm,AC=BD=18cm, .0C=OD=30-18=12cm 120° 折扇张开的角度为 120元×302120元×122 =252π(cm2） ∴.折扇扇面的面积为360 360 故答案为：252π. 16、如图，AC=BD,AC L BD于点E,若⊙0的半径为3，则AD的长为 A 0. B E C 【答案】32 【详解】解：连接OA,OD,作ON⊥BD于，点N,作OM⊥AC于，点M, A B D NE C 1 1 AM=二ACDN=二BD 2 -10 又AC=BD ∴.AM=DW 在Rt△OAM和RtODN中， 「OA=OD AM=AN, .RtAOAM≌RtAODN(HL) .∠AOM=∠DON .∠AOM+∠DOM=∠DON+∠DOM,即：∠AOD=∠MON ,AC L BD,ON⊥BD,OM⊥AC, .∠AEB=∠ONE=∠OME=90°， ∴.∠MON=90° .∠AOD=90° 0A=0D=3, .AD=V0A+0D2=V32+32=3V2 故答案为：32 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分，22-24，每题12分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，，点O,A,B,C在格点（两条网格线 的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系. B (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过A,B,C三点的圆的圆心M,保留作图痕迹，不写作 11 法。 (2)过A,B,C三点的圆的圆心M坐标为」 【答案】(1)画图见详解2)（山，-2） 【详解】(1)解：如图所示，点M即为所求； (2)解：由(1)图可知，圆心M坐标为(1，-2) 故答案为：(1，-2) 18、如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E,且AB=CD.求证：DE=BE. E B 【答案】见详解 【详解】证明：AB=CD, .'AB=CD .'AB-BD=CD-BD .AD=CB .AD=BC, 又∠A=∠C,∠D=∠B, .AADE≌△CBE .DE=BE 19、石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆孤形.如图是某地的石拱桥局部， —12 其跨度AB为24米，AB所在圆的半径为20米，求这个弧形石拱桥的拱高(AB的中，点C到弦AB的 距离)CD. C 【详解】解：如图所示，点0为AB所在圆的圆心，连接OA,OD, D B 由题意得： AD=BD-6=2,OD148.40=20 设CD=x,则D0=20-x, 根据题意可得：AD2+D02=AO2 即122+(20-x}=20 解得：=4，名=36（舍去）， 即CD=4米 ∴.这个孤形石拱桥的拱高(AB的中点C到弦AB的距离)CD是4米。 20、如图，AB,AC是⊙0的弦，AB=AC,OD,OE是⊙0的半径，且AB∥OD,AC∥OE.求 证：BD=CE」 B D E 【答案】见详解 13 【详解】证明：连接OB,OC,OA, B 在△AOB与△AOC中， 「AB=AC OA=OA OB=OC' ∴aAOB≌△AOC(SSS) ∴∠ABO=∠ACO ·AB∥ODAC∥OE ∴，∠ABO=∠BOD∠ACO=∠COE ∴.∠BOD=∠COE :BD=CE 21、如图，⊙O的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，点E为AB中，点，连接EC,ED, E A C (1)求证：直线EO⊥AB; (2)求证：EC=ED 【答案】(1)见详解(2)见详解 【详解】(1)证明：如图，连接E0, 14- E A B D .EO O 过点， 为B 的中点， ∴EO⊥AB (2)证明：延长EO交CD于F, E B F D :EO⊥AB、AB∥CD ∴.EF⊥CD EF .0 过点， .CF=DF .∴.EF CD 垂直平分 ∴.EC=ED 22、绣球是广西民族文化的特色载体.如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角 坐标系，再分别以原点0,0(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点，其公共部分构 成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣② —15 ① ② 1)写出A,B两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留兀） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到. 【答案】(1)A(0,5),B(5,0) (2)5π (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90°得到 【详解】(1)：以原点0，O(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两，点 ∴OA=OB=OA=OB=5 ∴.OAOB 是正方形 .∠AOB=OBO'=BOA=O'AO=90° ·A(0,5),B(5,0) (2)原，点0,0(5,5)为圆心、以5为半径作圆 两个圆是等圆 :∠AOB=AOB=90° 2π×OA× 90° ×2=5π 叶瓣①的周长为： 360° (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90°得到。 23、如图，在△ABC中，AB=AC,以腰AB为直径画半圆O,分别交BC,AC于，点D,E. B D 16 (I)求证：BD=DE; (2)若∠ABC=60°，AB=2,求阴影部分弓形的面积. π√3 【答案】(1)见详解 (2)63 【详解】(1)解：如图，连接AD, AB 为直径， ∴.∠ADB=90° AB=AC ∴∠BAC=∠DAC DE 孤BD=孤 .BD=DE E D (2)解：如图，连接OE,过，点O作OF⊥AC于，点F, :AB=2 ∴.OA=OB=1 .AB=AC∠ABC=60° .△ABC 为等边三角形， ∴.∠BAC=60° 又OA=OE, 17 ∴.△AOE 为等边三角形， ∠A0E=60°，OA=AE=Lo3 2, 60×元×121 ∴.S阴影=S扇形AOE-S△AOE= x5红.g 36021 264. E B D 24、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D,交AB 于点E,连接DE A B (1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度数； (2)若AC=3,AB=4,求CD的长. 18 【答案】()65° (2)5 【详解】(1)解：如图所示，连接AD, B ,:∠BAC=90°，∠ABC=20°」 18 .∠ACD=180°-∠BAC-∠ABC=180°-90°-20°=70°， ..AC=AD, .∠ACD=∠ADC=70°、 .∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-70°-70°=40° .∠DAE=∠CAB-∠CAD=90°-40°=50° .AD=AE ∠DE1=∠4DE-080-∠D4E)=方x080-509=-6s； (2)解：如图所示，过，点A作AF⊥CD,垂足为F. B :∠BAC=90°，AC=3,AB=4, .BC=AC2+AB2=5, :方4Pac-4cAB, AF=4CAB-3×4_12 BC55, 在Rt△AFC中，根据勾股定理得， cr=ac-P-尽--号 .:AF⊥CD CD=2CF-2x918 55 —19 第二十九章 圆（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 2、下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   3、小赵不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（    ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 4、下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 5、如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 6、 图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A． B． C． D． 7、如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 8、用反证法证明命题“已知：在△ABC中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 9、△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 10、 如图，是的直径，C、D是上的点，且，分别与相交于点E、F，有下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有（　　）． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为 ． 12、在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 13、联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为△ABC的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为 ． 14、如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为 ．（结果保留） 15、如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 16、 如图，，于点E，若的半径为3，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． (2)过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 18、如图，在中，弦交于点E，且．求证：． 19、石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，求这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）． 20、如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 21、如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 22、绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 23、如图，在△ABC中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求阴影部分弓形的面积． 24、如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $