第二十九章 圆 单元检测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第二十九章圆的单元检测卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合赵州桥文化素材与拱桥计算等实际问题，适配单元复习，全面考查圆的核心知识与数学素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|圆的半径、圆周角、外接圆、圆锥侧面积等|基础巩固，结合文化传承素材| |填空题|5题/15分|弦长与距离、圆内接四边形、扇形围成圆锥等|能力提升，考查核心概念辨析| |解答题|9题/75分|垂径定理应用、拱桥实际计算、新定义垂等四边形等|创新应用，融合尺规作图与实际问题，体现推理能力与模型意识|

第二十九章 圆 单元检测卷 (范围:第29章 时间:120分钟 满分:120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.在⊙O中,最长的弦长为16 cm,则⊙O 的半径是( ) A.4 cm B.8cm C.16 cm D.32 cm 2.如图,点A,B,C在⊙O上, 则 等于( ) A. B. C. D. 3.在 中,两直角边AC=6cm,BC=8cm,则它的外接圆的半径为( ) A.2.5cm B.5cm C.10 cm D.25 cm 4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A 为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A 内且点B 在⊙A 外时，r 的值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是( ) A.10π B.15π C.20π D.25π 6.某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升.如图，滑轮上一点 A 绕点O 逆时针旋转108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( ) A.6πcm B.9πcm C.12πcm D.15πcm 7.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R 约为( ) A.20m B.28m C.35m D.40m 8.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=30°.分别以点 A 和点B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN 交AC 于点 D,连接BD 并延长交⊙O 于点E,连接OA,OE,则∠AOE 的度数是( ) A.30° B.50° C.60° D.75° 9.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB 于点 D，连接CD，则阴影部分的面积为( ) A. B.2π-1 C. D. 10.如图,点A(2,0),B(0,2),C为坐标平面内一点,BC=1,点 M为线段AC的中点，连接OM，则OM 的最大值为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.在⊙O中,弦AB 的长为6,圆心O到AB 的距离为4,则⊙O的半径为 . 12.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠D=120°,则∠ABC 的度数是 13.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,直径 AD=4,∠ABC=∠DAC,则AC 的长为 . 14.如图,AB 为⊙O 的直径,BC为⊙O 的弦,D 是劣弧AC上的一点.若点 E 在直径AB 另一侧的半圆上,且∠AED=27°,则∠BCD 的度数为 15.如图，现有一扇形纸片，圆心角∠AOB 为 120°,弦 AB 的长为2 cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径为 cm. 三、解答题(共9小题，共75分) 16.(本题6分)如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C,D 两点.求证:AC=BD. 17.(本题6分)如图,A,B,C,D 是⊙O 上四点,且AD=CB.求证：AB=CD. 18.(本题6分)如图,圆内接四边形ABCD 中, 连接OB,OC,OD,B 求 的度数. 19.(本题8分)如图,四边形ABCD 内接于⊙O, 若⊙O的半径为 求AC 的长. 20.(本题8分)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知 C是弦AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程. (1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)： ①作线段AC 的垂直平分线DE，分别交于点D,AC于点E,连接AD,CD; ②以点D 为圆心，DA 长为半径作弧，交. 于点F(F,A两点不重合),连接DF,BD,BF; (2)直接写出引理的结论：线段BC，BF 的数量关系. 21.(本题8分)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 为⊙O 的直径,CD 平分∠ACB,交⊙O 于点D,连接AD,点 E 在弦CD上,且ED=AD,连接AE. (1)求证:∠BAE=∠CAE; (2)若∠ABC=60°,AB=8,求AE 的长. 22.(本题10分)如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为30m，拱高PM 为9 m.当洪水泛滥到跨度只有15 m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN=2m. (1)求拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施? 23.(本题11分)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O上,AC与OD 交于点E,AE=EC,OE=ED.连接BC,CD. (1)求证: (2)求证:四边形OBCD 是菱形; (3)若CF 平分 交⊙O 于点 F, 求CF 的长. 24.(本题12分)定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形. (1)【概念理解】如图1,在垂等四边形ABCD 中,AB⊥AD,AB=4,对角线AC 与BD 交于点E.若∠ABD=45°,则 AC 的长为 ； (2)【操作实践】如图2,在⊙O中,AB 是弦,OA,OB 是半径,求作：⊙O 的内接垂等四边形ABCD；(要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹) (3)【延伸拓展】如图3，⊙O 的内接垂等四边形ABCD，对角线AC与BD交于点E.若AE=3,CE=2,求⊙O 的半径. 1. B 2. D 3. B 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C 9. A 10. B 解:如图,∵BC=1,∴点C在以点 B 为圆心,半径为1的⊙B 上,取OD=OA=2,连接CD, ∵AM=CM,OD=OA, ∴OM 是△ACD的中位线, 当OM 最大时,即CD最大，当D，B，C三点共线且点 C 在DB 的延长线上时，OM 最大， ∵OB=OD=2,∠BOD=90°, 即OM的最大值为 故选 B. 11.5 12.60° 13.2 14.117° 15. 16.证明:过点O作OE⊥AB 于点E. ∵在大⊙O中,OE⊥AB,∴AE=BE, 又∵在小⊙O中,OE⊥CD,∴CE=DE,∴AC=BD. 17.证明:∵AD=CB, 即 ∴AB=CD. 18.解:∵四边形ABCD 是⊙O的内接四边形, ∴∠A+∠BCD=180°, ∵∠BCD=105°,∴∠A=75°,∴∠BOD=2∠A=150°, ∵∠BOC=2∠COD,∴∠BOD=3∠COD=150°, ∴∠COD=50°,∴∠CBD= ∠COD=25°. 19.解:连接OA,OC.∵∠ABC=135°,∴∠D=45°,∴∠AOC=90°,∴ 20.解：(1)作出线段AC 的垂直平分线DE,连接AD,CD,以 D 为圆心，DA 长为半径作弧，交 于点F,连接DF,BD,BF; (2)BC=BF. 21.解:(1)∵ED=AD, ∴∠DEA=∠DAE, ∴∠DCA+∠CAE=∠DAB+∠BAE, ∵CD平分∠ACB,∴∠DCA=∠DCB, 又∵∠DAB=∠DCB,∴∠DAB=∠DCA, ∴∠BAE=∠CAE; (2)连接BD,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB = ∠ADB=60°,∵CD平分∠ACB,∴ ∵∠ADC=∠ABC=60°,ED=AD, ∴△EAD 为等边三角形,∴AE=AD=4- 22.解：(1)设圆弧所在圆的圆心为O， 连接OA,OA′,设半径为x m,则OA=OA'=OP, 由垂径定理可知 AM=BM,A'N=B'N, ∵AB=30m, 在 Rt△AOM 中,OM=OP-PM=(x-9)m, 由勾股定理，可得 即 解得x=17, 即拱桥所在的圆的半径为17 m； (2)∵OP=17 m,∴ON=OP-PN=17-2=15(m), 在 Rt△A'ON 中,由勾股定理, 可得 ∴不需要采取紧急措施. 23.解:(1)在△AOE 和△CDE 中,OE=DE,∠OEA=∠DEC,AE=CE,∴△AOE≌△CDE(SAS); (2)∵△AOE≌△CDE,∴∠AOE=∠(DE,OA=DC, ∴AB∥CD,又∵OB=OA,∴OB=DC, ∴四边形OBCD 为平行四边形， ∵OB=OD,∴四边形OBCD 为菱形; (3)连接 BF,过点 B 作BH⊥CF 于点 H. ∵AB 为⊙O的直径,∴∠ACB=90°. ∵CF 平分∠ACB, ∵BH⊥CF,∴∠CBH=90°-∠BCH=45°, ∴∠CBH=∠BCH,∴BH=CH,在 Rt△BCH 中, ∵∠A=30°,BC=BC,∴∠BFC=∠A=30°.在 Rt△BFH 中, 24.解:(1)由垂等四边形的定义得AC=BD, ∵AB⊥AD,∠ABD=45°; (2)作OD⊥OA,OC⊥OB,分别交⊙O 于点 D 和点 C(D,C都在AB 的上方)，即可得到垂等四边形ABCD，图略； (3)连接DO,AO.∵四边形ABCD 是垂等四边形, ∴AC=BD,∴AC=BD, ∴AD=BC,∴∠CDE=∠DCE, ∵AC⊥BD,∴△CDE 是等腰直角三角形, ∴DE=CE=2,∠ABD=∠ACD=45°. ∠AOD=2∠ACD=90°. ∵OA=OD, 即⊙O的半径为 学科网（北京）股份有限公司 $